Toán 10 [Toán 10]-BĐT

[huytrandinh]

[TEX]\sqrt{(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(1+16)}\geq a+\frac{4}{a}[/TEX]
[TEX]=>\sum \sqrt{(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(1+16)}[/TEX]
[TEX]\geq \sum a+\sum \frac{4}{a}=\frac{3}{2}+\sum \frac{4}{a}[/TEX]
[TEX].\sum \frac{4}{a}\geq 4.\frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}=24[/TEX]
[TEX]=>\sqrt{17}P\geq \frac{3}{2}+24=\frac{51}{2}[/TEX]
[TEX]<=>P\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}=>MinP=\frac{3\sqrt{17}}{2}[/TEX]
[TEX]<=>a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[vipdaigiaan999]

Cẩu ***

BÀI3:
Cho : $$\frac{1}{a^2}$$+$$\frac{1}{b^2}$$ + $$\frac{1}{c^2}$$ =1
Tìm MIN của
S=$$\frac{1}{\sqrt{5} a^2+2ab+b^2}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{5}b^2+2bc+c^2}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{5}c^2+2ac+a^2}$$



:M053: KHÔNG AI GIẢI ĐƯƠC BÀI NÀY SAO!
CÓ LẼ, HẾT SIÊU NHÂN TOÁN RỒI ! <4-11-2012>

 

[dtl_buffalo]

[TEX]\sqrt{(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(1+16)}\geq a+\frac{4}{a}[/TEX]
[TEX]=>\sum \sqrt{(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(1+16)}[/TEX]
[TEX]\geq \sum a+\sum \frac{4}{a}=\frac{3}{2}+\sum \frac{4}{a}[/TEX]
[TEX].\sum \frac{4}{a}\geq 4.\frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}=24[/TEX]
[TEX]=>\sqrt{17}P\geq \frac{3}{2}+24=\frac{51}{2}[/TEX]
[TEX]<=>P\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}=>MinP=\frac{3\sqrt{17}}{2}[/TEX]
[TEX]<=>a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

ui hình như thế này thì mình vẫn chưa biết \sum_{i=1}^k a_i^n là j cả
ai có thể làm bằng cách áp dụng BDT Cô - Si k?

 

[cuhanhtim_1997]

[Toán 10] BĐT AGQH

Với 2 số $a,b$ dương, kí hiệu:
$$A = \dfrac{{a + b}}{2}$$
$$G = \sqrt {ab}$$
$$Q = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}}$$
$$H = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}$$
lần lượt là trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương và trung bình điều hòa của hai số đó.
Chứng minh rằng:
$$Q \geq A \geq G \geq H$$

 

[noinhobinhyen]

+$Q \geq A$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \geq \dfrac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2} \geq \dfrac{(a+b)^2}{4}$

$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2) \geq 2(a+b)^2$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2) \geq a^2+b^2+2ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0 \to Đung$

+$A \geq G$

$\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt[]{ab}$

$\Leftrightarrow a+b-2\sqrt[]{ab} \geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b})^2 \geq 0 \to Đung$

+$G \geq H$

$H=\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} = \dfrac{2ab}{a+b}$

$G \geq H$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{ab} \geq \dfrac{2ab}{a+b}$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{ab}(1-\dfrac{2\sqrt[]{ab}}{a+b} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{ab}.\dfrac{a+b-2\sqrt[]{ab}}{a+b} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{ab}.\dfrac{(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b})^2}{a+b} \geq 0 \to Đung$

 

[aklpt12345]

1 bài

tìm max và min của A .cho
x+y=1
[TEX]x \geq 0 , y \geq 0[/TEX]
A= [TEX](4x^2+3y)(4y^2+3x) +25xy [/TEX]

 

[sakura_12]

Nếu[TEX]a \ge \ 0, b \ge \ 0[/TEX]
[TEX]\(a^3+ b^3 \ge \ ab(a+b)[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi nào

 

[ronaldo1998]

bai kia phan tich ra roi dung denta la xong nho x+y=1

 

[mysterio619]

Nếu[TEX]a \ge \ 0, b \ge \ 0[/TEX]
[TEX]\(a^3+ b^3 \ge \ ab(a+b)[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi nào

[TEX]\ a^3 + ab^2 \geq 2a^2b [/TEX](theo cauchy)
[TEX]\ b^3 + a^2b \geq 2ab^2 [/TEX]

Cộng vào ra đpcm

 

[harrypham]

BÀI3:
Cho : $$\frac{1}{a^2}$$+$$\frac{1}{b^2}$$ + $$\frac{1}{c^2}$$ =1
Tìm MIN của
S=$$\frac{1}{\sqrt{5} a^2+2ab+b^2}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{5}b^2+2bc+c^2}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{5}c^2+2ac+a^2}$$



:M053: KHÔNG AI GIẢI ĐƯƠC BÀI NÀY SAO!
CÓ LẼ, HẾT SIÊU NHÂN TOÁN RỒI ! <4-11-2012>

Bài này ý tưởng chính là sử dụng hệ số bất định.

 

[linh123658]

1 bài

tìm max và min của A .cho
x+y=1
[TEX]x \geq 0 , y \geq 0[/TEX]
A= [TEX](4x^2+3y)(4y^2+3x) +25xy [/TEX]

$A=16x^2y^2+12x^3+12y^3+34xy$
$=12(x^3+y^3)+16x^2y^2+34xy$
$=12(x^2-xy+y^2)+16x^2y^2+34xy$(Do $x+y=1$)
$=12(x^2+2xy+y^2)+16x^2y^2-2xy$
$=16x^2y^2+12-2xy$
$=(4xy-\frac{1}{4})^2+12-\frac{1}{16}$\geq$12-\frac{1}{16}$
Dấu $=$ \Leftrightarrow $xy=\frac{1}{16}$
Kết hợp vs $x+y=1$ tìm ra $x$ và $y$

 

[you only live once]

$$5a^{2}+2ab+2b^{2}=4a^{2}+2ab+b^{2}+(a^{2}+b^{2})\geq 4a^{2}+4ab+b^{2}=(2a+b)^{2}$$
suy ra $$\sqrt{5a^{2}+2ab+b^{2}}\geq 2a+b\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+b^{2}}}\leq \frac{1}{2a+b}$$
mà $$\frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})$$
ttu vt $$\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$
mà $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{3(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}=\sqrt{3}$$
suy ra vt <= $$\frac{\sqrt{3}}{3 }$$
dấu = xảy ra khi a=b=c =$$\sqrt{3}$$[/QUOTE]