[Toán 10]Bdt

[dung_ns]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}[/TEX].

[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\geq\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}[/TEX]
chung minh tuong roi cong ba ve bdt lai ta duoc dpcm

 

[dung_ns]

bất đẳng thức hay

Bài 1 :Cho a,b,c là ba số thực thoả mãn [TEX](a-b)(b-c)(c-a)\neq 0[/TEX].Chứng minh:
[TEX](a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq\frac{9}{2}[/TEX]
Bài 2:Cho ba số a,b,c dương thoả mãn a+b+c\geq 27.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]\frac{a}{sqrt{b}}+\frac{b}{sqrt{c}}+\frac{c}{sqrt{a}}[/TEX]

 

[vuanoidoi]

Bài 2:Cho ba số a,b,c dương thoả mãn a+b+c= 27.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]\frac{a}{sqrt{b}}+\frac{b}{sqrt{c}}+\frac{c}{sqrt{a}}[/TEX]

ta co: [TEX]\frac{a}{sqrt{b}}+\frac{b}{sqrt{c}}+\frac{c}{sqrt{a}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c}}+ \frac{c^2}{c\sqrt{a}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a}} = \frac{729}{b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a}} [/tex]
ta co : [tex]b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a} \leq \sqrt{(a+b+c)(ab+ac+bc)} =\sqrt{27(ab+ac+bc)}[/tex]
ap dung [tex] (a+b+c)^2 \geq 3 (ab+ac+bc) [/tex] nua la ok

 

[bigbang195]

ta co: [TEX]\frac{a}{sqrt{b}}+\frac{b}{sqrt{c}}+\frac{c}{sqrt{a}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c}}+ \frac{c^2}{c\sqrt{a}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a}} = \frac{729}{b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a}} [/tex]
ta co : [tex]b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a} \leq \sqrt{(a+b+c)(ab+ac+bc)} =\sqrt{27(ab+ac+bc)}[/tex]
ap dung [tex] (a+b+c)^2 \geq 3 (ab+ac+bc) [/tex] nua la ok

vậy cần tìm min của [TEX]\frac{1}{a+b+c}[/TEX]

nhưng [TEX]a+b+c \ge 27 [/TEX]cơ mà

 

[quyenuy0241]

với a,b,c không âm t /m : [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]

CMR:

[tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b+c} \ge 2[/tex]

 

[dung_ns]

ta co: [TEX]\frac{a}{sqrt{b}}+\frac{b}{sqrt{c}}+\frac{c}{sqrt{a}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c}}+ \frac{c^2}{c\sqrt{a}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a}} = \frac{729}{b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a}} [/TEX]
ta co : [tex]b\sqrt{c}+a\sqrt{b}+c\sqrt{a} \leq \sqrt{(a+b+c)(ab+ac+bc)} =\sqrt{27(ab+ac+bc)}[/tex]
ap dung [tex] (a+b+c)^2 \geq 3 (ab+ac+bc) [/tex] nua la ok

bạn làm sai rùi a+b+c\geq27 cơ mà bạn làm kiểu đó là cho a+b+c=27 rồi

 

[letrang3003]

với a,b,c không âm t /m : [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]

CMR:

[tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b+c} \ge 2[/tex]

Từ giả thiết ta có

do vậy

tương tự

Bây giờ ta sẽ chứng minh

Giả sử

thì

do vậy

Đặt

suy ra

Nên ta cần chứng minh được

nếu

thì BDT trên đúng

xét trường hợp ngược lại

thì

Phép chứng minh hoàn tất , dấu bằng xảy ra khi

 

[tk12_lf]

Bài 1 :Cho a,b,c là ba số thực thoả mãn [TEX](a-b)(b-c)(c-a)\neq 0[/TEX].Chứng minh:
[TEX](a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq\frac{9}{2}[/TEX]

[TEX](a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq\frac{9}{2}=\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{a^2}{(b-c)^2}(1)[/TEX]
Đặt:
[TEX]\frac{a+b}{a-b}=m;\frac{b+c}{b-c}=n;\frac{c+a}{c-a}=p;\frac{c}{a-b}=x;\frac{b}{c-a}=y;\frac{a}{b-c}=z[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX](m+1)(n+1)(p+1)=(m-1)(n-1)(p-1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow mn+np+pm=-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow m^2+n^2+p^2 \geq -(2mn+np+pm)=2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2+(b-c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2+(c-a)^2}{(c-a)^2} \geq 5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c-a)^2} \geq \frac{5}{2} (2)[/TEX]
Tương tự ta cũng có:
[TEX](x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy+yz+zx=-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{c^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{a^2}{(b-c)^2} \geq2(3)[/TEX]
[TEX](1);(2);(3)\Rightarrow DPCM[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực dương [tex]x,\;y,\;z[/tex] thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=7xyz.[/tex] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[tex]P=\frac{8x^4+1}{x^2}+\frac{108y^5+1}{y^2}+\frac{16z^6+1}{z^2}.[/tex]

Đẳng thứ xảy ra khi [TEX]x=\frac{1}{2} ; y=\frac{1}{3} : z= \frac{1}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho các số thực dương [tex]x,\;y,\;z[/tex] thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=7xyz.[/tex] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[tex]P=\frac{8x^4+1}{x^2}+\frac{108y^5+1}{y^2}+\frac{16z^6+1}{z^2}.[/tex]

CSS MU bảo hàm nghịch biến theo r thì có 2 biến bằng nhau, nhưng em ko biết cm anh cm luôn đi

 

[vodichhocmai]

CSS MU bảo hàm nghịch biến theo r thì có 2 biến bằng nhau, nhưng em ko biết cm anh cm luôn đi

Đây là 1 bổ đề chứng minh vài trang mới ra , khi nó là đối xứng mà em , trong khi bài này có đâu ??

 

[tell_me_goobye]

giải hộ với

CHO X,Y,Z >0

CM
[TEX] \frac{x^4+y^4+z^4}{xy+yz+xz} +\frac{3xyz}{x+y+z} \geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3}[/TEX]

bài này SOS thế nào ?

 

[vuanoidoi]

CHO X,Y,Z >0

CM
[TEX] \frac{x^4+y^4+z^4}{xy+yz+xz} +\frac{3xyz}{x+y+z} \geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3}[/TEX]

bài này SOS thế nào ?

chịu khó quy đồng thôi cậu a` hoặc có thể đặt ẩn phụ cho nhàn hơn 1 tí ) )

 

[dung_ns]

CHO X,Y,Z >0

CM
[TEX] \frac{x^4+y^4+z^4}{xy+yz+xz} +\frac{3abc}{a+b+c} \geq \frac{2(x^2+y^2+z^2}{3}[/TEX]

bài này SOS thế nào ?

ặc sao có cả x,y,z a,b,c vậy bạn post nhầm đề hả......................................

 

[bigbang195]

bài này SOS thế nào ?

Gợi ý :

SOS xuất phát từ BDT CO SI đơn giản:
[TEX]a+b \ge 2\sqrt{ab} \Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2[/TEX]

Do vậy chúng ta xây dưng được:
[TEX]3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2=2\sum (x-y)^2[/TEX]

[TEX](a+b+c)^3-27abc=\sum a^3-3abc+3(\sum ab(a+b)-6abc )=1/2(a+b+c)\sum (a-b)^2+3\sum c(a-b)^2[/TEX]

[TEX]9\sum a^4-(\sum a)^2\sum ab[/TEX]

Cái này bạn tự tìm hiểu nhá

như vậy ta đã có:

[TEX]\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ac}-\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{3abc}{a+b+c}-\frac{(a+b+c)^2}{9} \ge \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}-\frac{2(a+b+c)^2}{9}[/TEX]

Chú ý mội cặp đều được Phân tích ra SOS

 

[lamtrang0708]

bất đẳng thức mới đây

1)cho a,b,c là các số thực dương.cm:
[TEX]\frac{4c}{2a+b} + \frac{4a}{b+2c } + \frac{b}{c+a} \geq3[/TEX]

2)cho a,b,c dương vs [TEX]a^2+b^2+c^2 = 1[/TEX] .cm
[TEX]\sum \frac{a}{a2+b2 } \geq \frac{3 \sqrt{ 3}}{2}[/TEX]

3)cho các số thực a,b,c tm[TEX] 0<a,b,c<1[/TEX].cm

[TEX](1+\frac{1}{abc})(a+b+c) \geq 3+ 1/a + 1/b +1/c[/TEX]

4)cm [TEX]\forall x,y,z[/TEX] có [TEX]19x^2+54y^2+16z^2 + 36xy- 16yz-24xz \geq 0[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

bài tiếp

cho x,y,z >0
CM [TEX] \sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leq 1[/TEX]

 

[bigbang195]

bài tiếp

cho x,y,z >0
CM [TEX] \sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leq 1[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

BIGBANG giỏi ghê
tiếp
cho số thực bất kì a,b,c sao cho a+b+c =-abc
tìm min và max của

[TEX]\sum \frac{a}{a^2+1}[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

1)cho a,b,c là các số thực dương.cm:
[TEX]\frac{4c}{2a+b} + \frac{4a}{b+2c } + \frac{b}{c+a} \geq3[/TEX]

2)cho a,b,c dương vs [TEX]a^2+b^2+c^2 = 1[/TEX] .cm
[TEX]\sum \frac{a}{a2+b2 } \geq \frac{3 \sqrt{ 3}}{2}[/TEX]

3)cho các số thực a,b,c tm[TEX] 0<a,b,c<1[/TEX].cm

[TEX](1+\frac{1}{abc})(a+b+c) \geq 3+ 1/a + 1/b +1/c[/TEX]

4)cm [TEX]\forall x,y,z[/TEX] có [TEX]19x^2+54y^2+16z^2 + 36xy- 16yz-24yz \geq 0[/TEX]

bài 2 trước

bdt
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2) [/TEX]

đến đây mình làm đại diện
ta CM [TEX] \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow a(1-a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} [/TEX]
cái này CÔSI chĩnh cống
xong