1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A=[TEX]\frac{2}{|a-b|}+ \frac{2}{|b-c|[/TEX][tex]+ \frac{2}{|c-a|}[/tex] [tex]+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}[/tex]
trong đó a,b,c là các số thực thõa mãn 2 điều kiên a+b+c=1 và ab+bc+ca>0
__________________
giả sử a>b>c .Khi đó ta có :
A=[tex]\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}[/tex][tex]+\frac{2}{a-c}[/tex][TEX]+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ac}[/TEX]
sữ dụng đẳng thức quen thuộc :
[TEX]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\geq\frac{4}{m+n}\geq\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt m^2+n^2},(m>0,m<0)[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi m=n , ta có :
A=[TEX]2(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})[/tex][tex]+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{10}{a-c}+\frac{10}{2\sqrt{ab+bc+ca}}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a-c)^2+4(ab+bc+ca}}[/TEX]
=[TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}[/TEX]
=[TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt(1-b)(1+3b)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1-3b) } [/tex] (1)
Lại có :
[TEX]3(1-b)(1-3b)\leq\frac{(3-3b+1+3b)^2}{4}=4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\sqrt{(1-b)(1+3b)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}[/TEX]
kết hợp vơpí bất đẳng thức (1) \Rightarrow A\geq[TEX]10\sqrt{6}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a-b=b-c; 3-3b=1+3b ; & a+b+c=1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a=\frac{2+\sqrt{6}}{6} , b=1/3 , c = \frac{2-\sqrt{6}}{6}[/TEX]
rồi giá trị nhỏ nhất là cái trên đó a=...,b=...;c=...) hoặc là các hoán vị (ok)
_____________bấm mệt quá
@};-