Tìm nguyên hàm 1

[eternal_fire]

[TEX]\int_{}^{} \frac{xdx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}[/TEX]

Ta có: [TEX]2\int_{}^{} \frac{xdx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}}=\int_{}^{}\frac{[7-(7-2x)]dx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}}[/TEX]
Đặt [TEX]I=\int_{}^{}\frac{7dx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{[(5-x)+(x-2)]dx}{(x-2)(5-x)\sqrt{(x-2)(5-x)}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{(x-2)(5-x)}}+\int_{}^{}\frac{dx}{(5-x)\sqrt{(x-2)(5-x)}}[/TEX] (*)

Đặt [TEX]J=\int_{}^{}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{(x-2)(5-x)}}[/TEX]
Đặt [TEX]x-2=u[/TEX]
[TEX]\to dx=du[/TEX]
[TEX](5-x)=3-u[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{(x-2)(5-x)}}=\frac{du}{u\sqrt{u(3-u)}}[/TEX]
[TEX]=\frac{\frac{du}{u^2}}{\sqrt{\frac{3}{u}-1}}[/TEX]
Đặt [TEX] \frac{3}{u}-1=t[/TEX]
[TEX]\to dt=\frac{-9du}{u^2}[/TEX]
Từ đó tính được J
Tương tự tính được các tích phân bất định ở (*)
Từ đó tính được nguyên hàm ban đầu

 

[nguyenminh44]

Ta có: [TEX]2\int_{}^{} \frac{xdx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}}=\int_{}^{}\frac{[7-(7-2x)]dx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}}[/TEX]
Đặt [TEX]I=\int_{}^{}\frac{7dx}{\sqrt{(-x^2+7x-10)^3}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{[(5-x)+(x-2)]dx}{(x-2)(5-x)\sqrt{(x-2)(5-x)}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{(x-2)(5-x)}}+\int_{}^{}\frac{dx}{(5-x)\sqrt{(x-2)(5-x)}}[/TEX] (*)

Đặt [TEX]J=\int_{}^{}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{(x-2)(5-x)}}[/TEX]
Đặt [TEX]x-2=u[/TEX]
[TEX]\to dx=du[/TEX]
[TEX](5-x)=3-u[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{(x-2)(5-x)}}=\frac{du}{u\sqrt{u(3-u)}}[/TEX]
[TEX]=\frac{\frac{du}{u^2}}{\sqrt{\frac{3}{u}-1}}[/TEX]
Đặt [TEX] \frac{3}{u}-1=t[/TEX]
[TEX]\to dt=\frac{-9du}{u^2}[/TEX]
Từ đó tính được J
Tương tự tính được các tích phân bất định ở (*)
Từ đó tính được nguyên hàm ban đầu

Em dùng phương pháp đặt ẩn phụ [TEX]t=\sqrt{\frac{5-x}{x-2}}[/TEX] thử xem sao nhé.

Anh sẽ có topic về phương pháp chung cho dạng này sau.

Tìm nguyên hàm 7' [TEX]\int_{}^{}\frac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}}[/TEX]

 

[eternal_fire]

Em dùng phương pháp đặt ẩn phụ [TEX]t=\sqrt{\frac{5-x}{x-2}}[/TEX] thử xem sao nhé.

Anh sẽ có topic về phương pháp chung cho dạng này sau.

Tìm nguyên hàm 7' [TEX]\int_{}^{}\frac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}}[/TEX]

Hì,vâng ạ
Còn bài 7'
[TEX]2\int_{}^{}\frac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}}=\int_{}^{}\frac{2xdx}{x^2\sqrt{(x^2+1)^2-2}}[/TEX]
Đặt [TEX]x^2+1=u[/TEX]
[TEX]\to 2xdx=du[/TEX]
[TEX]\to x^2=u-1[/TEX]
Từ đó lại đưa về giống kiểu bài nguyên hàm 7 phần tính J

 

[ctsp_a1k40sp]

[Toán]

[Nguyên hàm 8][TEX]...[/TEX]
[tex]\large \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}[/tex]
[Nguyên hàm 9][TEX]...[/TEX]
[tex]\large \int_{}^{} \frac{dx}{(x^3+1)^{\frac{3}{2}}}[/tex]
[TEX]...[/TEX]

 

[eternal_fire]

[Nguyên hàm 8][TEX]...[/TEX]
[tex]\large \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}[/tex]

Đặt [TEX]x=tant ;t\in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})[/TEX]
[TEX]\to dx=(1+tan^2t)dt [/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}=\int_{}^{} \frac{(1+tan^2t)dt}{(1+tan^2t)^{\frac{3}{2}}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{} \frac{dt}{\sqrt{1+tan^2t}}=\int_{}^{} costdt=sint=sin(arctanx)+C[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Đặt [TEX]x=tant ;t\in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})[/TEX]
[TEX]\to dx=(1+tan^2t)dt [/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{} \frac{dx}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}=\int_{}^{} \frac{(1+tan^2t)dt}{(1+tan^2t)^{\frac{3}{2}}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{} \frac{dt}{\sqrt{1+tan^2t}}=\int_{}^{} costdt=sint=sin(arctanx)+C[/TEX]

Bài của eternal_fire dùng lượng giác có vẻ chưa được gọn lắm, vì còn dính [TEX]sin(arctanx)[/TEX]

Đến đây CM [TEX]sin(arctanx)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/TEX] bằng cách đặt x=tant.

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài của eternal_fire dùng lượng giác có vẻ chưa được gọn lắm, vì còn dính [TEX]sin(arctanx)[/TEX]

Đến đây CM [TEX]sin(arctanx)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/TEX] bằng cách đặt x=tant.

ko hiểu ý ông lắm
eternal_fire làm thế đúng rồi nhưng hình như ở lớp tớ tính ra kết quả là [TEX]\int_{}^{} cos^3 t dt[/TEX] ( vẫn làm tương tự đổi về [TEX]d(sin t)[/TEX])ko biết nhầm lẫn chỗ nào.

 

[eternal_fire]

ko hiểu ý ông lắm
eternal_fire làm thế đúng rồi nhưng hình như ở lớp tớ tính ra kết quả là [TEX]\int_{}^{} cos^3 t dt[/TEX] ( vẫn làm tương tự đổi về [TEX]d(sin t)[/TEX])ko biết nhầm lẫn chỗ nào.

Mình đã kiểm tra lại bài làm của mình rồi,vẫn chưa thấy lỗi sai
Còn bài nguyên hàm 9 sao lúc kiểm tra kết quả thì nó lẻ vậy
@: Bài nguyên hàm 4 của bạn là phải làm bằng số phức.Các kết quả nguyên hàm bạn có thể tìm tại đây

 

[ctsp_a1k40sp]

Mình đã kiểm tra lại bài làm của mình rồi,vẫn chưa thấy lỗi sai
Còn bài nguyên hàm 9 sao lúc kiểm tra kết quả thì nó lẻ vậy
@: Bài nguyên hàm 4 của bạn là phải làm bằng số phức.Các kết quả nguyên hàm bạn có thể tìm tại đây

công nhận trang đấy hay thật, ko ngờ nó tính nhanh tới mức kinh dị như thế.
Chắc bài nguyên hàm 9 ko giải đc Hôm nay thằng bạn đố bài số 8 rồi nó đố luôn bài số 9.

 

[xenos]

giải:

tìm nguyên hàm: [TEX]\frac{1}{sin^3x}[/TEX] bằng 3 cách
tìm nguyên hàm: [TEX]\sqrt{tanx}[/TEX] bằng 3 cách
[TEX]\frac{1}{\sqrt[4]{x^4 + 1}}[/TEX] bằng 2 cách
tìm nguyên hàm [TEX]\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^2}}[/TEX] đề chế
và còn nhìu đề chế nữa, nhưng ko dám post, sợ chém

còn mấy bài trên mình có các giải khác đó, dc post ko

 

[thong1990nd]

\int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{\sqrt[]{(-x^2+7x-10)^3}}[/TEX]
cách 2: đặt [TEX]x=2+3sin^2t[/TEX]\Rightarrow [TEX]dx=6sintcostdt[/TEX]
I=\int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{\sqrt[]{((x-2)(5-x))^3}}[/TEX]
=\int_{}^{}[TEX]\frac{(2+3sin^2t)6sintcostdt}{27sin^3t.cos^3t}dt[/TEX]
=[TEX]\frac{2}{9}[/TEX]\int_{}^{}[TEX]\frac{2+3sin^2t}{sin^2t.cos^2t}dt[/TEX]
=[TEX]\frac{8}{9}[/TEX]\int_{}^{}[TEX]\frac{d(2t)}{sin^22t}[/TEX]+[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]\int_{}^{}[TEX]\frac{dt}{cos^2t}[/TEX]=[TEX]\frac{2}{3}tant-\frac{8}{9}cotg2t[/TEX]+C

 

[thong1990nd]

2)\int_{}^{}[TEX]\sqrt[]{tanx}dx[/TEX]
đặt [TEX]t=\sqrt[]{tanx}[/TEX]\Rightarrow [TEX]tanx=t^2[/TEX]\Rightarrow [TEX](1+tan^2x)dx=2tdt[/TEX]
\Rightarrow [TEX]dx=\frac{2tdt}{1+t^4}[/TEX]
\Rightarrow I=2\int_{}^{}[TEX]\frac{t^2dt}{1+t^4}[/TEX]
có[TEX] \frac{t^2}{1+t^4}[/TEX]=[TEX]\frac{t^2}{(t^2+\sqrt[]{2}t+1)(t^2-\sqrt[]{2}t+1)}[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{4(t^2-\sqrt[]{2}t+1)}[/TEX]_[TEX]\frac{2t-\sqrt[]{2}}{4(t^2-\sqrt[]{2}t+1)}+\frac{1}{4(t^2+\sqrt[]{2}t+1)}[/TEX]_[TEX]\frac{2+\sqrt[]{2}}{4\sqrt[]{2}}.\frac{2t+\sqrt[]{2}}{t^2+\sqrt[]{2}t+1}[/TEX]
có [TEX]\frac{1}{4(t^2-\sqrt[]{2}t+1)} [/TEX]=[TEX]\frac{1}{4((t-\frac{1}{\sqrt[]{2}})^2+\frac{1}{2})}[/TEX] sau đó đặt [TEX]t-\frac{1}{\sqrt[]{2}}=\frac{tanu}{\sqrt[]{2}}[/TEX] sẽ ra>-
http://www3.nhac.vui.vn/Music/#Play,38484
http://www3.nhac.vui.vn/Music/#Play,38133

 

[xenos]

tốt tốt lắm bạn thong990 à, quả là đặt ẩn tuyệt vời
cách còn lại mình sẽ chỉ lun, mình bỏ dấu nguyên hàm ra rùi nhé, sau đây là các bước biến đổi
[TEX]sqrt{tan x}[/TEX] = [TEX]sqrt{\frac{sin x}{cos x}[/TEX] =[TEX]{\frac{sqrt{2}sin x}sqrt{2cos x sin x}[/TEX] = [TEX]\frac{1}{sqrt{2}[/TEX][TEX]([/TEX][TEX]\frac{sin x + cos x}{sqrt{1 - ({sin x - cos x})^2} }[/TEX] + [TEX]\frac{sin x - cos x}{sqrt{({sin x + cos x})^2 - 1}[/TEX][TEX])[/TEX]

tới đây làm ngon rùi chứ, cơ bản thoai mà

 

[thong1990nd]

\int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{sin^3x}[/TEX] tôi làm đc nhưng dài bạn nào có cách giải ngắn xin post lên để cùng tham khảo

 

[lovebrit]

cho tớ hỏi bài đầu tiên có phương pháp chung ko vậy

bài của bạn nhân cả tử và mẫu với 1 sin x nữa là ổn thôi mà thử làm xem

 

[thong1990nd]

bài này tôi làm như vậy mấy lần rôi dài lê thê|kkkkkkkkkkkkkkk

 

[quangghept1]

\int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{sin^3x}[/TEX] tôi làm đc nhưng dài bạn nào có cách giải ngắn xin post lên để cùng tham khảo

Có lẽ là như thế này

[tex]t=tg\frac{x}{2}\rightarrow dt=\frac{dx}{2.cos^2\frac{x}{2}} \rightarrow \frac{2dt}{1+t^2}=dx[/tex]

[tex]I=\int (\frac{1+t^2}{2t})^3.\frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{(1+t^2)^2.dt}{4t^3}= \int \frac{(1+2t^2+t^4)dt}{4t^3}=\int (\frac{1}{4t^3}+\frac{1}{2t}+\frac{t}{4})dt = ....[/tex]

 

[xenos]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=36979
đây là cách của tớ

cái cách nhân chia lượn sinx ngắn mà bạn, ngắn lắm đó, hok dài đâu

 

[xenos]

bạn này nhầm 1 bước rùi đó, dấu = thứ 3................................

 

[thangtn]

đặt dv=dx,sin(lnx)=u thì v=x;du = ((cos(lnx))/x)dx khi đó theo pp nguyên hàm từng phần ta được I= x.sin(lnx) + xcos(lnx) -I suy ra 2I = x.sin(lnx) + xcos(lnx) suy ra I=................... OK

nhưng sao trong SGK thì công thức là: \int_{}^{}udv=uv-\int_{}^{}vdu
nên mình hem hiểu mấy bạn làm cách nào vậy. chj? dùm mình với
thanks