Toán [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào 10 chuyên

[Ann Lee]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$
Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$
Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]

 

[Ann Lee]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Đăng bù bài của ngày hôm qua và bài cả ngày hôm nay luôn nha ^^
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức [tex]A=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}[/tex] nếu a+b+c=1
Bài 6: Cho [tex]x,y,z>0; x+y+z=1[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức [tex]B=\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}[/tex]
Bài 7: Cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=671[/tex]. Chứng minh rằng [tex]C=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z} [/tex]
Bài 8: Cho a,b,c là các số lớn hơn 1. Chứng minh [tex]D=\frac{a^{2}}{a-1}+\frac{2b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 24[/tex]
Bài 9: Cho x;y;z là các số thực dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng: [tex]E=\frac{x}{\sqrt{y+z-2}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-2}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-2}}[/tex]
Bài 10: Cho a;b;c là các số dương. Chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{c}{a+b}}+ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\right )$
Bài 11: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=abc[/tex], Chứng minh rằng:
[tex]F=\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}[/tex]
Bài 12: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng $G=\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$
________________________________
Bài tồn đọng của chuyên đề 4:
Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$
Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu ( hay còn gọi là Cauchy ngược dấu)
Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]
Gợi ý: Áp dụng BĐT AM-GM để VT của BĐT gọn hơn
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$
Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Schur bậc 3
Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]
Gợi ý: Sử dụng phương pháp hệ số bất định (UCT)

 

[you only live once]

Bài 8: Cho a,b,c là các số lớn hơn 1. Chứng minh [tex]D=\frac{a^{2}}{a-1}+\frac{2b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 24[/tex]

Đặt a-1 =x , b-1=y ,c-1=z
pt [tex]\frac{(x+1)^{2}}{x}+\frac{2(y+1)^{2}}{y}+\frac{3(z+1)^{2}}{z}=x+2+\frac{1}{x}+2y+4+\frac{2}{y}+3z+6+\frac{3}{z}\geq 2.\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2.\sqrt{2y.\frac{2}{y}}+2\sqrt{3y.\frac{3}{y}}+12=24[/tex]
dau = xảy ra khi x=y=z=1 nên a=b=c=2

Bài 9: Cho x;y;z là các số thực dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng: [tex]E=\frac{x}{\sqrt{y+z-2}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-2}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-2}}[/tex]

ta có [tex]\frac{x}{\sqrt{y+z-2 }}= \frac{x}{\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}.\sqrt{y+z-2}}\geq \frac{x}{\frac{y+z}{2\sqrt{2}}}=\frac{2\sqrt{2}x}{y+z}[/tex]
ttụ vt >=[tex]2\sqrt{2}(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\geq 2\sqrt{2}.\frac{3}{2}=3\sqrt{2}(nesbit)[/tex]
dau = sảy ra khi x=y=z=4

Bài 12: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng $G=\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

Ta có [tex]\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(b+c)}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^{2}+ab+bc+ac}}\leq \frac{a}{a+\sqrt{ab+2a\sqrt{bc}+ac}}=\frac{a}{a+\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}^{2}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}[/tex]
ttu vt<= [tex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1[/tex]
dau = sảy ra khi a=b=c

 

[you only live once]

Bài 6: Cho [tex]x,y,z>0; x+y+z=1[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức [tex]B=\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}[/tex]

ta có [tex]\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}=\sqrt{2(x+y)^{2}-3xy} \geq \sqrt{2(x+y)^{2}-\frac{3(x+y)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
ttu vt >=[tex]\frac{\sqrt{5}}{2}(2x+2y+2z)=\sqrt{5}(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
dau = sảy ra khi x=y=z=1/3

Bài 10: Cho a;b;c là các số dương. Chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{c}{a+b}}+ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\right )$

áp dụng [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})[/tex]
=[tex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}})+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}})+....[/tex]
áp dung 1/x+1/y>=4/x+y
[tex]vt\geq \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{2}(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+....=\frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+....[/tex]
[tex]\leq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}+....=2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+....)(dpcm)[/tex]
dau = sảy ra khi a=b=c

Bài 11: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=abc[/tex], Chứng minh rằng:
[tex]F=\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}[/tex]

áp dung buni ta có
[tex]b^{2}+a^{2}+a^{2}\geq \frac{(b+2a)^{2}}{3}\Rightarrow \sqrt{b^{2}+2a}\geq \frac{b+2a}{\sqrt{3}}[/tex]
vt[tex]\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})=\sqrt{3}[/tex]
vì 1/a+1/b+1/c =1 (gt)
dau = sảy ra a=b=c=3

 

[you only live once]

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức [tex]A=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}[/tex] nếu a+b+c=1

áp dung bunhi A<=[tex]\sqrt{3(4a+4b+4c+3)}=\sqrt{21}[/tex]
dau = sảy ra khi a=b=c=1/3
đặt [tex]\sqrt{4a+1}=x\Rightarrow x\geq 1[/tex] ,[tex]\sqrt{4b+1}=y\geq 1,\sqrt{4c+1}=z\geq 1[/tex]
suy ra [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=7[/tex]
A=x+y+z suy ra A^2 = [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=7+2(xy+xz+yz)[/tex]
do x,y,z >=1
nên (x-1)(y-1)+(x-1)(z-1)+(z-1)(x-1)>=0
suy ra xy+yz+xz+3>=2(x+y+z)
syu ra A^2 >=7+4A-6 suy ra A>=[tex]2+\sqrt{5}[/tex]
dau = sảy ra khi x=[tex]\sqrt{5},y=z=1[/tex]
suy ra a=1, b=c=0

 

[Ann Lee]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN


Bài 13: Cho 3 số thực dương thay đổi a;b;c thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. Chứng minh [tex]P=5(a+b+c)-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leq 9[/tex]
Bài 14: Cho x;y;z là các số thực dương. chứng minh rằng [tex]2\sqrt{x+y+z}+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})[/tex]
Bài 15: Với a,b,c >0. chứng minh rằng [tex]\frac{2a^{2}}{2b+c}+\frac{2b^{2}}{2a+c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)[/tex]
Bài 16: Với a,b,c>0. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}})[/tex]
________________________________
Bài tồn đọng của chuyên đề 4:
Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$
Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu ( hay còn gọi là Cauchy ngược dấu)
Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]
Gợi ý: Áp dụng BĐT AM-GM để VT của BĐT gọn hơn
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$
Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Schur bậc 3
Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]
Gợi ý: Sử dụng phương pháp hệ số bất định (UCT)
Bài 7: Cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=671[/tex]. Chứng minh rằng [tex]C=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z} [/tex]
Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Svacxo

 

[hdiemht]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Đăng bù bài của ngày hôm qua và bài cả ngày hôm nay luôn nha ^^
Bài 7: Cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=671[/tex]. Chứng minh rằng [tex]C=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z} [/tex]

[tex]C=\sum \frac{x}{x^2-yz+2013}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2013x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}[/tex] (*)
Cần chứng minh: [tex]x^3+y^3+z^3+2013(x+y+z)-3xyz=(x+y+z)^3[/tex]
Thật vậy:
[tex]x^3+y^3+z^3+2013(x+y+z)-3xyz=(x+y+z)^3[/tex] (1)
[tex]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz-3(xy+yz+xz)(x+y+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)[/tex] (Vì [tex]xy+yz+xz=671[/tex] )
Nhân khai triển xong chuyển vế sẽ có đáp án =0. Vậy (1) được chứng minh
Thay (1) vào (*) ta được: [tex]C=\sum \frac{x}{x^2-yz+2013}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2013x}\geq \frac{(x+y+z)^2} {x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}\doteq \frac{1}{x+y+z}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]x=y=z=\sqrt{\frac{671}{3}}[/tex]

 

[hdiemht]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN

Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]
Gợi ý: Áp dụng BĐT AM-GM để VT của BĐT gọn hơn

Ta có: [tex]3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=[\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}]^2\leq (\sum \frac{a^2}{b})^2=[tex](\sum \frac{a^2}{b\sqrt{b(2a+c)}}.\sqrt{2ab+bc})^2\leq VT.3(ab+bc+ac)\rightarrow VT\geq 1[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
#dehaiphong

 

[lengoctutb]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Bài 7: Cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=671[/tex]. Chứng minh rằng [tex]C=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z} [/tex]
Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Svacxo

Ta có $:$ $x^{2}-yz+2013=x^{2}+xy+xz+1342 > 0$$,$ tương tự $:$ $y^{2}-zx+2013 > 0$ và $z^{2}-xy+2013 > 0$
$VT=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}=\frac{x^{2}}{x(x^{2}-yz+2013)}+\frac{y^{2}}{y(y^{2}-zx+2013)}+\frac{z^{2}}{z(z^{2}-xy+2013)} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)}$
Ta có $:$ $x^{3}+ y^{3}+ z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx) +2013(x+y+z)=(x+y+z)[(x+y+z)^{2}-3(xy+yz+zx)+2013]$
$\Leftrightarrow x^{3}+ y^{3}+ z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)= (x+y+z)[(x+y+z)^{2}-3.671+2013]=(x+y+z)^{3}$
Khi đó $:$ $VT \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{3}}=\frac{1}{x+y+z}=VP$ $($đpcm$)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ xy+yz+zx=671 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2013}}{3}$

$P/s$ $:$ Dạo này mình hơi bận nên không đăng bài được $!$ Xin mọi người thông cảm $!$

 

[lengoctutb]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Bài 15: Với a,b,c >0. chứng minh rằng [tex]\frac{2a^{2}}{2b+c}+\frac{2b^{2}}{2a+c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)[/tex]

$VT=\frac{2a^{2}}{2b+c}+\frac{2b^{2}}{2a+c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}= \frac{4a^{2}}{4b+2c}+\frac{4b^{2}}{4a+2c}+\frac{c^{2}}{4a+4b} \geq \frac{(2a+2b+c)^{2}}{8a+8b+4c}=\frac{(2a+2b+c)^{2}}{4(2a+2b+c)}=\frac{1}{4}(2a+2b+c)=VP$ $($đpcm$)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}$

 

[lengoctutb]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]
Gợi ý: Sử dụng phương pháp hệ số bất định (UCT)

Xét $:$ $\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}} \geq a-\frac{1}{4}b \Leftrightarrow a^{3}+2a^{2}b \geq (a^{2}+2ab+b^{2})(a-\frac{1}{4}b) \Leftrightarrow a^{3}+2a^{2}b \geq a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}b+2a^{2}b-\frac{1}{2}ab^{2}+ab^{2}-\frac{1}{4}b^{3}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}b^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b-\frac{1}{2}ab^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}b(a^{2}-2ab+b^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}b(a-b)^{2} \geq 0$ $($hiển nhiên đúng$)$
Tương tự$,$ ta có $:$ $\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}} \geq b-\frac{1}{4}c$ và $\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}} \geq c-\frac{1}{4}a$
Khi đó $:$ $\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+ \frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+ \frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}} \geq a-\frac{1}{4}b+b-\frac{1}{4}c+ c-\frac{1}{4}a=\frac{3}{4}(a+b+c)$ $($đpcm$)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

[Ann Lee]

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
Xin lỗi các bạn, vì mấy ngày qua mình khá bận nên không thể tiếp tục topic được.
Mình xin giải quyết nốt các bài tồn đọng của chuyên đề 4:
Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$
Có [tex]\frac{2yz}{x^{3}+2}=yz-\frac{x^{3}yz}{x^{3}+2}=yz-\frac{x^{3}yz}{x^{3}+1+1}\geq yz-\frac{x^{3}yz}{3\sqrt[3]{x^{3}}}=yz-\frac{x^{3}yz}{3x}=yz-\frac{x^{2}yz}{3}[/tex]
$\Rightarrow \frac{yz}{x^{3}+2}\geq \frac{1}{2}(yz-\frac{x^{2}yz}{3})$
Tương tự:....
Suy ra $A\geq \frac{1}{2}(xy+yz+zx-\frac{x^{2}yz}{3}-\frac{y^{2}zx}{3}-\frac{z^{2}xy}{3})=\frac{1}{2}\left [ 3-\frac{xyz(x+y+z)}{3} \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 3-\frac{(xy+yz+zx)^{2}}{9} \right ]=\frac{1}{2}(3-\frac{3^{2}}{9})=1$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $B=a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$
$4\geq ab+bc+ca+abc\geq 4\sqrt[4]{(abc)^{3}}\Rightarrow abc\leq 1$
$\Rightarrow a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$
$\Rightarrow B\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$
Đặt $\sqrt[3]{a^{2}}=x;\sqrt[3]{b^{2}}=y;\sqrt[3]{c^{2}}=z$
Khi đó $B\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ (hệ quả của BĐT Schur bậc 3)
Có $xy(x+y)=x^{2}y+xy^{2}\geq 2\sqrt{x^{2}yxy^{2}}=2\sqrt{(xy)^{3}}=2\sqrt{(ab)^{2}}=2ab$
Tương tự:....
Suy ra $B\geq 2(ab+bc+ca)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$


Bài 13: Cho 3 số thực dương thay đổi a;b;c thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. Chứng minh [tex]P=5(a+b+c)-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leq 9[/tex]
Có: $ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Có: $\frac{3}{a}+2a^{4}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+a^{4}+a^{4}\geq 5\sqrt[5]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.a^{4}.a^{4}}=5a$
Tương tự:....
Cộng 3 BĐT trên ta được
$3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 5(a+b+c)\Rightarrow P=5(a+b+c)-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=9$
$Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 14: Cho x;y;z là các số thực dương. chứng minh rằng [tex]2\sqrt{x+y+z}+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})[/tex]
$\sqrt{x}+\sqrt{x}+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{x}.\sqrt{x}.1}=3\sqrt[3]{x}\Rightarrow 2\sqrt{x}+1\geq 3\sqrt[3]{x}$
Tương tự:...
Cộng 3 BĐT trên ta được
$2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+3\geq 3(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})$
Mặt khác $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\leq 3(x+y+z)\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}$
Kết hợp 2 BĐT trên ta được đpcm
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài 16: Với a,b,c>0. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}})[/tex]
$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{9}{3\sqrt{b}}\geq \frac{(1+3)^{2}}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}=\frac{16}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{4}}\geq \frac{4}{\sqrt{\frac{a+3b}{4}}}=\frac{8}{\sqrt{a+3b}}$
Cộng vế với vế các BĐT trên rồi chia cả hai vế cho 4 thu được đpcm
$Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

[Ann Lee]

CHUYÊN ĐỀ 5: TỔ HỢP
Ở chuyên đề này mình sẽ không đưa ra bài tập ( vì mình quá gà về phần này :v ), thay vào đó mình sẽ up tài liệu của mình có liên quan đến tổ hợp. Hy vọng sẽ giúp đỡ được các bạn trong qua trình ôn thi
Từ ngày mai sẽ chuyển qua luyện đề nhé.

 

[lengoctutb]

Nếu bạn nào siêng đọc và muốn đạt kết quả phần tổ hợp trong kì thi sắp tới$,$ mình cũng muốn gửi đến các bạn một quyển tổ hợp cũng rất hay $!$

 

[Ann Lee]

Đề 1:
Bài 1:
1, Giải phương trình [tex]2x^{2}-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0[/tex]
2, Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}=2x+9\\x^{2}+2xy=6x+6 \end{matrix}\right.[/tex]

Bài 2:
1, Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình [tex]x^{2}(y-5)-xy=x-y+1[/tex]
2, Xét dãy số [tex](a_{n})[/tex], [tex](n=1;2;3;...)[/tex] được xác định bởi [tex]a_{1}=a;a_{2}=3;a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1[/tex] với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng sô [tex]A=4a_{n}a_{n+2}+1[/tex] là số chính phương

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}}\leq a+b+c[/tex]

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho: [tex]\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{NAD}[/tex]
1. BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P,Q,M,C,N cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
3. Ký hiệu diện tích của tam giác APQ là [tex]S_{1}[/tex] là diện tích của tứ giác PQMN là [tex]S_{2}[/tex] . Chứng minh rằng tỉ số [tex]\frac{S_{1}}{S_{2}}[/tex] không đổi khi M và N thay đổi.

Bài 5: Có 9 học sinh vừa lớp A vừa lớp B sắp thành một hàng dọc, đứng cách đều. Chứng minh rằng có ít nhất 1 học sinh đứng cách hai em cùng lớp với mình một khoảng cách như nhau

P/s: Có vẻ như mọi người ít "thảo luận" ở topic này nhỉ, kiểu "thảo luận" những vướng mắc khi làm bài tập ý :v. Mạnh dạn lên nào các bạn ^^

 

[lengoctutb]

Đề 1:
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}}\leq a+b+c[/tex]

Xét $\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}} \leq 2b-a \Leftrightarrow 5b^{3}-a^{3} \leq (2b-a)(ab+3b^{2}) \Leftrightarrow 5b^{3}-a^{3} \leq 2ab^{2}+6b^{3}-a^{2}b-3ab^{2}$
$\Leftrightarrow a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3} \geq 0 \Leftrightarrow a^{3}+a^{2}b-2a^{2}b-2ab^{2}+ab^{2}+b^{3} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}(a+b)-2ab(a+b)+b^{2}(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a^{2}-2ab+b^{2})(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b) \geq 0$ $($đúng$)$
Tương tự ta có $:$ $\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq 2c-b$ và $\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq 2a-c$$.$ Khi đó $:$
$\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}} \leq 2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c$ $($đpcm$)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

[you only live once]

Xét $\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}} \leq 2b-a \Leftrightarrow 5b^{3}-a^{3} \leq (2b-a)(ab+3b^{2}) \Leftrightarrow 5b^{3}-a^{3} \leq 2ab^{2}+6b^{3}-a^{2}b-3ab^{2}$
$\Leftrightarrow a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3} \geq 0 \Leftrightarrow a^{3}+a^{2}b-2a^{2}b-2ab^{2}+ab^{2}+b^{3} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}(a+b)-2ab(a+b)+b^{2}(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a^{2}-2ab+b^{2})(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b) \geq 0$ $($đúng$)$
Tương tự ta có $:$ $\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq 2c-b$ và $\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq 2a-c$$.$ Khi đó $:$
$\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}} \leq 2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c$ $($đpcm$)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

nhưng mà a ơi cho e hỏi làm sao để bt bdtd phụ ấy ak

 

[hdiemht]

Đề 1:
Bài 1:
1, Giải phương trình [tex]2x^{2}-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0[/tex]
2, Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}=2x+9\\x^{2}+2xy=6x+6 \end{matrix}\right.[/tex]

Bài 2:
1, Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình [tex]x^{2}(y-5)-xy=x-y+1[/tex]
2, Xét dãy số [tex](a_{n})[/tex], [tex](n=1;2;3;...)[/tex] được xác định bởi [tex]a_{1}=a;a_{2}=3;a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1[/tex] với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng sô [tex]A=4a_{n}a_{n+2}+1[/tex] là số chính phương

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}}\leq a+b+c[/tex]

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho: [tex]\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{NAD}[/tex]
1. BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P,Q,M,C,N cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
3. Ký hiệu diện tích của tam giác APQ là [tex]S_{1}[/tex] là diện tích của tứ giác PQMN là [tex]S_{2}[/tex] . Chứng minh rằng tỉ số [tex]\frac{S_{1}}{S_{2}}[/tex] không đổi khi M và N thay đổi.

Bài 5: Có 9 học sinh vừa lớp A vừa lớp B sắp thành một hàng dọc, đứng cách đều. Chứng minh rằng có ít nhất 1 học sinh đứng cách hai em cùng lớp với mình một khoảng cách như nhau

P/s: Có vẻ như mọi người ít "thảo luận" ở topic này nhỉ, kiểu "thảo luận" những vướng mắc khi làm bài tập ý :v. Mạnh dạn lên nào các bạn ^^

Bài1:
1. [tex]2x^2-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0[/tex] ĐK:....
[tex]\Leftrightarrow 2x(x-2)+\frac{5x+6-16}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7x-14}{\sqrt{7x+11}+5}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-2)(2x+\frac{5}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7}{\sqrt{7x+11}+5})=0[/tex]
Suy ra: x-2=0 suy ra x=2 ;và (...)=0
Ta có: [tex]2x+\frac{5}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7}{\sqrt{7x+11}+5}=0[/tex] (1)
Xét [tex]x>0\Rightarrow (1)>0\rightarrow VN[/tex]
Xét [tex]x=0\Rightarrow (1)>0\rightarrow VN;x<0\rightarrow VN[/tex]
Vậy pt có nghiệm x=2
2. Hệ [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 & & \\ y=\frac{6x+6-x^2}{2x} & & \end{matrix}\right.(x=0 ktm) \Rightarrow x^4+12x^3+48x^2+64x=0\Rightarrow x.(x+4)^3=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0(ktm) & & \\ x+4=0 & & \end{bmatrix}\Rightarrow x=-4[/tex]
[tex]\Rightarrow y=\frac{17}{4}[/tex]
#b2nguồn....

 

[Thánh Lầy Lội]

nhưng mà a ơi cho e hỏi làm sao để bt bdtd phụ ấy ak

Cái này đã có bài tổng quát

 

[hdiemht]

Đề 1:
Bài 1:
1, Giải phương trình [tex]2x^{2}-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0[/tex]
2, Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}=2x+9\\x^{2}+2xy=6x+6 \end{matrix}\right.[/tex]

Bài 2:
1, Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình [tex]x^{2}(y-5)-xy=x-y+1[/tex]
2, Xét dãy số [tex](a_{n})[/tex], [tex](n=1;2;3;...)[/tex] được xác định bởi [tex]a_{1}=a;a_{2}=3;a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1[/tex] với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng sô [tex]A=4a_{n}a_{n+2}+1[/tex] là số chính phương

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}}\leq a+b+c[/tex]

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho: [tex]\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{NAD}[/tex]
1. BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P,Q,M,C,N cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
3. Ký hiệu diện tích của tam giác APQ là [tex]S_{1}[/tex] là diện tích của tứ giác PQMN là [tex]S_{2}[/tex] . Chứng minh rằng tỉ số [tex]\frac{S_{1}}{S_{2}}[/tex] không đổi khi M và N thay đổi.

Bài 5: Có 9 học sinh vừa lớp A vừa lớp B sắp thành một hàng dọc, đứng cách đều. Chứng minh rằng có ít nhất 1 học sinh đứng cách hai em cùng lớp với mình một khoảng cách như nhau

P/s: Có vẻ như mọi người ít "thảo luận" ở topic này nhỉ, kiểu "thảo luận" những vướng mắc khi làm bài tập ý :v. Mạnh dạn lên nào các bạn ^^

Bài 5:
file:///D:/My%20Documents/My%20Pictures/55555555.bmp
nhác đánh ra...
#nguồn....