Toán [Thảo Luận] Topic luyện thi Violympic

[Trafalgar D Law]

Bài toán 31
Trên quãng đường AB dài 120km, một ô tô đi từ A đến B rồi sau đó lại đi từ B về A. Biết thời gian đi từ A đến B hơn thời gian đi từ B về A là 1 giờ và vận tốc khi đi bằng 3/5 vận tốc khi về. Tính vận tốc khi đi từ A đến B

Gọi vận tốc lúc đi là x (x>0;km\h)
=> Thời gian đi là 120/x (giờ)
=> Thời gian về là 120/x -1 (giờ)
Vận tốc về là 5x/3 (km/h)
=> Thời gian về : 72/x (giờ)
[tex]\Leftrightarrow \frac{72}{x}=\frac{120}{x}-1\Leftrightarrow \frac{72-120+x}{x}=0\Leftrightarrow x=48[/tex]
Vậy vận tốc lúc đi là 48km/h.

+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[~♥明♥天♥~]

Bài toán 30:
Cho n là số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức

Tìm n

đẳng thức sao không có dấu = vậy ???

Bài toán 29:
Cho 3 số dương x, y,z thỏa mãn

và

. Tính x + y - z

Đặt [tex]\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z+1}{2}=k[/tex] (k>0)
==> x=3k ; y=5k ;z=2k-1
Khi đó ta có :[tex]2(3k)^{2}+(5k)^{2}+2(2k-1)^{2}+4(2k-1)=202[/tex]
<=>[tex]18k^{2}+25k^{2}+2(4k^{2}-8k+1)+8k-4=202[/tex]
<=>[tex]43k^{2}+8k^{2}-8k+2+8k-4=202[/tex]
<=>[tex]51k^{2}=204[/tex]
<=>[tex]k^{2}=4[/tex]
=>k=2 ( vì k>0)
==> x=6 ; y=10 ; z=3
==> x+y-z=13

+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Hiền Cù]

đẳng thức sao không có dấu = vậy ???

ak mk quên đẳng thức đấy bằng

Bài toán 32:
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là tia phân giác của góc A ( M thuộc BC ). Từ M lần lượt kẻ MD và ME vuông góc với AB và AC. Biết chu vi tam giác ABC hơn 2 lần chu vi tam giác BDM là 18cm và hai đoạn thẳng AD, DM tỉ lệ nghịch với 3; 4. Tính AM

Bài toán 33:
Cho tam giác ABC vuông tại A có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với 5; 12. Biết chu vi tam giác ABC bằng 180cm. Tính diện tích tam giác ABC

 

[Edogawa Conan]

Bài toán 34:
Tìm [tex]Max \ A=x^{6}+y^{6}[/tex] biết [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 34:
Tìm [tex]Max \ A=x^{6}+y^{6}[/tex] biết [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]

[tex]A=x^{6}+y^{6}=(x^{2})^{3}+(y^{2})^{3}=(x^{2}+y^{2})(x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4})\\x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow A=x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}\\\Rightarrow A=(x^{2}+y^{2})^{2}-3x^{2}y^{2}\\=1-3x^{2}y^{2}\leq 1[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \left[\begin{array}{11}x=0\\y=0 \end{array}\right.[/tex]
Vậy [tex]Max \ A=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{11}x=0;y=\pm 1\\y=0;x=\pm 1 \end{array}\right.[/tex]
+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[~♥明♥天♥~]

Bài toán 33:
Cho tam giác ABC vuông tại A có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với 5; 12. Biết chu vi tam giác ABC bằng 180cm. Tính diện tích tam giác ABC

Coi [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}[/tex]
==>[tex]\frac{AB}{5}=\frac{AC}{12}[/tex]
Đặt [tex]\frac{AB}{5}=\frac{AC}{12}[/tex]=k (k>0, vì AB, AC là độ dài 2 cạnh của tam giác)
==> AB= 5k ; AC=12k
Áp sụng định lý Pi-ta-go có:[tex]BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=25k^{2}+144k^{2}= 169k^{2}[/tex]
==> BC= 13k ( vì BC>0)
==> Chu vi của tam giác là :AB+AC+BC= 5k +12k+13k=30k=180
==> k=6
==> AB=30cm ; AC=72cm ; BC=78cm
==> diện tích tam giác là S= 30.72/2=1080 (cm[tex]^{2}[/tex])

+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 33:
Cho tam giác ABC vuông tại A có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với 5; 12. Biết chu vi tam giác ABC bằng 180cm. Tính diện tích tam giác ABC

Ta có:
[tex]\dfrac{AB}{5}=\dfrac{AC}{12}\Rightarrow \dfrac{AB^{2}}{25}=\dfrac{AC^{2}}{144}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{169}[/tex]
Mà [tex]AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}[/tex](Theo ĐL Py-ta-go)
[tex]\Rightarrow \dfrac{AB^{2}}{25}=\dfrac{AC^{2}}{144}=\dfrac{BC^{2}}{169}\\\Rightarrow \dfrac{AB}{5}=\dfrac{AC}{12}=\dfrac{BC}{13}=\dfrac{AB+AC+BC}{5+12+13}=\dfrac{180}{30}=6\\\Rightarrow \dfrac{AB}{5}=6\Rightarrow AB=30(cm)\\\dfrac{AC}{12}=6\Rightarrow AC=72(cm)\\\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{30.72}{2}=1080(cm^{2})[/tex]

 

[Edogawa Conan]

Bài toán 35:
Tìm [tex]Max \ C=(x+z)(y+t)[/tex] biết [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 35:
Tìm [tex]Max \ C=(x+z)(y+t)[/tex] biết [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1[/tex]

Ta có:
[tex]2xy\leq x^{2}+y^{2};2xt\leq x^{2}+t^{2}\\2yz\leq y^{2}+z^{2};2zt\leq z^{2}+t^{2}\\C=(x+z)(y+t)=xy+xt+yz+zt\\\Rightarrow 2C=2xy+2xt+2yz+2zt\leq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})=2\\\Rightarrow Max \ C=1\Leftrightarrow x=y=z=t=\dfrac{1}{2}[/tex]
+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Đoàn Hoàng Lâm]

Bài toán 36 :Giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]\sqrt{x+9} + \sqrt{2016-x}[/tex] là

Bài toán 37 :
Nghiệm lớn nhất của phương trình:
[tex](\sqrt{x}-1)^{3} + (\sqrt{x}-3)^{3} = 8.(\sqrt{x}-2)^{3}[/tex]



Bài toán 38 :
Thời gian để ba người cùng làm xong một công việc bằng một nửa thời gian người thứ ba làm xong việc đó một mình và nhanh hơn thời gian mà người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc đó lần lượt là 6 giờ và 1 giờ. Thời gian để ba người cùng làm xong công việc đó là .... (Phút)

Bài toán 39 :
:Cho phương trình: [tex]x^2-2(m+1)x+m^2+2m=0[/tex] (m là tham số). Tập hợp các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn là [tex]\left | x_{1}^{3}- x_{2}^{3} \right |=8[/tex]
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần; ngăn cách nhau bởi dấu ";")

Bài toán 40:
Tập hợp các giá trị nguyên của a để biểu thức [tex]\sqrt{a^2+a+3}[/tex]
có giá trị hữu tỉ là
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần; ngăn cách nhau bởi dấu ";")

Bài toán 41
Cho tam giác ABC vuông tại A và BD là phân giác trong của góc B(B thuộc AC) Biết BD=7cm,DC=15cm khi đó AD= cm.
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

Bài toán 42
Cho hai số a,b thỏa mãn đẳng thức [tex]\frac{a^2+b^2}{a-2b}=2[/tex]
Giá trị lớn nhất của biểu thức P=8a+4b là

 

[~♥明♥天♥~]

Bài toán 36 :Giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]\sqrt{x+9} + \sqrt{2016-x}[/tex] là

Đặt A=[tex]\sqrt{x+9}+\sqrt{2016-x}[/tex]
Vì [tex]\sqrt{x+9}\geq 0=>x\geq -9[/tex]
==>[tex]\sqrt{2016-x}\geq \sqrt{2025}=45[/tex]
==> A[tex]\geq 0+45[/tex]
==> Min A= 45
Dấu = xảy ra khi x=-9

+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 37 :
Nghiệm lớn nhất của phương trình:
[tex](\sqrt{x}-1)^{3} + (\sqrt{x}-3)^{3} = 8.(\sqrt{x}-2)^{3}[/tex]

[tex](\sqrt{x}-1)^{3}+(\sqrt{x}-3)^{3}=8.(\sqrt{x}-2)^{3}\\\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{3}+(\sqrt{x}-3)^{3}-8.(\sqrt{x}-2)^{3}=0\\\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{3}+(\sqrt{x}-3)^{3}-(2\sqrt{x}-4)^{3}=0\\\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{3}+(\sqrt{x}-3)^{3}+(4-2\sqrt{x})^{3}=0\\\Rightarrow 3(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)(4-2\sqrt{x})=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{11}\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\\\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\\4-2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4 \end{array}\right.[/tex]
=>Nghiệm lớn nhất của pt là [tex]x=9[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Mình không hiểu dòng 3,4

Àk cái dòng 4 mk viết nhầm cái dấu = đầu tiên là dấu + mới đúng

 

[~♥明♥天♥~]

Bài toán 37 :
Nghiệm lớn nhất của phương trình:
[tex](\sqrt{x}-1)^{3} + (\sqrt{x}-3)^{3} = 8.(\sqrt{x}-2)^{3}[/tex]

Đặt [tex]\sqrt{x}-2 =a[/tex]
Ta có phương trình: [tex](a+1)^{3}+(a-1)^{3}=8a^{3}[/tex]
==>[tex]a^{3}+3a+3a^{3}+1+a^{3}-3a+3a^{2}-1-8a^{3}=0[/tex]
==>[tex]-6a^{3}+6a^{2}=0[/tex]
==>[tex]a^{3}-a^{2}=0[/tex]
==>a(a-1)(a+1)=0
==> a=0 ; hoặc a=1 ; hoặc a=-1
==> x=4 hoặc a=9 hoặc x=1
==> nghiệm lớn nhất là x=9

 

[Edogawa Conan]

Bài toán 43:
Cho [tex]x,y,z[/tex] là các số dương có tổng bằng 1.
Tìm [tex]Min \ A=\dfrac{x+y}{xyz}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 43:
Cho [tex]x,y,z[/tex] là các số dương có tổng bằng 1.
Tìm [tex]Min \ A=\dfrac{x+y}{xyz}[/tex]

Từ [tex]x+y+z=1\Rightarrow (x+y+z)^{2}=1[/tex]
Áp dụng BĐT [tex](a+b)^{2}\geq 4ab[/tex]
[tex]\Rightarrow [(x+y)+z]^{2}\geq 4z(x+y)\\hay \ 1\geq 4z(x+y)\\\Rightarrow \dfrac{x+y}{xyz}\geq \dfrac{4(x+y)^{2}z}{xyz}\geq \dfrac{4.4xyz}{xyz}=16\\\Rightarrow Min \ A=16\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=z\\x=y\\x+y+z=1 \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}[/tex]
+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Hiền Cù]

Bài toán 44:
Cho biết n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n - 1 ) . n và biểu thức

. Phần nguyên của A bằng bao nhiêu?
Bài toán 45:
Cho a và b là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là k. Khi đó 5a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số là bao nhiêu
Bài toán 46:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

đạt được khi x bằng bao nhiêu
Bài toán 47:
Số giá trị của x thỏa mãn

Bài toán 48:
Giá trị của x thỏa mãn

Bài toán 49:
Có bao nhiêu bộ số ( x; y; z) đồng thời thỏa mãn hai điều kiện

và x + 1 = y + 2 = z +3
Bài toán 50:
Số giá trị của x thỏa mãn

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 46:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

đạt được khi x bằng bao nhiêu

Áp dụng công thức:[tex]|A|=|-A|[/tex]
[tex]\Rightarrow \left |x+\dfrac{1}{4} \right |=\left | -x-\dfrac{1}{4} \right |[/tex]
Áp dụng công thức:[tex]|x|+|y|\geq |x+y|[/tex]
[tex]\Rightarrow \left | x+\dfrac{1}{2} \right |+\left | -x-\dfrac{1}{4} \right |\geq \left | x+\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{1}{4} \right |=\dfrac{1}{2}[/tex]
Mà [tex]\left | x+\dfrac{1}{3} \right |\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \left | x+\dfrac{1}{2} \right |+\left | x+\dfrac{1}{3} \right |+\left | x+\dfrac{1}{4} \right |\geq \dfrac{1}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \begin{cases}x+\dfrac{1}{2}\geq 0\\x+\dfrac{1}{3}=0\\-x-\dfrac{1}{4}\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{-1}{3}\\x\leq -\dfrac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}[/tex]
Vậy [tex]Min \ B=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}[/tex]
+1 điểm
Duyệt bởi @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Hiền Cù]

Áp dụng công thức:[tex]|A|=|-A|[/tex]
[tex]\Rightarrow \left |x+\dfrac{1}{4} \right |=\left | -x-\dfrac{1}{4} \right |[/tex]
Áp dụng công thức:[tex]|x|+|y|\geq |x+y|[/tex]
[tex]\Rightarrow \left | x+\dfrac{1}{2} \right |+\left | -x-\dfrac{1}{4} \right |\geq \left | x+\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{1}{4} \right |=\dfrac{1}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \begin{cases}x+\dfrac{1}{2}\geq 0\\x+\dfrac{1}{3}=0\\-x-\dfrac{1}{4}\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{-1}{3}\\x\leq -\dfrac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}[/tex]
Vậy [tex]Min \ B=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}[/tex]

Bạn ơi sửa lại bài được ko?? Mk ko hiểu

 

[Hiền Cù]

Bài toán 51:
Cho

. Biết 1 + 2 + 3 + ... + ( n - 1 ) + n + ( n - 1 ) + ... + 3 + 2 + 1 =

. Tìm k