ôn tập BĐT luyện thi ĐH

[rua_it]

cho [tex]a,b\geq0, a^2+b^2+ab=3[/tex]
tìm GTLN< GTNN của biểu thức [tex]P=a^4+b^4+2ab-a^5b^5[/tex]
2, giả sử x,y z là các số thực thỏa mãn: [tex]x+y+z=6[/tex]. CMR:
[tex]8^x+8^y+8^z\geq4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}[/tex]

[tex]4^{x+1}=4.4^x[/tex]
[tex]\mathrm{Dat:\left{\begin{a=2^x}\\{b=2^y}\\{c=2^z[/tex]

[tex]\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6[/tex]

[tex]\Rightarrow (ycbt) \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq 4.(a^2+b^2+c^2) \ (abc=2^6)[/tex]

[tex]\mathrm{ \Leftrightarrow (a+b+c)^3-3.(a+b+c).(ab+bc+ca)+3abc \geq 4.[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)] \ (abc=2^6)[/tex]

...

 

[rua_it]

3, cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện [tex]a+b+c=sqrt{3}[/tex]
tìm GTNN của [tex]P=sqrt{a^2+ab+b^2}+sqrt{b^2+bc+c^2}+sqrt{c^2+ac+a^2}[/tex]

Ta có:

[tex]\sqrt{a^2 + ab + b^2}=\sqrt{\frac{3}{4}.(a+b)^2+\frac{1}{4}(a-b)^2} \ge \sqrt{\frac{3}{4}.(a+b)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.(a+b) [/tex]

Xây dựng bt tương tự, cộng lại:

[tex]\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+a^2} \geq \sqrt{3}.(a+b+c)=3[/tex]

 

[lamanhnt]

cho [tex]a+b+c=1[/tex]
CMR: [tex]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}>=3[/tex]
làm cách khác ngoài cách này nhé, cái này thì mình nghĩ ra rồi [tex]\frac{a^2+b}{b+c}=\frac{a[1-(b+c)]+b}{b+c}[/tex]

 

[huycuopbien123]

................

Bài 9: Ta có [tex](2x-1)^2\geq0[/tex]suy ra[tex]x^2\geq x-\frac{1}{4}[/tex]
tương tự [tex]y^2\geq y-\frac{1}{4}[/tex]
và [tex]z^\geq z-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]t^2\geq t-\frac{1}{4}[/tex]
Suy ra[tex]\forall x,y,z,t(\frac{1}{4};1)[/tex] ta đều có:
[tex]log_x(y-\frac{1}{4})\geq log_xy^2[/tex]
[tex]log_y(z-\frac{1}{4})\geq log_yz^2[/tex]
[tex]log_z(t-\frac{1}{4})\geq log_zt^2[/tex]
[tex]log_t(x-\frac{1}{4})\geq log_tx^2[/tex]
Cộng theo vế ta có:
[tex]S\geq\sum\limits_{cyc}log_xy^2[/tex]
[tex]AM-GM\Rightarrow S\geq4.\sqrt[4]{2log_xy.2log_yz.2log_zt.2log_tx}=8[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z=t=1/2

 

[huycuopbien123]

Các ứng dụng của BDT [tex]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/tex]:
CMR: Với a,b,c dương thì:
[tex]a)\sum\limits_{cyc}\frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{abc}[/tex]
[tex]b)(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{a+c})^3+(\frac{c}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}[/tex](cái này áp dụng thêm nesbit)
[tex]c)(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\geq (b+ab)(c+bc)(a+ca)[/tex]
[tex]d)\frac{c}{c+\sqrt[4]{4(a^3+b^3)}}+\frac{a}{a+\sqrt[4]{4(b^3+c^3)}}+\frac{b}{b+\sqrt[4]{4(c^3+a^3)}}\leq 1[/tex]
[tex]e)\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3} \geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]

 

[son_9f_ltv]

Các ứng dụng của BDT [tex]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/tex]:
CMR: Với a,b,c dương thì:
[tex]a)\sum\limits_{cyc}\frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{abc}[/tex]

 

[son_9f_ltv]

[tex]c)(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\geq (b+ab)(c+bc)(a+ca)[/tex]

 

[son_9f_ltv]

[tex]e)\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3} \geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]

 

[bigbang195]

e/

 

[bigbang195]

Bài 1:

Nhân lại.

 

[son_9f_ltv]

[TEX][tex]b)(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{a+c})^3+(\frac{c}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX]d)\frac{c}{c+\sqrt[4]{4(a^3+b^3)}}+\frac{a}{a+\sqrt[4]{4(b^3+c^3)}}+\frac{b}{b+\sqrt[4]{4(c^3+a^3)}}\leq 1[/TEX]

dấu = xảy ra khi nào vậy ạh ?

 

[quyenuy0241]

dấu = xảy ra khi nào vậy ạh ?

Chắc là có lẽ do gõ sai

[tex]\frac{b}{b+\sqrt[3]{4(a^3+c^3)}}+\frac{a}{a+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}}+\frac{c}{c+\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}} \le 1[/tex]

 

[kukumalu_2010]

ta có :[TEX]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/TEX]\Rightarrow[TEX]3(x^3+y^3)\geq 3 xy(x+y)[/TEX][TEX]\Rightarrow4(x^3+y^3)\geq x^3+y^3+3xy(x+y)=(x+y)^3[/TEX]
thay vào VT \Rightarrowđfcm
dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c

 

[tranghh4]

Mọi người cho mình hói tí: Tại sao từ gt là [tex] x^2 +y^2+z^2+2xyz=1[/tex]
Lại có thể đặt [tex]x=\frac{a}{b+c}{;} y=\frac{b}{c+a}{....}[/tex]

 

[ivory]

Mọi người cho mình hói tí: Tại sao từ gt là [tex] x^2 +y^2+z^2+2xyz=1[/tex]
Lại có thể đặt [tex]x=\frac{a}{b+c}{;} y=\frac{b}{c+a}{....}[/tex]

Có lẽ bạn nhầm rồi, đặt được như trên khi mà
[TEX]xy+yz+zx+2xyz=1[/TEX]
Chứng minh:[TEX]\frac{1}{x+1}=\frac{b+c}{a+b+c},.....[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2[/TEX]
rut gon
-------------------------------
còn [TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/TEX] thì nếu bạn thích lượng giác thì đặt
[TEX]x=cosA, y=cosB, z=cosC;A+B+C=\pi[/TEX]
Bạn thử chứng minh xem

 

[vodichhocmai]

[TEX][tex]b)(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{a+c})^3+(\frac{c}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}[/TEX]

[TEX]\left{x,y,z>0 \\x+y+x\ge \frac{3}{2} \\x^3+y^3+z^3 \ge \frac{3}{8}[/TEX]

 

[ivory]

[tex]b)(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{a+c})^3+(\frac{c}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}[/tex](cái này áp dụng thêm nesbit)
[TEX]2\sum{(\frac{a}{b+c})^3}\ge \sum{(\frac{a}{b+c})^2}\ge \frac{1}{2}\sum{\frac{a^2}{b^2+c^2}}\ge \frac{1}{2}\sum{\frac{a}{b+c}}[/TEX]

 

[tranghh4]

1,
Cho x y z là các số thực dương tm xyz=x+y+z=2
CMR [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \frac{3}{2} \sqrt{xyz}[/tex]
2,
CMR với mọi a b c>0 ta có [tex]\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le \frac{a+b+c}{6}[/tex]

 

[thungan92]

mình cũng có mấy bài các bạn làm thử hén

1/ Cho x, y thỏa [TEX]2(x^2+y^2)=xy+1[/TEX]:
Tìm Min và Max của biểu thức P=[TEX]\frac{x^4+y^4}{2xy+1}[/TEX]
2/ Cho các số thực a,b,c thỏa o<a,b,c=<1
CMR [TEX](1+\frac{1}{abc})(a+b+c)\ge \3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]


CHÚNG TA CÙNG CỐ GẮNG ĐẬU ĐẠI HỌC NHÉ CÁC BẠN