[Toán 10] Bất đẳng thức

[bboy114crew]

CM hộ mình cái

2[TEX]\sqrt{ab+bc+cd}[/TEX] \leq [TEX]\sqrt{3}[/TEX][TEX]\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]

Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:
$$\left\{\begin{array}{l}(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)(1)\\(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)\end{array}\right.$$ là xong ngay thôi
Sử dụng (1),ta có:$$VP \ge 2\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}}$$
Áp dụng (2),ta lại có:$$VP \ge 2\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{\sqrt{(ab+bc+ca)^3}}{3\sqrt{3}}}=2\sqrt{ab+bc+ca}$$
Đẳng thức xảy ra khi $$a=b=c$$

 

[bboy114crew]

CHo 3 số thực không âm a,b,c. Chứng mình rằng:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc}+\frac{1}{3}\sqrt{4{{c}^{2}}+4{{a}^{2}}+ca}\ge a+b+c$$

 

[duynhan1]

CHo 3 số thực không âm a,b,c. Chứng mình rằng:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc}+\frac{1}{3}\sqrt{4{{c}^{2}}+4{{a}^{2}}+ca}\ge a+b+c$$

[TEX]\left{ a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2} (a+b)^2 \\ b^2 + c^2 - bc \ge \frac14 (b+c)^2 \\ 4c^2+ 4a^2 + ac \ge \frac94 (a+c)^2 [/TEX]

 

[khanh_ndd]

Cho [TEX]x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq y_1 \leq y_2 \leq y_3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX](x_1+x_2+x_3+y_1+y_2+y_3)^2\geq12(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]a,b,c \in\ R. Min: \ \sum \frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} [/TEX]

 

[khanh_ndd]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

 

[asroma11235]

?

Giả sử a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác.CMR:
[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}) - \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \leq 6[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

Giả sử rằng [TEX]a=\max\{a;b;c\}\righ a \in\[1;3\) [/TEX]

Nếu như [TEX]a\in $$1;1+\sqrt{2}$$[/TEX] thì ta có :

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}- a^2 =4-4a+\frac{$a-1$^2$$2-(a-1)^2$$}{a^2}[/TEX]

do đó ta có :

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2 +12-4$a+b+c$[/TEX]

[TEX]\ \ \ \ \ \righ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

nếu như [TEX]a\in \[ 1+\sqrt{2};3\)[/TEX] thì ta có :[TEX]b+c\le 2-sqrt{2}[/TEX] nên ta có ;

[TEX]\ \ \ \ \ \ \left{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{2}{bc}+\frac{1}{a^2} \ge \frac{8}{$b+c$^2} +\frac{1}{a^2}> 111+\frac{1}{a^2}\\ a^2+b^2+c^2< (b+c)^2+9 <15-2\sqrt{2}[/TEX][TEX]\righ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}> a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]\left{LHS\ge \frac{$a+b+c$$a+b+c$}{$abc$$a+b+c$}\ge \frac{27}{$ab+bc+ca$^2}\\ $a^2+b^2+c^2$$ab+bc+ca$^2\le \frac{$a+b+c$^6}{27}[/TEX]

[TEX]\righ DONE!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Giả sử a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác.CMR:
[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}) - \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \leq 6[/TEX]

[TEX]$x+y+z$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$-9-\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}+3\le 0[/TEX]

Tổng bình phươnh hoán vị [TEX]\righ DONE!![/TEX]

 

[khanh_ndd]

[TEX]\left{LHS\ge \frac{$a+b+c$$a+b+c$}{$abc$$a+b+c$}\ge \frac{27}{$ab+bc+ca$^2}\\ $a^2+b^2+c^2$$ab+bc+ca$^2\le \frac{$a+b+c$^6}{27}[/TEX]

[TEX]\righ DONE!![/TEX]

Đánh giá này của anh giống của em!
Cho [TEX]a,b,c,d>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c+d=3[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2+d^2=4[/TEX]. Chứng minh [TEX]a^2+b^2+c^2\leq 8(ab+bc+ca)[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

Giả sử rằng [TEX]a=\max\{a;b;c\}\righ a \in\[1;3\) [/TEX]

Nếu như [TEX]a\in $$1;1+\sqrt{2}$$[/TEX] thì ta có :

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}- a^2 =4-4a+\frac{$a-1$^2$$2-(a-1)^2$$}{a^2}[/TEX]

do đó ta có :

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2 +12-4$a+b+c$[/TEX]

[TEX]\ \ \ \ \ \righ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

nếu như [TEX]a\in \[ 1+\sqrt{2};3\)[/TEX] thì ta có :[TEX]b+c\le 2-sqrt{2}[/TEX] nên ta có ;

[TEX]\ \ \ \ \ \ \left{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{2}{bc}+\frac{1}{a^2} \ge \frac{8}{$b+c$^2} +\frac{1}{a^2}> 111+\frac{1}{a^2}\\ a^2+b^2+c^2< (b+c)^2+9 <15-2\sqrt{2}[/TEX][TEX]\righ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}> a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

cách khác:
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +2(ab+bc+ca) \geq 9$$
$$VT \geq \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} +2(ab+bc+ca) = \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)$$
$$\geq 3 \sqrt[3]{\frac{3}{abc}(ab+bc+ac)^2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{3}{abc}.3abc(a+b+c)}=9(dpcm)$$

 

[tell_me_goobye]

Cho a,b,c >0
CMR

[TEX]\frac{\sqrt{ab+4bc+4ca}}{a+b} +\frac{\sqrt{bc+4ac+ab}}{b+c} +\frac{\sqrt{ca+4ab+4bc}}{c+a} \geq \frac{9}{2}[/TEX]

 

[king_math96]

Đánh giá này của anh giống của em!
Cho [TEX]a,b,c,d>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c+d=3[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2+d^2=4[/TEX]. Chứng minh [TEX]a^2+b^2+c^2\leq 8(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]a^2+b^2+c^2=4-d^2[/TEX]
[TEX]8(ab+bc+ca)=4((3-d)^2-4+d^2)[/TEX]
đến đây trừ đi là ổn.

 

[bboy114crew]

a,b,c >0
CMR:
$$\frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2} } +\frac{b}{ \sqrt{b^2+c^2} } +\frac{c}{ \sqrt{c^2+a^2} } \leq \frac{3}{ \sqrt{2} }$$

 

[khanh_ndd]

chỗ đó phải là thế này
[TEX]\sum \frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\leq 0[/TEX]

 

[vodichhocmai]

a,b,c >0
CMR:
$$\frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2} } +\frac{b}{ \sqrt{b^2+c^2} } +\frac{c}{ \sqrt{c^2+a^2} } \leq \frac{3}{ \sqrt{2} }$$

[TEX]\righ xy z=1[/TEX] chúng ta có :

[TEX]\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}\le \frac{3}{2}.\frac{(x+1\)}{x^2+x+1} =\frac{3}{2}$$1-\frac{x^2}{x^2+x+1}$$[/TEX]

Do đó chúng ta cần chứng minh .

[TEX]\sum_{cyclic}^{xy z=1}\frac{x^2}{x^2+x+1} \ge 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow\sum_{cyclic}^{mnk=1}\frac{m^4}{m^4+m^2kn+k^2n^2}\ge \frac{(m^2+n^2+k^2\)^2}{m^4+n^4+k^4+mnk(m+n+k)+m^2n^2+n^2k^2+k^2n^2}[/TEX]

Nó là hiển nhiên đúng đo [TEX]m^2n^2+n^2k^2+k^2n^2\ge mnk(m+n+k)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

$$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.\frac{2}{\sqrt{2}}\leq 3\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+b^2}\leq \frac{3}{2}$$
$$\frac{3}{2}-\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum_{cyc}\frac{b^2-a^2}{2(a^2+b^2)}=\sum_{cyc}\frac{b-a}{2}.\frac{a+b}{a^2+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a.(b-a)^2}{2.(a^2+b^2)}+\sum_{cyc}\frac{b-a}{2}.\frac{1}{b}\geq 0.dpcm$$

Bất đẳng thức cuối cùng lại không đúng nếu như [TEX]a\ge c\ge b[/TEX]

 

[lengfenglasaingay]

Bất đẳng thức cuối cùng lại không đúng nếu như [TEX]a\ge c\ge b[/TEX]

Anh ơi xóa bài trước của em đi
em xin được trình bày cách khác Lần ni chắc đúng
Đề $$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$$
$$\frac{3}{\sqrt{2}}-\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sum_{cyc}\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a\sqrt{2}}{{\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}}}=\\sum_{cyc} \frac{b^2-a^2}{\sqrt{a^2+b^2}.(\sqrt{2}.a+\sqrt{a^2+b^2})}=\sum_{cyc}\frac{(b-a)}{\sqrt{2}}.\frac{a+b}{a^2+b^2+\sqrt{2}.a.\sqrt{a^2+b^2}}$$
$$=\sum_{cyc}(b-a).\frac{(b^2-a^2)+(2ab-a.\sqrt{2(a^2+b^2)})}{2.(a^2+b^2+a.\sqrt{2(a^2+b^2)})}=\sum_{cyc}(b-a)^2(a+b).\frac{1+\frac{a.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.b + \sqrt{a^2+b^2} }}{2(a^2+b^2+a.\sqrt{2(a^2+b^2)})}+ \sum_{cyc}{ \frac{b-a}{2b}} \ge 0(dpcm)$$


p/s: em gõ tex chắc đúng nhưng có 1 số chi tiết bị hiển thị sai.

 

[lengfenglasaingay]

Loại bdt chưa từng gặp

tìm số thực dương k nhỏ nhất cho bất đẳng thức sau
$$\sum_{cyc}\frac{ab}{(a+b)^2}+k.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\ge \frac{4}{3}+k$$
$$a,b,c>o$$