Toán 10 [Toán 10]-BĐT

[hthtb22]

Chuẩn hóa $x + y + z = 1$
Ta có $$\left (y + \sqrt{xz} + z\right )^2 \le \left (y + x + z\right )\left (y + z + z\right ) = (x + y + z)(y + 2z) = y + 2z$$
Nên $$VT \ge \dfrac{2x^2 + xy}{y + 2z} + \dfrac{2y^2 + yz}{z + 2x} + \dfrac{2z^2 + zx}{x + 2y} $$
Lại có $$\dfrac{2x^2 + xy}{y + 2z} + x(2x + y).(y + 2z) \ge 2\left (2x^2 + xy\right )$$ \Leftrightarrow $$\dfrac{2x^2 + xy}{y + 2z} \ge 2\left (2x^2 + xy\right ) - x(2x + y)(y + 2z) \ge 2\left (2x^2 + xy\right )$$ $$ - \dfrac{x(2x + 2y + 2z)^2}{4} = 2\left (2x^2 + xy\right ) - x$$
Từ đó, ta có :
$$VT \ge 2\left (\left (2x^2 + xy\right ) + \left (2y^2 + yz\right ) + \left (2z^2 + zx\right )\right ) - \left (x + y + z\right ) = 3\left (x^2 + y^2 + z^2\right )$$ $$ + \left (x + y + z\right )^2 - 1 \ge (x + y + z)^2 + 1 - 1 = 1$$
Suy ra ĐPCM.
Nguồn: diendantoanhoc.net

 

[tmddktb96]

[Toán 10] Bất đẳng thức tam giác

a b c la cạnh tam giác chu vi=2 chứng minh
$$52/27 \le a^2+b^2+c^2+2abc <2$$
Chú ý tiêu đề+Latex+Gõ có dấu

 

[ngoc1thu2]

[toán] tìm P max

cho x,y là các số thực thoả mãn: $ x^2+y^2=4$. tìm P max
$P= 3x^2-y^2+4xy-4$
:-SS

 

[dtl_buffalo]

[Toán 10]

làm hộ mình vs
CM:
[TEX]\sqrt[2]{1-t^2}\geq 1-t^2[/TEX]

t trong khoảng [-1,1]

 

[linhhuyenvuong]

2 vế k âm.
Bình phương 2 vế đc:
$ 1-t^2$ \geq $(1-t^2)^2$

\Leftrightarrow $t^4-t^2$ \leq0

\Leftrightarrow$t^2(t^2-1)^2 $\leq0

\Rightarrow-1 \leq t \leq1
Đúng do [-1;1]

 

[dtl_buffalo]

[Toán 10]

làm hộ mình nữa


CM:
[TEX]2-2t^2 \geq 2(1-t^2)^2(1-2t^2) [/TEX]

( ở giải có phần trên mà mình k hiểu)

tks nhiều

 

[dtl_buffalo]

cho cái đk của t đi em.........................................................................

đây là toàn bộ đầu bài
1) chứng minh rằng với mọi t thuộc [-1;1] ta có

[TEX] \sqrt[2]{1+t}+\sqrt[2]{1-t} \geq 1+\sqrt[2]{1-t^2} \geq 2-t^2 [/TEX]

2) giải phương trình
[TEX] \sqrt[2]{1+\sqrt[2]{2x-x^2}} + \sqrt[2]{1-\sqrt[2]{2x-x^2}} = 2(x-1)^4(2x^2 - 4x +1) [/TEX]

 

[noinhobinhyen]

có lẽ đề thiếu sót , mình giúp bạn đưa về đơn giản hơn nhé.

Chia 2 vế cho 2 ta có :

$1-t^2 \geq (1-t^2)^2(1-2t^2)$

Đặt $1-t^2 = a \Rightarrow 1-2t^2=2a-1$

$\Leftrightarrow a \geq a^2(2a-1)$

lúc này đơn giản chút rồi đó .

đề sai hay thiếu đó

 

[huytrandinh]

[TEX]1/t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}[/TEX]

[TEX].t\leq \sqrt{(1+1)(1-x+1+x)}=2[/TEX]

[TEX].t^{2}=2+2\sqrt{1-x^{2}}\geq 2<=>t\geq \sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\geq 1+\sqrt{1-x^{2}}[/TEX]

[TEX]<=>t\geq 1+\frac{t^{2}-2}{2}<=>t^{2}-2t\leq 0 (true t\leq 2)[/TEX]

[TEX].1+\sqrt{1-x^{2}}\geq 2-x^{2}[/TEX]

[TEX]<=>1-x^{2}\leq \sqrt{1-x^{2}}<=>\sqrt{1-x^{2}}\leq 1[/TEX]

[TEX]\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{(1-x)(1+x)}\leq \frac{1-x+1+x}{2}=1[/TEX]

 

[dtl_buffalo]

có lẽ đề thiếu sót , mình giúp bạn đưa về đơn giản hơn nhé.

Chia 2 vế cho 2 ta có :

$1-t^2 \geq (1-t^2)^2(1-2t^2)$

Đặt $1-t^2 = a \Rightarrow 1-2t^2=2a-1$

$\Leftrightarrow a \geq a^2(2a-1)$

lúc này đơn giản chút rồi đó .

đề mình chép đúng mà không sai đâu. mà đề ở tập đề đại học đó

 

[huytrandinh]

đặt
[TEX]x=2cost,y=2sint(0\leq t\leq 2\pi )[/TEX]
[TEX]=>P=3x^{2}+4xy-y^{2}-4=2(x^{2}-y^{2})+4xy[/TEX]
[TEX]=8(cos^{2}t-sin^{2}t)+16sint.cost=8cos2t+8sin2t[/TEX]
[TEX]=8\sqrt{2}sin(t+\frac{\pi }{4})[/TEX]
[TEX]-1\leq sin(t+\frac{\pi }{4})\leq 1[/TEX]
[TEX]=>P\leq 8\sqrt{2}<=>MaxP=8\sqrt{2}<=>sin(t+\frac{\pi }{4})=1[/TEX]
[TEX]<=>t=\frac{\pi }{4}=>x=2cos\frac{\pi }{4}=\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]y=2sint=\sqrt{2}[/TEX]

à , nhầm tí
Pmax thì không có vấn đề nhưng x,y sai
ta có
[TEX]sin(2t+\frac{\pi }{4})=1[/TEX]
[TEX]<=>t= \frac{\pi }{8}[/TEX]
[TEX]=>x=2cost=2cos(\frac{\pi }{8})[/TEX]
[TEX]y=2sin(\frac{\pi }{8})[/TEX]

 

[dtl_buffalo]

[TEX]1/t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}[/TEX]

[TEX].t\leq \sqrt{(1+1)(1-x+1+x)}=2[/TEX]

[TEX].t^{2}=2+2\sqrt{1-x^{2}}\geq 2<=>t\geq \sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\geq 1+\sqrt{1-x^{2}}[/TEX]

[TEX]<=>t\geq 1+\frac{t^{2}-2}{2}<=>t^{2}-2t\leq 0 (true t\leq 2)[/TEX]

[TEX].1+\sqrt{1-x^{2}}\geq 2-x^{2}[/TEX]

[TEX]<=>1-x^{2}\leq \sqrt{1-x^{2}}<=>\sqrt{1-x^{2}}\leq 1[/TEX]

[TEX]\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{(1-x)(1+x)}\leq \frac{1-x+1+x}{2}=1[/TEX]

?? mình nhìn chẳng hiểu j cả, mong bạn viết chi tiết hơn đc không. bạn tl câu mấy vậy ?

 

[huytrandinh]

chứng minh hai thèn đầu trước
ta có bất đẳng thức quen thuộc
[TEX](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc[/TEX]
[TEX]<=>(2-2a)(2-2b)(2-2c)\leq abc (a+b+c=2)[/TEX]
[TEX]<=>1-a-b-c+ab+bc+ac-abc\leq \frac{1}{8}abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{8.27}[/TEX]
[TEX]<=>-1+ab+bc+ac\leq abc+\frac{1}{27}[/TEX]
[TEX]<=>-\frac{56}{27}+2(ab+bc+ac)\leq 2abc[/TEX]
[TEX]<=>-\frac{56}{27}+(a+b+c)^{2}+2(ab+bc+ac)\leq 2abc+(a+b+c)^{2}[/TEX]
[TEX]<=>4-\frac{56}{27}=\frac{52}{27}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc[/TEX]
hai thèn sau ta có bất đẳng thức quen thuộc
[TEX](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)> 0[/TEX]
[TEX]<=>(2-2a)(2-2b)(2-2c)> 0[/TEX]
[TEX]<=>1-a-b-c+ab+bc+ac-abc> 0[/TEX]
[TEX]<=>-1+ab+bc+ac> abc[/TEX]
[TEX]<=>-2+2(ab+bc+ac)> 2abc[/TEX]
[TEX]<=>-2+(a+b+c)^{2}+2(ab+bc+ac)> 2abc+(a+b+c)^{2}[/TEX]
[TEX]<=>a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2[/TEX]

 

[yellow05010501]

$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+ \frac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq9$

Xét các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+ \frac{c^3+5}{c^3(a+b)}$ \geq9
-----------------------------
p/s: mọi người giải chi tiết dùm mình tí nha!

 

[meocon_113]

bất đẳng thức

cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=3.
chứng minh rằng
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc[/TEX]\geq4

 

[h0cmai.vn...tru0ng]

Giải .

Xét các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+ \frac{c^3+5}{c^3(a+b)}$ \geq9
-----------------------------
p/s: mọi người giải chi tiết dùm mình tí nha!

Đặt x=1/a , y=1/b , z=1/c suy ra xyz = 1 .
$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+ \frac{c^3+5}{c^3(a+b)}$
= $\frac{x+5x^{2}}{y+z}+\frac{y+5y^{2}}{x+z}+\frac{z+5z^{2}}{x+y}$ (1)
Theo bất đẳng thức nesbit quen thuộc thì : $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$ \geq 3/2 .
\Rightarrow $(1)$ \geq $ 3/2 + \frac{5x^{2}}{y+z}+\frac{5y^{2}}{x+z}+\frac{5z^{2}}{x+y}$ \geq $3/2 + \frac{5(x+y+z)}{2}$ (swchart) \geq $ 3/2 + 15/2 = 9$ (Cauchy) .
Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z hay a=b=c=1 .

 

[vodichhocmai]

cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=3.
chứng minh rằng
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc[/TEX]\geq4

Không mất tính tổng quát , giả sử rằng

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \huge \blue (a-1)(b-1) \ge 0 \righ abc\ge c(a+b-1)[/TEX]

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \huge \blue a^2+b^2+c^2+abc \ge c^2+ \frac{(3-c)^2}{2}+c(2-c) [/TEX]

Đơn giản và rút gọn ta được

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \huge \blue \righ a^2+b^2+c^2+abc \ge \frac{(c-1)^2}{2}+4[/TEX]

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \huge \blue DONE!![/TEX]

 

[huytrandinh]

[TEX]a^{3}+1+1\geq 3a[/TEX]
[TEX]=>VT\geq \sum \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}[/TEX]
[TEX]=\sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}[/TEX]
[TEX]=\sum \frac{3bc}{ab+ac}+\sum \frac{3(bc)^{2}}{ab+ac}[/TEX]
[TEX].\sum \frac{3bc}{ab+ac}\geq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}[/TEX]
[TEX].\sum \frac{3(bc)^{2}}{ab+ac}\geq 3.\frac{ab+bc+ac}{2}[/TEX]
[TEX]\geq 3.\frac{3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}}{2}=\frac{9}{2}[/TEX]
[TEX]=>\sum \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9[/TEX]

 

[dtl_buffalo]

[Toán 10]

cho a+b+c = [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
tìm Min :
[TEX]\sqrt[2]{a^2 + \frac{1}{a^2}} + \sqrt[2]{b^2 + \frac{1}{b^2}} + \sqrt[2]{c^2+\frac{1}{c^2}}[/TEX]

giúp mình vs

 

[huytrandinh]

ta chứng minh bổ đề sau
[TEX](a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)\leq abc[/TEX]
[TEX]<=>a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0[/TEX]
[TEX].a\geq b\geq c[/TEX]
[TEX].a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)=(a-b)[a^{2}-b^{2}-c(a-b)][/TEX]
[TEX]=(a-b)(a-b)(a+b-c)\geq 0[/TEX]
[TEX].c(c-a)(c-b)=c(a-c)(b-c)\geq 0[/TEX]
[TEX]=>a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0[/TEX]
[TEX](a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)\leq abc[/TEX]
[TEX]<=>(3-2b)(3-2c)(3-2a)\leq abc[/TEX]
[TEX]<=>27+12(ab+bc+ac)-18(a+b+c)-8abc\leq abc[/TEX]
[TEX]<=>12(ab+bc+ac)-27\leq 9abc[/TEX]
[TEX]<=>12(ab+bc+ac)-27+54\leq 9abc+6(a+b+c)^{2}[/TEX]
[TEX]<=>27\leq 9abc+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})[/TEX]
[TEX]\leq 6abc+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}[/TEX]
[TEX]<=>a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4[/TEX]