[Toán 10]Bdt

[vodichhocmai]

a,b,c >0.Chứng minh
[tex]\frac{1}{a}+\frac}{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c} \geq 4(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})[/tex]

Chọn [TEX]a+b+c=9[/TEX] là bài toán đưa về dễ dàng

[TEX]f(a)+f(b)+f(c)\ge 0[/TEX]

Tời đây là lấy chuyên đề của anh ra mà sài

 

[quyenuy0241]

a,b,c >0.Chứng minh
[tex]\frac{1}{a}+\frac}{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c} \geq 4(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})[/tex]

Quy đồng(nhân a+b+c cả 2 vế thu gọn ) được
[tex]BDT \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+ \frac{c}{b}+ \frac{c}{a} \ge \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{b+a} [/tex]luôn đúng!!!



Do : [tex]\frac{4}{b+c} \le \frac{1}{b}+\frac{1}{a} [/tex]

 

[quyenuy0241]

a,b,c> 0,,,CMR:

[tex]\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(a+c)}{b^2+2ac}+ \frac{c(a+b)}{c^2+2ab} \ge 1+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} [/tex]

 

[quyenuy0241]

a,b,c,d >0

CMr:[tex] \frac{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)(1+d^3)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+d^2)(1+c^2)} \ge \frac{1+abcd}{2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

a,b,c >0

[tex]CMr:-->: \frac{\sqrt{(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)}}{a^2b^2c^2+abc+1} \ge \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

 

[ivory]

Quy đồng(nhân a+b+c cả 2 vế thu gọn ) được
[tex]BDT \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+ \frac{c}{b}+ \frac{c}{a} \ge \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{b+a} [/tex]luôn đúng!!!



Do : [tex]\frac{4}{b+c} \ge \frac{1}{b}+\frac{1}{a} [/tex]

ngược chiều mà bạn
bài này có thể phát biểu ở dạng khác .
với [TEX]x,y,z\ge 0[/TEX] và [TEX]2xyz+xy+xz+zy=1[/TEX] ta có
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 4(x+y+z)[/TEX]

 

[rua_it]

Cho a,b,c là các số thức dương tùy ý sao cho tổng ba biến bằng 1.

Chứng minh rằng:

[tex]\frac{a}{a^3+a^2+1}+\frac{b}{b^3+b^2+1}+\frac{c}{c^3+c^2+1} \leq \frac{27}{31}[/tex]

 

[rua_it]

[tex]\sum_{cyclic}^{ab+bc+ca=1} \frac{a^2b^2+1}{(a+b)^2} \geq \frac{5}{2}[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

 

[ivory]

Cho a,b,c là các số thức dương tùy ý sao cho tổng ba biến bằng 1.

Chứng minh rằng:

[tex]\frac{a}{a^3+a^2+1}+\frac{b}{b^3+b^2+1}+\frac{c}{c^3+c^2+1} \leq \frac{27}{31}[/tex]

ta có [TEX]\frac{a}{a^3+a^2+1}\le \frac{594}{961}(a-\frac{1}{3})+\frac{9}{31}\Leftrightarrow (3a-1)^2(594a^2+1071a+729)\ge 0[/TEX].
làm thêm 2 bdt , suy ra dpcm
đẳng thức [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và thoả mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{a^3+b^2+c}\le 1[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và thoả mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{a^3+b^2+c}\le 1[/TEX]

[TEX]LHS\le \frac{a+b+c+a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2}[/TEX]

[TEX](a^2+b^2+c^2)=9-2x[/TEX]

[TEX]a^3+b^3+c^3=27-9x+3abc\le 30-9x[/TEX]

Do đó bất đẳng thức đúng khi ta cần chứng minh

[TEX]4x^2-25x+39\ge 0[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow (2x-6)^2+3-x\ge 0[/TEX]

Nó là đúng vì [TEX]x=ab+bc+ca \le 3[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài mới!!

a,b,c,d>0.CM:

[TEX]\sum \frac{b.a}{c.(a+b)} \geq \sum \frac{a}{a+b}[/TEX]

 

[bigbang195]

[tex]\frac{ab}{c(c+a)}=\frac{b}{c}- \frac{b}{c+a} [/tex]

[tex]\righ \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\ge \sum_{cyclic}\frac{a+b}{a+c}[/tex]

bài này của em mà bigbang_19a

. .

 

[jet_nguyen]

cho a,b,c là số dương sao cho [tex]{a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}=3[/tex]
CMR: [tex]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-cb}+\frac{1}{4-cb} \leq 1[/tex]

 

[petrix]

cho a,b,c là số dương sao cho [tex]{a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}=3[/tex]
CMR: [tex]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-cb}+\frac{1}{4-ca} \leq 1[/tex]

[tex]{a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}=3[/tex] [TEX]\to a,b,c \in (0;1,5)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{4-ab}=\frac{2}{8-2ab}\le \frac{1}{2}(\frac{4}{8-a^2-b^2})\le \frac{1}{2}(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2})[/TEX]
[TEX]\to \sum \frac{1}{4-ab}\le \sum \frac{1}{4-a^2}[/TEX]
ta [TEX]cm \frac{1}{4-a^2}\le \frac{a^4+5}{18} \Leftrightarrow (2-x)(x-1)^2\ge 0[/TEX] đúng
[TEX]\to \sum \frac{1}{4-a^2}\le \sum \frac{a^4+5}{18}=1[/TEX]

 

[duynhan1]

. .

Khác mà em..
cái mẫu số khác nhau
............................................

 

[bigbang195]

a,b,c,d>0.CM:

[TEX]\sum \frac{b.a}{c.(a+b)} \geq \sum \frac{a}{a+b}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{ab-ac}{bc+ac} \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{ab+bc}{bc+ac} \ge 3[/TEX]

đúng theo AM-GM

BanKal MO 2010.@@"

Hơn 5 cách nữa ở đây http://ddbdt.tk/forum/ba-t-ae-ng-tha-c-chae-ca-la-oei-gia-i-thpt/365-bmo-2010-new.html

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh

 

[quyenuy0241]

[tex]\sum_{cyclic}^{ab+bc+ca=1} \frac{a^2b^2+1}{(a+b)^2} \geq \frac{5}{2}[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

Bài này có thể làm = SOS !!



Bài toán gốc nhưng để CM ngược lại là điều không thể!!!

[tex]\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \ge \frac{9}{4(ab+bc+ac)}(1)[/tex]

Với việc chuẩn hoá:[tex]ab+bc+ac=1[/tex]

BDt chỉ cần CM [tex]\sum{\frac{1}{(a+b)^2} \ge \frac{9}{4}+\sum \frac{1}{4}\frac{bc(b-c)^2}{(b+c)^2}(2)[/tex]

[tex]\sum \frac{1}{4}\frac{bc(b-c)^2}{(b+c)^2}=\frac{1}{4}.\sum\frac{bc(b+c)^2-4b^2c^2}{(b+c)^2}=\sum{\frac{1}{4}.bc-\sum{\frac{b^2c^2}{(b+c)^2}=\frac{1}{4}-\sum \frac{b^2c^2}{(b+c)^2}[/tex]


Vậy BDT [tex](2) \Leftrightarrow \frac{1+b^2c^2}{(b+c)^2}+\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}+\frac{1+a^2c^2}{(a+c)^2} \ge \frac{5}{2}[/tex]

 

[vodichhocmai]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2[/TEX]

[TEX]LHS\ge \sum_{cyclic}\sqrt{\frac{a^2-4a+9}{2}}=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{(a-2)^2+5}{2}}\ge \sqrt{\frac{(a+b+c-6)^2+45}{2}}=3\sqrt{3} [/TEX]