Thách đấu toán học cho người yêu toán

[jameshelli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A=[TEX]\frac{2}{|a-b|}+ \frac{2}{|b-c|[/tex][tex]+ \frac{2}{|c-a|}[/tex] [tex]+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}[/TEX]
trong đó a,b,c là các số thực thõa mãn 2 điều kiên a+b+c=1 và ab+bc+ca>0
__________________

 

[traitimbangtuyet]

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A=[TEX]\frac{2}{|a-b|}+ \frac{2}{|b-c|[/TEX][tex]+ \frac{2}{|c-a|}[/tex] [tex]+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}[/tex]
trong đó a,b,c là các số thực thõa mãn 2 điều kiên a+b+c=1 và ab+bc+ca>0
__________________

giả sử a>b>c .Khi đó ta có :
A=[tex]\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}[/tex][tex]+\frac{2}{a-c}[/tex][TEX]+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ac}[/TEX]
sữ dụng đẳng thức quen thuộc :
[TEX]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\geq\frac{4}{m+n}\geq\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt m^2+n^2},(m>0,m<0)[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi m=n , ta có :
A=[TEX]2(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})[/tex][tex]+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{10}{a-c}+\frac{10}{2\sqrt{ab+bc+ca}}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a-c)^2+4(ab+bc+ca}}[/TEX]
=[TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}[/TEX]
=[TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt(1-b)(1+3b)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1-3b) } [/tex] (1)
Lại có :
[TEX]3(1-b)(1-3b)\leq\frac{(3-3b+1+3b)^2}{4}=4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\sqrt{(1-b)(1+3b)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}[/TEX]
kết hợp vơpí bất đẳng thức (1) \Rightarrow A\geq[TEX]10\sqrt{6}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a-b=b-c; 3-3b=1+3b ; & a+b+c=1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a=\frac{2+\sqrt{6}}{6} , b=1/3 , c = \frac{2-\sqrt{6}}{6}[/TEX]
rồi giá trị nhỏ nhất là cái trên đó a=...,b=...;c=...) hoặc là các hoán vị (ok)
_____________bấm mệt quá @};-

 

[jameshelli]

tốt lắm traitimbangtuyet , 1 chưởng chắc vẫn chưa hề hứng gì ??? lần này cậu hay tiếp chiêu thứ 2 nha( đảm bảo die sớm)
Cho tam giác nhọn ABC vơi AB#AC . Từ điểm P nằm trong tam giác sao cho PBA=PCA , ta hạ các đường vuông góc PM và PN theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC . Gọi O là trung điểm của BC .Phân giác các góc BAC và MON cắt nhau tại R. Chứng minh rằng các đường phân giác BMR và CNR có một điểm chung nằm trên đoạn BC .

 

[traitimbangtuyet]

( tớ bị 1 chưởng đúng là quá si nhê rồi !!!)
Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của PB và PC . K hi đó ta có : [TEX]MD=OE=\frac{1}{2}PB [/TEX] , [TEX]NE=OD=\frac{1}{2} PC[/TEX]
Lại có :[tex]ODM=2PBA+ODP=2PCA+OEP=OEN [/tex]\Rightarrow tam giác ODM=OEN ( c.g.c)
\RightarrowOM=ON , dẫn đến RM =RN .Gọi R' là điểm chính giữa cung MN k chứa A của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN .Khi đó R'M=R'N & R'AM=R'AN . R' trùng R . Do đó bbiểm A,M,P,R,N cùng nằm trên đường tròn bán kính AP . Gọi Q là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMR với cạnh BC . Ta có :
[TEX]QRN=360^0 - MRN-MRQ[/TEX]
----------------=[TEX]360^0-(180^0-BAC)-(180^0-ABC)[/TEX]
----------------=[TEX]180^0-ACB[/TEX]
\Rightarrow tứ giác CNRQ nội tiếp ( ta có điều cần chứng minh )

cái ni thấy bài quen quen ! @};-

 

[duynhana1]

hehe thấy 2 bạn vui quá để mình giúp jameshelli hạ traitimbangtuyet

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex] 2(ab+bc+ca) + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \ge 9 [/tex]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

hehe thấy 2 bạn vui quá để mình giúp jameshelli hạ traitimbangtuyet

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex] 2(ab+bc+ca) + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \ge 9 [/tex]

[TEX]VT \geq 6\sqrt{abc} + \frac{a+b+c}{abc}= 3\sqrt{abc}+ 3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc} \geq VP[/TEX]

 

[jameshelli]

cảm ơn cậu đã ủng hộ tớ , nhưng nhỏ traitimbangtuyet lì lắm ; nó k làm bài dễ đâu cho nên tớ mới thách đấu với nó tới cùng á ! lần này phải ra bài khó cho nó mới được cậu ạ !

@traitimbangtuyet : nhất định tớ phải hạ ván cậu tức quá

1) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a .M , N lần lượt là hai điểm nào đó trên các mặt cầu
S(D;a) , S'(C;2a) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA+2NB+4MN
-
---hahahaha die thui

 

[duynhana1]

:-ss cho thêm 1 bài nữa, tớ cũng phải hạ
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn :
[tex] 2x+4y+7z= 2xyz [/tex]
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : [tex] P=x+y+z [/tex]

 

[ronagrok_9999]

Các bạn cho mình tham gia cuộc chiến này nha
Cho em bên đội chị jamesheli nha

Cho tam giác ABC vuông tại A. AH cố định. góc xHy=90* xoay quanh H cố định.
Hx cắt AB tại M. Hy cắt BC tại N. Gọi G là trọng tâm tam giác MHN. TÌm tập hợp điểm G của tam giác MHN

Ủng hộ em nha

 

[pekuku]

:-ss cho thêm 1 bài nữa, tớ cũng phải hạ
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn :
[tex] 2x+4y+7z= 2xyz [/tex]
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : [tex] P=x+y+z [/tex]

cho tớ tham gia vs

áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng : [TEX]a_1x_1+a_2x_2...+a_nx_n\geq(a_1+a_2..+a_n){({{x}_{1}}^{a_1}.{{x}_{2}}^{a_2}...{{x}_{n}}^{a_n})}^ {\frac{1}{a+b+c}}[/TEX]

[TEX]3.\frac{x}{3}+\frac{5}{2}.\frac{2y}{5}+2\frac{z}{2}\geq (3+\frac{5}{2}+2){(({\frac{x}{3})}^3.{(\frac{2y}{5})}^{\frac{5}{2}}).{(\frac{z}{2})}^{2})}^{\frac{2}{15}}[/TEX]

[TEX]6.\frac{x}{6}+10.\frac{2y}{5}+14\frac{z}{2}\geq(6+10+14)({({\frac{x}{3})}^{6}.{(\frac{2y}{5})}^{10}.{(\frac{z}{2})}^ {14} )}^{\frac{1}{30}} [/TEX]
từ đó suy ra :
[TEX](x+y+z)^2(2x+4y+7z)\geq(\frac{15}{2})^2.30.\frac{x}{3}.\frac{2y}{5}.\frac{z}{2}[/TEX]


[TEX]=> (x+y+z)^2\geq{\frac{15}{2}}^2 => x+y+z\geq\frac{15}{2}[/TEX]
hix
sao tex hư hết z (

 

[traitimbangtuyet]

1) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a .M , N lần lượt là hai điểm nào đó trên các mặt cầu
S(D;a) , S'(C;2a) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA+2NB+4MN [/SIZE]

[/B]
Trên đoạn AD,BC lần lượt lấycác điểm E,F sao cho DE=[TEX]\frac{1}{4}a[/TEX] , CF=a . Ta có : [TEX]\frac{MD}{DE}=\frac{AD}{DM}=4[/TEX]
\Rightarrow tam giác MDE ~ BCM ( c.g.c) \Rightarrow MA= 4ME .
Tương tự tam giác NCF ~ BCN (c.g.c) với tỉ số đồng dạng là [TEX]\frac{NB}{NF}=\frac{CN}{CF}=2[/TEX] \RightarrowNB=2NF
từ đó ta có : MA+2NB+4MN=4(ME+MN+NF) \geq 4EF= [TEX]a\sqrt{265}[/TEX]
Đưảng thức xãy ra khi M và N là giao điểm của đoạn thẳng EF với S(D;s) và S'(C;2a)
vậy giá trị nhỏ nhất của MA+2NB+4MN là [TEX]a\sqrt{265}[/TEX] đạt được

ê ê ! chơi kì vậy ??? có ai bên đội tui k ??? trời ơi !!! tôi đâu phải là thần đồng đâu mà ra ác chiến thế ???~X( ui

 

[bananamiss]

mới lớp 8 mà siêu dữ . Bái phục .
thử 1 bài pt vô tỉ nhé

[TEX](1+x-\sqrt{x^2-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^2-1})^{2008}=2^{2009}[/TEX]

#

1,cho x,y,z dương thoả [TEX]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/TEX]

tìm Max

[TEX]P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/TEX]

2, a,b,c > 0, CMR

[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ac}} \geq \frac{a+b+c}{5}[/TEX]


@traitimbangtuyet: em k phải là thần đồng nhưng sắp thành thần đồng rồi ..^^!

 

[jameshelli]

1) Giải hệ phương trình với các ẩn số x,y,z sau đây :
[TEX]\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2} [/TEX]
( trong đó a,b,c là các số cho trước )&gt;:/
2)Cho 2001 điểm trên mặt phẳng , biết rằng trong mỗi nhóm 3 điểm bất kì của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được 2 điểm khoảng cách bé hơn 1.Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất 1001 điểm nằm trong 1 đường tròn có bán kính bằng 1 .

ha ha !! lần này thì sao đây ta ???

 

[duynhan1]

2)Cho 2001 điểm trên mặt phẳng , biết rằng trong mỗi nhóm 3 điểm bất kì của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được 2 điểm khoảng cách bé hơn 1.Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất 1001 điểm nằm trong 1 đường tròn có bán kính bằng 1 .

Giả sử không tồn tại đường tròn có bán kính bằng 1 có nhiều hơn 1000 điểm. Đánh số các điểm lần lượt từ 1..2001.

Lấy điểm 1 làm tâm thì theo giả sử sẽ có nhiều nhất 1000 điểm thuộc đường tròn bán kính 1 có tâm là điểm 1.

Không mất tính tổng quát giả sử điểm 2 không thuộc đường tròn tâm 1 nói trên, suy ra tồn tại nhiều nhất 1000 điểm thuộc đường tròn bán kính 1 có tâm là điểm 2.

Từ (1) và (2) theo nguyên lý Dirichle tồn tại ít nhất 1 điểm không thuộc đường tròn tâm là điểm 1 và tâm là điểm 2, giả sử là điểm 3.

Vậy trong 3 điểm : 1, 2, 3 không tồn tại 2 điểm có khoảng cách bé hơn 1.

Suy ra điều giả sử là sai, tức là tồn tại ít nhất 1 đường tròn có bán kính 1 chứa 1001 điểm

 

[nhochung62]

bạn nào làm bài này được mình khen tài. hì hì tài hơn mình thui mình gà mà

 

[traitimbangtuyet]

1) Giải hệ phương trình với các ẩn số x,y,z sau đây :
[TEX]\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2} [/TEX]
( trong đó a,b,c là các số cho trước )>:/

*nếu x=0 \Rightarrow [TEX]x^2+y^2+z^2=0[/TEX] hay x=y=z=0 , khi đó các biểu thức của phương trình vô ngjĩa
*nếu y=0 hoặc z=0 cũng vô nghĩa ( chứng minh tương tự )
*Vậy x#0 , y#0, z#0
Nghich đảo các phân thức của phương trình ta được :
[TEX]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}= \frac{b}{y}+\frac{c}{z}= \frac{c}{z}+\frac{a}{x}= \frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2z^2}[/TEX] (1)
Gỉa sử :a=0 thì từ (1) ta có [TEX]\frac{b}{y}=\frac{b}{y}+\frac{c}{y}=\frac{c}{z}[/TEX] \Rightarrow b=c=0
Khi đó các biểu thức của phương trình cũng vô nghĩa
*Vậy abc#0 :
Từ (1) ta có [TEX]2(\frac{a}{x}+ \frac{b}{y}+ \frac{c}{z})= \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{x^2+y^2+z^2})[/TEX]
hay :[TEX] \frac{a}{x}+ \frac{b}{y}+\frac{c}{z}= \frac{3}{2}. \frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}[/TEX] (2)
Từ (1)(2) ta được :
[TEX]\frac{a}{x}= \frac{b}{y}= \frac{c}{z}= \frac{1}{2}. \frac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}[/TEX] (3)
Đặt [TEX]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{1}{t}[/TEX] có x=at ; y=bt ;c=ct
Thay giá trị vàp đẳng thức (3):[TEX]\frac{b}{t}=\frac{1}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}t^2[/TEX]
[TEX]\frac{1}{t}=\frac{1}{2t^2}[/TEX] \Rightarrowt=1/2
với t=1/2 ta có : x=a/2 ; y = b/2 , z=c/2
\Rightarrowcác nghiệm : a/2 ; b/2 ; c/2

\Rightarrow

 

[hoa_giot_tuyet]

Trời bọn lớp 8 kéo nhau lên đây thi tài à :-O

Thui k làm đc bài nào, post tạm một bài đỡ spam )

[TEX]\forall a,b,c \in R c/m (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2[/TEX]

 

[duynhan1]

Trời bọn lớp 8 kéo nhau lên đây thi tài à :-O

Thui k làm đc bài nào, post tạm một bài đỡ spam )

[TEX]\forall a,b,c \in R c/m (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2[/TEX]

1 cách Cauchy Schwarz cho các bài dạng này.


[TEX](ab+bc+ca-1)^2 = (a ( b+c) + bc-1)^2 \le (a^2+1)( (b+c)^2+(bc-1)^2) = (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) [/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
[TEX]\frac{b+c}{a} = \frac{bc-1}{1} \\ \Leftrightarrow a+b+c=abc[/TEX]

 

[duynhan1]

1,cho x,y,z dương thoả [TEX]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/TEX]

tìm Max

[TEX]P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/TEX]

Thay [TEX]z \to \frac{1}{z}[/TEX], ta có :
[TEX]\left{ xy^2 + yz^2+ zx^2 = 3 \\ P = \frac{1}{x^4+y^4+z^4}[/TEX]. Ta lại có :
[TEX]x^4 + y^4 + y^4 + 1 \ge 4xy^2[/TEX]
Từ đó dễ suy ra :
[TEX]x^4+y^4+z^4 \ge 3[/TEX]
Do đó : [TEX]P \le \frac13[/TEX]

2,
Ta có : [TEX]\sqrt{3a^2+8b^2+14ab} = \sqrt{(3a+2b)(a+4b)} \le \frac12 ( 4a + 6b) = 2a + 3b[/TEX]

nên ta có :
[TEX]VT \ge \sum \frac{a^2}{2a+3b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{5} [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

Bài hệ khó khiếp :-ss

 

[bananamiss]

Thay [TEX]z \to \frac{1}{z}[/TEX]

ai cho làm như thế, từ đâu nghĩ ra thế :-?

Nhát đặt ẩn mới nên làm vậy^^

*
Gỉa sử :a=0 thì từ (1) ta có [TEX]\frac{b}{y}=\frac{b}{y}+\frac{c}{y}=\frac{c}{z}[/TEX] b=c=0

k cần xét a=0