I) Lời mở đầu:
Xin chào tất cả các bạn ^^ Chỉ còn tháng nữa thôi thì học sinh lớp 9 chúng ta sẽ bước vào một cuộc thi đây cam go, mang tính quyết định >< đó chính là kì thi TUYỂN SINH VÀO 10!
Chắc hẳn nhiều bạn đã suy nghĩ là mình sẽ thi vào một ngôi trường cấp 3 nào nhưng còn phân vân vì không biết nên chọn thi vào trường thường hay trường chuyên
Và lí do khiến bạn phân vân, lo lắng chính là vì chưa biết phải ôn những gì cho phù hợp, để khi đi thi có thể đạt được điểm số mong ước~
Vì vậy:
Topic này đã được lập ra nhằm mục đích chính là hỗ trợ các bạn ÔN LUYỆN VÀO 10KHỐI CHUYÊN TOÁN :r50
Mong các bạn ủng hộ để topic phát triển II) Nội dung:
Ở đây, mình sẽ đăng lý thuyết vàbài tập theo từng chuyên đề.
Chuyên đề 1: Phương trình vô tỉ và hệ phương trình
Chuyên đề 2: Số học
Chuyên đề 3: Hình học
Chuyên đề 4: Bất đẳng thức
Chuyên đề 5: Tổ hợp
Mỗi chuyên đề sẽ kéo dài trong vòng 4 ngày, mỗi ngày mình sẽ đăng 4 bài tập liên quan đến từng chuyên đề ấy topic này[Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào 10 chuyên.
Thứ tự các chuyên đề như đã sắp xếp bên trên ^^ Sau khi kết thúc 5 chuyên đề trên, chúng ta sẽ cùng nhau luyện đề thi.
Đăng 4 bài mới vào mỗi tối. III) Nội quy của topic
Ở đây, khi nhìn thấy VT của (1) là 2 căn thức bậc ba còn VP của (1) thì là 1 ta sẽ nghĩ ngay đến việc lập phương 2 vế. Sau đó áp dụng HĐT đã học [tex](a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)[/tex] vào VT thì thu được (*)
Lại để ý tiếp ta có thể thay [tex]\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1[/tex] vào (*) nhưng vì đây là phương trình đã cho lúc đầu mà ta lại không chắc chắn rằng phương trình ấy luôn có nghiệm dẫn đến phải sử dụng dấu [tex]\Rightarrow[/tex] để có (**)
Đến đây ta thu được một phương trình ngắn gọn, khá nhẹ nhàng. Chuyển vế rồi lập phương thêm một lần nữa ta thu được phương trình bậc ba. Có thể nhẩm nghiệm để tách phương trình này thành phương trình tích hoặc sử dụng máy tính CASIO ( hoặc VINACAL) để hỗ trợ việc tách.
Rất may mắn, nghiệm của phương trình này rất đẹp.
Thử lại các giá trị x vừa tìm được và rút gọn.
Ghi chú: Trong ví dụ trên có thể có bạn không thử lại các giá trị x vừa tìm được dẫn đến kết luận sai nghiệm của phương trình. Lí do: Khi thay [tex]\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1[/tex] vào (**) thì các bạn không để ý rằng chắc gì phương trình đã cho đã có nghiệm vậy nên bước thay đó ta phải dùng dấu [tex]\Rightarrow[/tex] và khi tìm được nghiệm của (**) ta phải thử lại kết quả vào phương trình đã cho.
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải phương trình [tex]\sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2[/tex]
Bài 2: Giải phương trình [tex]\sqrt[3]{16-x^{3}}=4-x[/tex]
Bài 3: Giải phương trình [tex]\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{1-x}}=1[/tex]
2. Phương pháp đưa về phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ)
Ví dụ 2: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{x^{2}-6x+9}=1[/tex] (2)
$(2)\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left | x-1 \right |+\left | x-3 \right |=1$
$\Leftrightarrow ....$
Đến đây thì lập bảng xét dấu rồi giải
Phân tích hướng suy nghĩ:
Nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn đều có thể đưa về HĐT dạng [tex](a-b)^{2}[/tex] ta liền đưa chúng về dạng như vậy.
Áp dụng [tex]\sqrt{A^{2}}=\left | A \right |[/tex] vì ta chưa rõ dấu của A
Phương trình đã cho giờ đã trở thành phương trình chứa dấu GTTĐ.
Lập bảng xét dấu để phá dấu GTTĐ và giải phương trình.
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải phương trình [tex]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2[/tex]
Bài 2: Giải phương trình [tex]\sqrt{x+3}-4\sqrt{x-1}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1[/tex]
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
a, Đặt ẩn phụ thông thường Ví dụ 3: Giải phương trình sau [tex]3x^{2}+21x+18+2\sqrt{x^{2}+7x+2}=2[/tex] (3)
ĐKXĐ: [tex]x^{2}+7x+2\geq 0[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{x^{2}+7x+2}=a(a\geq0 )[/tex]
Khi đó [tex](3)\Leftrightarrow 3a^{2}+2a=-10\Leftrightarrow 3(a+\frac{1}{3})^{2}=\frac{-29}{3}[/tex] (vô lý)
=> phương trình đã cho vô nghiệm
Phân tích hướng suy nghĩ:
Để ý rằng [tex]3x^{2}+21x+18=3(x^{2}+7x+2)+12[/tex] mà biểu thức dưới dấu căn lại chính là $x^{2}+7x+2$ nên ta nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ để thu gọn phương trình đã cho [tex]\sqrt{x^{2}+7x+2}=a(a\geq 0)\Rightarrow 3(x^{2}+7x+2)+12=3a^{2}+12[/tex]
Sau khi đặt xong thì thu được bậc 2, 1 ẩn, dễ giải.
b, Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2 Ví dụ 4: Giải phương trình sau: [tex]5\sqrt{x^{3}+1}=2(x^{2}+2)[/tex] (4)
Biểu thức dưới dấu căn: [tex]x^{3}+1[/tex] chính là HĐT quen thuộc [tex]a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})[/tex] nên ta tách [tex]\sqrt{x^{3}+1}=\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}[/tex]
Nhận ra 1 điều thú vị rằng: [tex](\sqrt{x+1})^{2}+(\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}=x^{2}+2=\frac{VP}{2}[/tex] nên ta nghĩ đến việc biến đổi VP về $2(\sqrt{x+1})^{2}+(\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}$
Phương trình khi đó khá cồng kềnh => nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đẻ thu gọn phương trình lại
Sau khi đặt, ta thu được 1 phương trình đẳng cấp bậc 2. Dạng tổng quát của nó [tex]ma^{2}+nab+qb^{2}=0(m;q;n\neq 0)[/tex] (1)
*Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2:
Với b=0 thử trực tiếp
Với [tex]b\neq 0[/tex] thì [tex](1)\Leftrightarrow m(\frac{a}{b})^{2}+n.\frac{a}{b}+q=0[/tex]. coi đây là phương trình bậc 2 ẩn [tex]\frac{a}{b}[/tex] rồi giải như thường.
Đến đây thì trở lại cách đặt và giải tiếp thôi ~
c, Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ 5: Giải phương trình sau: [tex]x^{2}+(3-\sqrt{x^{2}+2})x=1+2\sqrt{x^{2}+2}[/tex] (5)
Đặt [tex]\sqrt{x^{2}+2}=a(a\geq \sqrt{2})[/tex]
[tex](5)\Leftrightarrow x^{2}+2-(2+x)\sqrt{x^{2}+2}-3+3x=0\Leftrightarrow a^{2}-(2+x)a-3+3x=0\Leftrightarrow (a-3)(a-x+1)=0\Leftrightarrow ...[/tex]
Phân tích hướng suy nghĩ:
Để ý rằng cả 2 vế của phương trình đã cho đều có [tex]\sqrt{x^{2}+2}[/tex] => nghĩ đến việc đặt ẩn phụ [tex]\sqrt{x^{2}+2}=a(a\geq \sqrt{2})[/tex]
Sau khi đặt ta thu được 1 phương trình bậc 2 ẩn a tham số x => nghĩ đến việc phân tích phương trình này thành phương trình tích. Thật may mắn vì [tex]\Delta _{a}=(x-4)^{2}[/tex] nên phương trình đó có nghiệm là [tex]a_{1}=3;a_{2}=x-1[/tex] => phương trình đó có thể tách được thành [tex](a-3)(a-x+1)=0[/tex]
Từ đây thì dễ rồi nha
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải phương trình [tex]2x^{2}+\sqrt{2x^{2}-4x+12}=4x+8[/tex]
Bài 2: Giải phương trình [tex]\sqrt{2x-1}+x^{2}-3x+1=0[/tex]
Bài 3: Giải phương trình [tex]\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2[/tex]
4. Phương pháp đưa về hệ phương trình
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: [tex]\sqrt[3]{(x+1)^{2}}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x^{2}-1}=1[/tex] (7)
Đặt [tex]\sqrt[3]{x+1}=a;\sqrt[3]{x-1}=b[/tex]
Khi đó, ta có: $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+ab=1(*)\\ a^{3}-b^{3}=2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+ab=1\\ (a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)=2 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow a-b=2$
$\Leftrightarrow a=b+2$
Thay vào (*) và giải....
Ví dụ 7: Giải phương trình sau: [tex]2x^{2}-6x-1=\sqrt{4x+5}[/tex] (8)
ĐKXĐ: [tex]x\geq \frac{-5}{4}[/tex]
(8) [tex]\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=2\sqrt{4x+5}+11[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{4x+5}=2y-3(y\geq \frac{3}{2})[/tex]
Khi đó, ta có:
$\left\{\begin{matrix} (2x-3)^{2}=4y+5 (*)\\ (2y-3)^{2}=4x+5 (**) \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế của (*) và (**)
$ \Rightarrow (x-y)(x+y-2)=0$
$\Leftrightarrow ...$
Nhiều bạn đọc sẽ bỡ ngỡ vì không hiểu tại sao ở ví dụ 7 lại đặt như vậy
Cái này thì rất khó để đưa ra hướng suy nghĩ, vậy nên mình sẽ đưa ra cách giải tổng quát nhé
Dạng 1: Giải phương trình: [tex]\sqrt{ax+b}=cx^{2}+dx+e[/tex] với [tex]ac\neq 0[/tex]
Lời giải:
Đặt $\sqrt{ax+b }=\alpha y+\beta $
Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}
\alpha y+\beta =cx^{2}+dx+e\\
ax+b=(\alpha y)^{2}+2\alpha \beta y+\beta ^{2}
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
cx^{2}+dx-\alpha y=\beta -e(1)\\
(\alpha y)^{2}+2\alpha \beta y-ax=b-\beta ^{2}(2)
\end{matrix}\right.$
Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta $ sao cho để khi biến đổi [TEX](1);(2)[/TEX] rồi trừ theo vế, ta được một phương trình có dạng $(x\pm y)G_{(x;y)}=0$ từ đó giúp ta giải được phương trình ban đầu.
Dạng 2:Giải phương trình $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$
Lời giải:
Đặt $\sqrt[3]{ax+b }=\alpha y+\beta $
Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}
\alpha y+\beta =cx^{3}+dx^{2}+ex+f\\
ax+b=(\alpha y)^{3}+3\alpha ^{2}\beta y+3\alpha \beta ^{2}y+\beta ^{3}
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
cx^{3}+dx^{2}+ex-\alpha y=\beta -f(1)\\
(\alpha y)^{3}+3\alpha ^{2}\beta y+3\alpha \beta ^{2}y-ax=b-\beta ^{3}(2)
\end{matrix}\right.$
Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta $ sao cho để khi biến đổi [TEX](1);(2)[/TEX] rồi trừ theo vế, ta được một phương trình có dạng $(x\pm y)G_{(x;y)}=0$ từ đó giúp ta giải được phương trình ban đầu.
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải phương trình [tex]\sqrt{3x+1}+4x^{2}-13x+5[/tex]
Bài 2: Giải phương trình [tex]\sqrt[3]{x+1}=x^{3}-15x^{2}+75x-131[/tex] 5. Phương pháp dùng BĐT
a, Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ 8: Giải phương trình sau: [tex]\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}[/tex] (9)
Có: [tex]\sqrt{3x^{2}+6x+7}=\sqrt{3(x+1)^{2}+4}\geq \sqrt{4}=2[/tex] với mọi x
[tex]\sqrt{5x^{2}+10x+14}=\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{9}=3[/tex] với mọi x
[tex]\Rightarrow VT\geq 5[/tex]
[tex]VP=4-2x-x^{2}= 5-(1+x)^{2}\leq 5[/tex]
Để [tex]\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow x=-1[/tex]
Vậy S={1}
b, Sử dụng các BĐT đã biết Ví dụ 9: Giải phương trình: [tex]\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=2[/tex]
Áp dụng BĐT AM-GM cho VT. Rồi chỉ ra dấu "=" xảy ra khi nào.
Phân tích hướng suy nghĩ:
Nhận thấy ở VT của pt đã cho có dạng $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ và VP =2 nên ta nghĩ đến việc áp dụng BĐT AM-GM
c, Chứng tỏ phương trình vô nghiệm vì có 1 vế luôn nhỏ hơn vế kia Ví dụ 10: Giải phương trình: [tex]\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}[/tex] (11)
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải phương trình:[tex]\sqrt{x^{2}-4x+8}+\sqrt[4]{2y^{2}+12y+19}=3[/tex]
Bài 2: Giải phương trình: [tex]-x^{2}+y^{2}+2x+4y+7=2\sqrt{(x^{2}+2x+1)(y^{2}+4y+6)}[/tex]
Bài 3: Giải phương trình [tex]\sqrt{5-x^{6}}=\sqrt[3]{3x^{4}-2}+1[/tex]
Bài 4: Giải phương trình \sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2+(x-y)^{2} 6. Phương pháp đưa về dạng [tex]A^{2}+B^{2}=0[/tex]
Ví dụ 11: Giải phương trình [tex]x^{2}+4x+5=2\sqrt{2x+3}[/tex] (12)
CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH B) HỆ PHƯƠNG TRÌNH I) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1.Dạng[tex]\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{matrix}\right.[/tex] 2.Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số - Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp ( nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0
- Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho Cách 2: Sử dụng phương pháp thế - Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn
- Giải hệ phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Cách 3: Sử dụng phương pháp đồ thị
Cách 4: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3.Ví dụ:
Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} \left | x+1 \right |+\sqrt{y}=5(1)\\ (x^{2}+2x+1)y=36(2) \end{matrix}\right.[/tex]
ĐKXĐ: [tex]y\geq 0[/tex]
Ta có (2) [tex]\Leftrightarrow (x+1)^{2}y=6\Leftrightarrow \left | x+1 \right |\sqrt{y}=6[/tex]
Đặt [tex]a=\left | x+1 \right |;b=\sqrt{y}(a,b\geq 0)[/tex]
Khi đó, ta có hpt [tex]\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ ab=6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5-b\\ (5-b)b=6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5-b\\ (2-b)(b-3)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\b=2 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} a=2\\b=3 \end{matrix}\right.[/tex]
Trở lại cách đặt...
II) Hệ phương trình đối xứng loại 1
1. Định nghĩa
Một hệ phương trình hai ẩn x;y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y ( nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y cho nhau)
2. Tính chất
Nếu [tex](x_{0};y_{0})[/tex] là một nghiệm của hệ thì [tex](y_{0};x_{0})[/tex] cũng là nghiệm của hệ
3. Cách giải thường dùng
Đặt x+y=S và xy=P với ĐK [tex]S^{2}\geq 4P[/tex]
4. Ví dụ
VD1: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+xy=11\\x^{2}+y^{2}+3(x+y)=28 \end{matrix}\right.[/tex]
Hpt [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+xy=11\\ (x+y)^{2}-2xy+3(x+y)=28 \end{matrix}\right.[/tex]
Đặt x+y=S và xy=P với ĐK [tex]S^{2}\geq 4P[/tex]
Khi đó ta có [tex]\left\{\begin{matrix} S+P=11\\S^{2}-2P+3S=28 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P=11-S\\ S^{2}-2(11-S)+3S=28 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P=11-S\\ (S-5)(S+10)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P=21\\ S=-10 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} P=6\\S=5 \end{matrix}\right.[/tex]
Trở lại cách đặt ...
VD2: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}+x-y=5\\ x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}=6 \end{matrix}\right.[/tex]
VD3: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+6(x-1)y+4y^{2}=20\\ x^{2}+(2y+1)^{2}=2 \end{matrix}\right.[/tex]
Đặt a=x-1; b=2y thì hệ [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+3ab+b^{2}=20\\ (a+1)^{2}+(b+1)^{2}=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^{2}+ab=20\\ (a+b)^{2}-2ab+2(a+b)=0 \end{matrix}\right.[/tex] (*)
Đặt a+b=S; ab=P với [tex]S^{2}\geq 4P[/tex]
Khi đó $(*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S^{2}+P=20\\S^{2}-2P+2S=0 \end{matrix}\right.$
.....
III) Hệ phương trình đối xứng loại 2
1. Định nghĩa
Một hệ phương trình hai ẩn x;y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình, khi đổ vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia
2. Tính chất
Nếu [tex](x_{0};y_{0})[/tex] là một nghiệm của hệ thì [tex](y_{0};x_{0})[/tex] cũng là nghiệm của hệ
3.Cách giải thường dùng
Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận được phương trình tích dạng [tex](x-y).f(x;y)=0[/tex]
4. Ví dụ :
Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=2y(1)\\y^{3}+1=2x \end{matrix}\right.[/tex]
Trừ vế theo vế, ta có:
[tex]x^{3}-y^{3}=2(y-x)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+2)=0\Leftrightarrow x-y=0[/tex] ( vì $x^{2}+xy+y^{2}+2>$)
$\Leftrightarrow x=y$\Thay vào phương trình (1) ta được
[tex]x^{3}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+x-1)=0[/tex]
TH1: x-1=0 <=> x=1 => y=1
TH2: [tex]x^{2}+x-1=0\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
Vậy hpt có nghiệm...
IV) Hệ phương trình đẳng cấp Đa thức hai biến x và y có dạng [tex]A(x,y)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n+1}u+a_{n-2}x^{n-2}y^{2}+...+a_{2}x^{2}y^{n-2}+a_{1}xy^{n-1}+a_{0}y^{n}[/tex]
trong đó n là số tự nhiên, [tex]a_{0};a_{1};..;a_{n}[/tex] là những số thực không đồng thời bằng 0, được gọi là đa thức đẳng cấp bậc n
1. Định nghĩa
Đa thức hai biến x và y có dạng [tex]\left\{\begin{matrix} f_{1}(x,y)=g_{1}(x,y)\\ f_{2}(x,y)=g_{2}(x;y) \end{matrix}\right.[/tex]
trong đó $f_{1}(x,y)$ và $f_{2}(x,y)$ là 2 đa thức đẳng cấp cùng bậc; $g_{1}(x,y)$ và $g_{2}(x,y)$ là 2 đa thức đẳng cấp cùng bậc
2. Cách giải
- Khử hạng tử tự do để dẫn tới phương trình
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n+1}u+a_{n-2}x^{n-2}y^{2}+...+a_{2}x^{2}y^{n-2}+a_{1}xy^{n-1}+a_{0}y^{n}=0$ (3)
- Trường hợp y=0, ta xét trực tiếp
- Trường hợp [tex]y\neq 0[/tex] thì đặt [tex]t=\frac{x}{y}[/tex] . Ta nhận được hệ phương trình mới ( ẩn t và y) tương đối đơn giản và dễ giải hơn
- Khử y và giải phương trình ẩn t, rồi tìm y và x theo t đã biết
3. Ví dụ
Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+3xy+y^{2}=15(1)\\ x^{2}+xy+2y^{2}=8(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Hpt [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 16x^{2}+24xy+8y^{2}=120\\ 15x^{2}+15xy+30y^{2}=120 \end{matrix}\right.[/tex]
Trừ vế với vế, ta được [tex]x^{2}+9xy-22y^{2}=0[/tex] (3)
Xét y=0 không là nghiệm của hệ đã cho
Xét [tex]y\neq 0[/tex] khi đó [tex](3)\Leftrightarrow (\frac{x}{y})^{2}+9\frac{x}{y}-22=0[/tex]
Đặt [tex]t=\frac{x}{y}[/tex] thì [tex]t^{2}+9t-22=0\Leftrightarrow (t-2)(t+11)=0\Leftrightarrow ...[/tex]
V) Một số hệ phương trình dạng khác Linh hoạt trong từng bài.... (còn tiếp...)
CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ HỌC (Phương trình nghiệm nguyên) Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên I) Áp dụng tính chia hết Các tính chất thường dùng
Với a,b,c,d là các số nguyên, ta luôn có:
Nếu [tex]a\vdots c[/tex] và [tex]a\pm b\vdots c[/tex] thì [tex]b\vdots c[/tex]
Nếu [tex]a\vdots b;b\vdots c[/tex] thì [tex]a\vdots c[/tex]
Nếu [tex]ab\vdots c[/tex] mà (a;c)=1 thì [tex]b\vdots c[/tex]
Nếu [tex]a\vdots b[/tex] và [tex]c\vdots d[/tex] thì [tex]ab\vdots cd[/tex]
Nếu [tex]a\vdots b[/tex] và [tex]a\vdots c[/tex] mà (b;c)=1 thì [tex]a\vdots bc[/tex]
Trong m số nguyên liên tiếp, bao giê cũng tồn tại một số là bội của m.
1. Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x+17y=159 (1)
Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1).
Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 3
[tex]\Rightarrow y\vdots 3[/tex] ( vì (17;3)=1)
Đặt y = 3t (t ∈ Z).
Thay vào phương trình (1), ta được
[tex]3x+17.3t=159\Leftrightarrow 3x=159-51t\Leftrightarrow x=53-17t[/tex]
Do đó, phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên biểu diễn dưới dạng (x;y) = (53-17t;3t) với t ∈Z
*Bài tập đề nghị Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 35x+20y=600
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên 11x+18y=120
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 12x-7y=45
2. Đưa về phương trình ước số
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên [tex]xy-x-y=2[/tex] (2)
[tex](2)\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=3[/tex]
Vì x,y nguyên nên x-1 và y-1 nguyên và là các ước của 3
Mà Ư(3)={[tex]\pm 1;\pm 3[/tex] } nên ta có bảng sau
x-1
1
-1
3
-3
x
2
0
4
-2
y-1
3
-3
1
-1
y
4
-2
2
0
[TBODY]
[/TBODY]
Vậy....
*Bài tập đề nghị Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 2x+5y+3xy=8
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên [tex]x^{2}-y^{2}=2013[/tex]
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{6} + 3x^{3} + 1 = y^{4}$
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y^{2}$
Bài 5. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2} +3xy−y^{2} +2x−3y = 5$.
3. Tách ra các giá trị nguyên
Ví dụ 3: Tìm các số nguyên dương x,y sao cho 6x + 5y + 18 = 2xy (3)
[tex](3)\Leftrightarrow x(6-2y)=-5y-18\Leftrightarrow x=\frac{-5y-18}{6-2y}\Leftrightarrow 2x=\frac{-10y-36}{6-2y}\Leftrightarrow 2x=\frac{-66+5(6-2y)}{6-2y}\Leftrightarrow 2x=\frac{-33}{3-y}+5[/tex]
Để x nguyên dương thì 3-y phải là ước của -33 hay 3-y thuộc {[tex]\pm 1;\pm 3;\pm 11;\pm 33[/tex] }
Mà [tex]y\geq 1\Rightarrow 3-y\leq 2[/tex]
nên 3-y thuộc {[tex]\pm 1;-3;-11;-33[/tex] }
...
*Bài tập đề nghị Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2} −xy = 6x−5y−8$
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $ x^{2} + x + 1 = 2xy + y$
II) Xét số dư ở từng vế *Phương pháp này chủ yếu dùng cho các bài phương trình không có nghiệm nguyên. Vậy nên khi bạn bắt gặp một phương trình bất kì mà bạn không thể tìm ra được nghiệm cho phương trình đó, thì hãy nghĩ đến phương pháp này đầu tiên.
1. Đối với phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các bình phương thì ta thường xét đồng dư với 3,4,5,8.
Cụ thể là: $a^{2}$ ≡ 0,1 (mod 3)
$a^{2}$ ≡ 0,1 (mod 4)
$a^{2}$ ≡ 0,1,4 (mod 5)
$a^{2}$ ≡ 0,1,4 (mod 8)
2. Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì ta thường xét đồng dư với 9, vì $x^{3}$ ≡ 0;1;8 (mod 9) và đồng dư với 7, vì $x^{3}$ ≡ 0,1,6 (mod 7).
3. Đối với phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các lũy thừa bậc 4 thì ta thường xét đồng dư với 8, như: $x^{4}$ ≡ 0,1 (mod 8).
4. Định lí Fermat: Đối với phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các lũy thừa có số mũ là một số nguyên tố hay là một số mà khi cộng 1 vào số đó ta được một số nguyên tố thì ta thường sử dụng định lí nhỏ Fermat để xét đồng dư. Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên [tex]9x+2=y^{2}+y[/tex]
Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình [tex]4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+4[/tex] (5)không có nghiệm nguyên
Giải sử có các số nguyên x;y;z thỏa mãn (5) [tex](5)\Leftrightarrow (2x+1)^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5(*)[/tex]
+)Vì x nguyên nên 2x+1 là số lẻ
[tex]\Rightarrow (2x+1)^{2}[/tex] là số chính phương lẻ
[tex]\Rightarrow (2x+1)^{2}[/tex]≡ 1 (mod 8)
Hay VT chia 8 dư 1 (*)
+)Ta có: [tex]8y^{3}\vdots 8[/tex]
Nếu x là số nguyên lẻ [tex]\Rightarrow 2z^{2}[/tex] ≡ 2 (mod 8) [tex]\Rightarrow VP[/tex] chia 8 dư 7
Nếu x là số nguyên chẵn [tex]\Rightarrow 2z^{2}\vdots 8[/tex] khi đó VP chia 8 dư 5
Suy ra VP của (5) là số chia 8 dử 5 hoặc 7 ( trái với (*))
=> Điều giải sử là sai.
Vậy...
*Bài tập đề nghị Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(2^{x} + 1)(2^{x} + 2)(2^{x} + 3)(2^{x} + 4)−5^{y} = 11879$
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 1012$
II) Dùng Bất đẳng thức
1. Sắp xếp thứ tự các ẩn
*Đối với các phương trình mà các ẩn có vai trò như như nhau thì thường sử dụng phương pháp này. Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x+y+z=xyz
Vì x,y,z có vai trò như nhau nên giả sử [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex]
Do đó [tex]xyz=x+y+z\leq 3z\Leftrightarrow xy\leq 3\Rightarrow[/tex] xy thuộc {1;2;3}
+) Với xy=1 [tex]\Rightarrow x=y=1[/tex] . Thay vào (6) được 2+z=z => z=0 ( vô lý)
+) Với xy=2 [tex]\Rightarrow x=1;y=2[/tex] . Thay vào (6) được 3+z=2z => z=3 (thỏa mãn)
+) Với xy=3 [tex]\Rightarrow x=1;y=3[/tex] . Thay vào (6) được 4+z=3z => z=2 (loại)
Vậy nghiệm nguyên (x;y;z) của (6) là (1;2;3) và các hoán vị của nó
*Bài tập đề nghị Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2(x+y+z)+9 = 3xyz.
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương xyz = 3(x + y + z).
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt
2. Áp dụng các BĐT đã biết
*Thường sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá một vế của phương trình không nhỏ hơn (hoặc không lớn hơn) vế còn lại. Muốn cho hai vế bằng nhau thì bất đẳng thức phải trở thành đẳng thức Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x + y + 1)^{2} = 3(x^{2} + y^{2} + 1)$
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](x+y+1)^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}+1)=3(x^{2}+y^{2}+1)[/tex]
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1
Vậy..
*Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^{2} + 1)(y^{2} + 4)(z^{2} + 9) = 48xyz$
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình [tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3[/tex]
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3(x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2) = 2(x^{2} −x + 1)(y^{2} −y + 1)$
3. Chỉ ra nghiệm nguyên
Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình [tex]2^{x}+3^{x}=5^{x}[/tex] với x là số tự nhiên
[tex]2^{x}+3^{x}=5^{x}\Leftrightarrow (\frac{2}{5})^{x}+(\frac{3}{5})^{x}=1[/tex] (*)
Xét x=0 thì [tex](\frac{2}{5})^{0}+(\frac{3}{5})^{0}=2[/tex] trái với (*)
Xét x=1 thì [tex](\frac{2}{5})^{1}+(\frac{3}{5})^{1}=1[/tex] ( đúng)
Xét [tex]x\geq 2\Rightarrow (\frac{2}{5})^{x}< \frac{2}{5};(\frac{3}{5})^{x}< \frac{3}{5}\Rightarrow (\frac{2}{5})^{x}+(\frac{3}{5})^{x}< \frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1[/tex] trái với (*)
Vậy x=1
*Bài tập đề nghị Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình [tex](\sqrt{3})^{x}+(\sqrt{4})^{x}=(\sqrt{5})^{x}[/tex]
4. Sử dụng [tex]\Delta[/tex] của phương trình bậc hai
Ví dụ 9: Giải phương trình nghiệm nguyên [tex]x+y+xy=x^{2}+y^{2}[/tex] (9)
[tex](9)\Leftrightarrow x^{2}-(y+1)x+(y^{2}-y)=0[/tex]
[tex]\Delta_{x} =(-y-1)^{2}-4(y^{2}-y)=-3y^{2}+6y+1[/tex]
Để (9) có nghiệm thì [tex]\Delta _{x}\geq 0\Leftrightarrow -3y^{2}+6y+1\geq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq 2[/tex]
+) Với y=0 thì [tex](9)\Leftrightarrow x=x^{2}\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow ...[/tex]
+) Với [tex]y=1\Rightarrow (9)\Leftrightarrow x+1+x=x^{2}+1\Leftrightarrow x(x-2)=0\Leftrightarrow ...[/tex]
+) với y=2 thì [tex](9)\Leftrightarrow x+2x+2x=x^{2}+4\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow ...[/tex]
vậy...
Ví dụ 10: Giải phương trình nghiệm nguyên $3x^{2} −y^{2} −2xy−2x−2y + 8 = 0$ (10)
Ta có (10)[tex]\Leftrightarrow y^{2}+2(x+1)y-(3x^{2}-2x+8)=0[/tex]
[tex]\Delta '_{y}=(x+1)^{2}+3x^{2}-2x+8=4x^{2}+9[/tex]
Để (10) có nghiệm thì [tex]\Delta '_{y}=4x^{2}+9[/tex] là số chính phương.
Đặt [tex4x^{2}+9=k^{2}[/tex] với k ∈N, ta đưa về phương trình ước số và tìm được x ∈{2;0;−2}.
+)Với x = 2 ta được $y^{2} + 6y−16 = 0$ nên y ∈{−8;2}.
+)Với x = 0 thì $y^{2} + 2y−8 = 0$ nên y ∈{−4;2}.
+)Với x = −2 thì $y^{2} −2y−24 = 0$ nên y ∈{−6;4}.
vậy...
*Bài tập đề nghị Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $10x^{2} + 5y^{2} + 38 − 12xy + 16y−36x = 0$
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên phương trình $9x^{2} +x^{2} +4y^{2} +34−12xy+ 20y−36x = 0 $
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của $x + 2y^{2} + 3xy + 3x + 5y = 14$
CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ HỌC (Số nguyên tố) I. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa - Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
- Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
- Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố.
2. Một số định lý cơ bản - Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn (không có số nguyên tố nào là lớn nhất)
- Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q hoặc số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p thì p = q.
- Nếu số nguyên tố p chia hết tích abc thì p chia hết ít nhất một thừa của tích abc:
$p\vdots abc\Rightarrow p\vdots a$ hoặc $p\vdots b$ hoặc $p\vdots c$
- Nếu số nguyên tố p không chia hết a và b thì p không chia hết tích ab. 3. Cách nhận biết một số là số nguyên tố - Cách 1:
Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2;3;5;7...
Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố. - Cách 2:
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố. *Hệ quả: Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến $\sqrt{A}$ thì A là một nguyên tố.
4.Số các ước số và tổng các ước số của một số Giả sử [tex]A=p_{1}^{x_{1}}.p_{2}^{x_{2}}......p_{n}^{x_{n}}[/tex] trong đó [tex]p_{i}\in \mathbb{P};x_{i}\in \mathbb{N};i=\overline{1,n}[/tex]thì:
Số các ước số của A bằng [tex](x_{1}+1)(x_{2}+1).....(x_{n}+1)[/tex]
Tổng các ước số của A bằng $\frac{p_{1}^{x_{1}+1}-1}{p_{1}-1}.\frac{p_{2}^{x_{2}+1}-1}{p_{2}-1}.....\frac{p_{n}^{x_{n}+1}-1}{p_{n}-1}.$
5. Hai số nguyên tố cùng nhau
- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
- Hai số tự nhiên liên tiếp thì luôn luôn nguyên tố cùng nhau.
- Hai số nguyên tố khác nhau thì luôn luôn nguyên tố cùng nhau.
- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b,c) = 1.
- Nhiều số tự nhiên được gọi là nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. * Chú ý: 3 số nguyên tố sánh đôi thì chúng nguyên tố cùng nhau:
(a, b) = (b, c) = (c, a) = 1 $\Rightarrow $ (a, b, c) = 1
Đảo lại không đúng.
Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau thì chưa chắc chúng nguyên tố sánh đôi.
6. Một số định lý đặc biệt - Định lý Dirichlet
Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x,a,b ∈N, a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
*Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn có vô số số nguyên tố dạng: 2x−1;3x−1;4x+3;6x+ 5;...---
- Định lý Tchebycheff-Betrand
Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n > 2).
- Định lý Vinogradow
Mọi số lẻ lớn hơn $3^{3}$ là tổng của 3 số nguyên tố.
II) Một số bài toán về số nguyên tố
1. Chứng minh số nguyên tố
Ví dụ 1: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau.
Suy ra a và b có ít nhất một ước số d > 1 ($a\vdots d;b\vdots d$)
$\Rightarrow (a+b)\vdots d\Leftrightarrow p\vdots d$
mà d>1 nên điều này vô lý, vì p là một số nguyên tố
$\Rightarrow $ (a, b) = 1.
Ví dụ 2: Cho $2^{m}-1$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng m là sô nguyên tố.
Giả sử m là hợp số.
$\Rightarrow m = pq$ , với $p,q\in \mathbb{N}$ và $p,q>1$
Ta có: $2^{m}-1=2^{pq}-1=(2^{p})^{q}-1=(2^{p}-1)[(2^{p})^{q-1}+(2^{p})^{q-2}+...+1]$
Vì $p>1\Rightarrow 2^{p}-1>1$ và $(2^{p})^{q-1}+(2^{p})^{q-2}+...+1>1$
Suy ra: $2^{m}-1$ là một hợp số, mâu thuẫn với giả thiết
Vậy m là số nguyên tố.
. *Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh rằng: mọi ước nguyên tố của 1994!−1 đều lớn hơn 1994. Bài 2: Cho m và $m^{2} + 2$ là hai số nguyên tố. Chứng minh rằng $m^{3} + 2$ cũng là một số nguyên tố.
2. Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 2: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b, c Ta có: $abc=5(a+b+c)\Rightarrow 5\vdots abc$
Do vai trò của a, b và c bình đẳng. Giả sử $5\vdots a$ và a là số nguyên tố nên a = 5.
Suy ra: $bc = 5 + bc \Rightarrow (b - 1)(c - 1) = 6$
Vì b,c là các số nguyên tố nên (b-1) và (c-1) là các ước dương của 6
Ta có bảng sau
b-1
1
6
2
3
c-1
6
1
3
2
b
2
7
3
4
c
7
2
4
3
Kết luận
t/m
t/m
loại
loại
[TBODY]
[/TBODY]
Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2, 5, 7.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các số nguyên tố p để: $2^{p}+p^{2}$ cũng là số nguyên tố.
$p>3\Rightarrow p$ không chia hết cho 3. Ta có $2^{p}+p^{2}=(p^{2}-1)+(2^{p}+1)$. Vì p lẻ $\Rightarrow 2^{p}+1\vdots 3$ và $p^{2}-1=(p-1)(p+1)\vdots 3\Rightarrow 2^{p}+p^{2}\notin \mathbb{P}$
Vậy p=3
* Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm hai số nguyên tố p và q sao cho $p^{2}=8q+1$ Bài 2: Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố.
3. Nhận biết số nguyên tố
Ví dụ 5: Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p−1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Nếu $p=2 \Rightarrow 8p + 1 = 17 \in \mathbb{P};8p−1 = 15\notin \mathbb{P}$
Nếu $p=3 \Rightarrow 8p−1 = 23\in \mathbb{P};8p−1 = 25 \notin \mathbb{P}$
Nếu p > 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p−1;8p và 8p+1. Trong 3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số 8p + 1 và 8p−1 chia hết cho Vậy nếu $p\in \mathbb{P}$ và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p−1 là số nguyên tố thì số còn lại phải là hợp số.
. *Bài tập đề nghị: Bài 1: Nếu$p\geq 5$ và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số?
CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ HỌC (Số chính phương) I) Kiến thức cơ bản:
1.Định nghĩa:
Số nguyên A được gọi là số chính phương nếu tồn tại số nguyên dương a sao cho: A=$a^{2}$
Phát biểu: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
2.Tính chất:
- Số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9.
- Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Kí hiệu: 3n và 3n + 1, ($n\in \mathbb{N}$)
- Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Kí hiệu: 4n và 4n + 1, ($n\in \mathbb{N}$)
- Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. *Vận dụng tính chất:
- Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương.
- Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Một số cách nhận biết số không chính phương N:
Cách 1: Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8.
Cách 2: Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ.
Cách 3: Xét số dư khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8.
Cách 4: Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
Cách 5: N chia cho 3 dư 2; N chia cho 4; 5 có số dư là 2; 3.
Cách 6: Một số tính chất về số dư khi chia cho 5, 6, 7, ... các bạn có thể tự suy ra bằng cách đặt số ban đầu là nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ...).
II) Một số dạng bài tập
1. Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là số chính phương
Ví dụ 1: Cho $S=1.2.3+2.3.4+...+k(k+1)(k+2)$ với $k\in \mathbb{N}^{*}$. Chứng minh 4S+1 là số chính phương
Ta có: $k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2).4=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)-\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k-1)$
$\Rightarrow S=\frac{1}{4}.1.2.3.4-\frac{1}{4}.0.1.2.3+\frac{1}{4}.2.3.4.5+\frac{1}{4}.1.2.3.4+...+\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)-\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)$
$\Rightarrow 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1=(k^{2}+3k)(k^{2}+3k+2)+1=(k^{2}+3k)^{2}+2(k^{2}+3k)+1=(k^{2}+3k+1)^{2}$
Vì $k\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow k^{2}+3k+1\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow 4S+1$ là số chính phương (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh $3^{n}+63$ không chính phương với $n\in \mathbb{N};n\neq 0;n\neq 4$
+) Xét n lẻ. Đặt: n = 2k + 1, ($k\in \mathbb{N}$) Ta có: $3^{2k+1}\equiv (-1)^{2k+1}(mod4)\equiv -1(mod4)$
Mà $63\equiv 3(mod4)$ $3^{2k+1}+63\equiv 2(mod4)\Rightarrow 3^{n}+63$ không là số chính phương.
+) Xét n chẵn. Đặt n = 2k, (k ≠ 0). Đặt $3^{n}+63=x(x\in \mathbb{N})$
Vì $(3^{2k}+63)\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3$ nên đặt $x=3y(y\in \mathbb{N})$
Khi đó, ta có: $3^{2k}+63=9y^{2}\Leftrightarrow 3^{2k-2}+7=y^{2}\Rightarrow y^{2}-(3^{k-1})^{2}=7\Leftrightarrow (y-3^{k-1})(y+3^{k-1})=7$ (*)
Vì $y,k\in \mathbb{N}\Rightarrow y-3^{k-1}<y+3^{k-1}$ mà $y+3^{k-1}>0$ nên từ (*) suy ra
$\left\{\begin{matrix}
y-3^{k-1}=1\\ y+3^{k-1}=7
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 2.3^{k-1}=6\Leftrightarrow 3^{k-1}=3\Leftrightarrow k-1=1\Leftrightarrow k=2\Rightarrow n=4$
(trái với giả thiết đề bài)
Vậy $3^{n}+63$ không là số chính phương với $n\in \mathbb{N};n\neq 0;n\neq 4$
*Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng p - 1 không phải là số chính phương. Bài 2: Cho dãy số 49;4489;444889;44448889;..... Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương Bài 3: Chứng minh $n^{7}+34n+5$ không chính phương. Bài 4: Tổng bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp có phải là số chính phương không?
2. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã cho là số chính phương
Ví dụ 3:Tìm tất cả các số tự nhiên n khác 0 sao cho số: $A=n^{4}+n^{3}+1$ là một số chính phương.
Giải sử $A=n^{4}+n^{3}+1$ là một số chính phương.
Ta có: $A=n^{4}+n^{3}+1>(n^{2})^{2}$
Do đó: $A=n^{4}+n^{3}+1=(n^{2}+k)^{2}(k\in N^{*})$. $\Rightarrow n^{2}(n-2k)=k^{2}-1(*)$
$\Rightarrow (k^{2}-1)\vdots n^{2}$ Suy ra: $k^{2}-1=0$ hoặc $k^{2}-1=n^{2}$
Với $k^{2}-1=0$, $k\in N^{*}$ thì $k=1\Rightarrow n=2\Rightarrow A=5^{2}$ thỏa mãn
Xét $k\in \mathbb{N}^{*};k>1$
Ta có: $n^{2}\leq k^{2}-1<k^{2}\Rightarrow n<k$ nên (*) vô lí
Vậy n = 2.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho $n^{2} + 2002$ là một số chính phương
Giả sử $n^{2} + 2002$ là một số chính phương.
Đặt $n^{2} + 2002=m^{2}$, với $m\in \mathbb{Z}$.
$\Rightarrow (m+n)(m-2)=2002$
Ta có m + n và m - n là hai số chẵn với $m,n\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow (m+n)(m-n)\vdots 4\Leftrightarrow 2002\vdots 4$ vô lý.
Vậy không tồn tại số nguyên n để $n^{2} + 2002$ là một số chính phương.
*Bài tập đề nghị Tìm số $a\in \mathbb{N}$ sao cho các số sau là những số chính phương:
a) $a^{2} + a + 1589 $
b) 13a + 3
c) a(a + 3)
d) $a^{2} + 81$
e) $a^{2} + a + 43$
f) $3^{a} + 72$
3. Tìm số chính phương
Ví dụ 5: Tìm số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là $\overline{abcd}$, với a, b, c, d là số tự nhiên và $1\leq a\leq 9;0\leq b,c,d\leq 9$
Vì $\overline{abcd}$ là số chính phương $\Rightarrow $ d = 0, 1, 4, 5, 6, 9
Vì d là nguyên tố \Rightarrow d=5.
Đặt:$\overline{abcd}=k^{2}<10000(k\in \mathbb{Z})\Rightarrow 32\leq k< 100$
Vì k là một số có 2 chữ số mà d = 5 nên k tận cùng bằng 5.
Tổng các chữ số của k là một số chính phương. Do đó: k = 45 và $\overline{abcd}$= 2025
Vậy số phải tìm là 2025
. Ví dụ 6: Cho A là một số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Theo đề bài, ta có:
$\left\{\begin{matrix}
A=\overline{abcd}=m^{2})\\
B=\overline{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}=n^{2}(n\in \mathbb{N})
\end{matrix}\right.$
với $m,n,a,b,c,d\in \mathbb{N}; $1\leq a\leq 9;0\leq b,c,d\leq 9
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\overline{abcd}=m^{2}\\ \overline{abcd}+1111=n^{2}
\end{matrix}\right.$
với $m,n\in N;32\leq m<n< 100$
$\Rightarrow n^{2}-m^{2}=1111\Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1111=101.111$
Vì $m,n\in N\Rightarrow 0<n-m<n+m<200$ nên
$
\left\{\begin{matrix}
m+n=101\\ n-m=11
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
n=56\\ m=45
\end{matrix}\right.$
$
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A=2025\\B=3136
\end{matrix}\right.$
Vậy A=2025;B=3136
*Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Bài 2: Tìm một hình vuông có số đo diện tích là một số tự nhiên gồm 4 chữ số mà 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
