câu 1 : Dùng phương pháp phản chứng, chứng minh: Không có ba số dương a,b,c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức: a+1/b<2 ; b+1/c<2; c+1/a<2
Giả sử cả \exists 3 số dương [TEX]a_0,b_0,c_0[/TEX] sao cho cả 3 bất đẳng thức trên đều đúng.Tức là:
[TEX]a_0+ \frac{1}{b_0} < 2, b_0+ \frac{1}{c_0} < 2, c_0+ \frac{1}{a_0} < 2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a_0+b_0+c_0+( \frac{1}{a_0}+ \frac{1}{b_0}+ \frac{1}{c_0}) < 6(1)[/TEX]
Mặt khác ta có: Với mọi số dương x,y,z:
[TEX] \sqrt[3]{xyz} \leq \frac{x+y+z}{3}[/TEX]
[TEX] \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \geq \frac{3}{ \sqrt[3]{xyz}} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \geq (x+y+z)+ \frac{9}{x+y+z} \geq 6(Cauchy)(2)[/TEX]
Vì (2) đúng mọi số dương (x;y;z) nên nó đúng với 3 số dương [TEX](a_0;b_0;c_0)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a_0+b_0+c_0+\frac{1}{a_0}+ \frac{1}{b_0}+ \frac{1}{c_0} \geq 6(3)[/TEX]
Từ (1) và (3) suy ra mâu thuẫn
câu 2: Dùng phương pháp phản chứng, chứng minh: ít nhất một trong 3 phương trình sau có nghiệm :
x^2-4ax+b+4a=0(1)
x^2-4bx+6ab-3=0(2)
x^2+2(a+b)x+3b-2=0(3)
Giả sử cả 3 PT trên đều vô nghiệm tức là:
[TEX]\left{\begin{\Delta_1^'=4a^2-4a-b < 0}\\{\Delta_2^'=4b^2-6ab+3 < 0}\\{\Delta_3^'=(a+b)^2-3b+2 < 0}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 0 > \Delta_1^'+ \Delta_2^' + \Delta_3^' =5a^2+5b^2-4ab-4a-4b+5[/TEX]
[TEX]=(a-2b)^2+(2a-1)^2+(b-2)^2 > 0 \forall a,b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 0 > 0(mau-thuan)[/TEX]
cau3: cho a,b,c thuộc (0;2). Chứng minh ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức sau sai:
a(2-b)>1, b(2-c)>1 ; c(2-a)>1
Tựa câu 1:
Giả sử cả 3 bất đẳng thức trên đều đúng.Tức là ta có:
[TEX]b+ \frac{1}{a} < 2,c+ \frac{1}{b} < 2, a+ \frac{1}{a} < 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b+ \frac{1}{b}+ c+ \frac{1}{c}+a+ \frac{1}{a} < 6(1)[/TEX]
Áp dụng BDT Cauchy:
[TEX]b+ \frac{1}{b} \geq 2, c+ \frac{1}{c} \geq 2, a+ \frac{1}{a} \geq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b+c+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \geq 6(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn
