Thách đấu toán học cho người yêu toán

[jameshelli]

1) Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài các cạnh là a;b;c .Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng 2 nữa đường tròn đường kính AB và AC .Cắt tuyến di động qua A cắt nữa đường tròn đường kính AB ở D và cắt nữa đường tròn đường kính AC ở E.
a) Tìm quỹ tích của trung điểm F của DE
b) Gọi P là chu vi của tứ giác BDE , tìm giá trị lớn nhất của P theo a,b,c

2) Một số cung của một đường tròn được tô màu xanh . Tổng số cung được tô màu xanh nhỏ hơn một nữa độ dài đường tròn .Chứng minh rằng trong đường tròn này còn có ít nhất một đường kính mà cả hai đầu của nó không bị tô màu xanh .

lần này thì sao ta !!! toàn th k

 

[traitimbangtuyet]

1) kẻ OF//DE thì OF là đường trung bình của hình thang DBCE nên FO qua trung điểm O của BC
do [TEX]ABC=90^0[/TEX] \Rightarrow [TEX]AFO=90^0[/TEX]
AO cố định , F nhìn AO dưới 1 góc vuông nên F chạy trên đường tròn bán kính AO
*Phần đảo ( tự làm đi)
* Giới hạn khi cắt tuyến DE di động đến vị trí AB thì F=1 . Khi DE trùng với AC thì F=K
\Rightarrow tích lũy của F là nữa đường tròn đường kính IK ( chú ý AO=IK )

b) trước hết ta chứng minh bổ đề :" trong tất cả các tam giác nội tiếp nữa đường tròn thì tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất ''
Gọi x,y là độ đaài các cạnh góc vuông của tam giác nội tiếp nữa đường tròn đường kính a
ta có :
[TEX](x+y)^2=x^2+y^2+2xy=a^2+2xy[/TEX]
\Rightarrow x+y lớn nhất \Leftrightarrow xy lớn nhất \LeftrightarrowS ABC lớn nhất \Leftrightarrow đường cao AH lớn nhất = [TEX]t AH =\frac{a}{2}[/TEX] \Leftrightarrow ABC vuông cân
* Trở lại bài toán đã cho : có :
[TEX]P=(x+y)+(z+t)+a[/TEX]
x+y lớn nhất \Leftrightarrow[TEX]x=y=c \frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]
z+t lớn nhất \Leftrightarrow[TEX]z=t=b\frac{sqrt{2}}{2}[/TEX]
Vậy x,y đặt giá trị lớn nhất khi D,A,E thẳng hàng

2) chưa chắc lắm -SS

 

[traitimbangtuyet]

2) Một số cung của một đường tròn được tô màu xanh . Tổng số cung được tô màu xanh nhỏ hơn một nữa độ dài đường tròn .Chứng minh rằng trong đường tròn này còn có ít nhất một đường kính mà cả hai đầu của nó không bị tô màu xanh .

Ta tô màu các cung đối xứng với các cung tô màu xanh qua tâm đường tròn .Vì tổng các cung ô màu đỏ bàng tổng các cung tô màu xanh , nên tổng các cung tô màu xanh nhỏ hơn độ dài đường tròn , điều này có nghĩa là có ít nhất một điểm k được tô màu , nên điểm đối xứng với nó qua tâm đường tròn cũng k được tô màu .Hai điểm trên là hai đầu của đường kính cần tìm !!!

ê ê có phải bài này áp dụng nguyên lí : cho các hình phẳng .....diện tích các hình nhỏ hơn ... rồi có 1 điểm nằm ngoài tất cả các hình k ???/ cái ni k chắc mấy đâu ???

 

[traitimbangtuyet]

hehe thấy 2 bạn vui quá để mình giúp jameshelli hạ traitimbangtuyet

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex] 2(ab+bc+ca) + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \ge 9 [/tex]

lâu giừo k làm bài của các bạn nên có chút hiểu lầm !!! thui vậy giải quyết từng bài một nha xin cáo lỗi ( lo bài jameshelli quá ) bài đầu tiên duynhana1

[TEX]2(ab+bc+ac)+ \frac{a+b+c}{abc}\geq3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^2.(a+b+c)}{abc}}\geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)^3)}=9[/TEX]

 

[jameshelli]

1) Cho đa thức F(x) bậc bốn thỏa mãn điều kiện sau :
f(-1) = 0 ........................ (1)
f(x)-f(x-1) = x(x+1)(2x+1) .............(2)
a) Xác định f(x)
b)Suy ra giá trị của S theo n (n thuộc Z*) sau đây :
S = 1.2.3 + 2.3.5+..........+ n(n+1)(2n+1)

...

 

[duynhan1]

1) Cho đa thức F(x) bậc bốn thỏa mãn điều kiện sau :
f(-1) = 0 ........................ (1)
f(x)-f(x-1) = x(x+1)(2x+1) .............(2)
a) Xác định f(x)
b)Suy ra giá trị của S theo n (n thuộc Z*) sau đây :
S = 1.2.3 + 2.3.5+..........+ n(n+1)(2n+1)

Từ (2) suy ra f(x) là đa thức bậc 4 theo x.
Gọi [TEX]f(x) = ax^4+ bx^3 + cx^2 +dx + e[/TEX]

Ta có :
[TEX]f(0) - f(-1) = 0 \Rightarrow f(0) = 0 \\ f(1) -f(0) = 1.2.3 = 6 \Rightarrow f(1) = 6 \\ f(2) = f(1) + 2.3.5= 36 \\ f(3) = f(2) + 3.4.7= 120[/TEX].
Ta có hệ phương trình 5 ẩn, 5 phương trình từ đó suy ra :
[TEX]f(x) = \frac12x^4 +2x^3+\frac52 x^2+x[/TEX]

[tex] S= f(1) - f(0) + f(2) - f(1) +...+f(n)-f(n-1) \\ = f(n) - f(0) = \frac12 n^4 + 2n^3 + \frac52 n^2 + n[/tex]

 

[jameshelli]

1) Tìm tất cả các hàm số f : R \Rightarrow R thoả mãn điều kiện :
[TEX] \large f(x+f(y)) = f^4(y)+4x^3 f(y)+6x^2 f^2(y)+ 4xf^3(y)+ f(-x) \forall x \in R[/TEX]

2. Giải hệ phương trình :
[TEX]\left{ 4+9.3^{x^2-2y}=(4+9^{x^2-2y}).7^{2y-x^2+2} \\ 4^x+4=4x+4\sqrt{2y-2x+4}[/TEX]

 

[traitimbangtuyet]

2. Giải hệ phương trình :
[TEX]\left{ 4+9.3^{x^2-2y}=(4+9^{x^2-2y}).7^{2y-x^2+2} \\ 4^x+4=4x+4\sqrt{2y-2x+4}[/TEX]

Làm bài dễ trước đã hì
Điều kiện : y-x+2\geq0 . Đặt [TEX]t=x^2-2y[/TEX]
** phương trình (1):\Leftrightarrow [TEX]4+3^{t+2}=(a+9^t).7^{2-t}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}} = \frac{4+3^{2t}}{7^{2t}}[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]f(t+2)=f(2t)[/TEX]
trong đó :[TEX]f(x)= \frac{4+3^x}{7^x}= 4(\frac {1}{7})^x + (\frac{3}{4})^x [/TEX] x thuộc R là hàm số giảm ( vì [TEX]0<\frac{1}{7};\frac{3}{7} < 1[/TEX])
Do đó : [TEX]f(t+2)=f(2t)\Rightarrow t=2[/TEX] tức là :[TEX]x^2-2y=2[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]2y=x^2-2[/TEX]
**** Thay vào phương trình (2) ta có :
[TEX]4^x+4=4x+4\sqrt{x^3-2-2x+4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4^{x-4}=x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4^s=s+\sqrt{s^2+1}[/TEX], trong đó : s=x-1
\Leftrightarrow[TEX]4^{-s}=-s+\sqrt{s^2+1}[/TEX]
Vì :[TEX]4^s.4^{-s}= (s+\sqrt{s^2+1}(-s+\sqrt{s^2+1})=1[/TEX](3)
từ (3) \Rightarrow[TEX]4^s-4^{-s}=2s[/TEX]
Ta có :g'(s)=In4[TEX](4^s-4^{-s})-2>0[/TEX] với mọi S thuộc R
\Rightarrowg'(s) là hàm số đồng biến . Nên s=0 là nghiệm duy nhất của phương trình (3) , tức là : x-1=0
\RightarrowNghiệm duy nhất của hệ phương trình là : [TEX](x ; y)= (a ;1/2)[/TEX]

cái bài ni khó thiệt nha

 

[jameshelli]

1) Tìm tất cả giá trị của x , y thoã mãn :
[TEX]\left{x^4+y^2\leq 1 \\ x^5+y^3\geq1[/TEX]

2)Giải hệ phương trình sau :
[TEX]\left{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{x^2}[/TEX]

 

[bupkut3]

Câu 2

Đặt [tex]\sqrt{2x+2y}=a,\sqrt{2x-3y}=b (a,b\geq 0)[/tex]

[tex]\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}2(a+b)=3ab\\a^2+b^2=5\end{array}\right.[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2(a+b)=3ab\\(a+b)^2-2ab=5\end{array}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow 9(ab)^2-8ab-20=0 \Leftrightarrow ab=2 \Rightarrow a+b=3[/tex]
Vậy [tex]a,b[/tex] là nghiệm của pt
[tex]y^2-3y+2=0\Leftrightarrow y=1;2[/tex]

TH1 [tex]a=1;b=2[/tex]....
TH2[tex]a=2;b=1[/tex]

 

[bupkut3]

Ặc. Đổi bài rồi na ???? Bổ sung vế phải nhé bạn ^^
Giải : ĐK : [tex] x, y, z \neq 0 [/tex]
Đặt [tex] \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} = a \\ \frac{1}{y} = b\\ \frac{1}{z} = c \end{array}\right. [/tex]
[tex] (1) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a + b + c = 2\\ 2ab - c^2 = 4 \end{array}\right. [/tex]
[tex] \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a + b = 2 - c\\ ab = \frac{c^2 + 4}{2} \end{array}\right. [/tex]
Ta có : [tex] ( a + b )^2 \geq 4ab \forall a, b \in R [/tex]
[tex] \Rightarrow ( 2 - c )^2 \geq 2( c^2 + 4 ) [/tex]
[tex] \Leftrightarrow c^2 - 4c + 4 \geq 2c^2 + 8[/tex]
[tex] \Leftrightarrow c^2 + 4c + 4 \leq 0 [/tex]
[tex] \Rightarrow ( c + 2 )^2 \leq 0 \Rightarrow c = - 2[/tex]
[tex] \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a + b = 4\\ ab = 4 \end{array}\right. [/tex]
[tex] \Rightarrow [/tex] a, b là hai nghiệm của phương trình : [tex] X^2 - 4X + 4 = 0[/tex]
[tex] \Rightarrow a = b = 2[/tex]
Vậy [tex] x = y = \frac{1}{2} ; z = \frac{-1}{2} [/tex]

 

[traitimbangtuyet]

1) Tìm tất cả giá trị của x , y thoã mãn :
[TEX]\left{x^4+y^2\leq 1 \\ x^5+y^3\geq1[/TEX]

còn 1 bài nữa à ???
ta có : [TEX]x^4+y^2\leq1\Rightarrow\left{ x^4\leq1\\ y^2\leq1[/TEX]\Rightarrow[TEX]\left{ x\leq1 \\ y \leq1[/TEX] \Rightarrow[TEX]\left{ x-1\leq0 \\ y-1 \leq 0[/TEX]
\Rightarrow[TEX] x^4(x-1)+y^2(y-1)\leq0[/TEX] (1)
mà [TEX] x^4+y^2 \leq 1[/TEX] \Rightarrow [TEX] -x^4-y^2 \geq -1[/TEX]
[TEX] -(x^4+y^2)+x^5+y^3 \geq0[/TEX]
[tex] x^4(x-1)+y^2(y-1) \geq0[/TEX](2)
Từ (1)(2) ta có:
[TEX]x^4(x-1)+y^2(y-1)=0[/TEX]
[TEX]x=0 [/TEX] hoặc [TEX]x=1[/TEX]
[TEX]y=0[/TEX] hoặc[TEX] y=1[/TEX]
Thử lại ta có : (x=0; y=1) hoặc (x=1; y=0 ) thoả mãn bài toán

----

 

[hahaha123321]

Cho tứ giác lồi [TEX]ABCD[/TEX] với [TEX]AD, BC[/TEX] không song song. Gọi [TEX]E[/TEX] là giao điểm của [TEX]AC[/TEX] và [TEX]BD[/TEX]. Trên [TEX]AB[/TEX] và [TEX]CD[/TEX] lần lượt lấy [TEX]F,G[/TEX] sao cho [TEX]\frac{AF}{FB}=\frac{DG}{GC}=\frac{AD}{BC}[/TEX].
Chứng minh rằng nếu [TEX]E;\,F;\,G[/TEX] thẳng hàng thì tứ giác [TEX]ABCD[/TEX] nội tiếp.


không biết bài này có hạ được traitimbangtuyet không

 

[nerversaynever]

CMR:[TEX]10^{2\sqrt x } - 10^{\sqrt x } + 10 - 10^{\sqrt {x + 1} } \ge 0[/TEX]

 

[jameshelli]

1) Cho a là số thực dương tuỳ ý . Xét dãy số [TEX](x_n) (n=1,2,....)[/TEX] xác định bởi
[TEX]x_1=a, x_{n+1}= \frac{x_n \sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}}{x_n+1}[/TEX]
Với mọi n =1,2,.... (ở tử n số 2).
Chứng minh rằng dãy số [TEX](x_n) (n=1,2,...)[/TEX] có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó .

 

[traitimbangtuyet]

mới lớp 8 mà siêu dữ . Bái phục .
thử 1 bài pt vô tỉ nhé

[TEX](1+x-\sqrt{x^2-1})^{2008}+(1+x+\sqrt{x^2-1})^{2008}=2^{2009}[/TEX]

#
khoan !! giải của banamiss trước đã
Aps dụng bất đẳng thức co-si , ta có :
VT=[TEX](1+x-\sqrt{x^2-1})^{2008 }+ (1+x+\sqrt{x^2-1})^{2008}[/TEX]
\geq[TEX]2\sqrt{[(1+x)^2-(x^2-1)]^{2008}[/TEX]
=[TEX]2\sqrt{(2+2x)^{2008}}\geq2.2^{2008}=VP[/TEX]
\Rightarrowdấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1 vậy x=1 là nghiệm duy nhất
** trường hợp khi x\leq -1 thì vế trái k tương đương ( tức là <2) này nhé :
với [TEX]x\leq1\Rightarrow[/TEX] phương trình trên \leq[TEX](1+(-1)-\sqrt[2]{x^2-1})^{2008}+(1+(-1)+\sqrt[2]{x^2-1})^{2008}=0[/TEX]

 

[nerversaynever]

#
khoan !! giải của banamiss trước đã
Aps dụng bất đẳng thức co-si , ta có :
VT=[TEX](1+x-\sqrt{x^2-1})^{2008 }+ (1+x+\sqrt{x^2-1})^{2008}[/TEX]
\geq[TEX]2\sqrt{[(1+x)^2-(x^2-1)]^{2008}[/TEX]
=[TEX]2\sqrt{(2+2x)^{2008}\geq2.2^{2008}=VP[/TEX]
\Rightarrowdấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1 vậy x=1 là nghiệm duy nhất

Nếu không có đk x>0 thì phương trình này còn một nghiệm nữa (nghiệm âm) và nghiệm này rất không đẹp,ai giỏi thì tính hộ cái :d

 

[traitimbangtuyet]

1) Cho a là số thực dương tuỳ ý . Xét dãy số [TEX](x_n) (n=1,2,....)[/TEX] xác định bởi
[TEX]x_1=a, x_{n+1}= \frac{x_n \sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}}{x_n+1}[/TEX]
Với mọi n =1,2,.... (ở tử n số 2).
Chứng minh rằng dãy số [TEX](x_n) (n=1,2,...)[/TEX] có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó .

Đặt [TEX]y_n= \sqrt{2+\sqrt{2+.....\sqrt{2}}}[/TEX]( có n số 2 ). Dễ chứng minh bằng quy nạp rằng [TEX]y_n={ 2cos}\frac{\pi}{2^{n+1}}[/TEX] . Thành thử :
[TEX]x_{n+1}=\frac{{2x_n cos}\frac{\pi}{2^{n+1}}}{x_n+1}[/TEX] (1)
Đặt [TEX]a_n=\frac{1}{x_n}[/TEX]
từ (1) \Leftrightarrow[TEX]a_{n+1}= \frac{a_n}{{2cos}\frac{\pi}{2^{n+1}}} + \frac{1}{{2cos}\frac{\pi}{2^{n+1}}}[/TEX]
lại đặt : [TEX]b_n=\frac{4a_n}{{sin}\frac{\pi}{2^n}[/TEX] tự tính : khi đó trở thành
[TEX]b_{n+1}=b_n+\frac{4}{{sin}\frac{\pi}{2^n}}[/TEX] (3)
Từ (3) \Rightarrow[TEX]b_{n+1}- {4cot}\frac{\pi}{2^{n+1}}= b_n - {4cot}\frac{\pi}{2^n} (n=1,2...)[/TEX]
*** rồi từ đay làm tiếp !!! kết quả :
[TEX]lim x_n=\frac{1}{lim a_n}=1[/TEX]

khi nào rãnh tớ làm đầy đủ hơn nha

TỚ SỮA RÙI !!

 

[nerversaynever]

Đặt [TEX]y_n=\sqrt{2+\sqrt{2+.....\sqrt{2}}}[/TEX]( có n số 2 ). Dễ chứng minh bằng quy nạp rằng [TEX]y_n= 2cos \frac{ \pi }{2^{n+1}}[/TEX] . Thành thử :
[TEX]x_{n+1}=\frac{2x_n cos\frac{\pi}{2^{n+1}}}{x_n+1}[/TEX] (1)
Đặt [TEX]a_n=\frac{1}{x_n}[/TEX]
từ (1) \Leftrightarrow[TEX]a_{n+1}= \frac{a_n}{2cos\frac{\pi}{2^{n+1}} + \frac{1}{2cos\frac{\pi}{2^{n+1}}[/TEX]
lại đặt : [TEX]b_n=\frac{4a_n}{sin\frac{\pi}{2^n}[/TEX] tự tính : khi đó trở thành
[TEX]b_{n+1}=b_n+\frac{4}{sin\frac{\pi}{2^n}}[/TEX] (3)
Từ (3) \Rightarrow[TEX]b_n+1-4cot\frac{\pi}{2^{n+1}=b_n-4cot\frac{\pi}{2^n} (n=1,2...)[/TEX]
*** rồi từ đay làm tiếp !!! kết quả :
[TEX]lim x_n=\frac{1}{lim a_n}=1[/TEX]

Có 1 thắc mắc nho nhỏ là khi bạn đặt
[TEX]a_n = \frac{1}{{x_n }}[/TEX] thì khi bạn biến đổi cái [TEX]a_{n - 1} [/TEX] của bạn đâu rồi?

Bạn không để ý là bài bạn ghi ở trên đã bị del á ! Đề là [tex]\red \huge x_n -1 [/tex] chứ không phải là[tex]\red \huge x_{n-1} [/tex]

và một điều nữa là giới hạn bằng 2 ...

 

[jameshelli]

1) Cho a là số thực dương tuỳ ý . Xét dãy số [TEX](x_n) (n=1,2,....)[/TEX] xác định bởi
[TEX]x_1=a, x_{n+1}= \frac{x_n \sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}}{x_n+1}[/TEX]
Với mọi n =1,2,.... (ở tử n số 2).
Chứng minh rằng dãy số [TEX](x_n) (n=1,2,...)[/TEX] có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó .

cái đề nó thế ni nha !!! traitimbangtuyet phát hiện ra à ???