Toán 9 Tân phương trình và hệ phương trình

[quyenuy0241]

He PT​

1)
[TEX]\left\{ 3(x + \frac{1}{x}) = 4(y + \frac{1}{y}) = 5(z + \frac{1}{z}) \\ xy + yz + zx = 1(2) \\ . \\ [/TEX]

Tui thấy trừ cho nhau sẽ ra>-

(Tái xuất giang hồ:khi (176)::khi (4)::khi (53)::M29:

Viết lại pT đầu như sau:với x,y,z khác 0 :
[tex]\frac{x}{3(x^2+1)}=\frac{y}{4(y^2+1)}=\frac{z}{5(z^2+1)} (1)[/tex]
(1) \Rightarrow nếu [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex] là nghiệm ở đây [tex]x_0>0,y_0>0,z_0>0[/tex] thì [tex] -x_0,-y_0,-z_0 [/tex] cũng là nghiệm (1) dẫn tới (1) có nghiệm cùng dấu
[tex]x=tan \frac{A}{2},y=tan \frac{B}{2},z=tan \frac{C}{2}[/tex]
Lại có do (2) [tex]tan \frac{A}{2}.tan \frac{B}{2}+tan \frac{B}{2}.tan \frac{C}{2}+tan \frac{C}{2}.tan \frac{A}{2}=1[/tex] nên A,B,C là 3 góc của 1 tam giác
lại có[tex] sinA=\frac{tan \frac{A}{2}}{1+tan^2 \frac{A}{2}}[/tex]
Nên[tex] (1) \Leftrightarrow \frac{sinA}{3}=\frac{sinB}{4}=\frac{sinC}{5}[/tex] \Rightarrow các cặp cạnh đối diện cũng tỉ lệ : a,b,c là các cạnh đối diện với góc A,B,C)
[tex]\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}[/tex]
Nên tam giác này là tam giác vuông tại C[tex] \Rightarrow C=90[/tex] dẫn tới z=tan 45=1 thế vào PT(1) được [tex]x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},[/tex]
Nên HPT có 1 nghiệm là [tex](\frac{1}{3},\frac{1}{2},1) [/tex]theo lý luận trên đầu bài dẫn tới hPT cũng có nghiệm [tex](-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-1)[/tex]
KL :HPT có 2 nghiệm [tex](\frac{1}{3},\frac{1}{2},1),(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-1)[/tex]

 

[djbirurn9x]

Ai rảnh giải giùm bài này, thax nhiều

Cho x, y [TEX]\not = 0 [/TEX] thỏa :[TEX] (x + y)xy = x^2 + y^2 -xy[/TEX]

Tìm [TEX]Max A = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Ai rảnh giải giùm bài này, thax nhiều

Cho x, y [TEX]\not = 0 [/TEX] thỏa :[TEX] (x + y)xy = x^2 + y^2 -xy[/TEX]

Tìm [TEX]Max A = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX]

Đặt[tex] \frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b .[/tex]
DK[tex] \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{xy} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+b=a^2+b^2-ab \Rightarrow (a+b)^2-(a+b)=3ab \leq \frac{3(a+b)^2}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow (a+b)^2-4(a+b) \leq 0 \Rightarrow 0\le(a+b) \le 4[/tex]

[tex]A=\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^3y^3}[/tex]


[tex]=\frac{(x+y)(x+y)xy}{x^3y^3}=\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y^2}[/tex]

[tex]=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=(a+b)^2 \le 16[/tex]

 

[quyenuy0241]

Mới được 1 nghiệm thôi mà
Còn cái đống đa thức kia thì sao ?

[tex]\frac{1}{(4x-2006)(5x+2004)}+\frac{1}{(15x-2007)(6x-2005)}\neq 0[/tex]

 

[djbirurn9x]

[tex]\frac{1}{(4x-2006)(5x+2004)}+\frac{1}{(15x-2007)(6x-2005)}\neq 0[/tex]

Nói em đừng buồn nha , phương trình đó có 3 nghiệm là:
[TEX]x = \frac{2}{9} ; x = \frac{1}{11} ; x = \frac{4011}{10}[/TEX]
Cố gắng suy nghĩ cách giải nha mấy mem lớp 9. Thax quyenuy0241 đã làm hộ bài BĐT

 

[bigbang195]

Phương trình vô tỷ​

Giải phương trình

[TEX]\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6[/TEX]

 

[dandoh221]

Phương trình vô tỷ​

Giải phương trình

[TEX]\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6[/TEX]

ĐK : x < 2
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{\frac{6}{3-x}}-2+\sqrt{\frac{8}{2-x}}-4 = 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{\frac{6}{3-x} - 4}{\sqrt{\frac{6}{3-x}}+2} + \frac{\frac{8}{2-x} - 16}{\sqrt{\frac{8}{2-x}}+4} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x-3).(...) = 0 [/TEX]( gõ sau)
mà ... khác 0 nên ta được [TEX]x = \frac{3}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

Giải phương trình

[TEX]2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}[/TEX]

 

[dandoh221]

Giải phương trình

[TEX]2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}[/TEX]

ĐK : x \geq -2
[TEX]\Leftrightarrow 2[x^2-2x+4 - (x+2)] = 3\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}[/TEX]
Đặt [TEX]a = \sqrt{x+2}, b = \sqrt{x^2-2x+4}[/TEX]
Ta được [TEX]2(b^2-a^2) = 3ab[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (a+2b)(2a-b) = 0[/TEX]
Đến đây thì OK rồi

 

[bigbang195]

Giải phương trinh

[TEX]\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16[/TEX]

 

[bigbang195]

Khó​

Giải phương trình:

[TEX]\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^2-1}=1[/TEX]

 

[dandoh221]

Giải phương trinh

[TEX]\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16[/TEX]

Điều kiện là các biểu thức trong dấu căn không âm
Đặt t = VT
PT trên tương đương với
[TEX]t = t^2 - 20[/TEX]
[TEX](t-5)(t+4) = 0.[/TEX] Giải được OK ?

 

[bigbang195]

Giải phương trình:

[TEX]4\sqrt{x+1}=x^2-5x+4[/TEX]

 

[bigbang195]

Giải phương trình:

[TEX]\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^2+4x+1}[/TEX]

 

[bigbang195]

Giải phương trình:

[TEX]32x^2-4x+1=\sqrt{4x(8x+1)}[/TEX]

 

[kachia_17]

Điều kiện là các biểu thức trong dấu căn không âm
Đặt t = VT
PT trên tương đương với
[TEX]t = t^2 - 20[/TEX]
[TEX](t-5)(t+4) = 0.[/TEX] Giải được OK ?

Khi làm bải phải đặt điều kiện cho ẩn phụ nữa nhé . Cách làm đúng rồi

 

[dandoh221]

Khó​

Giải phương trình:

[TEX]\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^2-1}=1[/TEX]

ĐK :...
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{4x^2-1}=1-\sqrt{4x-1}[/TEX]
2 vế không âm bình phương lên thu được
[TEX]4x-2\sqrt{4x^2-1} = 4x^2-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{4x^2-1} = -(2x-1)^2 [/TEX]
PT vô nghiệm

 

[dandoh221]

Giải phương trình:

[TEX]\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^2+4x+1}[/TEX]

ĐK là các biểu thức trong dấu căn không âm
Đặt [TEX]a = \sqrt{x^2+2x}, b = \sqrt{2x-1} (a,b \geq 0)[/TEX]
PT trở thành
[TEX]a+b = \sqrt{3a^2-b^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2 = 3a^2-b^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^2-2ab-2b^2[/TEX]
:-SS[TEX] a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}b. [/TEX]Bậc 2 chắc không vấn đề

 

[dandoh221]

Một loạt PT vô tỉ

Giải PT :
[TEX]1. x^2-2x+3 = \sqrt{2x^2-x} + \sqrt{1+3x-3x^2}[/TEX]
[TEX]2. x^2-x-1000\sqrt{1+8000x} = 1000[/TEX]
[TEX]3. 2\sqrt{2x+4} + 4\sqrt{2-x} = 9x^2+16[/TEX]
[TEX]4.\sqrt{2x^2+4x+7} = x^4+4x^3+3x^2-2x-7[/TEX]

 

[bigbang195]

Giải PT :
[TEX]1. x^2-2x+3 = \sqrt{2x^2-x} + \sqrt{1+3x-3x^2}[/TEX]

Theo AM-GM
[TEX]\left { \sqrt{2x^2-x}\le \frac{2x^2-x+1}{2} \\ \sqrt{1+3x-3x^2} \le \frac{1+3x-3x^2+1}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^2-2x+3 \le \frac{-x^2+2x+3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2x^2-4x+6+x^2-2x-3 \le 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3(x-1)^2 \le 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=1 [/TEX]