cho [tex]a+b+c=1[/tex]
CMR: [tex]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}>=3[/tex]
làm cách khác ngoài cách này nhé, cái này thì mình nghĩ ra rồi
[tex]\frac{a^2+b}{b+c}=\frac{a[1-(b+c)]+b}{b+c}[/tex]
cách 1.
[TEX]\frac{a^2+b}{b+c}=\frac{(a^2+b)^2}{(b+c)(a^2+b)}....[/TEX]
chú ý giả thiết và cauhy-schwarz
[TEX]VT\ge \frac{(\sum{a^2}+1)^2}{\sum{a^2}+\sum{ab}+\sum{ab(a+b)}}=S[/TEX]
phần còn lại là chứng minh
[TEX]S\ge 2\leftrigh P=(\sum{a^2})^2+1\ge 2\sum{ab}+2\sum{ab(a+b)}=Q[/TEX]
*[TEX]P\ge 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+1\ge 3abc(a+b+c)+1=3abc+1[/TEX]
*[TEX]Q=4(ab+bc+ca)(a+b+c)-6abc[/TEX]
ta co[TEX]3abc+1\ge 4(ab+bc+ca)(a+b+c)-6abc\leftrigh 9abc\ge 4(ab+cb+ca)(a+b+c)-(a+b+c)^3[/TEX]
BDT này đúng , ta có dpcm.
------------------------------------------------
cách 2.
Thực hiện quy đồng vế trái, gọi T,M lần lượt là tử thức và mẫu thức sau khi quy đồng, khi đó
[TEX]T=\sum{a^4}+\sum{a^3(b+c)}+\sum{a^2(b+c)}+abc(3+a+b+c)+a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
[TEX]a+b+c=1\righ T=\sum{a^3}+\sum{a^2(b+c)}+4abc+a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
[TEX]M=\sum{a^2(b+c)}+2abc[/TEX]
*[TEX]T\ge 2M\leftrigh a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2 [/TEX]
BDT naỳ đúng!
bài toán xảy ra đẳng thức [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
