Toán 10 [Toán 10]-BĐT

B

bosjeunhan

helpme_97 said:
1 Cho x,y,z thỏa mãn
x^2+xy+y^2=3
và y^2+yz+z^2=16
Chứng minh rằng xy+yz+xz<=8

Bài 2 Cho x,y thỏa mãn x^2-xy+y^2=2
Tìm Max min của M=x^2+2xy-3y^2

Bài 3 Cho 3 số thực không âm x,y,z thỏa mãn x^2+y^2+z^2=3
Tìm Mã A =xy+yz+xz +5/(x+y+z)

Bài 4 Cho a,b>0 thỏa mãn ab+a+b=3
Chứng minh rằng 3a/(b+1)+3b/(a+1)+ab/(a+b) <= a^2+b^2+3/2

Các bạn ơi mình cần gấp gấp gấp lắm bạn nào có thể làm được mình cảm ơn nhiều lắm =((=((=((=((=((=((=((=((=((=((
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Câu 2:

Ta có: $\dfrac{M}{2} = \dfrac{x^2+2xy-3y^2}{x^2-xy+y^2}$
Dùng miền giá trị để tiếp tục tìm cực trị

Câu 3:

$A=\dfrac{(x+y+z)^2-3 }{2} + \dfrac{5}{x+y+z}$
Dùng điểm rơi AM_GM


noinhobinhyen : bos nói nghiệm cho help nhẩm đi.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

Bài 1:

[TEX]\huge \blue 16\(x^2+xy+y^2\)+3\(y^2+yz+z^2\) [/TEX]

[TEX]\huge \blue =16\( y+\frac{x}{2}\)^2+\frac{9z^2}{4}+3\(y+\frac{z}{2}\)^2+12x^2[/TEX]

[TEX]\huge \blue = \(4y+2x-\frac{3z}{2}\)^2+3\(y+\frac{z}{2}-2x\)^2+12\(xy+yz+zx\)[/TEX]

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \huge \blue DONE!![/TEX]
 
Last edited by a moderator:
5

5hienbede

[Toán 10] Tập hợp vài bài về BĐT

Một số bài BĐT cần mọi người xem ^^
1) CMR: \foralla,b,c>0 ta luôn có: [TEX]\frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}+\frac{b^{n}c^{m}}{a^{n+m}}+\frac{c^{n}a^{m}}{b^{n+m}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}[/TEX]

2) CMR: \foralla,b,c ta luôn có: [TEX](a+b)^{3}(b-c)^{3}+(b+c)^{3}(c-a)^{3}+(c+a)^{3}(a-b)^{3}\geq 3(a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})[/TEX]

3) Cho a,b,c>=0. Chứng minh rằng: [TEX]a^{2}b^{2}(a-b)^{2}+b^{2}c^{2}(b-c)^{2}+c^{2}a^{2}(c-a)^{2}\geq (a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}[/TEX]

4) CMR \foralla,b,c>0 ta có: [TEX]\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/TEX]

5) Cho các số a,b,c>0 thỏa: [TEX]a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
CMR: [TEX](ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27[/TEX]

6) Cho các số a,b,c>0 và a+b+c=3. CMR: [TEX]\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}[/TEX]

7) Cho a,b,c sao cho: [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=10[/TEX]
CMR: [TEX](a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq \frac{27}{2}[/TEX]

8) Cho các số [TEX]a,b,c\geq0[/TEX] thỏa a+b+c=3. CMR: [TEX]2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc \geq19[/TEX]

9) CMR với các số a,b,c>0 và a+b+c=3 thì [TEX]\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geq 0[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

biqv

Bài 5 dễ nhất. :)
Vì a,b,c>0 và a+b+c=[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX] nên dễ thấy [TEX]a+b+c\geq3[/TEX] (*)
Chia 2 vế cho abc dc:
[TEX](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\sqrt[2]{ab}+\sqrt[2]{bc}+\sqrt[2]{ca})\geq\frac{27}{abc}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a+b+c)^3 \geq \frac{27}{abc}[/TEX] (cosi)
\Leftrightarrow [TEX](a+b+c)^3 \geq \frac{3^6}{(a+b+c)^3}[/TEX] (cosi)
\Leftrightarrow (*)
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

Bạn muốn hỏi bài nào tôi giải cũng được chứ bạn cầm 1 nùi lên đây thì không đúng nội qui diễn đàn bạn nhé :
7) Cho a,b,c sao cho: [TEX]\(a+b+c\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)=10[/TEX]
CMR: [TEX](a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq \frac{27}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX] \huge \blue\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\)\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\)=\[\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)^2-2\(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)\]+\[\(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)^2-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)\]+ 3[/TEX]

[TEX]\huge \blue= \frac{\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}-2\)^2+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\)^2 +2}{2}[/TEX]

[TEX]\huge \blue= \frac{\[\(a+b+c\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)-5\]^2+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\)^2 +2}{2}[/TEX]

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \huge DONE!![/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bosjeunhan

Câu 8 bạn nhé ^^

$2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\ge 19$
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(54a^2b+81a^2+36abc)\geq19(a+b+c)^3 $
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(54a^2b+27a^3+27a^2b+27a^2c+36abc)\geq19\sum_{cyc}(a^3+3a^2b+3a^2c+2abc)$
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(8a^3+24a^2b-30a^2c-2abc)\geq0$
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(4a^3+12a^2b-15a^2c-abc)\geq0$
$\Leftrightarrow\sum_{cyc}(4a^3+12a^2b+12a^2c+8abc-27a^2c-9abc)\geq0$
$\Leftrightarrow4(a+b+c)^3 \geq 27(a^2c+b^2a+c^2b+abc)$
$\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+abc \le 4$

Vậy, ta chỉ cần chứng minh $a^2c+b^2a+c^2b+abc \le 4$

Mà $a^2c+b^2a+c^2b+abc \le b.(a+c)^2 \le 4$
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

3) Cho a,b,c>=0. Chứng minh rằng: [TEX]a^{2}b^{2}(a-b)^{2}+b^{2}c^{2}(b-c)^{2}+c^{2}a^{2}(c-a)^{2}\geq (a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\huge \blue VT=\[ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\]^2-2abc[b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)+a(c-a)(a-b)][/TEX]

[TEX]\huge \blue =\[(a-b)(b-c)(c-a)\]^2+2abc[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)][/TEX]

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \huge DONE (by\ \ Schur 1)[/TEX]
 
V

vodichhocmai

6) Cho các số [TEX]a,b,c \ge 0 [/TEX]và a+b+c=3. CMR: [TEX]\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hướng Dẫn :

Dùng kĩ thuật CôSi ngược dấu ra một biến đặt .

[TEX]\frac{1}{1+ab}-1=-\frac{ab}{1+ab} \ge -\frac{\sqrt{ab}}{2}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq 3 -\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}[/TEX]

Tới đây chỉ cần đặt [TEX] \sqrt{3} \le x=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \le 3[/TEX] là thành công rồi !
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

4) CMR \foralla,b,c>0 ta có: [TEX]\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hướng dẫn :

Chọn [TEX]abc=1[/TEX]

[TEX]\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 1+\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)-1}{2}}[/TEX]

[TEX]x=\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)} \ge 3[/TEX]

Đưa về một biến bạn nhỉ bình phương hai vế là thành công dễ dàng
 
H

huytrandinh

[TEX]txd :x\geq 1,[/TEX]
[TEX]a=\sqrt{2x-1},b\sqrt{x-1}[/TEX]
[TEX]bpt<=>a^{2}b+ab\geq (a+1)(a^{2}-a+1)[/TEX]
[TEX]<=>ab\geq a^{2}-a+1[/TEX]
[TEX]<=>\sqrt{2x^{2}-3x+1}\geq 2x-\sqrt{2x-1}[/TEX]
[TEX]<=>\sqrt{2x^{2}-3x+1}+\sqrt{2x-1}\geq 2x[/TEX]
[TEX]<=>2x^{2}-x+2(2x-1)\sqrt{x-1}\geq 4x^{2}[/TEX]
[TEX]<=>2(2x-1)\sqrt{x-1}\geq 2x^{2}+x[/TEX]
[TEX]<=>4(2x-1)^{2}(x-1)\geq 4x^{4}+4x^{3}+x^{2}[/TEX]
[TEX]<=>4x^{4}-12x^{3}+33x^{2}-20x+4\leq 0[/TEX]
[TEX]<=>4(x^{2}-\frac{3}{2}x)^{2}+4(3x-1)(2x-1)\leq 0[/TEX]
[TEX]VT> 0\forall x\geq 1=>VN[/TEX]
 
V

vodichhocmai

Hiển nhiên là ra chứ em . Nhưng dùng kĩ thuật chẩn hoá thì anh thấy nó dễ hơn khi dùng tương đương thôi ! Có lẽ không mang tính siêu việt thôi :)
 
H

huytrandinh

ta có
[TEX]qr=r(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc.abc=9r^{2}[/TEX]
vậy ta sẽ có đpcm nếu chỉ ra được rằng
[TEX]q^{2}+3qr\geq 4r[/TEX]
[TEX]<=>(a+b+c)(ab+bc+ac)^{2}+3abc(ab+bc+ac\geq )4(a+b+c)^{2}abc[/TEX]
[TEX]<=>a^{3}(b-c)^{2}+b^{3}(a-c)^{2}+c^{3}(a-b)^{2}\geq 0[/TEX]
bđt cuối đúng vậy ta có đpcm
bổ đề thứ hai các bạn có thể tham khảo trong cuốn những viên kim cương trong bất đẳng thức của thầy trần phương
 
S

scorpio93

[Toán]Bài tập về bất đẳng thức nâng cao?

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2+\sqrt[2]{2}abc \geq 10[/TEX]. Chứng minh rằng"
[TEX]a^3+b^3+c^3 \geq 6\sqrt[2]{2}[/TEX]

Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c = 0 .Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Cảm ơn mọi người !
:D:D:D:D;);););););):p:p:p:p:p:p:p:p
 
Last edited by a moderator:
H

hn3

Đọc phát được Bài 2 sai đề bài :p Làm gì mà "Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c = 0"

Vô lí :-<
 
T

truongduong9083

Câu 2. Sai đề rồi nhé, cho các số thực dương mà $a + b + c = 0$ à bạn. Bạn sửa lại đi nhé
 
A

an123456789tt

ĐKXĐ: X\geq0 và X\leq-1
Nhận thấy vế trái luôn dương nên ta bình phương hai vế
Áp dụng công thức nhị thức NEWTON cho vế trái
Rồi đặt ẩn phụ cho x^(4) sau đó giải như bình thường
 
S

son9701

Áp dụng đánh giá làm trội sau :

[TEX]\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k^2-k}= \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} [/TEX]

Lần lượt cho k=2;3;4;...;n rồi cộng theo vế ta có ngay đpcm :D
 
T

thien0526

Ta có:
[tex]\frac{1}{1^2}=1[/tex]
[TEX]\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/TEX]
...
[TEX]\frac{1}{(n-1)^2}<\frac{1}{(n-2).(n-1)}=\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1).n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}[/TEX]
Cộng vế theo vế, ta được:
[TEX]1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}<1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2[/TEX](vì n là số tự nhiên)(đpcm)
 
N

ngoc1thu2

BĐT trong đề thi thử nè

Câu V (1 điểm). Cho x,y,z là các số thực dương. CM Bđt sau:

$\dfrac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}$+ $\dfrac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}$ + $\dfrac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2} \ge 1$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom