Toán Tìm giá trị nhỏ nhất

[tocquan161]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh bất đẳng thức

với a,b>0. Dấu "=" xảy ra khi nào?
2. Cho x,y là hai số dương thỏa mãn x+y=2
Tìm GTNN của biểu thức

 

[Trafalgar D Law]

1.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
[tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex]
=> [tex](a+b)^{2}\geq 4ab[/tex]
=> [tex]\frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
=> [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=b

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

[tex]1.\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \dfrac{4}{a+b}\\\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab}\geq \dfrac{4}{a+b}\\\Leftrightarrow \dfrac{(a+b)^{2}}{ab(a+b)}\geq \dfrac{4ab}{ab(a+b)}\\mà \ a,b>0\Rightarrow ab(a+b)>0\\\Rightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab\\\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}\geq 4ab\\\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\\\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0(luôn \ đúng)[/tex]
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
Vậy...