Toán [Lý thuyết] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10

TOPIC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
Người thực hiện: Box toán Diễn Đàn Học Mãi​

I) Lời mở đầu:
- Kính chào các bạn! Sắp tới đối với các bạn học sinh lớp 9 sẽ phải bước vào một kì thi vô cùng quan trọng. Đó là kì thi chuyển cấp thi vào những ngôi trường cấp 3 mơ ước. Chính vì điều đó mà mình xin mở topic này để có thể cung cấp cho các một phần kiến thức thật vững chắc để các bạn có thể tham gia vào các kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Mong được sự ủng hộ để topic được phát triển!
II) Cách khai thác, sử dụng và nội quy của topic:
* Đầu tiên topic sẽ cung cấp cho các bạn:
+ Lý thuyết các kiến thức cơ bản để giải bài tập
+ Một số dạng bài tập theo từng chuyên đề thường gặp (phương pháp,định hướng,sai lầm trong từng dạng):

1) Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
2) Đồ thị hàm số: bậc nhất, parabol
3) Phương trình, hệ phương trình
4) Giải bài toán về cách lập phương trình, hệ phương trình
5) Nghiệm của phương trình bậc 2, ứng dụng của định lý Vi-et
6) Hình học
7) Bất đẳng thức và cực trị​

+ Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh, thành phố trên cả nước.
* Cách khai thác topic hiệu quả:
- Thành viên đọc nghiên cứu kĩ các dạng bài tập của từng chuyên đề (Không hiểu chỗ nào có thể hỏi vì đây là nền tảng để các bạn có thể đạt điểm trong đề thi)
- Sau khi đăng xong mỗi chuyên đề sẽ có bài tập tự luyện nhiệm vụ của các thành viên là hoàn thành các bài tập tự luyện (Sau một khoảng thời gian nếu không ai giải bài hoặc giải sai thì các mod, t-mod sẽ đăng đáp án để tham khảo). Thảo luận tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/thao-luan-topic-on-tap-thi-tuyen-sinh-vao-lop-10.617259/
- Sau khi đăng các chuyên đề thì sẽ là phần dành cho luyện đề thi: Hằng ngày các mod, t-mod sẽ đăng lên 1 đề tuyển sinh trên các tỉnh, thành phố cả nước. Và công việc của các bạn là giải các đề thi của mình đăng (Có thể gõ bằng $\LaTeX$ hoặc chụp ảnh bài làm nhưng phải rõ ràng). Nếu các bạn không làm được thì mình sẽ gợi ý. Trong quá trình các bạn làm, mình sẽ sửa lỗi sai của các bạn một cách cụ thể nhất. Hết ngày mình sẽ đăng lời giải chi tiết để các bạn tham khảo.
* Và một điều vô cùng quan trọng đó chính nội quy của topic:
+ Cấm spam dưới mọi hình thức.
+ Khuyến khích các bạn gõ các công thức toán học bằng $\LaTeX$ của diễn đàn (Nếu bạn nào không biết thì có thể tham khảo tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/boxed-latex-huong-dan-go-ct-toan-hoc.243153/)
+ Đây là topic của môn Toán vì vậy các câu hỏi hay các câu trả lời về các môn học khác sẽ không được chấp nhận
+ Nếu đăng đề lên thì phải bôi đen và ghi rõ số thứ tự.
+ Mong mọi người chấp hành tốt nội quy của topic để góp phần phát triển topic, những ai không chấp hành thì sẽ bị xử lý theo quy định của Diễn Đàn.

Xem thêm : [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10

 

Chuyên đề 1 : Rút gọn, tính giá trị của biểu thức​

1) Nhắc lại kiến thức:
- Ở dạng này có thể là rút gọn, tính giá trị của một biểu thức chỉ chứa các con số.
VD: Rút gọn biểu thức $\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}$.
- Hay là rút gọn tính giá trị của một biểu thức chứa tham số như: $a,b,c,x,y,z,...$
VD: Rút gọn biểu thức:$\dfrac{x^2y-xy^2}{xy}$.
- Để giải những bài toán thế này chúng ta cần phải nắm rõ các công thức biến đổi đặc biệt trong căn thức (liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương, khử mẫu trục căn thức,đưa thừa số dấu căn, quy đồng, tìm mẫu số chung,...) và 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà các bạn đã được học năm lớp 8. Ngoài ra còn rất nhiều hằng đẳng thức mở rộng mà thường được áp dụng vào bài tập như:
$$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab \\
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab \\
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \\
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a) \\
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) \\
a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b) \\
a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \; (n \epsilon \mathbb{N}^*) \\
a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1}) \; (n\epsilon \mathbb{N}^*, n \text{ lẻ})$$
Ngoài ra còn rất nhiều hằng đẳng thức, kết quả quan trọng khác nhưng ở trên là những hằng đẳng thức thường gặp.
2) Một số dạng toán cơ bản:
* Dạng 1: Rút gọn biểu thức chỉ toàn chứa số.
- Vận dụng các phép biến đổi cơ bản, các hằng đẳng thức đã được học để giải quyết vấn đề. Chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ bài toán cơ bản đưa về hằng đẳng thức sau:

VD1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{11-2\sqrt{10}}$

Spoiler: VD1

Phân tích. Những dạng khi có dấu căn như thế này thì ta sẽ cố gắng đưa các con số trong căn thành bình phương của một tổng tức là sẽ có dạng $(a+b)^2$ hay $a^2+b^2+2ab$. Tới đây đồng nhất hệ số cần tìm $a,b$ sao cho $a^2+b^2=11,ab=-\sqrt{10}$ bằng cách nhẩm: Dễ thấy có 1 bộ số thỏa mãn $a=\sqrt{10};b=-1$, từ đó ta sẽ có: $$\sqrt{11-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{10}-1)^2}=|\sqrt{10}-1|$$
Tới đây ta cần để ý kiến thức quen thuộc nhưng vô cùng quan trọng sau: $$|A|=\left\{\begin{matrix}
A &,\forall A \geqslant 0 \\
-A &,\forall A < 0
\end{matrix}\right.$$
Khi đó dễ thấy $\sqrt{10}>\sqrt{1}=1 \Rightarrow |\sqrt{10}-1|=\sqrt{10}-1$

VD2 (Dạng toán sử dụng kĩ thuật trục căn thức ở mẫu để khử căn):
Rút gọn: $$B=\sqrt{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})+\dfrac{39}{7+\sqrt{10}}}$$

Spoiler: VD2

Phân tích. Đầu tiên, quan sát trong căn thức ta thấy có có chứa phân số có mẫu số là căn thức, vì vậy ta nghĩ ngay tới việc sẽ thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân một lượng liên hợp để mẫu xuất hiện bình phương một tổng $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Phần còn lại chúng ta sẽ thực hiện phép nhân với các số trong ngoặc và mong rằng sẽ rút gọn được với phần vừa liên hợp. Coi $7$ là $a$ và $\sqrt{10}$ là $b$.Vậy nên ta sẽ tiến hành nhân cả tử lẫn mẫu cho $7-\sqrt{10}$.

Lời giải. $$B=\sqrt{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})+\dfrac{39}{7+\sqrt{10}}} \\
B=\sqrt{4-\sqrt{10}+\dfrac{39(7-\sqrt{10})}{(7+\sqrt{10})(7-\sqrt{10})}} \\
B=\sqrt{4-\sqrt{10}+\dfrac{39(7-\sqrt{10})}{39}} \\
B=\sqrt{4-\sqrt{10}+7-\sqrt{10}} \\
B=\sqrt{11-2\sqrt{10}}$$
Tới đây đã trở thành bài toán ở VD1.

- Trên đấy là những ví dụ mở đầu trong quá trình làm bài tập tự luyện và làm đề các bạn sẽ hiểu hơn...

* Dạng 2: Tìm điều kiện xác định khi rút gọn các biểu thức chứa tham số:
- Dạng này có một số kiến thức khi tìm điều kiện xác định: Muốn căn bậc hai số học $\sqrt{a}$ (Trong đề bài nếu không nói gì thêm thì tự hiểu là căn bậc hai số học) tồn tại thì $a \geqslant 0$. Muốn phân số tồn tại thì mẫu số phải $\neq 0$,... Xem các ví dụ sau đây:

VD: Tìm điều kiện xác định của $P=\dfrac{1}{1-\sqrt{x^2-4}}$.

Spoiler: VD

Phân tích. Để ý có xuất hiện căn thức nên đầu tiên ta sẽ cho căn thức $ \geqslant 0$ tiếp theo đó thấy có mẫu số nên ta sẽ tìm điều kiện cho mẫu số $ \neq 0$.
Lời giải. ĐKXĐ : $\left\{\begin{matrix}
x^2-4 \geqslant 0 \\
\sqrt{x^2-4} \neq 1
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2 \geqslant 4 \\
x^2-4 \neq 1
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
|x| \geqslant 2 \\
x^2 \neq 5
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[ \begin{matrix} x \geqslant 2 \\
x \leqslant -2 \\
\end{matrix} \right. \\
x \neq \sqrt{5} \\
x \neq -\sqrt{5}
\end{matrix}\right.$

Lưu ý. Tìm điều kiện xác định là một bước vô cùng quan trọng trong giải các bài toán liên quan tới rút gọn biểu thức có chứa tham số, nhiều vấn đề khác như giải phương trình, hệ phương trình, ... và là một bước khá dễ để có điểm trong các kì thi vậy nên chúng ta phải hết sức kĩ lưỡng và cẩn trọng trong phần này.

- Tiếp theo mình sẽ giới thiệu cho các bạn về một số đẳng thức, bất đẳng thức khá hay được sử dụng trong các kì thi, được chứng minh bằng cách rút gọn:
* Nếu $a+b+c=0$ và $a,b,c \neq 0$ thì ta có:
$$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}|$$
(Hướng dẫn chứng minh bình phương 2 vế sau đó sử dụng giả thuyết).
* $\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(Nhân liên hợp ta sẽ có điều phải chứng minh).
* $\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$
* Với $k \in \mathbb{N}^*$ ta có
$$2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})<\dfrac{1}{\sqrt{k}}<2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$$
Một số bài tập tự luyện cho các kiến thức trên:

Spoiler: Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm điều kiện xác định:
a) $A=\dfrac{1}{x^2-8x+15}$.
b) $B=\sqrt{x^2-x+1}$.
c) $C=\dfrac{1}{\sqrt{2x-{\sqrt{4x-1}}}}$
d) $D=\dfrac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{2x+1}}+\sqrt{x^2-8x+14}$

Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) $A=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}$
b) $B=\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}$
c) $C=(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$
d) (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Hồ Chí Minh 2016-2017)
$D=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$
e) $E=(\sqrt{1+2\sqrt{27\sqrt{2}-38}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}) : (\sqrt{3\sqrt{2}-4})$

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức:
a) $A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{68}+\sqrt{69}}$
b) $B=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{63^2}+\dfrac{1}{64^2}}$

Bài 4. Chứng minh rằng:
$$A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}>\dfrac{9}{4}$$

* Dạng 3: Rút gọn biểu thức có chứa tham số và một số vấn đề liên quan (ĐKXĐ; tính giá trị biểu thức tại $x=...$; giá trị nhỏ nhất, lớn nhất; tìm $x$ để biểu thức đạt giá trị nguyên; giải phương trình...)

Hướng làm. B1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

B2: Rút gọn biểu thức.
B3: Thực hiện các yêu cầu của đề bài (Một số vấn đề liên quan ở trên).
B4: Kết luận (Những giá trị của tham số có thỏa mãn ĐKXĐ không?).​

- Xét ví dụ sau đây:

VD1: Cho biểu thức: $P=\dfrac{8\sqrt{x}-x-31}{x-8\sqrt{x}+15}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3\sqrt{x}-1}{5-\sqrt{x}}$.
a) Rút gọn $P$
b) Tìm các giá trị của $x$ để $P<1$
c) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ có giá trị nguyên.

Spoiler: VD1

Hướng dẫn giải. a) Đầu tiên như đã nói ở trên những bài dạng này bước đầu tiên là phải tìm điều kiện xác định của biểu thức theo hướng dẫn như trên thì ta sẽ có điều kiện xác định của biểu thức sẽ là:
$$\left\{\begin{matrix}
&x \geqslant 0 \\
&\sqrt{x}-3 \neq 0 \\
&5-\sqrt{x} \neq 0 \\
&x-8\sqrt{x}+15=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-5) \neq 0
\end{matrix}\right.$$
Dễ dàng giải điều kiện trên ta sẽ được: điều kiện xác định là:$x \geqslant 0,x \neq 9,x \neq 25$.

Việc tiếp theo là rút gọn biểu thức (Chúng ta sẽ thực hiện quy đồng biểu thức và rút gọn chú yếu là đặt dấu phù hợp để có được mẫu số chung phù hợp). Từ đó ta sẽ rút gọn được biểu thức thành: $P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$

b) Sai lầm thường gặp.
$P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}<1
\\ \Leftrightarrow \sqrt{x}+1<\sqrt{x}-5
\\ \Leftrightarrow -5>1$
Điều này vô lý, do đó không tồn tại $x$ thỏa mãn điều kiện.

Nhận xét. Theo đề bài cần tìm $x$ sao cho : $P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}<1$. Tới đây nhiều bạn sẽ nhanh tay nhân $\sqrt{x}-5$ vào 2 vế và rút gọn chuyển vế. Nhưng liệu thực sự đã đúng chưa? Câu trả lời là hoàn toàn chưa đúng, vì $\sqrt{x}-5$ đã dương đâu. Nếu nó âm thì khi nhân 2 vế thì rõ ràng chiều của bất đẳng thức sẽ bị đổi chiều. Do đó chúng ta phải chuyển 1 qua và quy đồng lên.

Lời giải đúng:
$P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}<1\\\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}-1<0
\\\Leftrightarrow \dfrac{6}{\sqrt{x}-5}<0
\\\Leftrightarrow \sqrt{x}-5<0\\\Leftrightarrow x<25$
Tới đây nhiều bạn không mắc sai lầm trên nhưng lại mắc sai lầm là kết luận ngay $x<25$ sẽ thỏa mãn điều kiện. Vậy điều kiện xác định các bạn vứt đi đâu? Phải kết hợp được ĐKXĐ thì mới thu được các giá trị $x$ thỏa mãn. Do đó điều kiện của $x$ thỏa là: $\left\{\begin{matrix}
&0<x<25 & \\
&x \neq 9 & \\
\end{matrix}\right.$

c) Phân tích. Đầu tiên, những dạng bài toán này mình sẽ đưa về dạng phân số trong đó tử số sẽ là một số nguyên và mẫu số là một biểu thức có tham số. VD: $\dfrac{1}{2x-1}$,... Sau đó muốn biểu thức nguyên thì mẫu phải là ước của tử số, từ đó có thể tìm ra x thích hợp.

Lời giải. Từ ý tưởng trên ta sẽ tách ra thành : $P=1+\dfrac{6}{\sqrt{x}-5}$.
Muốn $P$ nguyên thì rõ ràng $\dfrac{6}{\sqrt{x}-5}$ phải nguyên.Từ đó $\sqrt{x}-5 \in Ư(6)=\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}$. Tới đây bạn sẽ tìm ra $x$ và sẽ kiểm tra lại điều kiện xác định xem có $x$ nào thỏa không? Nếu thỏa thì nhận còn, không thì chúng ta sẽ loại.

Nhận xét chung. Qua bài toán này chúng ta nhận thấy việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng, nhắc chúng ta lại một chút kiến thức về bất phương trình (Nhân 2 vế với số âm thì bđt đổi chiều) và cách tìm $x$ nguyên để biểu thức nguyên. Chúng ta sẽ chuyển qua ví dụ tiếp theo:

VD2: Cho biểu thức: $B=(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1-\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{ab}}) : (1+\dfrac{a+b+2ab}{1-ab})$
a)Rút gọn và tìm giá trị của $B$ khi $a=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}$
b)Tìm max của $P$

Spoiler: VD2

Hướng dẫn giải. a) + Như ví dụ trên, đầu tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định, bước đầu sẽ là: $a,b \geqslant 0,ab \neq 1$, còn điều kiện để phần $1+\dfrac{a+b+2ab}{1-ab} \neq 0$ mình sẽ để đó sau (Vì nếu giải ra khá phức tạp). Đến một bước nào đó, ta sẽ tính được biểu thức chia này, chẳng hạn $B = \ldots \cdot \dfrac{1 - ab}{(a+1)(b+1)}$. Lúc này ta sẽ mở ngoặc và ghi "ĐK bổ sung : ...", nhưng do may mắn nhờ $a, b \geqslant 0$ nên $a, b \ne -1$, ta không cần ghi ĐK bổ sung nữa.
+ Tiếp theo đó là phần rút gọn phần này thì các bạn sẽ vận dụng các kiến thức ở trên để rút gọn và kết quả thu được sẽ là : $B=\dfrac{2\sqrt{a}}{a+1}$.
+ Tính giá trị của $B$ khi $a=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}$. Nếu để $a$ thế này thay ngay vào $B$ thì khá cồng kềnh, vì vậy mình sẽ rút gọn $a$ bằng cách liên hợp lên: $a=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=4-2\sqrt{3}$.
Tới đây xuất hiện $4-2\sqrt{3}$, đây là một kết quả khá là quen thuộc và ta có thể đưa về dạng bình phương: $\sqrt{a}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3}-1$.
Từ đây thay vào, dễ dàng tính được giá trị của biểu thức.

b) Phân tích. Để ý thấy nếu lấy tử số chia cho mẫu số thì sẽ xuất hiện dạng $\dfrac{\sqrt{a}}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì hoàn toàn tìm được max của $P$.
Vậy chúng ta nghĩ ngay tới sẽ chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{a}$ hoặc là đánh giá $\dfrac{1}{B}$.Ta sẽ chọn 1 cách là chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{a}$.
Sai lầm thường gặp. Ở đây sẽ nhiều bạn mắc sai lầm là chia ngay cả tử và mẫu cho $\sqrt{a}$. $a$ có thể bằng $0$, vậy liệu chia cả tử với mẫu cho $0$ có được không? Câu trả lời hoàn toàn là KHÔNG. Vậy nên đầu tiên ta sẽ xét $a=0$ sau đó mới tiến hành chia.

Lời giải. + Xét $a=0$ thì $B=0$
+ Xét $a \neq 0$ :
$$B=\dfrac{2\sqrt{a}}{a+1}=\dfrac{2}{\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}}\geqslant \dfrac{2}{2.\sqrt{\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}}}=1$$.
Dấu '=' xảy ra khi $a=1$.
Thay vào điều kiện thì thấy $B$ đạt min khi $a=1$ và $ab \neq 1$ (Mặc dù khi rút gọn biểu thức mất hết $b$ nhưng ngay từ đầu nếu cho $ab=1$ thì rõ ràng không tồn tại biểu thức).

Nhận xét chung. Từ đầu là một biểu thức thức rất cồng kềnh, gồm 2 biến nhưng khi rút gọn chỉ còn một biểu thức khá đẹp với 1 biến. Và lưu ý rằng, muốn chia cả tử và mẫu cho 1 số thì số đó phải khác $0$.

Chúng ta sẽ nghiên cứu một ví dụ cuối cùng sau đây.

VD3: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP. Hà Nội 2016-2017):
Cho $A=\dfrac{7}{\sqrt{x}+8}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$.
a)Tính giá trị của biểu thức A khi $x=25$.
b)Rút gọn $B$
c)Cho $P=A.B$ tìm $x$ để $P$ nguyên.

Spoiler: VD3

Hướng dẫn giải. a) Các bạn tự tìm ĐKXĐ sau đó thay $x=25$ vào rồi tính nhé.
b) Tìm ĐKXĐ sau đó quy đồng phân tích nhân tử rút gọn ta sẽ được:$B=\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$.
c) Khi đó dễ dàng tính được $P=\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}$.
Sai lầm thường gặp. Để P nguyên thì $\sqrt{x}+3$ phải là $Ư(7)=\{1,7\}$ (do $\sqrt{x}+3>0$ nên loại giá trị âm.Thay vào tìm được $x$ thỏa mãn là $x=16$.
Liệu kết quả trên đã đúng chưa? Đúng nhé =)), kết quả trên hiển nhiên đúng vì thay $x=16$ vào biểu thức thì thấy thỏa mãn ngay. Nhưng liệu có ĐỦ nghiệm không? Xin thưa là hoàn toàn không nhé. $x$ ở đây có thể không nguyên (có thể là số hữu tỉ) nên $\sqrt{x}+3$ chưa chắc là $Ư(7)$.

Phân tích. Vậy làm sao tìm $x$ để $P$ nguyên? Có thể nghĩ tới ý tưởng là giới hạn $P$ trong một khoảng nào đó, xong, do $P$ nguyên nên ta sẽ có một vài trường hợp. Ứng với mỗi trường hợp ta sẽ tìm được $x$.
Do vậy cần tìm min và max của $P$.

Lời giải đúng. Đầu tiên dễ nhận ngay ra rằng: $P = \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}>0$.
Ta đã có min giờ sẽ tìm max. Ta có $$\sqrt{x} \geqslant 0
\\\Rightarrow \sqrt{x}+3\geqslant 3
\\\Rightarrow \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\leqslant \dfrac{7}{3}$$
Do đó: $0<P\leqslant \dfrac{7}{3} \\\Rightarrow P=1 ; P=2 \; (\text{do } P \in \mathbb{N})$.
Tới đây ta sẽ thay $P=1 ; P=2$ vào tìm $x$, xem có thỏa ĐKXĐ, không nếu thỏa thì chúng ta sẽ loại.
Kết quả là sẽ thu được $x=16,x=\dfrac{1}{4}$ thỏa.

Nhận xét chung. Ở đây ta đã nhận thêm một nghiệm là $x=\dfrac{1}{4}$ làm cho P nguyên. Điều mình muốn nhấn mạnh ở đây chính là dạng toán tìm $x$ để $P$ nguyên khác với tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên. Nếu không cẩn thẩn chúng ta sẽ mất điểm ở những bài rút gọn tưởng chừng cơ bản như vậy.

Đó chính 3 VD mà mình muốn đề cập tới một số dạng khi rút gọn biểu thức. Và trong quá trình luyện đề chúng ta sẽ có thể gặp thêm nhiều dạng hơn, và sẽ dần quen với dạng này hơn.

Sau đây là một số bài tập tự luyện để các bạn quen hơn với dạng toán này:

Spoiler: Bài tập tự luyện

Bài 1. (Đề thi học sinh giỏi huyện Đắc R'Lấp 2016-2017)
Cho $P=(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$.
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn $P$
b) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=(\sqrt{7}-\sqrt{3})\sqrt{10+2\sqrt{21}}$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$

Bài 2. (Sưu tầm)
Cho $A=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x+1}}-\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$
Rút gọn $B=1-\sqrt{A+x+1}$ với $0 \leqslant x \leqslant 1$

Bài 3. (Đề thi Chu Văn An+Ams 2003-2004)
Cho $P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}$.
a) Rút gọn $P$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$
c) Tìm $x$ để biểu thức $Q=\dfrac{2\sqrt{x}}{P}$ nhận giá trị nguyên.

 

(Do một số thay đổi nên mình đẩy chuyên đề này lên trước nhé)

Chuyên đề 2 : Phương trình bậc hai - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
​

1/ Nhắc lại kiến thức.

* Phương trình bậc hai là phương trình có dạng $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (1)$$ trong đó $x$ là ẩn ; $a,b,c$ là các số cho trước gọi là hệ số và $a \ne 0$.

* Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. Ta ký hiệu $\Delta = b^2 - 4ac$, gọi là biệt thức của phương trình.

• Nếu $\Delta > 0$, ta nói phương trình có hai nghiệm phân biệt $$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} ; x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$.
• Nếu $\Delta = 0$, ta nói phương trình có nghiệm kép $$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$$.
• Nếu $\Delta < 0$, ta nói phương trình vô nghiệm.​

Ngoài ra ta còn có công thức nghiệm rút gọn, nhưng để đỡ phải nhớ thêm/đỡ phải nhầm lẫn thì mình sẽ không nhắc lại ở đây. Mình nghĩ tốt nhất ta dùng công thức nghiệm bình thường luôn nhé.

* Hệ thức Vi-ét. Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$ thì $$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \end{array} \right. .$$

* Để tìm hai số $u$ và $v$ khi biết tổng và tích của chúng, chẳng hạn $u+v = S$ và $uv = P$, ta giải phương trình $$x^2 - Sx + P = 0.$$
Khi đó $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình trên.

* Các TH đặc biệt của phương trình bậc 2.

• Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = 1 ; x_2 = \dfrac{c}{a}.$$
• Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{c}{a}.$$​

2/ Một số dạng toán cơ bản.

Sau đây mình xin tổng hợp một số dạng đề thường gặp trong bài thi. Sau khi đã làm quen với một số dạng đề thì ta sẽ bước vào phần bài tập nhé.

* Dạng 1. Giải phương trình với giá trị tham số $m$ nào đó.

Thông thường, dạng bài này khá dễ nên sẽ là cơ hội để các bạn ăn điểm trong đề thi.
Hướng làm. Bước 1. Thay $m$ vào phương trình đã cho.

Bước 2. Giải phương trình vừa thu được bằng công thức nghiệm hoặc bằng các TH đặc biệt.​

* Dạng 2. Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm $x$ có giá trị nào đó (và tìm nghiệm còn lại)

Hướng làm. Bước 1. Thay nghiệm $x$ đề cho vào phương trình.

Bước 2. Giải phương trình vừa thu được, tìm được $m$.
Bước 3 (nếu có). Làm tương tự dạng 1 để tìm ra nghiệm còn lại.​

* Dạng 3. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/cùng dấu âm, dương).

- Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm, ta sẽ tính $\Delta$ của phương trình chứng minh $\Delta \geqslant 0$. Đối vơi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì ta sẽ chứng minh $\Delta > 0$.
Thế chứng minh bằng cách nào ? Ta sẽ vận dụng các hẳng đẳng thức bậc $2$ để biến đổi $\Delta$ thành một bình phương cộng với một số nào đó và áp dụng tính chất bình phương của một số luôn không âm.

- Để chứng minh hai nghiệm của phương trình có hai nghiệm khác dấu/cùng dấu âm, dương/…, ta chỉ cần có vững kiến thức về mối liên hệ về dấu của hai số với tổng và tích của chúng (ví dụ, hai số khác dấu thì tích của chúng kiểu gì cũng âm ; hai số cùng dấu thì tích của chúng khi nào cũng dương, nếu chúng cùng âm thì tổng của chúng sẽ âm, còn nếu cùng dương thì tổng của chúng luôn dương, …). Cụ thể như sau :

• Khác dấu. Ta sẽ chứng minh $$P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$$
• Cùng dấu dương. Ta sẽ chứng minh $$\left\{ \begin{array}{l} S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} > 0 \\ P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$
• Cùng dấu âm. Ta sẽ chứng minh $$\left\{ \begin{array}{l} S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} < 0 \\ P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$​

* Dạng 4. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/cùng dấu âm, dương)

Tương tự với dạng 3, chỉ khác ở chỗ ta phải tìm $m$ để thỏa mãn $\Delta > 0; S > 0 ; P > 0 ; …$ chứ không phải chứng minh nó luôn đúng.

* Dạng 5. Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số

Ở dạng bài này, các bạn cần phải có kỹ năng rút $m$ ra từ hệ thức Vi-ét. Cụ thể :
- Từ biểu thức liên hệ $S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = …m…$, ta sẽ tính được $m = …S…$
- Từ biểu thức liên hệ $P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = …m…$, ta sẽ tính được $m = …P…$
- Cho $...S… = m = …P…$, ta có được biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không chứa $m$

* Dạng 6. Tìm $m$ để một biểu thức nào đó bằng một giá trị nào đó/đạt GTNN, GTLN/…

Đối với dạng này, các bạn cần nắm vững các hằng đẳng thức và các phép biến đổi để biểu diễn biểu thức đề cho bằng $(x_1+x_2)$ và $(x_1x_2)$, sau đó dùng định lý Vi-ét để thay vào và biểu diễn biểu thức theo $m$. Việc còn lại là cho biểu thức bẳng một giá trị nào đó, hoặc tìm GTNN/GTLN của biểu thức.

Các bạn có thể gặp hai dạng bài nhỏ :
• Biểu thức đối xứng giữa hai biến. Trường hợp này dễ dàng đưa biểu thức về $(x_1+x_2)$ và $(x_1x_2)$ rồi dùng định lý Vi-ét như trên
• Biểu thức không đối xứng giữa hai biến. Trong trường hợp này, các bạn có ba phương pháp :

+ Một là dùng phương pháp hạ bậc (Thay $x_1,x_2$ vào phương trình ban đầu, tính $x_1^2$ theo $x_1$, tính $x_2^2$ theo $x_2$ rồi hạ bậc từ từ...) để đưa biểu thức để cho về hẳn bậc 1, sau đó kết hợp với định lý Vi-ét để biến đổi, làm theo yêu cầu đề bài.
+ Hai là đưa biểu thức về dạng đối xứng (Thế hệ thức trong định lý Vi-ét vào trong biểu thức đề cho, đưa về cùng bậc rồi thao tác bình thường...). Phương pháp này đòi hỏi sự tinh tế rất cao.
+ Ba là đưa biểu thức về một biến $x_1$ hoặc $x_2$ (Bằng hệ thức Vi-ét, giải ra $x_1$ hoặc $x_2$, thay vào phương trình ban đầu tìm $m$) (ít gặp)​

* Dạng 7. Lập phương trình bậc 2 nhận $y_1$ (tính theo $x_1$) và $y_2$ (tính theo $x_2$) là nghiệm

Hướng làm. Ta chỉ cần tính $y_1 + y_2$ và $y_1y_2$ theo tham số $m$, chẳng hạn $y_1 + y_2 = S$ và $y_1y_2 = P$ thì theo định lý Vi-ét, $y_1$ và $y_2$ là hai nghiệm của phương trình $$y^2-Sy+P=0$$

3/ Làm quen với các dạng qua một số bài tập trong đề thi

Sau đây các bạn sẽ được làm quen với các dạng bài qua một số bài tập trong các đề thi được sưu tầm từ nhiều nơi.

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định 2015-2016)
Cho phương trình $x^2+2(1-m)x-3+m=0$ ($m$ là tham số)
a) Giải phương trình với $m=0$.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.
c) Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Spoiler: Bài 1

Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 1, dạng 3 và dạng 6 mà mình đã nêu ở trên.
Đối với câu a, b thì khá dễ, còn câu c thì đòi hỏi phải suy nghĩ một chút (hai nghiệm đối nhau là sao ?). Hai số đối nhau là các số có tổng bằng $0$, chẳng hạn như $1$ và $-1$; $-2$ và $2$; $10$ và $-10$; … Như vậy hai nghiệm đối nhau có nghĩa là tổng của chúng bằng $0$. Mà tổng của chúng có thể tính theo $m$ bằng định lý Vi-ét nên việc tìm $m$ để tổng của hai nghiệm bằng $0$ là khá dễ dàng.

Lời giải. $x^2 + 2(1-m)x - 3 + m =0 \quad (1)$
a) Thay $m = 0$ vào phương trình $(1)$ ta được
$$ x^2 + 2(1-0)x - 3 + 0 = 0 \\
\iff x^2 + 2x - 3 = 0$$

Cách 1. $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 > 0 ; \sqrt{\Delta} = 4$
Vậy với $m = 0$, phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $$x_1 = \dfrac{-2 + 4}{2\cdot 1} = 1 ; x_2 = \dfrac{-2 - 4}{2\cdot 1} = -3$$

Cách 2. Nhận thấy $1 + 2 + (-3) = 0$ nên với $m = 0$, phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = 1 ; x_2 = \dfrac{-3}{1} = -3$$

b) $\Delta = [2(1-m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3+m) = 4m^2 - 12m + 16 = (2m-3)^2 + 7 \geqslant 7 > 0$ với mọi $m$
Vậy phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

c) Gọi $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$
Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{2(1-m)}1 = 2m - 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{-3+m}1 = -3 + m \end{array} \right.$
Để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì $$x_1 + x_2 = 0 \\ \iff 2m - 2 = 0 \\ \iff m = 1$$
Vậy $m = 1$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm đối nhau

Bài 2. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Ngãi 2015-2016)
Cho phương trình $x^2-2x+m+3=0$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=3$ và tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thõa mãn hệ thức $$x_1^2+x_2^2-x_1x_2-4=0$$

Spoiler: Bài 2

Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 2 và dạng 6. Câu a khá dễ, câu b không dễ nhưng cũng không quá khó (nói chung là vừa sức).

Giải. $x^2 - 2x + m + 3 = 0 \quad (1)$
a) Thay $x = 3$ vào phương trình $(1)$ ta được $$3^2 - 2\cdot 3 + m + 3 = 0 \\ \iff m = -6$$
Thay $m = -6$ vào phương trình $(1)$ ta được $$x^2 - 2x +(- 6) + 3 = 0 \\ \iff x^2 - 2x - 3 =0$$
Do $1 - (-2) + (-3) = 0$ nên khi $m = -6$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{(-3)}1 = 3$$
Vậy để phương trình $(1)$ có một nghiệm $x_1 = 3$ thì $m = -6$ và nghiệm còn lại là $x_2 = -1$

b) $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+3) = -4m-8$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta = -4m-8 > 0 \iff m < -2$
Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{(-2)}1 = 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{m+3}1 = m+3 \end{array} \right.$
Khi đó ta có $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff 2^2 - 3(m+3) - 4 = 0 \\ \iff -3(m+3) = 0 \\ \iff m + 3 = 0 \\ \iff m = -3$$
Vậy $m = -3$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0$$

Bài 3. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP. Đà nẵng 2015-2016)
Cho phương trình $x^2-2(m-1)x-2m=0$ (với $m$ là tham số).
a) Giải phương trình khi $m=1$.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $x_1^2+x_1-x_2=5-2m$.

Spoiler: Bài 3

Nhận xét. Câu a) và câu b) ý đầu khá quen thuộc rồi, chỉ có ý sau câu b) thì thuộc dạng biểu thức không đối xứng tức dạng 6 nên sẽ có không ít bạn gặp khó khăn.

Lời giải. $x^2-2(m-1)x-2m = 0 \quad (1)$
a) Thay $m =1$ vào phương trình $(1)$ ta được $$x^2 - 2(1 - 1)x - 2 \cdot 1 = 0 \\ \iff x^2 - 2 = 0 \\ \iff x^2 = 2 \\ \iff \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt{2} \\ x = -\sqrt{2} \end{array} \right.$$
Vậy với $m=1$, phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1 = \sqrt{2}$ và $x_2 = -\sqrt{2}$

b) $\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m) = 4m^2+ 4 \geqslant 4 > 0$ với mọi $m$
Vậy phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
Áp dụng định lý Vi-ét ta có : $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{[-2(m-1)]}1 = 2m-2 \quad (2) \\ x_1x_2 = \dfrac{-2m}1 =-2m \quad (3) \end{array} \right.$

Cách 1 (Hạ bậc). Do $x_1$ là nghiệm của phương trình $(1)$ nên thay $x_1$ vào ta được $$x_1^2 - 2(m-1)x_1 - 2m = 0 \\ \iff x_1^2 = 2(m-1)x_1 + 2m$$
Khi đó : $$x_1^2 + x_1 - x_2 = 5 - 2m \\
\iff 2(m-1)x_1 + 2m + x_1 -x_2 = 5 - 2m \\
\iff (2m-1)x_1 - x_2 = 5 - 4m$$
Kết hợp với $(2)$ ta có hệ phương trình : $$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = 2m-2 \\ (2m-1)x_1 - x_2 = 5 - 4m \end{array} \right.$$
Cộng các phương trình vế theo vế ta được $$2mx_1 = 3 - 2m$$
Dễ thấy với $m = 0$ thì ta được $0 = 3$ (vô lý). Do vậy $m \ne 0$, chia hai vế cho $2m$ ta được $$x_1 = \dfrac{3-2m}{2m}$$
Kết hợp với $(2)$ ta suy ra $$x_2 = 2m-2 - x_1 = 2m-2 - \dfrac{3-2m}{2m} = \dfrac{4m^2-2m-3}{2m}$$
Thay $x_1 = \dfrac{3-2m}{2m}$ và $x_2 = \dfrac{4m^2-2m-3}{2m}$ vào $(3)$ ta được phương trình sau
$$\dfrac{3-2m}{2m} \cdot \dfrac{4m^2-2m-3}{2m} = -2m \\
\iff (3-2m)(4m^2-2m-3) = -8m^3
\iff 16m^2 - 9 = 0 \\
\iff m^2 = \dfrac{9}{16} \\
\iff \left[ \begin{array}{l} m = \dfrac{3}{4} \\ m = -\dfrac{3}{4} \end{array} \right.$$
Vậy $m = \dfrac{3}{4}$ hoặc $m = -\dfrac{3}{4}$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $$ x_1^2+x_1-x_2=5-2m$$

Cách 2 (Dùng phép thế). Ta có $$x_1^2 + x_1 - x_2 = 5 - 2m \\ \iff x_1^2+x_1 - x_2 =3 - (2m-2) \\ \iff x_1^2 +x_1-x_2=3-(x_1+x_2) \\ \iff x_1^2 + 2x_1 - 3 = 0 \quad (*)$$
Do $1 + 2 + (-3) = 0$ nên phương trình $(*)$ có hai nghiệm $$x_1 = 1 ; x_2 = \dfrac{-3}{1} = -3$$
TH1. Nếu $x_1 = 1$ thì thay $x = 1$ vào phương trình $(1)$ ta được $$1^2 - 2(m-1)\cdot 1 - 2m = 0 \\ \iff -4m + 3 = 0 \\ \iff m = \dfrac{3}{4}$$
TH2. Nếu $x_1 = -3$ thì thay $x=-3$ vào phương trình $(1)$ ta được $$(-3)^2 - 2(m-1)\cdot (-3) - 2m = 0 \\ \iff 4m + 3 = 0 \\ \iff m = -\dfrac{3}{4}$$
Vậy $m = \dfrac{3}{4}$ hoặc $m = -\dfrac{3}{4}$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $$ x_1^2+x_1-x_2=5-2m$$

Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Khánh Hòa 2013-2014)
Cho phương trình bậc hai $x^2+5x+3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm $(x_1^2+1)$ và $(x_2^2+1)$.

Spoiler: Bài 4

Nhận xét. Đối với những bạn không biết cách lập phương trình bậc 2 dùng định lý Vi-ét đảo thì ắt hẳn sẽ gặp khó khăn khi giải những dạng bài này.

Lời giải. $x^2 + 5x + 3= 0 \quad (1)$
$\Delta = 5^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = 13 > 0$. Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Vi-ét ta có : $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{5}{1} = -5 \\ x_1x_2 = \dfrac{3}1 =3 \end{array} \right.$
Đặt $y_1 = x_1^2+1$ và $y_2 = x_2^2 + 1$. Khi đó ta có :
$$\left\{ \begin{array}{l}
y_1 +y_2 = (x_1^2+x_2^2)+2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2 =(-5)^2-2\cdot 3+2 = 21 \\
y_1y_2 = x_1^2x_2^2+x_1^2+x_2^2+1 = (x_1x_2)^2 + (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+1 = 3^2+(-5)^2-2\cdot 3 + 1 = 29
\end{array} \right.$$
Theo định lý Vi-ét đảo thì $y_1 = x_1^2+1$ và $y_2=x_2^2+1$ là hai nghiệm của phương trình $$y^2 - 21y + 29 = 0 \quad (*)$$
$\Delta = (-21)^2 - 4\cdot 1 \cdot 29 = 325 > 0$ nên phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm
Vậy $y^2-21y + 29 = 0$ là phương trình cần tìm

Bài 5. (Sưu tầm)
Cho phương trình $x^2-(k-3)x+2k+1=0$ có các nghiệm $x_1,x_2$. Tìm một hệ thức giữa $x_1,x_2$ độc lập đối với $k$.

Spoiler: Bài 5

Nhận xét. Chỉ một chút tinh ý là ta có thể nhận ra ngay đây là dạng 5.

Lời giải. $x^2-(k-3)x + 2k + 1 = 0 \quad (1)$
$\Delta = [-(k-3)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k+1) = k^2 - 14k + 5$
Để phương trình $(1)$ có hai nghiệm thì $\Delta = k^2 - 14k + 5 \geqslant 0$
Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{-(k-3)}{1} = k-3 \\ x_1x_2 = \dfrac{2k+1}1 =2k+1 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 + 3 = k \\ \dfrac{x_1x_2 -1}2 =k \end{array} \right.$
Từ đó suy ra $x_1+x_2+3 = \dfrac{x_1x_2 - 1}2$
Vậy với $k$ thỏa mãn $k^2-14k+5 \geqslant 0$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ được liên hệ bởi hệ thức $$x_1+x_2+3 = \dfrac{x_1x_2-1}2$$ độc lập đối với $k$.

4/ Bài tập tự luyện

Spoiler: Bài tập tự luyện

Bài 6. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Bình 2015-2016)
Cho phương trình $x^2-(2m+1)x+m^2+m-2=0$ ($m$ là tham số ).
a) Giải phương trình (1) khi $m=2$.
b) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thõa mãn:$x_1(x_1-2x_2)+x_2(x_2-3x_1)=9$.

Bài 7. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Phú Thọ 2013-2014)
Cho phương trình $x^2+2(m+1)x+m^2=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng $-2$.

Bài 8. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2014-2015)
Cho phương trình $x^2-mx-1=0 \quad (1)$ ($x$ là ẩn số)
a)Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có 2 nghiệm trái dấu.
b)Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $(1)$.
Tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{x_1^2+x_1-1}{x_1}-\dfrac{x_2^2+x_2-1}{x_2}$.

Hướng dẫn câu b). Hạ bậc giống bài 3 (tức tính $x_1^2$ theo $x_1$ và $x_2^2$ theo $x_2$) rồi thay vào $P$.

Bài 9. (Sưu tầm)
Tìm $m$ để phương trình $x^2+mx+m-2=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|=2$.

Hướng dẫn. Ta có $|x_1 - x_2| = 2 \iff (x_1-x_2)^2 = 4$. Khai triển và giải bình thường
Lưu ý. $|x_1 - x_2|$ khác với $(x_1-x_2)$ nên nếu gặp $(x_1-x_2)$ thì ta không thể bình phương hai vế và dùng dấu tương đương được, ta sẽ dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm trước khi kết luận.

Bài 10. (Sưu tầm)
Cho phương trình $x^2-mx+(m^2+1)=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$.

Bài 11. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2012-2013)
Cho phương trình $x^2-2mx+m-2=0$($x$ là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm phân biệt với mọi $m$.
b) Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình.
Tìm $m$ để biểu thức $M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12. (Đề tuyển sinh TP.Hà Nội 2012-2013)
Cho phương trình $x^2-(4m-1)x+3m^2-2m=0$ (ẩn $x$). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thõa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2=7$.

Bài 13. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Phước 2014-2015)
Cho phương trình $x^2+mx+1=0 \; (1)$ với $m$ là tham số.
a) Giải phương trình với $m=4$.
b) Tìm giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thõa mãn : $\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7$.

Lưu ý câu b. Đối với những dạng bài có mẫu thức như thế này, tốt nhất ta hãy chuyển hết $VP$ qua $VT$ rồi quy đồng hẳn lên, tránh nhầm lẫn chiều bất phương trình trong việc nhân chéo. (Mặc dù trong TH này, nhân chéo vẫn được vì $x_1^2x_2^2 \geqslant 0$ nên không làm đổi chiều bất phương trình)

Bài 14. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2013-2014)
Cho phương trinh $8x^2-8x+m^2+1=0 \; (*)$ ($x$ là ẩn số).
a) Định $m$ để phương trình $(*)$ có nghiệm $x=\dfrac{1}{2}$
b) Định $m$ để phương trình $(*)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thõa điều kiện: $x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3$.

Hướng dẫn câu b. Hạ bậc $x_1^4$ và $x_2^4$ xuống $x_1^3$ và $x_2^3$ và triệt tiêu với VP, sau đó phân tích thành nhân tử là được. (Tính $x^2$ theo $x$, suy ra ta tính được $x^4 = x^2 \cdot x^2$ theo $x \cdot x^2 = x^3$)

Bài 15. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Nam Định 2015-2016)
Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-6=0 \; (1)$ (với $m$ là tham số)
a) Giải phương trình khi $m=3$.
b) Với giá trị nhỏ nhất của $m$ thì phương trình có các nghiệm $x_1,x_2$ thõa mãn $x_1^2+x_2^2=16$

 

CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ​

I) Nhắc lại kiến thức:
1) Hàm số $y=ax$.
- Hàm số $y=ax \; (a \neq 0)$ xác định với mọi số thực $x$.
- Đồ thị hàm số $y=ax$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
- Trên tập hợp số thực, hàm số $y=ax$ đồng biến khi $a>0$ và nghịch biến khi $a<0$.
2) Hàm số $y=ax+b$.
*Định nghĩa:
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$,trong đó $a,b$ là các số thực xác định và $a \neq 0$.
*Tính chất:
a) Hàm số xác định với mọi giá trị $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
b) Hàm số đồng biến nếu $a>0$, nghịch biến nếu $a<0$.
c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng:
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$.
- Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $\dfrac{-b}{a}$.
d) Hệ số góc: Hệ số a chính là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b \; (a \neq 0)$.
e) Cho hàm số $y=ax+b \; (a \neq 0)$ có đồ thị là đường thẳng $d$, hàm số $y'=a'x+b'(a' \neq 0)$ có đồ thị là đường thẳng $d'$. Khi đó điều kiện để:
+) $d \parallel d' \Leftrightarrow a=a'$ và $b \neq b'$;
+) $d$ trùng $d' \Leftrightarrow a=a'$ và $b=b'$;
+) $d$ cắt $d' \Leftrightarrow a \neq a'$;
+) $d \perp d' \Leftrightarrow a \cdot a' = -1$
3) Hàm số $y=ax^2 \; (a \neq 0)$.
- Hàm số xác định với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$.
*Tính chất biến thiên:
- Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến khi $x<0$,đồng biến khi $x>0$.
- Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.
*Đồ thị của hàm số là đường parabol với đặc điểm:
- Đỉnh $O(0,0)$.
-Trục đối xứng là Oy.
- Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành,nhận gốc tọa độ làm điểm thấp nhất.
- Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành,nhận gốc tọa độ làm điểm cao nhất.
*Quan hệ giữa parabol $y=ax^2 \; (a \neq 0)$ và đường thẳng $y=mx+n(m \neq 0)$:
- Hoành độ giao điểm của parabol $y=ax^2 \; (a \neq 0)$ và đường thẳng $y=mx+n(m \neq 0)$ là nghiệm của phương trình $$ax^2=mx+n \text{ tức là } ax^2-mx-n=0. \quad (1)$$
- Đường thẳng sẽ cắt parabol tại hai điểm phân biệt nếu phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt. Hay là $\Delta >0$.
- Đường thẳng không giao nhau với parabol nếu phương trình $(1)$ vô nghiệm hay $\Delta <0$.
- Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu $(1)$ có nghiệm kép hay $\Delta=0$.

#Trên đó là những lý thuyết cơ bản.Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng dạng toán để hiểu rõ hơn.
II) Một số dạng toán cơ bản:
*Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số:
- Kiến thức này có trong sách giáo khoa, các bạn tự xem nhé.

*Dạng 2: Cho một hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng (a,b). Tính giá trị của $f(k)$ với giá trị của $k$ cho trước.
Cách giải: Ta chỉ việc thay $k=x$ vào sau đó tìm giá trị của $f(k)$
VD: Cho hàm số $f(x)=3x-1,g(x)=2x^2+1$. Tính giá trị của $f(1),g(2)$.

Spoiler: Ví dụ

Giải: Ta có: $f(1)=3.1-1=2,g(2)=2.2^2+1=9$.

*Dạng 3: Xác định tính biến thiên của hàm số
Vận dụng phần lý thuyết đã nêu ở trên, ta sẽ làm được dạng bài tập này
Lưu ý: Khi có tham số tham gia (là $a$) thì điều kiện phải là $a \geq 0$.
VD: Xác định $m$ để các hàm số sau đồng biến, nghịch biến:
a) $y=(2m-3)x+5$
b) $(m^2-3m+2)x+9$
c) $y=(2-m)x^2$.

Spoiler: Ví dụ

Giải:
Trường hợp đồng biến:
a) ĐK: $ m \neq \dfrac{3}{2}$. Hàm số $y=(2m-3)x+5$ sẽ đồng biến khi $2m-3>0 \Rightarrow m >\dfrac{3}{2}$.
b) ĐK: $ m \neq 2, m \neq 1$. Hàm số đồng biến khi $m^2-3m+2>0 \Rightarrow (m-1)(m-2)>0 \Rightarrow m<1$ hoặc $m>2$.
c) ĐK: $m \neq 2$.
+) Xét $2-m>0 \Rightarrow m<2$ thì hàm số sẽ đồng biến khi $x>0$.
+) Xét $2-m<0 \Rightarrow m>2$ thì hàm số sẽ đồng biến khi $x<0$.
Trường hợp nghịch biến tương tự.

*Dạng 4: Xác định các hệ số của hàm số khi đi qua điểm 1 điểm $A(x_0,y_0)$, song song với 1 đường thẳng, ...
- Đối với hàm số bậc hai $y=ax^2$. Ta chỉ việc thay $x=x_0 ; y=y_0$ (với $x_0,y_0$ là những số cho trước) thì khi đó $a=\dfrac{y_0}{x_0^2}$.
- Đối với hàm số bậc nhất thì có rất nhiều dạng ví dụ có thể cho trước hệ số góc và đi qua 1 điểm có tọa độ với tung độ, hoành độ là những số cho trước thì từ $y=ax+b$ ta dễ dàng tìm được $b$.
- Để hiểu rõ hơn các dạng thì chúng ta sẽ đi vào các ví dụ sau:
VD: a)Hãy xác định hệ số $a$ của hàm số $y=ax^2$ biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm $A(1,2)$.
b) Xác định hàm số $y=ax+b$ biết rằng hàm số có hệ số góc là $-2$ và đi qua điểm $M(3;-5)$
c) Xác định đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ có tọa độ là: $A(-2,0);B(0;1)$.
d) Xác định hàm số $y=ax+b$ để đồ thị của nó song song với đường thẳng $y=3x+1$ và đi qua điểm $M(4;-5)$.
e) Cho hai đường thẳng: $$\begin{array}{lc} y=(m^2+3)x+2m-3 & (d_1) \\ y=(7m-9)x+m & (d_2) \end{array}$$
Tìm giá trị $m$ để $d_1 \parallel d_2$.

Spoiler: Ví dụ

HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Theo như phân tích ở trên do hàm số $y=ax^2$ đi qua điểm $A(1,2)$ nên:
$2=a.1 \Rightarrow a=2$.
b) Hệ số góc ở đây chính là hệ số $a$ do đó đồ thị hàm số sẽ là: $y=-2x+b$.
Do đồ thị đi qua điểm $M(3;-5)$ nên $-5=-2.3+b \Rightarrow b=-5+6=1$.
c) Đồ thị của đường thẳng đó sẽ là $y=ax+b$. Do đi qua 2 điểm có tọa độ là $A(-2,0);B(0,1)$ nên ta thay lần lượt tọa độ vào $x,y$ sẽ thu được hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
0=-2a+b \\
1=0a+b
\end{matrix}\right.$
Giải hệ trên ta sẽ thu được $a=\dfrac{1}{2},b=1$
Do đó hàm số sẽ có dạng:$y=\dfrac{1}{2}x+1$.
d) Để hàm số $y=ax+b$ song song với đường thẳng $y=3x+1$ thì rõ ràng $a=3$ (Xem phần lý thuyết ở trên muốn song song thì $a=a'$). Do đó hàm số sẽ có dạng $y=3x+b$. Mặt khác đồ thị hàm số này đi qua điểm $M(-4,5)$ nên tương tự câu b) bạn giải tiếp để tìm $b$ nhé.
e) Để $d_1 \parallel d_2$ thì $a=a'$ tức là $m^2+3=7m-9 \Rightarrow m^2-7m+12=0 \Rightarrow (m-3)(m-4)=0$. Tới đây có 2 giá trị $m$ để $a=a'$ nhưng nhận giá trị nào? Để ý để 2 đường thẳng song song với nhau thì ngoài điều kiện $a=a'$, ta đã quên mất điều kiện $b \neq b'$. Nếu $b=b'$ thì 2 đường thẳng này sẽ trùng nhau. Do đó:$2m-3 \neq m \Rightarrow m \neq 3$.Vậy với $m=4$ thì $d_1//d_2$.

Nhận xét: Thông qua các ví dụ thì một phần các bạn đã hiểu về dạng này rồi chứ? Trong phần bài tập tự luyện,và qua các đề thi các bạn sẽ được hiểu rõ hơn.

*Dạng 5: Chứng minh rằng một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số.
- Muốn làm dạng này ta sẽ biểu diễn phương trình của hàm số đã cho về một phương trình mà với mọi m chỉ nhận cặp $(x_0,y_0)$ làm nghiệm.
VD: Cho đường thẳng $y=mx+m-1 \quad (1)$ ($m$ là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng $(1)$ luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của $m$.

Spoiler: Ví dụ

Phân tích: Do ta chưa biết điểm cố định đó có tọa độ là bao nhiêu nên ta sẽ gọi tọa độ của điểm cố định sẽ là $A(x_0,y_0)$. Do đường thẳng đi qua điểm cố định này nên ta sẽ thay $y=y_0,x=x_0$ vào. Muốn chứng minh được điểm này cố định với mọi $m$, ta sẽ phân tích phương trình khi đã thay $y_0,x_0$ vào rồi tìm $x_0 , y_0$ sao cho với mọi $m$ thì pt luôn có nghiệm. Từ đó ta có cách giải sau.
Lời giải:
Gọi tọa độ của điểm cố định là $A(x_0,y_0)$.
Ta có: $y_0=mx_0+m-1 \\ \Rightarrow (y_0+1)-m(x_0+1)=0$.
Tới đây muốn với mọi $m$, $VT$ luôn bằng $0$ thì $$\left\{\begin{matrix}

&x_0+1=0 \\

&y_0+1=0

\end{matrix}\right.$$
$\Rightarrow x_0=y_0=-1$.
Từ đó sẽ suy ra được đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định là $A(-1;-1)$.

Nhận xét: Muốn có thể tìm cố định thì chúng ta sẽ tiến hành các bước:
B1) Gọi tọa độ của điểm cố định.
B2) Từ phương trình đường thẳng đã cho nhóm nhân tử phù hợp sao cho tham số sẽ về hết chung 1 nhân tử (Như ví dụ trên ta nhóm hết m thành: $m(x_0+1)$),và sẽ cho nhân tử còn lại bằng 0 và nguyên cái phần còn lại không chứa m cũng bằng 0.(Ví dụ trên cho:$y_0+1=0,x_0+1=0$),....
B3) Kết luận điểm cố định.
Nói nôm na lý thuyết quá thì chắc hẳn sẽ có bạn không hiểu được (kể cả người soạn chuyên đề =)) ), nhưng qua một số bài tập tự luyện thì các bạn sẽ tự rút ra ngay cách làm cho mình ấy mà.

# Còn một số dạng nữa như tìm tham số để đường thẳng hợp với trục tung hoành,trục hoành thành một tam giác có diện tích bao nhiêu đó,... nhưng mà dạng này thi tuyển sinh ít gặp.Chủ yếu là dạng ta sẽ đề cập ngay sau này.
*Dạng 6: Đây là dạng quan trọng nhất trong chuyên đề này và hầu như các đề tuyển sinh vào lớp 10 đều có. Đó là quan hệ giữa parabol $y=ax^2\; (a \neq 0)$ và đường thẳng $y=mx+n$:
1)Tìm tọa độ giao điểm của parabol $y=ax^2\;(a \neq 0)$ và đường thẳng $y=mx+n$:
Như lý thuyết đã nêu ở trên
VD1: Cho parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x+3$,
Xác định tọa độ giao điểm $A,B$ của parabol và đường thẳng đã cho.

Giải: Gọi tọa độ của hai điểm $A,B$ lần lượt là $A(x_0,y_0);B(x_1,y_1)$.
Trong đó $x_0,x_1$ sẽ là nghiệm của phương trình: $x^2=2x+3 \Rightarrow x^2-2x-3=0$. Bằng cách sử dụng biệt thức denta ta sẽ tìm được phương trình có 2 nghiệm $x=-1,x=3$, thay vào $y=x^2$ ta sẽ tìm được $y=1,y=9$. Do đó tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng sẽ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$ có tọa độ là $A(-1,1);B(3,9)$.
VD2: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,Tỉnh Phú Thọ 2015-2016)
Cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=2(m+1)x-3m+2$.
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với $m=3$
b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$.

Spoiler: Ví dụ 2

HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Thay $m=3$ vào phương trình đường thẳng (d) thì bài toán sẽ trở thành VD1 ở trên.
b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình:$x^2-2(m+1)x+3m-2=0$.
Như phần lý thuyết ở trên muốn (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt thì ta sẽ đi chứng minh $\Delta>0$. Thật vậy ta có: $$\Delta=4(m+1)^2-4(3m-2)=4m^2+8m+4-12m+8=4m^2-4m+1+11=(2m-1)^2+11>0$$
Do đó (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$.

Lưu ý: Nhiều bạn chắc sẽ hỏi rằng hệ số của $b$ trong phương trình chẵn vậy tại sao không áp dụng $\Delta'$ mà lại áp dụng $\Delta$. Thực ra bản chất của $\Delta'$ sẽ là từ $\Delta$ mà ra, nhưng $\Delta'$ sẽ gọn hơn đối với $b'$ chẵn. Tuy nhiên trong phòng thi, áp lực rất dễ làm bạn nhầm lẫn khi dùng $\Delta'$. Vậy nên mình khuyên các bạn nên áp dụng $\Delta$ đối với những trường hợp thế này để tránh phải gặp sai sót. (Trừ khi bạn đã có đủ tỉnh táo để sử dụng $\Delta'$)

- Ngoài ra còn một vài ví dụ nữa để tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc với parabol,hay là không cắt paraobl nhưng cũng sẽ giải tương tự như ví dụ trên chỉ khác về phần $\Delta=0$ hay $\Delta<0$ mà thôi do đó mình sẽ không đề cập đến phần này ở đây.Và tại phần bài tập tự luyện,hay luyện đề mình sẽ đề cập tới.

*Dạng 7: Là một dạng cũng sẽ liên quan tới quan hệ parabol và đường thẳng nhưng sẽ là dạng nâng cao hơn một chút với ứng dụng của định lý Vi-et trong các bài toán tìm tham số để giải phương tình, diện tích tam giác, ...
- Đầu tiên ta sẽ nhắc lại kiến thức về định lý Vi-et để áp dụng cho dạng Toán này:
+ Nếu phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng S của chúng sẽ bằng $\dfrac{-b}{a}$, tích P của chúng bằng $\dfrac{c}{a}$.
+ Hay có thể phát biểu lại thành:
$$ax^2+bx+c=0\; (a \neq 0) \quad (\Delta \geq 0)
\\\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{-b}{a},x_1.x_2=\dfrac{c}{a}$$
Hướng giải: Áp dụng định lý Vi-ét ta sẽ biểu diễn các hoành độ hay tung độ về tham số bằng các hằng đẳng thức quen thuộc hoặc là các kĩ thuật hạ bậc đã được nêu ở chuyên đề ứng dụng định lý Vi-et:
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2\\x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1.x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1.x_2]$$
Ta sẽ lấy lại ví dụ 2 đã được nêu ở dạng 6:
VD1: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,Tỉnh Phú Thọ 2015-2016)
Cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng (d) có phương trình: $y=2(m+1)x-3m+2.$
c) Gọi $x_1,x_2$ là hoành độ giao điểm $A,B$. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=20$.

Spoiler: Ví dụ 1

HƯỚNG DẪN GIẢI:
Từ câu a), b) thì ta thấy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo vi-et ta sẽ có: $x_1+x_2=2(m+1); x_1.x_2=3m-2$.
Biến đổi: $x_1^2+x_2^2=20 \\\Rightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=20 \\\Rightarrow 4(m+1)^2-2(3m-2)=20 \\\Rightarrow 2m^2-m-6=0 \\\Rightarrow (m-2)(2m+3)=0 \\\Rightarrow m=2,m=\dfrac{-3}{2}$.
Vậy với $m=2$ hoặc $m=\dfrac{-3}{2}$ thì $x_1^2+x_2^2=20$.

VD2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d):y=-x+6$ và parabol $(P):y=x^2$.
a) Tìm tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$.
b) Gọi $A,B$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.Tính diện tích tam giác OAB.

Spoiler: Ví dụ 2

Hướng dẫn giải: a) Giải tương tự những ví dụ trước dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng là $A(2,4);B(-3,9)$.
b) Phân tích: Trong hình màu đỏ chính là parabol $y=x^2$, đường thẳng màu xanh chính là đường thẳng $(d):y=-x+6$.Từ câu a ta đã tính được tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng là 2 điểm $A,B$. Bây giờ cần tìm $S_{\triangle ABO}$. Tại đây muốn tính được diện tích này ta có thể tính khoảng cách giữa 2 điểm $AB$ sau đó kẻ đường cao $AH$ và tính $AH$ nhưng vậy có khó quá không? Ta nghĩ tới hướng khác là sẽ kẻ đường cao BH và AK xuống Ox. Khi đấy thì dễ thấy $BHKA$ là hình thang. $\triangle BOH,\triangle AOK$ là tam giác vuông. Từ đó dễ dàng tính được diện tích của những hình này. Và để ý là diện tích hình chúng ta cần tính sẽ được viết lại thành: $S_{OAB}=S_{ABKH}-S_{OAH}-S_{OBK}$.

Việc còn lại chỉ cần tính diện tích của những hình trên.Dễ thấy $OK=|-3|=3$ (Do K chính là hình chiếu của $B$ xuống Ox nên hoành độ của K chính là hoành độ của B), tương tự thì ta sẽ có: $OH=2,BK=9,AH=5$.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích của hình thang và hình tam giác vuông ta sẽ có:
$S_{OAB}=S_{ABKH}-S_{OAH}-S_{OBK} \\=\dfrac{(AH+BK).KH}{2}-\dfrac{AH.OH}{2}-\dfrac{BK.OK}{2} \\=\dfrac{13.5}{2}-\dfrac{4.2}{2}-\dfrac{9.3}{2} \\=15(dvdt)$

VD3: Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1$
a)Với $m=1$,xác định tọa độ giao điểm $A,B$ của $(d)$ và $(P)$.
b)Tìm giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $|x_1-x_2|=2$.

Spoiler: Ví dụ 3

Hướng dẫn giải: a) Với $m=1$ thì chúng ta sẽ thay vào phương trình làm tương tự ví dụ trên sẽ được kết quả là $A(-1,\dfrac{1}{2}),B(3,\dfrac{9}{2})$ và hoán vị lại.
b)Phân tích: Như thường lệ ta sẽ áp dụng hệ thức vi-et để tìm mối liên hệ giữa $x_1,x_2$ với $m$. Cơ mà đầu tiên phải tính xem parabol có cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt không? Sau đó mới áp dụng được Vi-et tính được.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ sẽ là:
$\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1 \\\Rightarrow x^2-2mx+m^2-2m-2=0 \\\Delta=4m^2-4(m^2-2m-2)=8m+8>0 \\\Rightarrow m>-1$.
Vậy với $m>-1$ thì có 2 nghiệm phân biệt.
Xét TH: $m>-1$ thì theo vi-et ta có: $x_1+x_2=2m,x_1x_2=m^2-2m-2$.
Giờ cần lập biểu thức liên hệ từ điều trên để đưa $|x_1-x_2|$ theo $m$.
Để ý hằng đẳng thức sau: $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$.
Mà $|x_1-x_2|=2 \\\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=4=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \\\Leftrightarrow (2m)^2-4(m^2-2m-2)=4 \\\Leftrightarrow 4m^2-4m^2+8m+8=4 \\\Leftrightarrow 8m=-4 \\\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{2}$.
Giá trị $m$ này hoàn toàn thõa mãn điều kiện $m>-1$ do đó nhận

Nhận xét: Khi thấy sự xuất hiện của $x_1-x_2$ mà trong các bài tập Vi-et ta sẽ áp dụng ngay đẳng thức đã nêu ở trên, và lưu ý rằng các dạng toán này mà chứa các tham số thì cần phải tìm giá trị của tham số để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sau đó mới áp dụng được hệ thức Vi-et. Nhìn tưởng chừng đơn giản nhưng các bạn phải cẩn thẩn trong khi làm bài. (Việc tìm điều kiện này quan trọng giống như việc tìm ĐKXĐ vậy).

Lời kết: Trên đó là những dạng bài tập thường gặp trong chuyên đề hàm số và đồ thị trong các kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Để các bạn có thể quen hơn chúng ta hãy tự làm các phần bài tập tự luyện ở đây và đăng bài giải của mình lên diễn đàn nhé.
III) Bài tập tự luyện:
Bài 1: Bài tập về hàm số bậc nhất:

Spoiler: Bài tập tự luyện

a) Xác định hệ số $a$ để đường thẳng $y=ax+6$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Cho đường thẳng $(d_1):y=mx+1; (d_2):y=(3m-4)x-2$. Tìm giá trị $m$ để hai đường thẳng trên song song với nhau; cắt nhau; vuông góc với nhau.
c) Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của $m$:
$$\begin{array}{ccc} y=(m-2)x+3; & y=mx+m+2; & y=(m-1)x+(2m-1); \end{array}$$

Bài 2: Quan hệ giữa đường thẳng và parabol:

Spoiler: Bài tập tự luyện

Câu 1: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2015-2016)
a) Vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ và đường thẳng $(D):y=x+2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(D)$ ở câu trên bằng phép tính.

Câu 2: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,tỉnh Long An 2015-2016)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=2(m-1)x+5-2m$ ($m$ là tham số).
a) Vẽ đồ thị parabol $(P)$
b) Biết đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ là $x_1,x_2$. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=6$.

Câu 3: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh An Giang 2015-2016)
Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị là parabol $(P)$.
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm nằm trên parabol $(P)$ có hoành độ $x=2$ và có hệ số góc $k$. Với giá trị $k$ nào thì $(d)$ tiếp xúc với $(P)$.

Câu 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình 2015-2016)
Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{2}x^2$ và hai điểm $A,B$ thuộc $(P)$ có hoành độ lần lượt là $-1,2$. Đường thẳng $(d)$ có phương trình là $y=mx+n$.
a) Tìm tọa độ hai điểm $A,B$. Tìm $m,n$ biết $(d)$ đi qua 2 điểm A và B.
b) Tính độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ (Điểm O là gốc tọa độ).

Câu 5: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Phú Thọ 2015-2016)
Cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình : $y=2(m+1)x-3m+2$.
a) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ với $m=3$.
b) Chứng minh $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$
c) Gọi $x_1,x_2$ là hoành độ giao điểm $A,B$. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2=20$.

Xem thêm : [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10

 

Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình,hệ phương trình và các bài toán thực tế.​

I)Kiến thức cần nhớ:
-Hiều đề,vững các phép biến đổi biểu thức để có thể biểu diễn ẩn và giải phương trình hoặc hệ phương trình.
*Phương pháp giải:
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
-Chọn ẩn số,đặt điều kiện của ẩn số.
-Biểu diễn các đại lượng đề bài theo ẩn số.
-Lập phương trình hoặc hệ phương trình để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng của đề bài.
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình:
-Vận dụng các phương pháp đã được học để giải phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Kết luận:
-Kiểm tra xem tập nghiệm có thỏa mãn điều kiện hay không?Nếu thỏa thì nhận,không thỏa thì loại giá trị tiến tới kết luận.
*Một số lưu ý về đặt điều kiện,đặt ẩn:
-Thông thường đề hỏi vấn đề gì liên quan tới đại lượng đó thì ta sẽ đặt ẩn điều kiện đó.Ví dụ hỏi số gà thì sẽ đặt số gà là $x$(con).
-Điều kiện của ẩn tùy theo trường hợp:
+$x$ mà biểu diễn số có 1 chữ số thì điều kiện là: $0 \leq x \leq 9$.
+$x$ mà biểu diễn số sản phẩm,tuổi,số lượng,vân tốc thì điều kiện thường là $x>0$.
+Ngoài ra còn một số điều kiện khác mà chúng ta sẽ đề cập tới trong phần sau.
II)Một số dạng bài tập cơ bản:
-Một số dạng cơ bản thường gặp là:
1)Toán về quan hệ giữa các số.
2)Toán phần trăm.
3)Toán chuyển động.
4)Toán về sự thay đổi các thừa số tích.
5)Toán có nội dung hình học.
6)Toán có nôi dung lý hóa.
7)Toán về làm chung,làm riêng.
8)Toán thực tế:Tính tiền điện nước,ngân hàng,..
9)Toán cổ.
10)Toán với nghiệm nguyên dương.
-Trước khi đi vào từng dạng cụ thể mình xin lưu ý lại: Nếu đề bảo giải bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập phương trình không được lập hệ phương trình và ngược lại. Ở các ví dụ đầu mình sẽ trình bày cụ thể các ví dụ sau chỉ sẽ hướng dẫn các bạn để các bạn tự trình bày nhé.
1)Toán về quan hệ giữa các số:
VD1:Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là $2$ và số đó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó là $1$.

Spoiler: Ví dụ

Phân tích: Đề bảo tìm số tự nhiên có hai chữ số và cho dữ kiện liên quan giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị nên ta sẽ đặt ẩn cho chữ số hàng đơn vị hoặc hàng chục từ đó có thể biểu diễn thành phần còn lại theo ẩn.
Lời giải: Gọi chữ số hàng đơn vị là $x$ ($0 \leq x \leq 9$ ; $x$ nguyên dương) khi đó chữ số hàng đơn vị sẽ là $x+2$ .
Khi đó số đó sẽ có dạng:$\overline{(x+2)x}$ .
Theo đề bài:
$\overline{(x+2)x}=x^2+(x+1)^2+1 \\\Leftrightarrow 10(x+2)+x=x^2+x^2+2x+1+1 \\\Leftrightarrow 2x^2-7x-15=0$
Tới đây có thể đưa về phương trình tích hoặc xài denta để giải ra nghiệm.
$\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-3}{2};x_2=5$ .
So với điều kiện thì giá trị $\dfrac{-3}{2}$ sẽ loại.Giá trị $5$ thỏa nên nhận.
Vậy số đó là: $75$.

2)Toán phần trăm:
VD: Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây $2$ năm là $75,000$ dụng cụ một năm, hiện nay là $90,750$ dụng cụ một năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm?

Spoiler: Ví dụ

Lời giải: Từ câu hỏi đề bài ta sẽ gọi mức tăng xí nghiệp năm sau so với năm trước là $x$(phần trăm)($x>0$) .Theo đề bài ta sẽ có phương trình:
$75000+\dfrac{75000x}{100}+(75000+\dfrac{75000x}{100})\dfrac{x}{100}=90750

\\\Leftrightarrow x^2+200x-2100=0$
Phương trình này ta sẽ tìm được nghiệm nguyên dương là $x=10$.
Kết luận: Mỗi năm xí nghiệp tăng năng suất $10$% .

3)Toán chuyển động:
VD: Một cano đi xuôi dòng $45$ km rồi ngược dòng $18$ km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược $1$ giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là $6$ km/h. Tính vận tốc của cano lúc ngược dòng.

Spoiler: Ví dụ

Lời giải: Gọi vận tốc của cano lúc ngược dòng là $x$(km/h) ($x>0$) .
Khi đó vận tốc cano lúc xuôi dòng là $x+6$ (km/h).
Từ công thức $s=v.t \Rightarrow t=\dfrac{s}{v}$ dễ dàng tính được thời gian đi xuôi dòng và thời gian ngược kết hợp với giả thuyết đề bài ta có phương trình sau:
$\dfrac{45}{x+6}-\dfrac{18}{x}=1 \\\Leftrightarrow x_1=12,x_2=9$.
Tới đây có 2 kết quả đều thỏa mãn đề bài.
Kết luận:.......

*Lưu ý: Ở dạng này còn có một số dạng toán như xe ô tô đuổi xe máy,hay đi giữa đường xe máy bị hỏng,...Trong phần bài tập tự luyện mình sẽ đề cập tới.
4)Toán về sự thay đổi các thừa số tích:
VD: Một phòng họp có $500$ chỗ ngồi. Do phải xếp $616$ chỗ ngồi, người kê thêm $3$ dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm $2$ chỗ ngồi. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp ?

Spoiler: Ví dụ

Lời giải: Gọi số dãy ghế lúc đầu của phòng họp là $x$(dãy) ($x$ là số tự nhiên).
Chú ý: SỐ CHỖ NGỒI MỖI DÃY=SỐ CHỖ NGỒI/SỐ DÃY(*)
Theo đề bài mỗi dãy xếp theo $2$ chỗ nếu phải thêm 3 dãy ghế để xếp $616$ chỗ ngồi. Do đó ta có phương trình:
$\dfrac{616}{x+3}-\dfrac{500}{x}=2$
Giải phương trình ta sẽ thu được $x_1=25;x_2=30.$.
Nhưng tới đây liệu có nhận hết 2 giá trị này như bài trên không?.Câu trả lời hoàn toàn không.Lưu ý rằng từ (*) và số chỗ ngồi mỗi dãy phải là số tự nhiên nên giá trị $x_1=30$ sẽ loại do $\dfrac{500}{30}\notin \mathbb{N}$.Từ đó ta sẽ nhận giá trị $x=25$ .
Kết luận: Số dãy ghế lúc đầu là $25$ dãy.

5)Toán có nôi dung hình học:
VD: Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng $4m$ và diện tích tam giác bằng $48cm^2$.

Spoiler: Ví dụ

Hướng dẫn giải: Gọi một cạnh góc vuông là $x$(m) ($x>0$).Biểu diễn cạnh góc vuông còn lại áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông sẽ tìm ra $x$.

6)Toán có nôi dung lý hóa:
VD: Vào thế kỉ thứ III trước Công nguyên, vua xứ Xi-ra-cut giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng $5$ niu-tơn (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm $0,3$ niu-tơn. Biết rằng khi cân trong nước vàng giảm $\dfrac{1}{20}$ trọng lượng, bạc giảm $\dfrac{1}{10}$ trọng lượng.Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng,bao nhiêu gam bạc?
(Vật có khối lượng $100g$ thì có trọng lượng $1$ niu-tơn).

Spoiler: Ví dụ

Phân tích: Một bài toán rất thú vị,nhưng liệu có nên đặt ẩn giống như những bài toán trước không?Câu trả lời hoàn toàn là có cơ mà sẽ khiến bài toán trở nên phức tạp.Đề bài hỏi bao nhiêu gam vàng,bao nhiêu gam bạc nên ta nghĩ tới việc đặt 2 ẩn đề đưa về hệ phương trình.Từ đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
Gọi trọng lượng của vàng và bạc trong mũ thứ tự là $x$(niu-tơn) và $y$(niu-tơn)($x,y>0$).
Do chiếc mũ có trọng lượng là $5$ niu-tơn nên $x+y=5$.(1)
Mặt khác khi cân trong nước vàng giảm $\dfrac{1}{20}$ trọng lượng, bạc giảm $\dfrac{1}{10}$ trọng lượng.Và nhúng vào trong nước thì trọng lượng giảm $0,3$(niu-tơn).Do đó:
$\dfrac{x}{20}+\dfrac{y}{10}=0,3$(2)
Giải hệ phương tình bao gồm (1) (2) ta sẽ thu được:
$x=4,y=1$.
Do đó mũ sẽ chứa $400(g)$ vàng, $100(g)$ bạc.

*Lưu ý: Tùy bài toán mà ta sẽ biết cách lập phương trình hay hệ phương trình để giải.Tuy nhiên đó là đối với trường hợp đề không nói gì.Đối với những bài toán đề bài yêu cầu phải giải bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập phương trình để giải không được lập hệ phương trình và ngược lại.
7)Dạng toán làm chung làm riêng:
VD: Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là $25$ ngày. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong $6$ ngày. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?

Spoiler: Ví dụ

Hướng dẫn giải: Gọi thời gian để đội I hoàn thành công việc là $x$(ngày)($x>0$).
Gọi thời gian để đội II hoàn thành công việc là $y$(ngày)($y>0$).
Tính được số phần công việc làm trong mỗi ngày của mỗi đội và lưu ý rằng khi hoàn thành công việc tức là số phần công việc sẽ bằng một.Từ đó lập hệ phương trình để giải.
Đáp số: Đội I:$15$ ngày, $10$ ngày.

8)Toán thực tế:Tính tiền điện nước,ngân hàng,giá sản phẩm,....
VD: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 An Giang 2015-2016)
Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là $500$ triệu đồng. Chi phí để sản xuất một chiếc xe lăn là $2,5$ triệu đồng. Giá bán ra mỗi chiếc là $3$ triệu đồng.
a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu đến khi sản xuất ra được $x$ chiếc xe lăn(Gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biễu diễn số tiền thu được khi bán ra $x$ chiếc xe lăn.
b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe mới có thể thu hồi được vốn ban đầu.

Spoiler: Ví dụ

Lời giải:
a) Dễ thấy tổng chi phí vốn cố định và vốn sản xuất ra $x$ chiếc xe lăn (đơn vị tính triệu đồng) sẽ là $y=500+2,5x$.
Hàm số biễu diễn số tiền thu được khi bán ra $x$ chiếc xe lăn là $y=3x$.
b) Để số tiền bán được và số vốn đầu tư ban đầu bằng nhau, ta có:
$500+2,5x=3x \Leftrightarrow 0,5x=500 \Leftrightarrow x=1000$.
Kết luận: Vậy công ty $A$ phải bán $1000$ chiếc xe lăn mới thu hồi được vốn ban đầu.

9)Toán cổ:
VD: (Bài toán cổ trong Tuyển tập toán bằng thơ của Hi Lạp):

Lừa và ngựa thồ hàng ra chợ
Ngựa thở than mình chở quá nhiều
Lừa rằng: "Anh chớ lắm điều!"
Tôi đây mới bị chất nhiều làm sao!
Anh đưa tôi một bao mang bớt
Thì tôi thồ nhiều gấp đôi anh
Chính tôi phải trút cho anh
"Một bao gánh đỡ mới thành bằng nhau".
Hỏi lừa, ngựa chở mấy bao ?​

Hướng dẫn giải:Gọi số bao lừa,ngựa chở từ đó lập ra hệ phương trình.
10)Các bài toán với nghiệm nguyên dương:
VD: Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho chia nó cho $11$, ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.

Spoiler: Ví dụ

Lời giải: Gọi số tự nhiên có ba chữ số đó là $\overline{xyz}(x,y,z \in \mathbb{N};1 \leq x \leq 9,0 \leq y \leq 9, 0 \leq z \leq 9).$
Bài toán này khác với các dạng trước không thể đưa thẳng để giải được mà phải biện luận ẩn.
Theo đề bài ta có:$\overline{xyz}=11(x+y+z) \\\Leftrightarrow 100x+10y+z=11x+11y+11z \\\Leftrightarrow 89x=10z+y \\\Leftrightarrow 89x=\overline{yz}$.
Mà $\overline{yz}$ là số có $2$ chữ số. Nên $x$ chỉ có thể là $1$(Nếu lớn hơn $1$ thì VP sẽ là số có $3$ chữ số).
Do đó $\overline{yz}=89$.
Do đó số cần tìm là $198$ thử lại thấy đúng.
Kết luận:
-Trên đó là một số ví dụ về các dạng bài toán thường gặp trong chuyên đề này chúng ta sẽ đi qua phần bài tập tự luyện để hiểu rõ hơn.

III)Bài tập tự luyện:

Spoiler: Bài tập tự luyện

Bài 1: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,Tỉnh Long An:
Một đội xe cần chở $36$ tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung thêm $3$ chiếc xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn $1$ tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở xe như nhau.
Bài 2: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,tỉnh Bình Định 2015-2016:
Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại vật. Vào lúc $6$ giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ $X$ theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi. Đến $7$ giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ $X$ theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá $12km/h$. Đến $8$ giờ khoảng cách giữa hai tàu là $60$ km. Tính vận tốc của mỗi tàu.
Bài 3: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Quảng Ngãi 2015-2016:
Hai đội công nhân cùng làm chung trong $4$ giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là $6$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu?
Bài 4: (Sưu tầm)
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng $60$km, sau đó chạy xuôi dòng $48$km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là $2$ km/h.Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng $1$ giờ.
Bài 5: Đề kiểm tra thử tuyển sinh vào lớp 10 trường Nguyễn An Khương 2017-2018:
Theo quyết định số 2256/QĐ-BCT ngày 12-3-2015 của Bộ Công Thương quy định về giá bán lẻ điện sinh hoạt như sau:
Bậc 1:Cho kWh từ 0->50:1,484 đồng/kWh.
Bậc 2:Cho kWh từ 51->100:1,533 đồng/kWh.
Bậc 3:Cho kWh từ 101->200:1,786 đồng/kWh.
Bậc 4:Cho kWh từ 201->300:2,242 đồng/kWh.
Bậc 5:Cho kWh từ 301->400:2,503 đồng/kWh.
Bậc 6:Cho kWh từ 401 trở lên:2,587 đồng/kWh.
Mỗi hộ gia đình trong tháng $4$ năm $2017$ đã sử dụng hết 206 kWh. Hỏi hộ gia đình này phải trả bao nhiêu tiền, biết rằng phải đóng thêm $10$% thuế giá trị gia tăng(GTGT).
Bài 6:Đề thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông TP Hồ Chí Minh lần 8:
Để lát nền lớp học, người ta dùng $1200$ viên gạch hình chữ nhật. Mỗi viên gạch có chu vi là $80$ cm.Nếu giảm chiều dài $5$ cm và tăng chiều rộng $5$ cm thì có viên gạch hình vuông. Diện tích viên gạch hình vuông lớn hơn diện tích viên gạch hình chữ nhật là $25 cm^2$. Tính số tiền cần dùng để lát hết toàn bộ nền lớp học. Biết rằng $1m^2$ là $80000$ đồng.
Bài 7:Sưu tầm:
Bạn An gửi tiết kiệm kỳ hạn $1$ năm với số tiền ban đầu là $5$ triệu đồng. Sau $2$ năm, bạn An nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là $5 618 000$ đồng. Biết rằng trong thời gian đó, lãi suất không thay đổi và bạn An không rút lãi ra trong kỳ hạn trước đó. Hỏi lãi suất kỳ hạn $1$ năm của ngân hàng là bao nhiêu?
Bài 8: Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường phổ thông năng khiếu đại học quốc gia TP HCM 2017-2018:
Lớp $9T$ có $30$ bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng $70000$ đồng và sau $3$ tháng sẽ đủ tiền mua tặng cho mỗi em ở ''Mái ấm tình thương X'' ba gói quà (giá tiền các món quà đều như nhau). Khi các bạn đó đóng đủ số tiền như dự trù thì ''Mái ấm tình thương X'' đã nhận chăm sóc thêm $9$ em và giá tiền của mỗi món quà tăng thêm $5$% nên chỉ tặng được mỗi em hai gói quà. Hỏi có bao nhiêu em của ''Mái ấm tình thương X'' được nhận quà?

Xem thêm : [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10

 

Chuyên đề 5: Hình học​

I)Nhắc lại kiến thức cần nhớ:
1)Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
2)Tỉ số lượng giác
3)Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:
4)Đường tròn:
-Trong phần này thì bao gồm nhiều phần trong đó trọng tâm sẽ là:
+Các góc với đường tròn: góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung,..
+Chứng minh tứ giác nội tiếp(Đây là phần mà chắc chắn trong đề thi tuyển sinh vào lớp $10$ phải có).
+Diện tích, chu vi đường tròn,...
5)Hình không gian:
-Nắm các định nghĩa, và các công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần, thể tích của các hình như: hình cầu, hình trụ, hình nón,...
6)Các định lý tính chất khác:
-Phải nắm vững được các định lý, tính chất trong sách giáo khoa ví dụ như: định lý pytago, thales, đường trung bình, trực tâm, trọng tâm,... Và các bổ đề. Chính những điều này sẽ giúp các bạn rất nhiều trong quá trình giải bài tập liên quan tới chuyên đề hình học này.
*Vì những kiến thức này đều có trong sách giáo khoa nên minh sẽ không nhắc lại nữa các bạn hãy lật sách giáo khoa ra để xem nhé.
II)Phương pháp giải các bài toán hình học nói chung:
-Ở đây mình sẽ chỉ đề cập tới phương pháp giải các bài toán hình học nói chung còn từng dạng toán trong chuyên đề này có lẽ không đủ thời gian nên mình sẽ cho phần bài tập tự luyện để các bạn vừa làm vừa nhắc lại kiến thức+ dạng bài nhé.
B1:Như đã nói ở trên đầu tiên các bạn phải vững được các tính chất, định lý vì đây chính là hành trang cho các bạn để làm bài. Và điều đặc biệt lưu ý khi học hình là bạn hãy cố gắng vẽ hình thật ''dễ nhìn'' và cố gắng vẽ hình chính xác nhất có thể ví dụ khi đề hỏi điểm cố định, đường cố định thì bạn có thể dự đoán được điểm, đường nào cố định chẳng hạn?.
B2:Khi đã có đề bài thì phải đọc kỹ đề xem giả thuyết cho gì, yêu cầu bắt chứng minh, hay hỏi gì, từ đó các bạn có thể ghi lại các giả thuyết, kết luân của bài toán.
B3:Sau khi đã nắm vững được giả thuyết đề bài, và yêu cầu thì hãy dành ra thời gian để định các hướng cho bài toán xem liệu hướng nào là tối ưu nhất? Nếu không biết hướng nào tối ưu nhất thì các bạn có thể bắt tay vào nhìn hình triển khai ý tưởng đó xem khả thi không? Biết là làm gì cũng phải kiên trì nhưng đừng có dành quá nhiều thời gian vào một hướng vì khi thi thì thời gian sẽ không bao giờ cho phép.Trong các bài toán hình thì bạn có thể tìm hướng giải theo 2 cách:
+Cách 1: Từ giả thuyết bạn sẽ tìm ra điều phải chứng minh.
+Cách 2: Gọi là suy luận ngược, từ yêu cầu đề bài suy ngược lên giả thuyết. Ví dụ đề bài yêu cầu chứng minh hình đó là hình chữ nhật thì trong đầu ban nghĩ ngay rằng sẽ đi chứng minh: hình đó có $3$ góc vuông, hay hình thang cân, hình bình hành có một góc vuông, hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau,.. Từ đó liên kết với giả thuyết xem cái này tối ưu nhất. Sau khi đã chọn được hướng chỉ cần làm xuôi lại thì coi như bài toán đã hoàn tất.
B4: Tiến hành vừa làm, vừa nhìn hình, vừa kiểm tra lại bài toán xem đã đúng chưa?.
B5: Kiểm tra một lần nữa toàn thể đề bài.
-Trên đấy là một số bước làm, phương pháp chung cho các giải toán chung hình học.
Lưu ý: Trước khi bước vào phần bài tập tự luyện thì mình có một số điều cần nói: Trọng tâm trong các đề thi chính là phần tứ giác nội tiếp ngoài ra còn một số yêu cầu khác như chứng minh các góc bằng nhau, cạnh bằng nhau, song song,.. vì vây các bạn nên ôn kĩ những phần này để có kiến thức để làm bài.
III)Bài tập tự luyện: (Sẽ cập nhật thêm)
Bài 1: (Đề tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Thuận 2015-2016)
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$, $D$ là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn ($D$ khác $A$ và $D$ khác $B$). Các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $C$, $BC$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Kẻ $DF$ vuông góc với $AB$ tại $F$.
a)Chứng minh: Tứ giác $OACD$ nội tiếp.
b)Chứng minh:$CD^2=CE.CB$.
c)Chứng minh:Đường thẳng $BC$ đi qua trung điểm của $DF$.
d)Giả sử $OC=2R$, tính diện tích phần tam giác $ACD$ nằm ngoài nửa đường tròn $(O)$ theo $R$.
View attachment 10293
Bài 2: (Đề tuyển sinh lớp 10 THPT,TP Hồ Chí Minh 2015-2016)
Cho tam giác $ABC (AB<AC)$ có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC, AB$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.
a) Chứng minh : $AD$ vuông góc $BC$
b) Chứng minh $EFDO$ là tứ giác nội tiếp
c) Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $L$ sao cho $DL = DF$. Tính số đo $\widehat{BLC}$.
d) Gọi $R, S$ lần lượt là hình chiếu của $B,C$ lên $EF.$ Chứng minh $DE + DF = RS$
View attachment 10294
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên trường ĐHSP,TP. Hồ Chí Minh 2015-2016)
Cho tam giác $ABC (AB<AC)$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt$ AB,AC$ lần lượt tại $E,D$. $CE$ cắt $BD$ tại $H$ và $AH$ cắt $BC$ tại $K.$
a) Chứng minh tứ giác $BEHK$ nội tiếp và $KA$ là tia phân giác $\widehat{EKD}$.
b) Gọi $AI,ẠJ$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ($I,J$ là các tiếp điểm và hai điểm $D,J$ nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AK$). Chứng minh rằng: $\widehat{IKE}=\widehat{DKJ}$.
c) Chứng minh 3 điểm $J,H,I$ thẳng hàng.
d) Đường thẳng qua $K$ và song song với $ED$ cắt $AB$ và $CH$ lần lượt tại $Q$ và $S$. Chứng minh rằng $KQ=KS$
View attachment 10295