ôn tập BĐT luyện thi ĐH

[ngomaithuy93]

[TEX]\tex Cho a+b+c=1[/TEX]
[TEX] CM: \frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c} \geq 3(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c})[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]\tex Cho a+b+c=1[/TEX]
[TEX] CM: \frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c} \geq 3(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c})[/TEX]

[TEX]\fbox{\huge\blue 3\(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c}\)- \(a+b+c\)\(\frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c} \)=\sum_{cyclic}\(a-b\)\(\frac{1}{3^a}-\frac{1}{3^b}\)\le 0}[/TEX]

 

[lucky_star93]

[TEX]\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}<=\sqrt[3]{3(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}})[/TEX]

 

[lucky_star93]

cho 3 số thực a,b,c tìm GTLN của biểu thức

[TEX]P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]

giải chi tiết giúp mình với @};-:-*

 

[vodichhocmai]

[TEX]\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}<=\sqrt[3]{3(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}})[/TEX]

[TEX]\frac{1}{3}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{b}}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}\frac{a}{a+b+c}\frac{\frac{1}{b}}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}[/TEX]

Xây dựng tương tự là thành công

 

[vodichhocmai]

cho 3 số thực a,b,c tìm GTLN của biểu thức

[TEX]P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]

giải chi tiết giúp mình với @};-:-*

[TEX]a^2+b^2+c^2=\(a+1\)^2+\(b+1\)^2+\(c+1\)^2-2\[\(a+1\)+\(b+1\)+\(c+1\)\]+3[/TEX]

[TEX]P:=\frac{1}{\sqrt{\(x+y+z\)^2+4}}-\frac{2}{xyz}[/TEX]

[TEX]\left{ x\to 0\\ y\to 0\\ z \to -1[/TEX]

 

[lucky_star93]

[TEX]\frac{1}{3}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{b}}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}\frac{a}{a+b+c}\frac{\frac{1}{b}}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}[/TEX]

Xây dựng tương tự là thành công

em ko hiểu ...........................................

 

[lucky_star93]

[TEX]a^2+b^2+c^2=\(a+1\)^2+\(b+1\)^2+\(c+1\)^2-2\[\(a+1\)+\(b+1\)+\(c+1\)\]+3[/TEX]

[TEX]P:=\frac{1}{\sqrt{\(x+y+z\)^2+4}}-\frac{2}{xyz}[/TEX]

[TEX]\left{ x\to 0\\ y\to 0\\ z \to -1[/TEX]

BÀI NÀY ĐỂ THI THỬ NÓ Giải có đoạn thế này mà em đọc ko hiểu

áp dụng bất đẳng thức cosi
[TEX]a^2+b^2+c^2+1>=\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{2}(c+1)^2>=\frac{1}{4}(a+b+c+1)^2[/TEX]

[TEX](a+1)(b+1)(c+1)<=(\frac{a+b+c+3}{3})^3[/TEX]
[TEX]P<=\frac{2}{a+b+c+1}-\frac{54}{(a+b+c+3)^3}[/TEX]

rồi làm tiếp theo nhưng mà mình ko hiểu mấy câu trên đấy

các bạn giải thích giúp mình với :-SS:-SS ( ( (

 

[lantrinh93]

cho x,y,z thỏa mãn là các số thực [TEX]x^2-xy+y^2=1[/TEX]
tìm GNLN , GTNN của biểu thức
[TEX]P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}[/TEX]


xét các số thực a,b,c .Tìm GTNN của
[TEX]P=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}[/TEX]

 

[lengfenglasaingay]

cho x,y,z thỏa mãn là các số thực [TEX]x^2-xy+y^2=1[/TEX]
tìm GNLN , GTNN của biểu thức
[TEX]P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}[/TEX]

[tex]\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}=\frac{-(xy)^2+2xy+1}{xy+2}[/tex]
Đặt [tex]t=xy\rightarrow -\frac{1}{3}\leq t\leq 1[/tex]
xét hàm [tex]f(t)=\frac{-t^2+2t+2}{t+2}(-\frac{1}{3}\leq t\leq 1)[/tex].
Bài 2: Bó tay (không biết cả điểm rơi ở mô luôn)


Góp thêm 1 bài
1.[tex]x,y[/tex]
[tex]\left\{\begin{x+y=2m-1} \\ {x^2+y^2=m^2+2m-3}[/tex]
[tex]m=?\rightarrow P=xy:min[/tex]

 

[duynhan1]

xét các số thực a,b,c .Tìm GTNN của
[TEX]P=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}[/TEX]

[TEX]P+ 11 = \frac{4a+3b+3c}{2a} + \frac{4a+3b+3c}{3b} + \frac{16a+12b+12c}{2a+3c} \\ = (2a+3b+(2a+3c))(\frac{1}{2a} + \frac{1}{3b} + \frac{4}{2a+3c} ) \\ \ge ( 1 + 1 + 2)^2 = 16[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Min P = 5 [/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow 2a = 3b = 2a + 3c \Leftrightarrow \left{ a = \frac32 b \\ c= 0 [/TEX]

 

[duynhan1]

1.[tex]x,y[/tex]
[tex]\left\{\begin{x+y=2m-1} \\ {x^2+y^2=m^2+2m-3}[/tex]
[tex]m=?\rightarrow P=xy:min[/tex]

[TEX](hpt) \Leftrightarrow \left{ x+y = 2m-1 \\ 2xy = ( 2m-1)^2 - m^2 -2m + 3 = 3m^2 -6m + 4 [/TEX]
x,y là nghiệm của phương trình :
[TEX]X^2- (2m-1) X + \frac{3m^2-6m+4}{2} = 0 (1) [/TEX]
Để hệ có nghiệm \Leftrightarrow Phương trình (1) có nghiệm
[TEX] \Leftrightarrow (2m-1)^2 - 2(3m^2-6m+4) \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac12( 4-\sqrt2 ) \le m \le \frac12(4+\sqrt{2}) [/TEX]

Với điều kiện trên khảo sát hàm số : [TEX]y = m^2 - 6m + 4 [/TEX] ta tìm được min xy

 

[vivietnam]

bài tập: cho x,y thuộc R thoả mãn [TEX] x^2+y^2-xy=4[/TEX]

tìm min biểu thức [TEX](x^2+y^2)[/TEX]

 

[duynhan1]

bài tập: cho x,y thuộc R thoả mãn [TEX] x^2+y^2-xy=4[/TEX]

tìm min biểu thức [TEX](x^2+y^2)[/TEX]

[TEX]4 = x^2 + y^2 - xy = \frac32(x^2 + y^2) - \frac12(x+y)^2 \le \frac32(x^2+y^2) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow Min(x^2+y^2) = \frac83 \Leftrightarrow x=-y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}[/TEX]

 

[silvery21]

Cho các số thực không âm thoả mãn [tex]a+b+c=1[/tex] tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[tex]M=\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}[/tex]

 

[conan_edogawa93]

Cho các số thực không âm thoả mãn [tex]a+b+c=1[/tex] tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

[tex]M=\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}[/tex]

Cách 1::
[TEX]x=1+a^2, y=1+b^2, z=1+c^2[/TEX]
[TEX]gt\Rightarrow a,b,c \in[0,1]\Rightarrow x,y,z\in[1,2][/TEX]
=>?? Max: [TEX]M=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/TEX]
Không mất tính TQ: giả sử [TEX]x\ge y\ge z\Rightarrow (y-x)(y-z)\le 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\le\frac{x}{z}+1[/TEX]
Do [TEX]x,y,z\in[1,2]\Leftrightarrow (2x-z)(2z-x)\ge 0\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\le \frac{5}{2}[/TEX]
[TEX]=>M\le \frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}[/TEX]
Cách 2::
G/s"" [tex]a=max{a,b,c}[/TEX](*)
[TEx]=>c/m: \frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\le (b+c)^2+1+\frac{1}{1+a^2}[/TEX]
<=> BĐT đã trên tương đương với
[tex]\frac{c^2}{1+a^2}\le \frac{(b+c)^2c^2+2bc+2c^2}{1+c^2}[/tex] (luôn đúng do(*))
[tex]=>M\le a^2+(b+c)^2+\frac{1}{1+a^2}+2[/tex]
[tex]=>c/m: a^2+(b+c)^2+\frac{1}{1+a^2}\le \frac{3}{2}<=>\frac{(1-a)(1-3a-4b^3)}{2(1+a^2)}\le 0[/tex] (đúng do [tex]1\ge a\ge \frac{1}{3}[/tex])
[tex]=>M\le \frac{7}{2}[/tex]