D
duynhan1
Ngay cái đề bài đã sai rồi ^^
Phải sửa lại là:
Tìm m để hàm số:$f(x)=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2$
đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty;-1]$; $[2;+\infty)$
Last edited by a moderator:
Phải sửa lại là:
Tìm m để hàm số:$f(x)=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2$
đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty;-1]$; $[2;+\infty)$
D
duynhan1
TH1: $m=-1$ thì (1) có dạng $y=2x$ (với $x \not=- 1$) sẽ thõa mãn hàm số đồng biến trên $(1;+$ \infty$)$
Chú ý điều kiện $x \not= -1$
TH2: m$\not=$ 1 thì
Ta có: $y'=\dfrac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{(x-m)^2}$
Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$ thì
$\Longrightarrow$ $2x^2-4mx+m^2-2m-1$$\ge$0 (2)
Chú ý dấu $\Leftrightarrow$ và $\Rightarrow$
Bất phương trình (2) có tập nghiệm$[-\infty;x_1) \cup [x_2;+\infty)$ (vì $\triangle'_{(2)}$ >0 )
để thõa mãn ycbt thì : $x_2$$\le$ 1
Chưa đúng, chú ý điều kiện $x \not= m$. Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng $(a;b)$ thì ta phải có hàm số liên tục trên khoảng $(a;b)$.
Bài còn nhiều sai sót, em sửa lại nhé ^^
Last edited by a moderator:
J
jet_nguyen
Giải:
$\bullet$ Hàm số đồng biến trên $(1;+$\infty$)$ $\Longleftrightarrow y'=\dfrac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{(x-m)^2} \ge 0$ \forall $ x >1$$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} f(x)=2x^2-4mx+m^2-2x-1 \ge 0 \,\ \text{ Với mọi}\,\ x>1 \\ x \ne m \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow (I) \left\{\begin{array}{1} f(x) \ge 0 \,\ \text{ Với mọi}\,\ x>1 \\ m \le 1 \end{array}\right.$
Tới đây mình sẽ giới thiệu cho các bạn 2 cách giải. Ai thích tam thức bậc 2 thì theo dõi cách 1.
$\bullet$ Ta có: $\Delta'=2(m+1)^2 \ge 0$ nên phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm thoả: $x_1 \le x_2$.
$\bullet$ Do đó để bất phương trình: $f(x) \ge 0 $ \forall $ x \in (1;+$\infty$) \Longleftrightarrow x_1 \le x_2 \le 1$. Điều này tương đương:
$$\left\{\begin{array}{1} m \le 1 \,\ ,\Delta ' \ge 0 \\ 2f(1)=2(m^2-6m+1) \ge 0\\ \dfrac{S}{2}=-2 \le 1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} m \le 1 \\ \left[\begin{array}{1} m \le 3-2\sqrt{2} \\ m \ge 3+2\sqrt{2} \end{array}\right. \end{array}\right. \Longleftrightarrow m \le 3-2\sqrt{2}$$
Ngoài cách dùng định lý đảo của tam thức bậc 2 các bạn có thể xử lý theo hướng khác, tham khảo bài 7 của anh truongduong9083 .
Nếu bạn nào ứng dụng được luôn phương pháp hàm số thì quá tốt, vừa ngắn gọn vừa mới mẻ, cùng theo dõi cách 2 nhé.
$\bullet$ Ta có: $f '(x)=4(x-m)\ge 4(x-1) >0$ \forall $x >1$ suy ra: $f(x)$ đồng biến trên $[1;+$\infty$)$.
$\bullet$ Vì thế $$\begin{aligned} (I) & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} Minf(x) \ge 0\,\ , x \ge 1 \\ m \ge 1 \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} g(1)=m^2-6m+1 \ge 0\,\ , x \ge 1 \\ m \ge 1 \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} \left[\begin{array}{1} m \le 3-2\sqrt{2} \\ m \ge 3+2\sqrt{2} \end{array}\right. \\ m \le 1 \end{array}\right. \\&\Longleftrightarrow m \le 3-2\sqrt{2} \\ \end{aligned}$$
Last edited by a moderator:
J
jet_nguyen
Mình xin kết thúc phần Tính đơn Điệu Của Hàm Số để chúng ta sẽ cùng sang phần Cực Trị của Hàm số.
P/s: Bài này không khó nhưng dễ mất điểm do trình bày không chặt chẽ, vì vậy mấy bạn trình bày bài này kĩ giúp mình nhé.
Mở đầu phần này là một bài toán cơ bản.
Bài 13: Tìm m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m^2-m+2)x^2+(3m^2+1)x+m-5$ đạt cực tiểu tại $x=-2$P/s: Bài này không khó nhưng dễ mất điểm do trình bày không chặt chẽ, vì vậy mấy bạn trình bày bài này kĩ giúp mình nhé.
Last edited by a moderator:
J
jet_nguyen
Bài 14: Cho hàm số: $$y=\dfrac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x$$ Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1.
H
huutho2408
Cực trị hàm số
*TXĐ:R
Ta có : $$y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$$
Pt $y'=0$ có $\triangle'=-(m+1)(m+5)$
* để hs có 2 cực trị $\Longleftrightarrow$$\triangle'>0$ $\Longleftrightarrow-5<m<-1$ (a)
hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì có các khả năng sau:
*Khả năng 1 :$$x_1< 1<x_2$$
$$\Longleftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)<0$$
$$\Longleftrightarrow x_1.x_2- (x_1+x_2)+1<0$$
$$\Longleftrightarrow -m^2-6m-3<0$$
kết hợp đk (a) không có m thõa mãn
*Khả năng 2 :$$1< x_1< x_2$$
$$\Longleftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)>0$$
$$\Longleftrightarrow x_1.x_2- (x_1+x_2)+1>0$$
$$\Longleftrightarrow m^2+6m+7>0$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<-3-\sqrt{2} & \color{red}{} \\ m>-3+\sqrt{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$$
kết hợp đk (a) thì :m thuộc $(-5;-3-\sqrt{2})\cup (-3+\sqrt{2};-1) $
*Khả năng 3 :$$1= x_1< x_2$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m=-3-\sqrt{2} & \color{red}{} \\ m=-3+\sqrt{2} & \color{red}{(loại)} \end{array} \right.$$
thay vào pt $y'=0$ chỉ thu được $m=-3-\sqrt{2}$
Kết luận:m thuộc $(-5;-3-\sqrt{2}]\cup (-3+\sqrt{2};-1) $
*TXĐ:R
Ta có : $$y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$$
Pt $y'=0$ có $\triangle'=-(m+1)(m+5)$
* để hs có 2 cực trị $\Longleftrightarrow$$\triangle'>0$ $\Longleftrightarrow-5<m<-1$ (a)
hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì có các khả năng sau:
*Khả năng 1 :$$x_1< 1<x_2$$
$$\Longleftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)<0$$
$$\Longleftrightarrow x_1.x_2- (x_1+x_2)+1<0$$
$$\Longleftrightarrow -m^2-6m-3<0$$
kết hợp đk (a) không có m thõa mãn
*Khả năng 2 :$$1< x_1< x_2$$
$$\Longleftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)>0$$
$$\Longleftrightarrow x_1.x_2- (x_1+x_2)+1>0$$
$$\Longleftrightarrow m^2+6m+7>0$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<-3-\sqrt{2} & \color{red}{} \\ m>-3+\sqrt{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$$
kết hợp đk (a) thì :m thuộc $(-5;-3-\sqrt{2})\cup (-3+\sqrt{2};-1) $
*Khả năng 3 :$$1= x_1< x_2$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m=-3-\sqrt{2} & \color{red}{} \\ m=-3+\sqrt{2} & \color{red}{(loại)} \end{array} \right.$$
thay vào pt $y'=0$ chỉ thu được $m=-3-\sqrt{2}$
Kết luận:m thuộc $(-5;-3-\sqrt{2}]\cup (-3+\sqrt{2};-1) $
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Hàm số bậc 3 chỉ có 2 khả năng:
+ Không có cực trị.
+ Có 2 cực trị.
Không có trường hợp có 1 cực trị nhé em ^^.
T
truongduong9083
Bài 15: Cho hàm số $y = 2x^3+9mx^2+12m^2x+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có cực đại tại $x_{CĐ}$, cực tiểu tại $x_{CT}$ thỏa mãn điều kiện: $x_{CĐ}^2 = x_{CT}$.
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
Bài 16: Cho hàm số $y = x^3- 3(m-1)x^2+3(2m+1)x+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có cực trị tại các điểm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $|x_1-x_2|\leq 2\sqrt{5}$.
T
truongduong9083
Bài 17: Cho hàm số $y = -x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3m^2-1 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ O.
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Để hàm số có cực trị
$ \Rightarrow y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt
$\Rightarrow x^2+3mx+2m^2=0 $ có 2 nghiệm phân biệt
Ta có $x_{CĐ}=-2m, x_{CT}= - m$
theo giả thiết
$$\Rightarrow 4m^2=m $$
$$\Rightarrow m=\frac{1}{2}$$
Vậy $ m=\frac{1}{2} $
Last edited by a moderator:
H
hardyboywwe
Bài 18: Cho hàm số [TEX]y = 2x^3 - 3(2m + 1)x^2 + 6m(m + 1)x + 1[/TEX].Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x + 2.
Last edited by a moderator:
M
miko_tinhnghich_dangyeu
Để hàm số có cực trị
$=> y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt
$\Rightarrow x^2-2(m-1)x+2m+1=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt
$$=> \large\Delta ' >0 $$
$$\Leftrightarrow m^2 -4m >0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m>4 \\ m< 0 \end{array} \right.$$
Ta có
$$ |x_1-x_2| \le 2\sqrt{5} \Leftrightarrow (x_1-x_2)^2 \le 20$$
$$\Rightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \le 20$$
Theo viet ta có :
$$m^2 -4m^2-4 \le 0$$
$$ \Rightarrow -1 \le m \le 5$$
Kết hợp với điều kiện
$$\Rightarrow m \in [-1;0] \cup [4;5]$$
Last edited by a moderator:
H
huutho2408
Cực trị hàm số
Ta có: $$y'=-3x^2+6x+3(m^2-1)$$
Pt $y'=0$ có $\triangle'=9m^2>0$ với \forallm $\not=$0
nên pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt:
$$x_1=1-m$$ và $$x_2=1+m$$
Hàm số có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O thì
$$\Longleftrightarrow |x_1|=|x_2|$$
$$\Longleftrightarrow m=0$$
Ta có: $$y'=-3x^2+6x+3(m^2-1)$$
Pt $y'=0$ có $\triangle'=9m^2>0$ với \forallm $\not=$0
nên pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt:
$$x_1=1-m$$ và $$x_2=1+m$$
Hàm số có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O thì
$$\Longleftrightarrow |x_1|=|x_2|$$
$$\Longleftrightarrow m=0$$
J
jet_nguyen
Bài 19: Cho hàm số: $$y=\dfrac{2}{3}x^3+(\cos m -3\sin m)x^2-8(1+\cos 2m)x+1.$$ Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Last edited by a moderator:
H
huutho2408
miko_tinhnghich_dangyeu;2105962[FONT=Times New Roman said:][/FONT][/SIZE]Để hàm số có cực trị
$ \Rightarrow y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt
$\Rightarrow x^2+3mx+2m^2=0 $ có 2 nghiệm phân biệt
Ta có $x_{CĐ}=-2m$, $ x_{CT}= - m$
theo giả thiết
$$\Rightarrow 4m^2=m $$
$$\Rightarrow m=\frac{1}{2}$$
Vậy $ m=\frac{1}{2} $[/SIZE][/FONT]
Bạn à bạn quên chưa xét m>0 vàm<0
TH1:m>0 thì $x_{CĐ}=-2m$ và $x_{CT}=-m$ $
$$\Longleftrightarrow 4m^2=-m $$
$$\Longleftrightarrow m=-\dfrac14 (loại)$$
TH2:m<0 thì $x_{CT}=-2m$ và $x_{CĐ}=-m$
Ycbt: $$\Longleftrightarrow m^2=-2m$$
$$\Longleftrightarrow m=-2 (tm)$$
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
Bài 20: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3- \dfrac{5}{2}mx^2-4mx-4(C_m)$. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại $x_1; x_2$ sao cho biểu thức
$A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$ đạt GTNN.
$A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$ đạt GTNN.
T
truongduong9083
Bài 21: Cho hàm số $y = x^3+mx^2+7x+3 (C_m)$. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng $d: y = 3x - 7$.
J
jet_nguyen
Em kiểm tra lại bài giải xem có bị vướng ở đâu không nha.
Giải:
$\bullet$ Ta có: $$f '(x)=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$$ $\bullet$ Để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1 $\Longleftrightarrow f'(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_,x-2$ thoả mãn: $x_1<1<x_2 V 1 \le x_1<x_2$. Điều này tương đương:
$$\begin{aligned}& \,\ \,\ \,\ \,\ \,\ \left[\begin{array}{1} 2f'(1) <0 \\ \left\{\begin{array}{1} \Delta' >0 \\ 2f(1) \ge 0 \\ \dfrac{S}{2} >1 \end{array}\right. \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m^2+6m+7 <0 \\ \left\{\begin{array}{1} m^2+6m+5 <0 \\ m^2+6m+7 \ge 0 \\ -(m+1) >1 \end{array}\right. \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m \in (-3-\sqrt{2};-3+\sqrt{2})\\ \left\{\begin{array}{1} m \in (-5;-1) \\ m \not\in (-3-\sqrt{2};-3+\sqrt{2}) \\m< -2 \end{array}\right. \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow m \in (-5;-3+\sqrt{2})\end{aligned}$$
Last edited by a moderator:
T
truongduong9083
Ta có: $y' = 2x^2+2(cosm-3sinm)x-8(1+cos2m)$
$\bullet$ Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình $y' = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và dấu của $y'$ đổi dấu qua hai nghiệm $x_1, x_2$
$\bullet$ Nhận xét: $\triangle' = (cosm - 3sinm)^2+16(1+cos2m) > 0$ $\forall m$.
Nên phương trình $y' = 0$
luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và khi lập bảng xét dấu y' thì dấu $y'$ đổi dấu
qua hai nghiệm $x_1, x_2$ nên hàm số luôn có CĐ và CT
Last edited by a moderator: