[Toán 10]Bdt

[rua_it]

:-?? Em không hiểu gì cả ạ

$$LHS=\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c} =\sum \frac{(ab)^2}{a^2b^2.(ab+2c^2+2c)}$$

$$=\sum \frac{(ab)^2}{a^3b^3+2(abc)^2+2a^2b^2c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^3b^3+2(abc)^2+2a^2b^2c+b^3.c^3+2(abc)^2+2b^2c^2a+c^3a^3+2(abc)^2+2c^2a^2b}$$

$$=\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^3b^3+2abc.\sum a +6a^2b^2c^2}$$

ok.

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b(c+a)}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+(a+b)^2}\leq \frac{6}{5}[/TEX].

[tex]Dat: \left{\begin{x=\frac{b+c}{a}}\\{y=\frac{c+a}{b}}\\{z=\frac{a+b}{c}}[/tex]

$$\Rightarrow\sum xy \geq3.\sum x$$
\Rightarrow Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$$\sum \frac{(x-1)^2}{x^2+1} \geq\frac{3}{5}(1)$$

$$Schwarz \Rightarrow LHS=\sum \frac{(x-1)^2}{x^2+1} \geq \frac{(\sum x-3)^2}{\sum x^2+3}$$

Do đó ta chỉ cần phải chứng minh $$\frac{(\sum x-3)^2}{\sum x^2 +3} \geq \frac{3}{5}(*)$$ là đủ.

Thật vậy,
$$(*) \Leftrightarrow 5.(\sum x -3)^2 \geq 3.(\sum x^2+3)$$

$$\Rightarrow (x+y+z)^2+3.(xy+yz+zx)-15.(x+y+z)+18 \geq (x+y+z)^2-9(x+y+z)+18$$

$$\geq(x+y+z-6).(x+y+z-3)\geq 0(\sum x \geq 6)$$

 

[dandoh221]

Repost : : a,b,c are positive real number. Then
[TEX]\sum \sqrt{\frac{bc}{a}}%20\ge%20\sqrt{2(a+b+c)+\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{....+\sqrt{2(a^{2^{n-1}}+b^{2^{n-1}}+c^{2^{n-1}})+\sqrt{3(a^{2^n}+b^{2^n}+c^{2^n})}}}}}[/TEX] with [TEX] n \in Z^+[/TEX]

 

[dandoh221]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=2[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\ge \sum \frac{1}{\sqrt{ab}}[/TEX]
Ta chứng minh : [TEX]\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \ge \frac{1}{\sqrt{ab}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^4+b^4 \ge \sqrt{ab}(a^3+b^3)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2(a^3+b^3)[/TEX]
Đúng

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của:

[TEX]P=\frac{x^3+2}{3y+4z}+\frac{y^3+2}{3z+4x}+\frac{z^3+2}{3x+4y}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b duong. Chung minh:
[TEX]\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(a+3b)(b+3a)}{16(a+b)^3}[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:

[TEX]P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+ \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+ \frac{c^2+a^2}{b^2+ca}[/TEX].

 

[cobemuadong_710]

China MO 1996 , hông biết có trùng chưa


[TEX]a_1, a_2, ..., a_n[/TEX] dương tổng [TEX]= 1[/TEX]. [TEX]b_1, b_2, ... , b_n[/TEX] là 1 hoán vị bất kì của [TEX]a_1, a_2, ..., a_n[/TEX] CMR:

[TEX]\sum_{i=1}^n{\frac{b_1}{\sqrt{1-a_1}}} \ge \frac{n}{\sqrt{n(n-1)}}[/TEX]

 

[dandoh221]

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:

[TEX]P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+ \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+ \frac{c^2+a^2}{b^2+ca}[/TEX].

Ta có : [TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab} \ge \sum \frac{a^2+b^2}{c^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2)} = \sum \frac{2(a^2+b^2)}{2c^2+a^2+b^2}[/TEX]
đặt[TEX] a^2+b^2 = x,c^2+b^2 = y, a^2+c^2 = z[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \sum \frac{2(a^2+b^2)}{2c^2+a^2+b^2} = 2\sum \frac{x}{y+z} \ge 3 [/TEX]( BDT Nesbit )
[TEX]P_{min} = \frac{9}{2}[/TEX]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX].

Chế lại của Romania TST 2006. Xem tại đây nhé
http://huyentran2008.wordpress.com/2010/01/22/problem-7/

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2[/TEX].

Một kết quả mạnh hơn
[TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2[/TEX]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz\geq xy+yz+zx[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]xyz\geq 3(x+y+z)[/TEX].

[TEX]xyz\ge xy+yz+zx \ge \sqrt{3xyz(x+y+z)}[/TEX]
P/s. Bài viết quá ngắn

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Let a,b,c be positive real number such that
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{a^2+c^2+4} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
Prove that .
[TEX]ab+bc+ac \le \frac{3}{4}[/TEX]

Để này sai rồi thì phải.
P/s. Vì nó là bài do mình sáng tác mà
http://huyentran2008.wordpress.com/2010/02/18/problem-23/

 

[dandoh221]

Một kết quả mạnh hơn
[TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 + 2\sum a^2b^2 + 7 \ge 6(ab+bc+ac)[/TEX]
Theo AM-GM . ta có
[TEX] 2(\sum a^2b^2 + 3) \ge 4(ab+bc+ac)[/TEX]
và bất đẳng thức :
[TEX]a^2+b^2+c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ac) (1)[/TEX]
Ko mất tính tổng quát, giả sử [TEX](1-b)(1-c) \ge 0[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow (a-1)^2 + a(1-b)(1-c) + (b-c)^2 \ge 0[/TEX]. Đúng
cộng 2 bdt trên ta được điều pair chứng minh

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương thoả mãn: [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX] \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\leq \sqrt{3}[/TEX].

$$Cauchy-Schwarz \Rightarrow (a^2+b+c).(b+c+1) \geq (\sum a)^2$$

Do đó ta chỉ cần phải CM:

$$\frac{a\sqrt{b+c+1}+b.\sqrt{a+c+1}+c\sqrt{a+b+1}}{\sum a} \leq \sqrt{3}$$

Lại theo Cauchy-Schwarz, ta có: [tex]\sum a\sqrt{b+c+1} \leq \sqrt{(\sum a).(\sum a+2\sum ab)[/tex]

$$\leq \sqrt{(\sum a).(\sum a^2+2\sum ab)} \leq \sum a.\sqrt{\sum a}$$

Vậy $$\frac{a\sqrt{b+c+1}+b.\sqrt{a+c+1}+c\sqrt{a+b+1}}{\sum a} \leq \sqrt{\sum a}$$

Bây h ta cần cm $$\sqrt{\sum a} \leq \sqrt{3}$$

$$(gt) \Rightarrow 9=(\sum a^2) \leq (\sum a)^2$$

$$\Rightarrow \sum a \leq 3$$

Vậy bài toán đã dc giải quyết.

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{4\sqrt{ab}}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của:

[TEX]P=\frac{x^3+2}{3y+4z}+\frac{y^3+2}{3z+4x}+\frac{z^3+2}{3x+4y}[/TEX].

Chẳng bít có đúng không nữa: sai thì Iam sorry
$$P \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{7(x^2+y^2+z^2)}+\frac{18}{7(x+y+z)} \ge \frac{x^2+y^2+z^2}{7}+\frac{18}{7(x+y+z)} \ge \frac{(x+y+z)^2}{21}+\frac{9}{7(x+y+z)}+\frac{9}{7(x+y+z)} \ge 3.\frac{3}{7}$$
Dấu = xảy ra $$\Leftrightarrow$$
[tex]\left{\begin{x=y=z}\\{(x+y+z)^3=27}} \Leftrightarrow x=y=z=1[/tex]

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{(1+a)^2(b+c)}+\frac{1}{(1+b)^2(c+a)}+ \frac{1}{(1+c)^2(a+b)}\leq \frac{3}{8}[/TEX].

[tex]Dat: \left{\begin{x=\sqrt{a}}\\{y=\sqrt{b}}\\{z=\sqrt{c}}[/tex]

\Rightarrow Bất đẳng thức cần CM tương đương:
$$\frac{1}{(x^2+1)^2(y^2+z^2)} \leq \frac{3}{8}$$

$$Cauchy-Schwarz \rightarrow LHS \leq \sum \frac{xy}{(x^2+1).(y^2+1).(z^2+1)}$$

Do đó, ta chỉ cần phải CM $$(x^2+1).(y^2+1).(z^2+1) \leq \frac{8}{3}\sum xy$$

Lại theo [tex]Cauchy-Schwarz ,AM-GM &(gt)[/tex]

$$\rightarrow (x^2+1).(y^2+1).(z^2+1) \geq (x+y).(y+z).(z+x) \geq \frac{8}{9}.(\sum x).(\sum xy) \geq \frac{8}{3}.(\sum x).(\sum xy)$$

Do đó,

$$\sum \frac{1}{(x^2+1)^2(y^2+z^2)} \leq \frac{8}{3}(dpcm)$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$a=b=c=1$$

 

[namtuocvva18]

Thtt

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c\leq 3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}+27(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq 84[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c không âm và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leq \sqrt{2}[/TEX].