Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Hàm số lũy thừa, hàm số mũ - logarit

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Helu các ban, các bạn ôn thi đến đâu rồi, các bạn đã học sang chương 2 chưa dù chưa hay rồi thì cùng vào học với mình nha. Ở topic này mình đã tổng hợp tất tần tật các kiến thức của chương 2 kèm theo bài tập tự luyện, những tip giải bài hay, cách giải toán bằng casio,.. và còn rất nhiều thứ khác nữa, rất mong nhận được sự ủng hộ của các bạn. Không nói nhiều nữa, mình cùng bắt đầu thôi

BÀI 1 - LŨY THỪA - HÀM SỐ LŨY THỪA

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Chọn $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$
$a^n=a\cdot a\dotsm a$ (có $n$ thừa số $a$)
Với $a \neq 0$ ta có : $a^0=1;a^{-n}=\dfrac1{a^n}$

2. Căn bậc n
Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\, (n\geq 2)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu $a^n=b$

3. Phương trình $x^n=b$
a. Kết quả biện luận nghiệm của phương trình $x^n=b$
- Trường hợp $n$ lẻ và $b\in \mathbb{R}:$ Với mọi số thực $b$, phương trình có nghiệm duy nhất là $x=\sqrt[n]{b}$
- Trường hợp $n$ chẵn:
+ Với $b<0$, phương trình vô nghiệm
+ Với $b=0$, phương trình có một nghiệm $x=0$
+ Với $b>0$, phương trình có hai nghiệm đối nhau là $x_{1}=\sqrt[n]{b};x_{2}=-\sqrt[n]{b}$
b. Tính chất của căn bậc $n$
+ $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
+ $\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}};\sqrt[n]{a^{n}}=\left\{ \begin{array}{l} a,\textrm{khi n lẻ} \\ \left | a \right |,\textrm{khi n chẵn} \end{array} \right.$
+ $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho $a$ là số thực dương và số mũ hữu tỷ $r=\dfrac mn$, trong đó $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N},n\geq 2$. Lũy thừa $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ được xác định bởi: $$a^{r}=a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Ta gọi giới hạn của dãy số $\left ( a^{r_{n}} \right )$ là lũy thừa của $a$ với số mũ $\alpha $, khí hiệu là $a^{\alpha }$ $$a^{\alpha }=\lim\limits_{n \to +\infty} a^{r_{n}} \quad \text{với} \quad \alpha =\lim\limits_{n \to +\infty} r_{n}$$

6. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho $a,b$ là những số thực dương; $m,n$ là những số thực tùy ý. Khi đó:
$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n};\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n};\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn};\left ( ab \right )^m=a^{m}\cdot b^{m};\left ( \dfrac{a}{b} \right )^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}$
Nếu $a>1$ thì $a^{m}> a^{n}\Leftrightarrow m> n$
Nếu $a<1$thì $a^{m}> a^{n}\Leftrightarrow m< n$

Ghi nhớ
1. Căn bậc $1$ của $a$ là $a$
2. Căn bậc $n$ của $0$ là $0$ với mọi $n$ nguyên dương
3. Số âm không có căn bậc chẵn
4. Với $n$ là số nguyên dương lẻ, ta có: $\sqrt[n]{a}> 0\Leftrightarrow a> 0\quad \textrm{và}\quad \sqrt[n]{a}< 0\Leftrightarrow a< 0$
5. $\sqrt[n]{a^{n}}=a$ nếu $n$ lẻ; $\sqrt[n]{a^{n}}=\left | a \right |$ nếu $n$ chẵn

II. Hàm số lũy thừa
a. Khái niệm: Hàm số $y=x^{\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa
b. Đạo hàm: $\left ( x^{\alpha } \right )'=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$
c. Tập xác định
Hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$
+ Nếu $\alpha$ nguyên dương $\Rightarrow$ TXĐ: $\mathrm{D}=\mathbb{R}$
+ Nếu $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng $0 \Rightarrow$ TXĐ: $\mathrm{D}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$
+ Nếu $\alpha$ không nguyên $\Rightarrow$ TXĐ: $\mathrm{D}=(0;+\infty)$
d. Đồ thị
Xét trên khoảng $\left ( 0;+\infty \right )$ thì đồ thị của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ luôn đi qua điểm $(1;1)$
Hình dưới là đồ thị của hàm số lũy thừa trên $\left ( 0;+\infty \right )$ ứng với các giá trị khác nhau của $\alpha$

e. Bảng tóm tắt tính chất của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $\left ( 0;+\infty \right )$

	$a>0$	$a<0$
Đạo hàm	$y'=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$	$y'=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là trục $Ox$, tiệm cận đứng là trục $Oy$
Đồ thị	Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $(1;1)$	Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $(1;1)$

[TBODY] [/TBODY]

Topic sẽ tiếp tục được cập nhật, các bạn bấm theo dõi để không bị bỏ lỡ nhé



Xem thêm:
[Ôn thi THPTQG] Hàm số và ứng dụng của đạo hàm
[Khảo sát] Tâm tư nguyện vọng của thành viên
[Khảo sát] Ôn thi học kì cùng box Toán
[Chia sẻ] Cảm nang trình bày lời giải một bài toán
Ôn thi HSG Toán THCS

 

[Timeless time]

Bài 2 - LOGARIT - HÀM SỐ LOGARIT

I. Logarit

1. Định nghĩa
Cho 2 số dương $a,b$ với $a\neq 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức $a^{\alpha }=b$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$ và kí hiệu là $\log_ab\Leftrightarrow a^{\alpha }=b$

2. Tính chất
Cho hai số dương $a,b$ với $a\neq 1$, ta có các tính chất sau: $$\log_a1=0,\log_aa=1,a^{\log_ab}=b,\log_a(a^{\alpha })=\alpha $$

3. Quy tắc tính logarit
Cho ba số dương $a,b_1,b_2$ với $a\neq 1$, ta có quy tắc sau: $$\log_ab_1b_2=\log_ab_1+\log_ab_2;\quad \log_a\dfrac{b_1}{b_2}=\log_ab_1-\log_ab_2\\\log_a{b_1}^{\alpha}=\alpha\log_ab_1;\quad \log_a\sqrt[n]{b_1}=\dfrac1n\log_ab_1$$

4. Đổi cơ số
Cho ba số dương $a,b,c$ với $a\neq 1,c\neq 1$, ta có: $$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}.$$
Từ điều trên ta rút ra các công thức đặc biệt:
$$\log_ab=\dfrac1{\log_ba},b\neq 1;\quad \log_{a^{\alpha}}b=\dfrac1{\alpha}\log_ab,\alpha\neq 0$$

5. Logarit thập phân, logarit tự nhiên
Logarit thập phân: Là logarit cơ số $10,\log_{10}b$ thường được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$
Logarit tự nhiên (Logarit Neper): Logarit cơ số $e$ được gọi là logarit tự nhiên, $\log_ea(a>0)$, được viết là $\ln a$

II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa
Cho số thực dương $a$ khác $1$. Hàm số $y=\log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.

2. Đạo hàm
$y=log_ax \Rightarrow y'=\dfrac1{x\ln a};\quad y=\ln x \Rightarrow y'=\dfrac1x;\quad y=\log_au(x) \Rightarrow y'=\dfrac{u'(x)}{u(x).\ln a}.$

3. Tính chất
a. Đồ thị


Đồ thị hàm số $y=\log_ax$ trong hai trường hợp $a>1$ hoặc $0<a<1$

b. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số logarit $y=\log_ax(a>0;a\neq 1)$

Tập xác định	$(0;+\infty )$
Đạo hàm	$y'=\dfrac1{x.\ln a}$
Chiều biến thiên	$a>1$: Hàm số luôn đồng biến $a<1$: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục $Oy$ là tiệm cận đứng
Đồ thị	Đi qua các điểm $(0;1)$ và $(a;1)$; nằm phía bên phải trục $Oy \qquad\quad\qquad\qquad$

[TBODY] [/TBODY]

 

[Timeless time]

BÀI 3 - HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa
Cho số thực dương $a$ thỏa mãn $0<a\neq 1$. Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$

2. Đạo hàm
Đối với hàm sơ cấp: $y=a^x$, ta có: $(a^x)'=a^x\cdot \ln a$
Đối với hàm hợp: $y=a^{u(x)}$, ta có: $(a^u)'=a^u\cdot \ln a\cdot u'$

3. Tính chất

a. Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=a^x$ trong hai trường hợp $0<a<1$ hoặc $a>1$

b. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm mũ $y=a^x(a>0;a\neq 1)$

Tập xác định	$(-\infty;+\infty)$
Đạo hàm	$y'=a^x\cdot \ln a$
Chiều biến thiên	$a>1$: Hàm số luôn đồng biến $a<1$: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục $Ox$ là tiệm cận ngang
Đồ thị	Đi qua các điểm $(0;1)$ và $(1;a)$, nằm phía trên trục hoành $\qquad\quad\qquad\qquad$

[TBODY] [/TBODY]

4. Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit

Hàm sơ cấp	Hàm hợp $(u=u(x))$
$(x^{\alpha})'=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\\\left ( \dfrac1x \right )'=-\dfrac1{x^2}\\(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}$	$(u^{\alpha})'=\alpha \cdot u^{\alpha-1}\cdot u'\\\left(\dfrac1u \right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\\(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$
$(e^x)'=e^x\\(a^x)'=a^x\cdot \ln a$	$(e^u)'=u'\cdot e^u\\(a^u)'=u'\cdot a^u\cdot \ln a$
$(\ln |x|)'=\dfrac1x\\(\log_a|x|)'=\dfrac1{x\ln a}\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\quad$	$(\ln |u|)'=\dfrac{u'}u\\(\log_a|u|)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\quad$

[TBODY] [/TBODY]

 

[Timeless time]

BÀI 4 - MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC MŨ - LOGARTI

Dạng 1: Biến đổi biểu thức mũ và logarit

I. Biểu thức mũ

Bài 1: [THPTQG 2017 - mã 103 - câu 12] Rút gọn biểu $P=x^{\frac13}\cdot \sqrt[6]x$ với $x>0$

$\text{A}.P=x^{\frac18}\\\text{B}.P=x^2\\\text{C}.P=\sqrt x \\\text{D}.P=x^{\frac29}$

Lời giải:

Đây là một câu hỏi dễ, nó nằm trong câu 13 của đề thi THPTQG năm 2017 - mã đề 102
Để làm được bài này ta cần nắm rõ 2 công thức về lũy thừa (mình đã nêu ở bài 1) : $\left\{ \begin{array}{l} a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\end{array} \right.$
Áp dụng vào bài, ta có: $P=x^{\frac13}\cdot \sqrt[6]x=x^{\frac13}\cdot x^{\frac16}=x^{\frac13+\frac16}=x^{\frac12}=\sqrt 2$

Chọn đáp án C

Chúng ta cùng đến với một vài câu tương tự, các bạn làm qua rồi hãy xem đáp án nhé

Bài 2: [THPTQG 2017 - mã đề 103 - câu 29] Rút gọn biểu thức: $Q=b^{\frac53}:\sqrt[3]b$ với $b>0$

$\text{A}.Q=b^2\\ \text{B}.Q=b^{\frac59}\\ \text{C}.Q=b^{-\frac43}\\ \text{D}.Q=b^{\frac43}$

Spoiler: Đáp án

Ta có: $Q=b^{\frac53}:\sqrt[3]b=b^{\frac53}:b^{\frac13}=b^{\frac53-\frac13}=b^{\frac43}$

Chọn đáp án D

Bài 3: [Đề minh họa lần 3 - THPTQG 2017 - câu 12] Tính giá trị của biểu thức $P=(7+4\sqrt3)^{2017}\cdot (4\sqrt3-7)^{2016}$

$\text{A}.P=1\\ \text{B}.P=7-4\sqrt3\\ \text{C}.Q=7+\sqrt3\\ \text{D}.P=(7+\sqrt3)^{2016}$

Spoiler: Đáp án

Ta có: $P=(7+4\sqrt3)^{2017}\cdot (4\sqrt3-7)^{2016}\\=(7+4\sqrt3)(7+4\sqrt3)^{2016}(4\sqrt3-7)^{2016}\\=(7+4\sqrt3)[(4\sqrt3+7)(4\sqrt3-7)]^{2016}\\=(7+4\sqrt3)(-1)^{2016}\\=7+4\sqrt3$

Chọn đáp án C

II. Biểu thức Logarit

Bài 1: [THPTQG 2018 - mã đề 104 - câu 5] Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_a\left(\dfrac3a \right)$ bằng

$\text{A}.1-\log_3a\\ \text{B}.3-\log_3a\\ \text{C}.\dfrac1{\log_3a}\\ \text{D}.1+\log_3a$

Lời giải:

Ở bài này nhìn vào biểu thức $\log_a\left(\dfrac3a \right)$ ta thấy đây là logarit của một thương, thế nên ta sẽ áp dụng công thức $\log_a\dfrac{b_1}{b_2}=\log_ab_1-\log_ab_2$

Áp dụng vào bài, ta có: $\log_a\left(\dfrac3a \right)=\log_33-\log_3a=1-\log_3a$

Chọn đáp án A

Chúng ta cùng đến với một vài bài tương tự nha, các bạn làm trước rồi hãy xem đáp án nhé

Bài 2: [THPTQG 2018 - mã 101 - câu 6] Với $a$ là số thực dương tùy ý,$\ln(5a)-\ln(3a)$ bằng

$\text{A}.\dfrac{\ln(5a)}{\ln(3a)}\\ \text{B}.\ln(2a)\\ \text{C}.\ln\dfrac53 \\ \text{D}.\dfrac{\ln5}{\ln3}$

Bài 3: [THPTQG 2017 - mã 101 - câu 6] Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Tính $I=\log_{\sqrt a}a$

$\text{A}.I=\dfrac12\\ \text{B}.I=0\\ \text{C}.I=-2 \\ \text{D}.I=2$

Bài 4: [THPTQG 2017 - mã 101 - câu 15] Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác 1, đặt $P=\log_ab^3+\log_{a^2}b^6$. Mệnh đề nào dưới đây đúng:

$\text{A}.P=9\log_ab\\ \text{B}.P=27\log_ab\\ \text{C}.P=15\log_ab\\ \text{D}.P=6\log_ab$

Spoiler: Đáp án

2. C
3. D
4. D

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: [THPTQG - 2017 -mã 113 - câu 40] Với mọi số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a^2+b^2=8ab$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

$\text{A}.\log(a+b)=\dfrac12(\log a+\log b)\\ \ \text{B}.\log(a+b)=1+\log a+\log b\\\text{C}.\log(a+b)=\dfrac12(1+\log a+\log b)\\ \text{D}.\log(a+b)=\dfrac12+\log a+\log b$

Bài 2: Đặt $a=\log_25,b=\log_35$. Tính $\log_65$ theo $a,b$

$\text{A}.\log_65=\dfrac1{a+b}\\\text{B}.\log_65=\dfrac{ab}{a+b}\\\text{C}.\log_65=a+b \\ \text{D}.\log_65=a^2+b^2$

Bài 3: [THPTQG 2017 - mã 122 - câu 35] Với mọi số thực dương $x,y$ tùy ý, đặt $\log_3x=\alpha;\log_3y=\beta$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

$\text{A}.\log_{27}\left(\dfrac{\sqrt x}{y} \right)^3=\dfrac{\alpha}2-\beta \\ \text{B}.\log_{27}\left(\dfrac{\sqrt x}{y} \right)^3=\dfrac{\alpha}2+\beta\\\text{C}.\log_{27}\left(\dfrac{\sqrt x}{y} \right)^3=9\left(\dfrac{\alpha}2-\beta \right)\\ \text{D}.\log_{27}\left(\dfrac{\sqrt x}{y} \right)^3=9\left(\dfrac{\alpha}2-\beta \right)$

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức $P=\log_a\dfrac{a^3\sqrt[3]{a^2}\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[3]a}$

$\text{A}.P=\dfrac{67}5\\ \text{B}.P=\dfrac{62}{15}\\ \text{C}.P=\dfrac{22}5 \\ \text{D}.P=\dfrac{16}5$

Bài 5: Rút gọn biểu thức: $P=\dfrac{a^{\frac14}-a^{\frac94}}{a^{\frac14}-a^{\frac54}}$

$\text{A}.P=a+1\\ \text{B}.P=1-a\\ \text{C}.P=2a \\ \text{D}.P=a$

Bài 6: Tính $P=0,5\cdot\log_225+\log_2(1,6)$

$\text{A}.P=1\\ \text{B}.P=2\\ \text{C}.P=3 \\ \text{D}.P=5$

Spoiler: Đáp án

1. C
2. B
3. A
4. B
5. A
6. C

 

[Timeless time]

Dạng 2: Tìm tập xác định, đạo hàm, giới hạn của hàm số lũy thừa - mũ - logarit

A. Tìm tập xác định

I. Tập xác định của hàm số mũ - loga

Bài 1: Tìm tập xác định $D$ của $y=5^{1-\sqrt{1-x^2}}$

$\text{A}.D=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\\\text{B}.D=[-1;1]\\\text{C}.D=(-1;1)\\ \text{D}.D=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$

Lời giải:

Nhìn vào biểu thức đề bài ta có thể xác định được rằng đây là hàm số mũ, hàm số mũ có tập xác định là $\mathbb{R}$ nhưng ta để ý mũ của hàm số này có căn, nên ta cần tìm những giá trị của $x$ làm căn có nghĩa thì đây chính là TXĐ của hàm mũ

Ta có: $\sqrt{1-x^2}\ge0 \Leftrightarrow1-x^2\ge0 \Leftrightarrow -1\le x\le 1$

Chọn đáp án B

Bài 2: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\log_2(x^2-2x-3)$

$\text{A}.D=(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\\ \text{B}.D=[-1;3]\\ \text{C}.D=(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\\ \text{D}.D=(-1;3)$

Lời giải:

Ta dễ dàng nhận ra được đây là hàm số $\log_ax (a>0;a\neq1)$, mà hàm số $\log_ax$ có tập xác định khi $x>0$ (lý thuyết mình đã nêu ở bài 2)

Áp dụng vào bài toán, ta có: Tập xác định của $y=\log_2(x^2-2x-3)$ là $x^2-2x-3>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>3 \\ x<-1 \\ \end{array} \right.$

Chọn đáp án C

Chúng ta cùng đến với một câu tương tự, các bạn có thể tự làm trước rồi check đáp án nhé

Bài 3: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\ln\left(\dfrac1{x^2-1}\right)$

$\text{A}.D=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\\ \text{B}.D=[-1;1]\\ \text{C}.(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ \text{D}.(-1;1)$

Spoiler: Đáp án

$\dfrac1{x^2-1}>0 \Leftrightarrow x^2-1>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>1 \\ x<-1 \\ \end{array} \right.$

Chọn đáp án C

Bài 4: Tìm $m$ để hàm số $y=\ln(x^2-2x+m+1)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$

$\text{A}.m>0\\ \text{B}.0<m<3\\ \text{C}.\left[ \begin{array}{l} m>0 \\ m<-1 \\ \end{array} \right. \\ \text{D}.m=0$

Spoiler: Đáp án

Để hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ thì $x^2-2x+m+1>0\ \forall x \Leftrightarrow \Delta'<0 \Leftrightarrow 1-(m+1)<0 \Leftrightarrow m>0$

Chọn đáp án A

II. Tập xác định của hàm số lũy thừa

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số $y=(x^2-x-2)^{-3}$

$\text{A}.D=(0;+\infty)\\ \text{B}.D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -1;2 \right \}\\ \text{C}.D=\mathbb{R} \\\text{D}.D=(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$

Lời giải:

Ta nhận thấy số mũ của hàm lũy thừa là $-3$ nên suy ra TXĐ của hàm số là $\mathbb{R}\setminus \left \{ x^2-x-2=0 \right \}\Leftrightarrow \mathbb{R}\setminus \left \{ -1;2 \right \}$

Chọn đáp án B

Chúng ta cùng đến với một câu tương tự trước khi chuyển sang dạng khác nhé

Bài 2: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=(x-1)^{\frac13}$

$\text{A}.D=(-\infty;1)\\\text{B}.D=(1;+\infty)\\ \text{C}.D=\mathbb{R} \\ \text{D}.D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}$

Spoiler: Đáp án

$x-1>0\Leftrightarrow x>1\Rightarrow D=(1;+\infty)$

Chọn đáp án B

B. Đạo hàm

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=5^{x^2+3x+2}$

$\text{A}.y'=(2x+3)\cdot 5^{x^2+3x+2}\\\text{B}.y'=(2x+3)\cdot 5^{x^2+3x+2}\cdot\ln 5\\\text{C}.y'=(2x+3)\cdot\ln 5\\\text{D}.y'=\dfrac{(2x+3)\cdot 5^{x^2+3x+2}}{\ln 5}$

Lời giải:

Ta có: $y=5^{x^2+3x+2}\rightarrow y'=(x^2+3x+2)'\cdot 5^{x^2+3x+2}\cdot\ln 5=(2x+3)\cdot 5^{x^2+3x+2}\cdot\ln 5$

Chọn đáp án B

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số $\dfrac{e^{-x}+e^x}{-e^{-x}+e^x}$

$\text{A}.y'=-\dfrac{4}{(e^x-e^{-x})^2}\\\text{B}.y'=e^x+e^{-x}\\\text{C}.y'=\dfrac{e^x}{(e^x-e^{-x})^2}\\\text{D}.-\dfrac{5}{(e^x-e^{-x})^2}$

Spoiler: Gợi ý

Áp dụng 2 công thức đạo hàm: $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac uv\rightarrow y'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2} \\ (e^u)'=u'\cdot e^u \end{array} \right.$

Chọn đáp án A

Bài 3: Cho $f(x)=e^{\cos 2x}$. Tính $f'\left(\dfrac {\pi}6\right)$

$\text{A}.f'\left(\dfrac {\pi}6\right)=e^{\frac{\sqrt 3}2}\\\text{B}.f'\left(\dfrac {\pi}6\right)=-e^{\frac{\sqrt 3}2}\\ \text{C}.f'\left(\dfrac {\pi}6\right)=\sqrt{3e}\\ \text{D}.f'\left(\dfrac {\pi}6\right)=-\sqrt{3e}$

Spoiler: Gợi ý

Áp dụng 2 công thức đạo hàm: $\left\{ \begin{array}{l} (e^u)'=u'\cdot e^u \\ (\cos u)'=-u'\cdot\sin u\end{array} \right.$

Chọn đáp án D

Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số $y=\log_3(5x+2)$

$\text{A}.y'=\dfrac{5}{\ln (5x+2)}\\ \text{B}.\dfrac{5}{(5x+2)\log_3(5x+2)}\\ \text{C}.\dfrac{1}{(5x+2)\ln 3}\\ \text{D}.\dfrac{5}{(5x+2)\ln 3}$

Spoiler: Gợi ý

Áp dụng công thức đạo hàm: $(\log_au)'=\dfrac{u'}{u\cdot\ln a}$

Chọn đáp án D

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số $y=\log_2^2(2x+1)$

$\text{A}.y'=\dfrac{2\log_2(2x+1)}{(2x+1)\ln 2}\\ \text{B}.\dfrac{4\log_2(2x+1)}{(2x+1)\ln 2}\\ \text{C}.\dfrac{4\log_2(2x+1)}{2x+1}\\ \text{D}.\dfrac{2}{(2x+1)\ln 2}$

Spoiler: Gợi ý

Áp dụng 2 công thức đạo hàm: $\left\{ \begin{array}{l} (u^\alpha)'=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u' \\ (\log_au)'=\dfrac{u'}{u\cdot\ln a}\end{array} \right.$

Chọn đáp án B

Bài 6: Cho $f(x)=\ln (4x-x^2)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

$\text{A}.f'(2)=1\\\text{B}.f'(2)=0\\\text{C}.f'(5)=1,2\\\text{D}.f'(-1)=-1,2$

Spoiler: Gợi ý

Áp dụng công thức: $\ln|u|=\dfrac{u'}u$

Chọn đáp án B

C. Đồ thị hàm số mũ - loga

Bài 1: Cho hai hàm số $y=\log_ax,y=\log_bx$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng $x=5$ cắt trục hoành và cắt đồ thị của hai hàm số trên lần lượt tại các điểm $H,M,N$ sao cho$M$ là trung điểm của $HN$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: $\text{A}.a=5b\\\text{B}.a=b^2\\\text{C}.a=b^5\\\text{D}.b =5a$

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:

Ta có $H(5;0), M(5;\log_a5),N(5;\log_b5)$. Vì $M$ là trung điểm của $HN\Rightarrow HN=2HM$
$\Leftrightarrow HN^2=4HM^2\Leftrightarrow (\log_b5)^2=4(\log_a5)^2\Leftrightarrow \log_b5=2\log_a5$ (nhìn đồ thị ta thấy $\log_a5>0;\log_b5>0$)
$\Leftrightarrow\dfrac1{\log_5b}=\dfrac2{\log_5a}\Leftrightarrow\log_5a=2\log_5b=\log_5b^2\Leftrightarrow a=b^2$

Bài 2: Hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? $\text{A}.y=2^{-x}\\ \text{B}.\log_2x\\ \text{C}.y=x^{-2}\\\text{D}.y=x^{-\frac12}$

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:

Nhìn đồ thị đã cho, ta thấy đây không phải đồ thị của hàm mũ và hàm loga vậy nên ta loại bỏ được 2 đáp án $A$ và $B$. Như vậy ta sẽ chọn một trong 2 đáp án $C$ và $D$. Đồ thị của cả 2 đáp án $C$ và $D$ đều đi qua điểm $(1;1)$, tức $x=1$ thì $y=1$, do đó ta sẽ loại trừ 1 trong 2 đáp án này với $x=2$. Ta thấy, với $x=2$ thì $y=x^{-2}=\dfrac1{x^2}=\dfrac1{2^2}=\dfrac14$ còn $y=x^{-\frac12}=\dfrac1{x^{\frac12}}=\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac1{\sqrt2}\approx 0,7$. Mà ở trên đồ thị đã cho ta thấy với $x=2$ thì giá trị của $y$ lớn hơn $\dfrac12$ và gần với $1$. Do đó ta chọn đáp án D

 

[Timeless time]

BÀI 5 - PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

I. Phương trình mũ - bất phương trình mũ cơ bản

a. Phương trình mũ

• Nếu $a>0,\, a\ne 1$ thì $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
• Nếu $a$ chứa ẩn thì :
  • $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow (a-1)[f(x)-g(x)]=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}a=1\\\left\{\begin{array}{I}a>0;\, a\ne 1\\f(x)=g(x)\end{array}\right.\end{array}\right.$
  • $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow \log_aa^{f(x)}=\log_ab^{f(x)}\Leftrightarrow f(x)=\log_ab\cdot g(x)$ (logarit hóa)

b. Bất phương trình mũ

• Nếu $a>1$ thì $a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)$ (cùng chiều)
• Nếu $0<a<1$ thì $a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)<g(x)$ (ngược chiều)
• Nếu $a$ chứa ẩn thì $a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow (a-1)[f(x)-g(x)]>0$

II. Phương trình - bất phương trình logarit cơ bản

a. Phương trình logarit

• Nếu $a>0;\, a\ne 1$ thì $\log_ax=b\Leftrightarrow x=a^b$
• Nếu $a>0;\, a\ne 1$ thì $a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} f(x)>g(x)\\\left[\begin{array}{I} f(x)>0\\g(x)>0\end{array}\right.\end{array}\right.$
• Nếu $a>0;\, a\ne 1$ thì $\log_af(x)=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I} f(x)=a^{g(x)}\\f(x)>0 \end{array}\right.$ (mũ hóa)

b. Bất phương trình logarit

• Nếu $a>1$ thì $\log_af(x)>\log_ag(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}f(x)>g(x)\\g(x)>0\end{array}\right.$ (cùng chiều)
• Nếu $0<a<1$ thì $\log_af(x)>\log_ag(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}f(x)<g(x)\\f(x)>0\end{array}\right.$ (ngược chiều)
• Nếu $a$ chứa ẩn thì $\left[\begin{array}{I}\log_aB>0\Leftrightarrow (a-1)(B-1)>0\\\dfrac{\log_aA}{\log_aB}>0\Leftrightarrow (A-1)(B-1)>0\end{array}\right.$

Ví dụ mở đầu : Giải các phương trình sau:
a. $10^x=1$
b. $2^x=8$
c. $4^x=-4$
d. $5^{x^2-5x+1}=1$

Hướng dẫn giải:
a. $10^x=1\Leftrightarrow x=\log1=0$
b. $2^x=8\Leftrightarrow x=\log_28=3$
c. $4^x=-4$ vô nghiệm, vì $4^x>0\, \forall x\in\mathbb{R}$
d. $5^{x^2-5x+1}=1\Leftrightarrow x^2-5x+1=\log_5\Leftrightarrow x^2-5x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac {5\pm \sqrt{21}}2$

 

[Timeless time]

BÀI 5.1 - ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ HOẶC LOGARIT HÓA - MŨ HÓA

I. Phương pháp

Giải phương trình, bất phương trình mũ - logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi về lũy thừa và logarit bằng phương pháp đưa về một trong các dạng sau:

- Phương trình:

• $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff \left[\begin{array}{I}a=1\\\left\{\begin{array}{I}0<a\ne 1\\f(x)=g(x)\end{array}\right.\end{array}\right.$ (nếu $a$ không đổi cơ số)
• $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff \left\{\begin{array}{I}a>0\\(a-1)[f(x)-g(x)]=0\end{array}\right.$ (nếu cơ số $a$ thay đổi)
• $\log_a[f(x)]=\log_a[g(x)]\iff \left\{\begin{array}{I} 0<a\ne 1\\f(x)=g(x)\\f(x)>0 \vee g(x)>0\end{array}\right.$ ($\vee$ là kí hiệu của hoặc)

- Bất phương trình:

• $a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff \left[\begin{array}{I} \begin{cases} a>1\\f(x)>g(x)\end{cases}\\ \begin{cases} 0<a<1\\ f(x)<g(x)\end{cases} \end{array}\right.$
• $\log_a [f(x)]>\log_a[g(x)] \iff \left[\begin{array}{I} \begin{cases} a>1\\g(x)>0\\ f(x)>g(x)\end{cases}\\ \begin{cases} 0<a<1\\ f(x)>0\\f(x)<g(x)\end{cases}\end{array}\right.$

II. Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Giải phương trình $\log_4(x-1)=3$
$\text{A}.x=63\\\text{B}.x=65\\\text{C}.x=80\\\text{D}.x=82$

Lời giải:
Ta có $\log_4(x-1)=3\iff \left\{\begin{array}{I} x-1>0\\x-1=4^3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{I} x>1\\x=65\end{array}\right.\implies x=65$
Chọn đáp án $\text{B}$

Ngoài ra ta có thể nhập biểu thức $\log_4(x-1)-3$ vào máy tính rồi $\texttt{CALC}$ từng giá trị từ đó đưa ra kết quả, tuy nhiên đây là bài toán đơn giản, việc sử dụng máy tính làm cho bài toán trở lên lâu hơn

Ví dụ 2: Tổng các nghiệm của phương trình $4^x+3^{2x+1}=3\cdot 18^x+2^x$
$\text{A}. 0\\ \text{B}.\log_{\frac{9}2}\dfrac{1}3\\ \text{C}. \log_{\frac{9}2}\dfrac{1}6\\ \text{D}. 3$

Lời giải:
Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Khi đó pt $\iff (2^x)^2-2^x+3\cdot 9^x-3\cdot 2^x\cdot 9^x=0$
$\iff (2^x-1)(2^x-3\cdot 9^x)=0 \iff \left[\begin{array}{I} 2^x-1=0\\ 2^x-3\cdot 9^x=0\end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{I} x=0\\ \left(\dfrac{9}2\right)^x=\dfrac{1}{3} \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{I}x=0\\ x=\log_{\frac{9}2}\dfrac{1}3 \end{array}\right.$
$\implies$ Tổng hai nghiệm của phương trình là: $\log_{\frac{9}2}\dfrac{1}3$
Chọn đáp án $\text{B}$

Ví dụ 3: Phương trình $\log_2(x-1)-2\log_4(3x-2)+2=0$ có nghiệm nằm trong khoảng
$\text{A}. (0;3)\\ \text{B}. (1;2)\\ \text{C}. (3;5)\\ \text{D}. (2;3)$

Lời giải:
Điều kiện $x>1$. Khi đó pt $\iff \log_2(x-1)-\log_2(3x-2)=-2$
$\iff \log_2\dfrac{x-1}{3x-2}=-2 \iff \dfrac{x-1}{3x-2}=\dfrac{1}4 \iff x=2$
Chọn đáp án $\text{A}$

Ví dụ 4: Tìm nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}2}(x^2-5x+7)>0$
$\text{A}.\left[\begin{array}{I} x<2\\x>3\end{array}\right.\\ \text{B}.x>3\\\text{C}. 2<x<3\\\text{D}.x<2$

Lời giải:
Điều kiện: $x^2-5x+7>0 \iff \forall x$
Khi đó pt $\iff x^2-5x+7<\left(\dfrac{1}2\right)^0=1 \iff x^2-5x+6<0 \iff 2<x<3$
Chọn đáp án $\text{C}$

Ví dụ 5: Tìm nghiệm của bất phương trình $\ln(x^2+1) \le \ln(6-4x)$
$\text{A}. -5\le x \le 1\\ \text{B}.0<x\le 1\\ \text{C}.x\ge 1\\ \text{D}. x\ge 5$

Lời giải:
Điều kiện: $x<\dfrac{3}2$
Khi đó pt $\iff x^2+1 \le 6-4x \iff x^2+4x-5<0 \iff-5\le x \le 1$
Chọn đáp án $\text{A}$

Ví dụ 6: Tìm nghiệm của bất phương trình $\log_2(2^{x+1}+3)+\log_{\frac{1}2}(2^{x-3}+9)>0$
$\text{A}.x>4-\log_2 5\\ \text{B}.x>4+\log_2 5\\ \text{C}.x>4-\log_5 2\\ \text{D}.x>4+\log_5 2$

Lời giải:
pt $\iff \log_2(2^{x+1}+3)-\log_{2}(2^{x-3}+9)>0\iff \log_2(2^{x+1}+3)>\log_{2}(2^{x-3}+9) \iff 2^{x+1}+3>2^{x-3}+9\\ \iff 2\cdot 2^x+3>\dfrac{2^x}8 +9\iff 16\cdot 2^x+24>2^x+72\iff 15\cdot 2^x>48\iff 2^x>\dfrac{16}5 \iff x>\log_2 \dfrac{16}5$
Chọn đáp án $\text{A}$ ( Vì $x>\log_2 \dfrac{16}5 \iff x>\log_2 16 -\log_2 5\iff x>4-\log_2 5$ )

 

[Timeless time]

5.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
I. Lý thuyết

- Phương trình:

• $f(a^u)=0$. Đặt $t=a^u\, (t>0)$ . Phương trình trở thành $f(t)=0$
• $f(\log_a u)=0$. Đặt $t=\log_a u$. Phương trình trở thành $f(t)=0$

- Bất phương trình:

• $f(a^u)>0$. Đặt $t=a^u\, (t>0)$. Bất phương trình trở thành $f(t)>0$
• $f(\log_a u)>0$. Đặt $t=\log_a u$. Bất phương trình trở thành $f(t)>0$

II. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Phương trình $9^x-3\cdot 3^x+2=0$ có hai nghiệm là $x_1,x_2$ với $x_1<x_2$. Giá trị của $A=2x_1+3x_2$ là:
$\text{A}.0\\ \text{B}.4\log_3 2\\ \text{C}.3\log_3 2\\ \text{D}. 2$

Lời giải:
Đặt $t=3^x$. Phương trình trở thành $t^2-3t+2=0\iff \left[\begin{array}{I}t=1\\t=2\end{array}\right.\implies \left[\begin{array}{I}x=0\\x=\log_3 2 \end{array}\right.$
Vậy $A=2x_1+3x_2=3\log_3 2$

Chọn đáp án $\text{C}$

Ví dụ 2: Tìm tổng T của tất cả các nghiệm của phương trình $4^x - 8\cdot 2^x + 4 = 0$
$\text{A}. T=1 \\ \text{B}. T=2 \\ \text{C}. T=8 \\ \text{D}. T=0$

Lời giải:
Ta thấy phương trình hỏi tổng các nghiệm của phương trình tức là $x_1 + x_2$
Mặt khác ta lại có $2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2^{x_1 + x_2}$
Mặt khác nếu coi phương trình đã cho là phương trình bậc 2 đối với $2^x$ thì ta suy ra ngay $2^{x_1}\cdot 2^{x_2} = 4$
Vậy từ đây ta có: $2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=4=2^2 \iff x_1+x_2 = 2$

Chọn đáp án $\text{B}$

Ví dụ 3: Cho phương trình $2\log_4(x^2-x) + 3\sqrt{\log_4(x-1)^2} - 2\log_4x = 4$. Phương trình trên có nghiệm $x=x_0$ nằm trong khoảng
$\text{A}.(2;4) \\ \text{B}. (1;3) \\ \text{C}. (2;3) \\ \text{D}. (3;4)$

Lời giải:
Điều kiện $x\ge 2$
Ta có phương trình $\iff 2\log_4(x(x-1)) + 3\sqrt{\log_4(x-1)^2} - 2\log_4x=4 \\ \iff 2\log_4(x-1) + 3\sqrt{2\log_4(x-1)}-4=0$
Vậy phương trình đã cho trở về dạng tổng quát, coi phương trình trên là phương trình bậc 2 với $\sqrt{2\log_4(x-1)}$, lúc này bấm máy giải phương trình bậc 2 ta được: $\sqrt{2\log_4(x-1)}=1 \iff \log_4(x-1)=\dfrac{1}2 \iff x=3$

Chọn đáp án $\text{A}$

Ví dụ 4: Xét các số nguyên dương $a,b$ sao cho phương trình $a\ln^2x + b\ln x+ 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và phương trình $5\log^2x + b\log x + a= 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3,x_4$ thoả mãn $x_1x_2>x_3x_4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $S_\min$ của $S = 2a + 3b$
$\text{A}. S_\min = 30 \\ \text{B}. S_\min = 25 \\ \text{C}. S_\min = 33 \\ \text{D}. S_\min = 17$

Lời giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa và có nghiệm là $x>0$ và $b^2 - 20a > 0$
+ Xét phương trình $a\ln^2 x + b\ln x + 5 = 0$
Đặt $t = \ln x$. Khi đó PT $\iff a\cdot t^2 + b\cdot t + 5 = 0$
Giả sử $t_1 = \ln x_1,\,\, t_2=\ln x_2$là hai nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-et ta có:
$t_1 + t_2 = \ln x_1 + \ln x_2 = \ln (x_1 \cdot x_2) = -\dfrac{b}a \iff x_1\cdot x_2 = e^{-\frac{b}a}$
+ Xét phương trình $5\log^2x + b\log x + a= 0$
Đặt $u = \log x$. Khi đó PT $\iff 5u^2 + bu + a = 0$
Giả sử: $u_1 = \ln x_3,\,\, u_2 = \ln x_4$là hai nghiệm của phương trình, theo định lý Vi-et ta có:
$u_1 + u_2 = \ln x_3 + \ln x_4 = \ln (x_3 \cdot x_4) = -\dfrac{b}5 \iff x_1\cdot x_2 = 10^{-\frac{b}5}$
$\begin{aligned} \text{ Do đó}: x_1x_2 > x_3x_4 & \iff e^{-\frac{b}a} > 10^{-\frac{b}5} \\ & \iff -\dfrac{b}a > \ln 10^{-\frac{b}5} \\ & \iff \dfrac{b}a > -\dfrac{b}5 \ln 10 \\ & \iff a > \dfrac{5}{\ln 10} \approx 2,171 \end{aligned}$
Theo giả thiết: $a\in \mathbb N^* \implies a \ge 3 \\ b^2 -20a > 0 , b \in \mathbb N^* \implies b\ge 8$
Vậy ta có : $S = 2a + 3b \ge 3\cdot 3 + 3\cdot 8 = 30 \implies S_\min =30$

Chọn đáp án $\text{A}$

Ví dụ 5: Phương trình $(3 + \sqrt 5)^x + 16\cdot (3 - \sqrt 5)^x = 2^{x+3}$ có nghiệm
$\text{A}. x=1 \\ \text{B}. x =\log_{\frac{3 - \sqrt 5}2} 4 \\ \text{C}. x = \log_{\frac{3 + \sqrt 5}2}4 \\ \text{D}. 0$

Gợi ý:
Do ở vế phải của phương trình chưa về dạng hằng số và $(3 - \sqrt 5)\cdot (3 + \sqrt 5) = 4 \ne 1$, nên ta phải biến đổi sao cho mất $x$ ở vế phải đồng thời $\dfrac{3-\sqrt 5}2 \cdot \dfrac{3 + \sqrt 5}2 = 1$. Vậy ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình cho $2^x$
Đáp án $\text{C}$

Ví dụ 6: Nghiệm của phương trình: $25^x - 2(3-x)\cdot 5^x + 2x - 7 = 0$ nằm trong khoảng
$\text{A}. (0;2) \\ \text{B}.(1;3) \\ \text{C}. (0;1) \\ \text{D}. (5;10)$

Lời giải:
Đặt $t = 5^x ; t>0$
Phương trình đã cho trở thành: $t^2 - 2(3-x)t + 2x -7 = 0 \quad (*) $
Ta có: $\Delta' = (3-x)^2 - (2x-7) = x^2 -8x +16 = (x-4)^2$
Do đó phương trình $(*)$ có nghiệm $\left[\begin{array}{I} t = 3 - x + x - 4 = -1\, (l) \\ t = 3 - x -x + 4 = 7 - 2x \end{array}\right. \iff 5^x = 7 - 2x \quad (**)$
Vế trái của $(**)$ là một hàm đồng biến , vế phải là một hàm nghịch biến. Nhận thấy $ x=1$ là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$

Chọn đáp án $\text{A}$

III. Bài tập tự luyện

Câu 1: Nghiệm của phương trình $3^{2+x} + 3^{2-x} = 30$ là
A. $x = 0$
B. Phương trình vô nghiệm
C. $x=3$
D. $x =\pm 1$

Câu 2: Phương trình $3^{2x+1} - 4\cdot 3^x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1. x_2$, trong đó $x_1 < x_2$, chọn phát biểu đúng
A. $2x_1 + x_2 = 0$
B. $x_1 + 2x_2 = -1$
C. $x_1 + x_2 = -2$
D. $x_1 \cdot x_2 = -1$

Câu 3: Phương trình $ 9^{x+1} - 6^{x+1} = 3\cdot 4^x$ có bao nhiêu nghiệm
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$

Câu 4: Phương trình $(3+\sqrt 5)^x + (3 - \sqrt 5)^x = 7\cdot 2^x$ có tập nghiệm là
A. $\{-1;1\}$
B. $\left\{\dfrac{1}2;4 \right \}$
C.$\left\{\dfrac{1}2;2 \right \}$
D. $\{-2;2\}$

Câu 5: Số nghiệm của phương trình $9^{x^2} + (x^2-3)\cdot 3^{x^2} - 2x^2 + 2 = 0$
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Spoiler: Đáp án

Đáp án
1. D
2. B
3. D
4. D
5. D

 

[Timeless time]

5.3 - PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ - MŨ HOÁ

1. Lý thuyết

- Logarit hoá
$a^{f(x)} = b^{f(x)}$ ( hoặc $a^{f(x)}\cdot b^{g(x)} = c $). Logarit cả 2 vế với cơ số $a$ hoặc $b$ $\implies f(x) = g(x)\log_a b$

- Mũ hoá
$\log_a f(x) = \log_b g(x)$. Đặt $\log_a f(x) = \log_b g(x) = t \implies f(x)=a^t, g(x)=b^t \implies h(t)=0$

2. Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Phương trình $3^{x-2}\cdot 5^{x-1}\cdot 7^x = 254$ có nghiệm là
A. $x=2$
B. $x=3$
C. $x=-2$
D. $x=-3$

Lời giải:
Do hai vế của phương trình đều dương nên lấy logarit cơ số 3 của hai vế ta được:
$\log_3(3^{x-2}\cdot 5^{x-1}\cdot 7^x) = \log_3 (7^2 \cdot 5) \\ \iff x - 2 + (x-1)\log_35 + x\log_37 = 2\log_37 + \log_35 \\ \iff (x-2)\log_3 105 =0 \iff x= 2$
Chọn đáp án $A$

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình $\log_2\dfrac{2^x+4}{2^x+12}=x-3 \quad (1)$ là
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Lời giải:
Tập xác định: $D=\mathbb R$
$(1) \iff \dfrac{2^x+4}{2^x+12}=2^{x-3} \iff 8(2^x+4)=2^x(2^x+12) \\ \iff 2^{2x}+4\cdot 2^x -32 = 0 \iff \left[\begin{array}{I}2^x=4 \\ 2^x=-8\, (l) \end{array}\right. \iff x=2$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình $49\cdot 2^{x^2} > 16\cdot 7^x$ là
A. $S=(\log_27-2;2)$
B. $S = (\log_2 7 - 2; 2)\cup (2; +\infty)$
C. $S = (-\infty; \log_27-2)$
D. $S = (-\infty; \log_27 - 2)\cup (2;+\infty)$

Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb R$
Bất phương trình $\iff 7^2\cdot 2^{x^2} > 2^4\cdot 7^x \iff 2^{x^2-4} > 7^{x-2}$
Lấy logarit có số 2 hai vế của bất phương trình ta được
$\log_2 2^{x^2-4} > \log_2 7^{x-2} \\ \iff x^2-4 > (x-2)\log_27 \iff f(x) = x^2 - x\log_27 + 2\log_27 -4 >0$
Ta có: $\Delta = \log_2^2 7 - 8\log_2 7 +16 = (4 - \log_27)^2 \\ \implies \left[\begin{array}{I} x_1 = 7 \\ x_2 = \log_2 7-2 <x_1 \end{array}\right.$
Chọn đáp án $D$

3.Bài tập tự luyện

Câu 1: Giải phương trình $3^{4^x}=4^{3^x}$, ta có tập nghiệm là
A. $\left\{\log_{\frac{3}4}(\log_34)\right\}$
B. $\left\{\log_{\frac{2}3}(\log_32)\right\}$
C. $\left\{\log_{\frac{4}3}(\log_43)\right\}$
D. $\left\{\log_{\frac{4}3}(\log_34)\right\}$

Câu 2: Nghiệm của phương trình $3^{x-1}\cdot 5^{\frac{2x-2}x}=15$ là
A. $x=1$
B. $x=2;x=-\log_35$
C. $x=4$
D. $x=3;x=\log_35$

Câu 3: Nghiệm của $4^x-3^{x-\frac{1}2}=3^{x+\frac{1}2}-2^{2x-1}$ cũng là nghiệm của phương trình:
A. $2x^2 + x -3 = 0$
B. $2x^2 - 5x + 3 = 0$
C. $3x^2 - 5x + 2=0$
D. $3x^2 - 5x -2 =0$

Spoiler: Đáp án

Đáp án
1. D
2. B
3. B

5.4 - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Phương pháp: Phương trình đưa về dạng $f(u)=f(v)$
Cách giải: Sử dụng tích chất: Cho hàm số $y=f(x)$ đơn điệu trên tập $D$
Khi đó $f(u)=f(v) \iff u=v\,\, \forall u,v \in D$

Ví dụ : Phương trình $2^{x^2-x}+9^{3-2x}+x^2+6=4^{2x-3}+3^{x-x^2} + 5x$ có số nghiệm là
A. $2$
B. $3$
C. $1$
D. $0$

Lời giải
Phương trình tương đương với
$2^{x^2-x} + 9^{3-2x} + x^2+6 = 4^{2x-3}+ 3^{x-x^2} + 5x \\ \iff 2^{x^2-x} + x^2 - x - 3^{x-x^2} = 2^{4x-6} + 4x - 6 - 3^{6-4x}\quad (*)$
Xét hàm số $f(t)=2^t+t-3^t$
Có $f'(t)=2^t\cdot \ln 2 + 1 + 3^{-t}\cdot \ln 3 > 0,\,\, \forall t\in \mathbb R$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb R$
Khi đó $(*) \iff f(x^2-x)=f(4x-6) \iff x^2-x = 4x-6 \iff x=2 \vee x=3$

 

[Timeless time]

6 - ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT TRONG THỰC TẾ

6.1 - Dạng toán gửi lãi suất ngân hàng

Dạng 1: Gửi vào ngân hàng một số tiền $a$ đồng với lãi suất $r \%$ mỗi kỳ hạn (có thể là tháng, quý năm,..) theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức không kì hạn. Tính số tiền lãi thu được sau $n$ kỳ hạn Công thức tổng quát: Số tiền thu được sau $n$ kỳ hạn (tháng, quý , năm,...) $A_n = a(1+ r\%)^n$ đồng (gồm cả gốc lẫn lãi) Số tiền lãi thu được sau $n$ kỳ hạn (tháng, quý, năm,..) $ L = A_n - a = a(1+ r\%)^n - a$ đồng

[TBODY] [/TBODY]

Ví dụ 1: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7,65% trên năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm ông A thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu triệu đồng A. $15 \cdot (0,0765)^5$ triệu đồng B. $15 \cdot [1+2\cdot (0,0756)]^5$ triệu đồng C. $15 \cdot (1+0,765)^5$ triệu đồng D. $15 \cdot (1+ 0,0765)^5$ triệu đồng

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Áp dụng công thức tổng quát ở trên ta được.
Số tiền ông A thu về sau 5 năm là: $A = 15 \cdot \left(1+\dfrac{7,65}{100}\right)^5 = 15\cdot (1+0,0765)^5$
Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Một câu chuyện có thật ở nước Đức, đó là vào năm 1926 ông Michle có bán gia tài của mình được 24 đô la và gửi vào một ngân hàng ở Đức với lãi suất 6% trên năm. Hai bên ký kết thỏa thuận. nếu số tiền không rút ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ nhập vào vốn ban đầu và lãi suất sẽ không thay đổi. Sau khi gửi tiền xong, ông Michle tham gia vào quân đội và biệt tích không thấy trở lại ngân hàng để rút tiền. Mãi đến năm 2007 một người cháu của ông là Michle-Role đã vô tình tìm thấy giấy tờ gửi tiết kiệm của ông Michle và đã đến ngân hàng để làm thủ tục rút tiền. Hỏi ngân hàng phải trả cho người cháu của ông Michle là bao nhiêu tiền. A. $24\cdot (1,06)^{81}$ đô la B. $24\cdot (1,06)^{71}$ đô la C. $24\cdot (2,06)^{81}$ đô la D. $24\cdot (2,06)^{71}$ đô la

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Số năm gửi tiền ở ngân hàng của ông Michle là 81 năm.
Do đó số tiền cả gốc và lãi mà ngân hàng phải trả cho ông là : $A = 24\cdot(1+0,06)^{81} = 24\cdot (1,06)^{81}$
Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% trên năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra. A. 13 năm B. 14 năm C. 12 năm D. 11 năm

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Sau năm thứ n thì số tiền người gửi thu được cả gốc và lãi là: $50(1+0,06)^n$
Để số tiền này lớn hơn 100 triệu đồng ta phải có: $50(1+0,06)^n > 100 \iff (1,06^n > 2 \iff n \approx \log_{1,06} 2 \approx 11,89$
Vậy cần ít nhất 12 năm thì số tiền người gửi thu được cả gốc và lãi lớn hơn 100 triệu đồng
Chọn đáp án C

Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền $a$ đồng với lãi suất $x\% = r$ mỗi tháng theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn $m$ tháng. Tính sô tiền cả gốc lẫn lãi $A$ sau $n$ kỳ hạn Công thức tổng quát: Sau $n$ kỳ hạn số tiền nhận được là: $A_n = a(1+mr)^n$

[TBODY] [/TBODY]

Ví dụ 4: Một người có 10 triệu đồng gửi vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng (1 quý là 3 tháng), lãi suất 6% trên quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi cộng vào gốc). Sau đúng 3 tháng người đó gửi thêm 20 triệu đồng cũng với hình thưc lãi suất như vậy. Hỏi sau 1 năm tính từ lần gửi đầu tiên, người đó nhận được số tiền gần nhất với kết quả nào? A. 35 triệu B. 37 triệu C. 36 triệu D. 38 triệu

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Sau quý thứ nhất số tiền trong tài khoản người đó là: $10\cdot (1+6\%)+20 =30,6 $
Sau quý thứ 2 số tiền trong tì khoản người đó là: $30,6 + 30,6 \cdot 6\% = 30,6\cdot 1,06$
Sau 1 năm số tiền người đó thu được là: $30,6\cdot 1,06^3 \approx 36,445$
Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Một bác nông dân vừa bán được một con trâu với số tiền là 20 000 000 đồng. Do chưa cần dùng đến tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng theo kỳ hạn 6 tháng vói lãi suất kép là 8,5% một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị). Biết rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng như lãi trong tất cả các định kỳ trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày). A. 31833311 B. 32833110 C. 33083311 D. 30803311

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Một kỳ hạn có 6 tháng mà một năm có 12 tháng với lãi suất là 8,5% trên năm, do vậy lãi suất một kỳ hạn là $8,5\%:2=4,25\%$
Có 5 năm 8 tháng = 5 năm 6 tháng + 2 tháng = 11 kỳ hạn + 2 tháng
Vậy sau 11 kỳ hạn số tiền mà người đó nhận được là: $$A = 20 000 000(1+4,25\%)^{11} $$
Vì người đó rút khi chưa hết kỳ hạn thứ 12, do vậy 2 tháng không còn kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kì hạn 0,01% một ngày, do vậy khi kết thúc kỳ hạn số tiền mà bác nông dân nhận được là: $$ B = A\cdot (1+0,01\%)^{60} \approx 31803310,72$$
Chọn đáp án A

Dạng 3: Mỗi tháng đều gửi vào số tiền là $a$ đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất là $x\% = r$ mỗi tháng. Tính sô tiền thu được sau $n$ tháng Công thức tổng quát: Số tiền sau $n$ tháng nhận được là: $A_n = a(1+r)\cdot \dfrac{1+r)^n-1}{r}$

[TBODY] [/TBODY]

Ví dụ 6: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép như sau: Mỗi tháng người này tiết kiệm với số tiền cố định là a đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kỳ hạn một tháng với lãi suất 0,6% trên tháng. Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi đầu tiên người đó có được tổng số tiền là 400 triệu đồng. (Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi) A. a = 9 799 882 đồng B. a = 9 929 288 đồng C. a = 9 729 288 đồng D. a = 9 927 882 đồng

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Sau 3 năm kể từ lần gửi đầu tiên số tiền sẽ nhận được là: $A = a\cdot(1+0,6\%)\cdot \dfrac{(1+0,6\%)^{36}-1}{0,6\%} = 400.000.000 \implies a \approx 9.927.881,582$
Chọn đáp án D

Ví dụ 7: Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm 10 triệu đồng với lãi suất 3% trên năm (thủ tục vay 1 năm 1 lần vào đầu năm học). Khi ra trường X thất nghiếp chưa trả được tiền cho ngân hàng nhưng chịu lãi suất 8% trên năm. Sau 1 năm thất nghiệp sinh viên X cũng tìm được việc là và bắt đầu trả nợ dần. Tính tổng số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4 năm đại học và 1 năm thất nghiệp A. 46 538 667 đồng B. 43 091 358 đồng C. 48 261 980 đồng D. 45 188 656 đồng

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Số tiền sinh viên X vay ngân hàng trong thời gian đi học là: $A = 10\cdot 10^6\cdot (1+3\%)\cdot \dfrac{(1+3\%)^4-1}{3\%}$
Số tiền sinh viên phải trả cho ngân hàng là: $T = A(1+8\%) = 4653666,75$
Chọn đáp án A

 

[Timeless time]

6.2 - Dạng toán vay lãi suất ngân hàng và dạng toán mua trả góp

Dạng 4: Vay A đồng từ ngân hàng với lãi suất $x\% = r$ mỗi tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng 1 tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là $a$ đồng. Hỏi phải trả bao nhiêu để sau $n$ tháng trả hết nợ (trả tiền vào cuối tháng)

Công thức tổng quát:
Cuối tháng thứ nhất số tiền người đó còn nợ là: $N_1 = A(1+r) - a$
Cuối tháng thứ hai số tiền người đó còn nợ là: $N_2 = N_1(1+r) - a = A(1+r)^2 - a(1+r) - a$
Cuối tháng thứ 3 số tiền người đó còn nợ là: $N_3 = N_2(1+r) - a = A(1+r)^3 - a(1+r)^2 - a(1+r) - a$
...
Cuối tháng thứ $n$ số tiền người đó còn nợ là:
$N_n = A(1+r)^n - a\Big(1+(1+r) + (1+r)^2 + \dotsb + (1+r)^{n-1} \Big) = A(1+r)^n - a\cdot \dfrac{(1+r)^n -1}{r}$
Để hết nợ sau $n$ tháng thì số tiền còn nợ sau $n$ tháng là $0$, tức là ta giải phương trình:
$A(1+r)^n - a\cdot \dfrac{(1+r)^n -1}{r} = 0 \iff a = \dfrac{A(1+r)^n \cdot r}{(1+r)^n - 1}$

Ví dụ 8: Chị Minh vay ngân hàng 300 triệu theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị Minh trả 5,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu, chị Minh trả hết số tiền trên. A. 64 tháng B. 54 tháng C. 63 tháng D. 55 tháng

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Áp dụng công thức ở trên ta có: $300 \cdot (1+0,5\%) - 5,5 \cdot \dfrac{(1+0,5\%)^n - 1}{0,5\%} = 0 \iff n =\log_{1,005} \dfrac{11}8 \approx 63,85$
Chọn đáp án A

Ví dụ 9: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 tháng, số tiền hoàn nợ mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. A. $m = \dfrac{100 \cdot 1,01^3}{3}$ triệu đồng B. $m = \dfrac{1,01^3}{1,01^3 - 1}$ triệu đồng C. $m = \dfrac{100 \cdot 1,03}3$ triệu đồng D. $m = \dfrac{120 \cdot 1,12^3}{1,12^3 - 1}$ triệu đồng

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Lãi suất $12\%$ mỗi năm nên lãi suất là $1\%$ mỗi tháng.
Áp dụng công thức ở trên ta có, số tiền ông A phải trả mỗi tháng là: $a = \dfrac{A(1+r)^n \cdot r}{(1+r)^n - 1} = \dfrac{100 \cdot (1+ 0,01)^3 \cdot 0,01}{(1+0,01)^3 - 1} = \dfrac{1,01^3}{1,01^3 - 1}$
Chọn đoá án B


6.3 - Ứng dụng trong đời sống xã hội

Dạng 5: Theo nghiên cứu thì hàng năm dân số thế giới tăng theo hàm mũ theo thời gian có dạng như sau: $P(t) = P(0) \cdot (1+k)^t$ trong đó $P(0)$ là dân số thế giới tại thời điểm chọn làm mốc, $P(t)$ dân số thế giới sau $t$ năm và $k$ là hệ số được xác định theo từng khoảng thời gian.

Ví dụ 10: Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S = A \cdot e^{r \cdot N}$ trong đó: $A$ là dân số của năm lấy mốc tính, $S$ là dân số sau $N$ năm, $r$ là tỷ lệ tăng dân số hàng năm. Cho biết năm 2001, dân số Việt Nam có khoảng 78 685 000 người và tỷ lệ dân số tăng hàng năm là $1,7\%$ một năm. Như vậy, nếu tỷ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người? A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2022

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Áp dụng công thức đã cho ta có: $120000000 = 78685000 \cdot( 1+1,7\%)^N \iff N = \dfrac{\ln \left(\dfrac{120000000}{78685000}\right)}{\ln (1,017)} \approx 25,036 \approx 25$
Chọn đáp án C

Đọc thêm: Hàm số tính độ gia tăng dân số thế giới càng về sau độ chính xác không nhiều nên để dự đoán các năm tiếp theo, ta cập nhật lại mốc thời gian và tính toán. Các hàm số mũ, logarit thể hiện một cách rất rõ ràng mức độ biên thiên của các đại lượngđặc trưng tương ứng trong từng dạng.

Ví dụ 11: Sự tăng dân số thế giới được ước tính theo công thức $ S =A \cdot e^{ni}$ trong đó $A$ là dân số hàng năm lấy làm mốc, $S$ dân số sau $n$ năm, $i$ là tỷ lệ tăng dân số hàng năm. Biêt rằng tỷ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 1998 dân số thế giới vào khoảng 5926,5 triệu người. Hỏi năm 2017 thế giới sẽ có khoảng bao nhiêu người, nếu tỷ lệ tăng dân số hàng năm không đổi. A. $5926,5 \cdot e^{19 \cdot 0,0132}$ triệu người B. $5926,5 \cdot e^{20 \cdot 0,0132}$ triệu người C. $5926,5 \cdot e^{18 \cdot 0,0132}$ triệu người D. $5926,5 \cdot e^{17 \cdot 0,0132}$ triệu người

[TBODY] [/TBODY]

Lời giải:
Từ năm 1998 đến năm 2017 là 19 năm, tức ta có $n = 19$
Như vậy ta có $A = 5926,5; n = 19; i = 1,32\% = 0,0123$
Do đó năm 2017 dân số thế giới có khoảng: $5926,5 \cdot e^{19 \cdot 0,0132}$ triệu người
Chọn đáp án A