ôn tập BĐT luyện thi ĐH

[silvery21]

................

 

[son_9f_ltv]

bài 13
[TEX]a,b,c>0,a^2+b^2+c^2\le 3...........(a,b,c\le \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]CM:a^2+b^2+c^2\le 2(a+b+c)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\sum{a(a-2)}\le 0[/TEX]

đúng do [TEX]a<2,b<2,c<2[/TEX]

\Rightarrow[TEX]VT\le 0[/TEX]
e chỉ CM nó <0,ko chỉ ra dấu = khi nào cả,ai giúp e với!

 

[son_9f_ltv]

bài 2
[TEX]a,b,c\ge 1.CM \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{2+abc}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]2(ab+bc+ca)+abc(ab+bc+ca)\ge 9abc[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]2(ab+bc+ca)+abc(ab+bc+ca-9)\ge 0[/TEX]

do [TEX]a,b,c \ge 1 \Rightarrow ab+bc+ca\ge 3....................abc\ge 1[/TEX]

\Rightarrow[TEX]abc(ab+ca+bc-9)\ge -6[/TEX]

h ta cần CM [TEX]2(ab+bc+ca)\ge 6[/TEX]

điều này đúng do [TEX]ab+bc+ca\ge 3[/TEX]

\Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]

dẳng thức xảy ra \Leftrightarrow[TEX]a=b=c=1..........DONE[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

bài 2
[TEX]a,b,c\ge 1.CM \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{2+abc}[/TEX]

bài này còn có thể áp dụng AM-GM

[TEX]VT\ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX]

h cần CM[TEX]\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge \frac{9}{2+abc}=\frac{9}{+1+abc}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]3+3+3abc\ge 9\sqrt[3]{abc}=3.3.\sqrt[3]{abc}...(AM-GM)[/TEX]

\Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

bài 3
[TEX]a,b,c\in [0,1],a+b+c=\frac{3}{2}...........CM....a^2+b^2+c^2\le \frac{5}{4}[/TEX]
là [TEX]0\le a,b,c\le 1[/TEX] àh chị??
nếu thế thì sai đề chị ạh!!
chị thử vs [TEX]a,b=0,c=\frac{3}{2}[/TEX]

 

[lamanhnt]

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bt:
[tex]P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}[/tex]

 

[rua_it]

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bt:
[tex]P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}[/tex]

[tex]\mathrm{Dat:}\left{\begin{x=\frac{1}{a}}\\{y=\frac{1}{b}}\\{z=\frac{1}{c}}[/tex]

[tex]\rightarrow x+y+z \geq 3[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{a^3.(b+c)}=\sum_{cyc} \frac{x^2}{y+z}[/tex]

[tex]\mathrm{AM-GM \rightarrow LHS:} \geq x+y+z -\sum_{cyc} \frac{x+y}{4} \geq \frac{1}{2}.(x+y+z) \geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[rua_it]

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bt:
[tex]P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}[/tex]

Cách 2:
[tex]abc=1 \Rightarrow \sum_{cyclic} \frac{1}{a^3.(b+c)}=\sum_{cyc} \frac{b^2c^2}{a.(b+c)} \geq_{Schwarz} \frac{(ab+bc+ca)^2}{2.(ab+bc+ca)}[/tex]

[tex]=\frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{3}{2}(AM-GM)[/tex]

 

[rua_it]

[tex]a+b+c=12.cmr:\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8} \geq 6.\sqrt{6}[/tex]

[tex]Minkovsky \Rightarrow LHS:=\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8} \geq \sqrt{(a+b+c)^2+(6.\sqrt{2})^2}=6.\sqrt{6}[/tex]

 

[trung0123]

[tex]\mathrm{Dat:}\left{\begin{x=\frac{1}{a}}\\{y=\frac{1}{b}}\\{z=\frac{1}{c}}[/tex]

[tex]\rightarrow x+y+z \geq 3[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{a^3.(b+c)}=\sum_{cyc} \frac{x^2}{y+z}[/tex]

[tex]\mathrm{AM-GM \rightarrow LHS:} \geq x+y+z -\sum_{cyc} \frac{x+y}{4} \geq \frac{1}{2}.(x+y+z) \geq \frac{3}{2}[/tex]

Nếu như không đặt [TEX]VT=\sum \frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}[/TEX][TEX]\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2(ab+bc+ca)}[/TEX][TEX]=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}=VP[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho anh chị tự coi luyện dễ tí

Kho BĐT luyện thi ĐH.

[TEX]1)\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ abc =1 \ \ CMR:\ \ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+c)}\geq \frac{3}{2} [/TEX]

Đặt [TEX]x=\frac{1}{a};[/TEX][TEX]y=\frac{1}{b};[/TEX][TEX]z=\frac{1}{c}[/TEX]

[TEX]\sum_{cyc} \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum_{cyc} \frac{x^2}{y+z}\ge \frac{3}{2}[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có :

[TEX]\frac{x^2}{y+z} +\frac{y+z}{4}\ge x [/TEX]

[TEX]\frac{y^2}{z+x} +\frac{z+x}{4}\ge y [/TEX]

[TEX]\frac{z^2}{x+y} +\frac{x+y}{4}\ge z [/TEX]

__________________ Cộng vế theo vế:

[TEX]\sum_{cyc} \frac{x^2}{y+z}\ge\frac{1}{2}\sum_{cyc} x\ge \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ (AM-GM)[/TEX]

[TEX]2)\red Cho \ \ a,b,c \ \ CMR:\ \ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} [/TEX]

Nhận xét dấu bằng xãy ra khi [TEX]\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{a}{b}=1[/TEX] nên ta mạnh dạng dùng [TEX]AM-GM[/TEX]

Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 2 số dương :

[TEX]\frac{a^2}{b^2}+1\ge 2|\frac{a}{b}| \ge 2\frac{a}{b}[/TEX]

[TEX]\frac{b^2}{c^2}+1\ge 2|\frac{b}{c}| \ge 2\frac{b}{c}[/TEX]

[TEX]\frac{c^2}{a^2}+1\ge 2|\frac{c}{a}| \ge 2\frac{c}{a}[/TEX]

__________________
Cộng vế theo vế ta được .

[TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}+3\ge 2\sum_{cyc}\frac{a}{b}(1)[/TEX]

Mà theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có [TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2}\ge 3 (2)[/TEX]

[TEX](1)&(2)\Rightarrow (dpcm)[/TEX]

[TEX]3)\red\forall x,y,z>0 & x+y+z=1\ \ CMR:\ \ xy+yz+zx > \frac{18xyz}{2+xyz} [/TEX]

Ta luôn có theo [TEX]AM-GM[/TEX] thì

[TEX]\left{(x+y+z)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\ge 9\\x+y+z=1[/TEX][TEX]\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 9 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow xy+yz+zx\ge 9xyz=\frac{18xyz}{2}>\frac{18xyz}{2+xyz}[/TEX] vì [TEX]x,y,z>0[/TEX]

4) Cho [TEX]\red a,b,c,d[/TEX] là những số dương và thỏa [TEX]\red a+b+c+d=1[/TEX] chứng minh rằng:
[TEX]\red\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\)\(\frac{1}{d}-1\)\ge 81[/TEX]

[TEX]BDT\Leftrightarrow \(\frac{a+b+c+d}{a}-1\)\(\frac{a+b+c+d}{b}-1\)\(\frac{a+b+c+d}{c}-1\)\(\frac{a+b+c+d}{d}-1\) \ge 81[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{b+c+d}{a}.\frac{a+c+d}{b}. \frac{b+a+d}{c}. \frac{b+c+a}{d} \geq 81[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b) \geq 81 abcd[/TEX]
Áp dụng [tex]AM-GM[/tex]

[TEX]a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}[/TEX]

[TEX]b+c+d \geq 3\sqrt[3]{bcd}[/TEX]

[TEX]c+d+a \geq 3\sqrt[3]{cda}[/TEX]

[TEX]d+a+b \geq 3\sqrt[3]{dab}[/TEX]

Nhân vào ta có điều phải chứng minh

[tex]\red Cho:\ \ a,b,c,d>0\ \ CMR:[/tex]
[TEX]5)\red\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \ge \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
[TEX]6)\red\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
[TEX]7)\red\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \ge 2[/TEX]
[TEX]8)\red\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} \le \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]
[TEX]9\red\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \le \frac{1}{abc}[/TEX]
[TEX]10)\red\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

Ta có theo [TEX]AM-GM[/TEX] :

[TEX]5)\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a[/TEX]

[TEX]\frac{b^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge b[/TEX]

[TEX]\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c[/TEX]

_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__

[TEX]6)[/TEX]Ta luôn có bổ đề sau,

[TEX]\left{\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4}\\a,b>0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow\left{\(a-b\)^2\ge 0\\a,b>0[/TEX]

Do đó :

[TEX]\left{\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4}\\\frac{bc}{b+c}\le \frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le \frac{c+a}{4}[/TEX]

_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__

[TEX]7)[/TEX] Nhận xét rằng bất đẳng thức đả cho là thuần nhất vì.

[TEX]f(ta;tb;tc;td)=t^0f(a;b;c;d)[/TEX]

Do đó ta chuẩn hoá bằng cách đặt [TEX]a+b+c+d=4[/TEX]
Ta có theo đề.

[TEX]T=\frac{a}{-a+(4-d)}+\frac{b}{-b+(4-a)}+\frac{c}{-c+(4-b)}+\frac{d}{-d+(4-c)}[/TEX]

Xét hàm số :

[TEX]y=\frac{x}{-x+(4-a)}[/TEX]

[TEX]y'=\frac{4-a}{\[-x+(4-a)\]^2}[/TEX]

[TEX]y''=\frac{2\(4-a\)\[-x+(4-a)\]}{\[-x+(4-a)\]^4}=\frac{2\(4-a\)\[4-\(x+a\)\]}{\[-x+(4-a)\]^4}\> 0[/TEX]

vậy hàm số đà cho là lỗm , theo [TEX]jensen[/TEX] ta có.

[TEX]\sum_{cyc}f(a) \ge 4f\(\frac{a+b+c+d}{4}\)=4f(1)=2(dpcm)[/TEX]

[TEX]8)[/TEX]Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .

[TEX]a^2+bc\ge 2a\sqrt{bc}[/TEX]

[TEX]b^2+ca\ge 2b\sqrt{ca}[/TEX]

[TEX]c^2+ab\ge 2c\sqrt{ab}[/TEX]

_______________ cộng vế theo vế ta được___.

[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}} (1)[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]a+b+c\ge \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)[/TEX]

[TEX]\righ \frac{a+b+c}{2abc}\ge \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}(2) [/TEX]

Từ [TEX](1)&(2)\righ (dpcm)[/TEX]

[TEX]9)[/TEX] Quy đồng mẫu số và nhân hai vế cho 2 ta được .

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} (a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)abc\le 2(a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)(c^3+a^3+abc)[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} a^7bc+3a^4b^4c+4a^5b^2c^2+a^3b^3c^3\le\sum_{sym}a^3b^3c^3+2a^6b^3+3a^4b^4c+2a^5b^2c^2+a^7bc[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym}2a^6b^3c^0\ge\sum_{sym}2a^5b^2c^2 [/TEX]
luôn luôn đúng theo định lý nhóm vì cặp [TEX]\(6;3;0\)[/TEX] trội hơn cặp [TEX]\(5;2;2\)[/TEX]

[TEX]10a)[/TEX]

[TEX]\left{S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\\Y=\sum_{cyc}\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]

Ta có:

[TEX]S-Y=0\rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc} \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{\(a+b\)\(a^2-ab+b^2\)}{a^2+ab+b^2} (1)[/TEX]

Ta sẽ chứng minh:

[TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-4ab\ge 0\Leftrightarrow 2\(a-b\)^2\ge 0 \ (2) \ \(dung)[/TEX]

[TEX](1)&(2)\righ 2S\ge \sum_{cyc}\frac{a+b}{3}[/TEX]

[TEX]\righ S\ge\sum_{cyc}\frac{a}{3}\ \ (dpcm)[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

[TEX]10 b)\ \ S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc} \[a-\frac{ab\(a+b\)}{a^2+ab+b^2}\](1) [/TEX]

Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .

[TEX]a^2+ab+b^2\ge 3ab(2)[/TEX]

[TEX](1)&(2)\righ S\ge \sum_{cyc} \[a-\frac{a+b}{3}\]=\sum_{cyc}\frac{a}{3} \ \(dpcm) [/TEX]

[TEX]11)\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \frac{1}{{a}^{3}}+\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{b}^{3} \ge \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b[/TEX]

Cách 1:

Áp dụng [tex]Bunhicopxki[/tex] ta có :

[TEX]\left(\frac{1}{{a}^{3}}+\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{b}^{3}\right)(1+1+1)(1+1+1) \ge \left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b \right)^3\ \ (!)[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM[/tex] ta có :

[TEX]\frac{1}{{a}^{3}}+\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{b}^{3} \ge 3 \ \ (!!)[/tex]

Cách 2:

Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX]ta có:

[TEX]\frac{1}{a^3}+1+1\ge \frac{3}{a}[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{b^3}+1+1\ge 3\frac{a}{b}[/TEX]

[TEX]b^3+ 1+1\ge 3a [/TEX]

Cộng vế theo vế ta được.

[TEX]\frac{1}{{a}^{3}}+\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{b}^{3}+6\ge 3\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\ \ (!)[/TEX]

Mà : [TEX]\frac{1}{{a}^{3}}+\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{b}^{3} \ge 3\ \ (!!)[/tex]

Từ [TEX](!)&(!!)\rightarrow (dpcm)[/tex]

[TEX]12)\red\ \ Cho \ \ x,y,z>0\ \ CMR:\ \ \frac{2\sqrt[]{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt[]{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt[]{z}}{z^3+x^2}\leq\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}[/TEX]

[TEX]x^3+y^2\ge 2 xy.\sqrt{x}[/TEX]

[TEX]\righ\frac{2\sqrt[]{x}}{x^3+y^2}\le \frac{1}{xy} [/TEX]

[TEX]\righ\sum_{cyc}\frac{2\sqrt[]{x}}{x^3+y^2}\le \sum_{cyc}\frac{1}{xy}\ \ (1) [/TEX]

Ta lại có :

[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge \frac{2}{xy}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x^y}+\frac{1}{y^z}\ge \frac{2}{yz}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{2}{zx}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{1}{x^2} \ge \sum_{cyc}\frac{1}{xy} (2)[/TEX]

Từ [TEX](1)&(2)\Rightarrow (dpcm)[/TEX]

[tex]13)\red Cho\ \ x,y,z>0 \ \& \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4 \ \ CMR:\ \ \frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \le1[/tex]

Ta có:

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge \frac{16}{2x+y+z[/TEX]


[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}+\frac{1}{y}\ge \frac{16}{x+2y+z[/TEX]


[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}+\frac{1}{z}\ge \frac{16}{x+y+2z[/TEX]

[TEX]\Rightarrow\sum_{cyc}\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{4\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)}{16}=1 \ \ (dpcm) [/TEX]

[tex]14)\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ &\ \ a.b.c=1\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{x^2}{y+z}\ge \frac{3}{2}[/tex]

[tex]15)\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a}{b+2c}\ge 1[/tex]

[tex]16)\red Cho\ \ \Delta ABC\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a}{b+c-a}\ge 3[/tex]

[tex]17)\red Cho\ \ a,b,>0\ \ &\ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le 3\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{1}{2a+b}\le 1[/tex]

Bạn thấy mấy bài nầy thế nào? Nó cũng dễ

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]\red {a}_{i}\left(i=1,n \right)>0;\sum {a}_{i}=1.[/TEX].
[TEX]\red CMR:\ \ \sum_{i=1}^{n} \frac{{a}_{i}}{\sqrt{\left(1-{a}_{i} \right)}}\geq\frac{\sum_{i=1}^{n} \sqrt{{a}_{i}}}{\sqrt{n-1}}[/TEX]

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a_i\ge a_{a+1}[/TEX] lúc đó ta có 2 bộ số so sánh sau :
[TEX]\left{a_1\ge a_2\ge .....\ge a_n\\ \frac{1}{\sqrt{1-a_1}}\ge\frac{1}{\sqrt{1-a_1}}\ge..........\ge\frac{1}{\sqrt{1-a_n}}[/TEX]
Áp dụng [TEX]Chebyshev[/TEX] ta có :
[TEX]\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\sqrt{1-a_1}}\ge (\frac{a_1+a_2+..a_n}{n}).(\frac{1}{\sqrt{1-a_1}} +\frac{1}{\sqrt{1-a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{1-a_n}})(!!)[/TEX]
Theo bất đẳng thức [TEX]Svacxo[/TEX] ta có :
[TEX]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1-a_n}}\ge \frac{n^2}{\sqrt{1-a_1}+\sqrt{1-a_2}+...+\sqrt{1-a_n}}(1)[/TEX]
Ta lại có theo [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] thì.
[TEX]\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1-a_n}\le \sqrt{n(n-1)} (2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1-a_n}}\ge\frac{n^2}{\sqrt{n(n-1)}}[/TEX]
Ta cũng có theo [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] thì.
[TEX]\sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_i}\le \sqrt{1^2+1^2+...+1^2}.\sqrt{a_1+a_2+...+a_n}= \sqrt{n}\ \ (3)[/TEX]
[TEX](1)&(2)(3)(!!)\Rightarrow (dpcm)[/TEX]

[TEX]\red Cho \ \ a,b,c>0\ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

Bất đẳng thức có thể viết lại.

[TEX]\sum_{cyclic}\(\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2}\)\ge\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{cyclic}\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{\sqrt{3( a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{cyclic}\[(a-b)^2\(\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}\)\]\ge 0[/TEX] [TEX](!!)[/TEX]

Mà theo [TEX]Bunhiacopsky[/TEX] ta luôn có .

[TEX]\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a+b+c\ge 2(a+b+c)>2(a+b)[/TEX]

[TEX]\righ\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}>0[/TEX]

Vậy [TEX](!!)[/TEX] luôn đúng , hay bất đẳng thức đả được chứng minh .

[TEX]\red (1+\frac{1}{sinA})(1+\frac{1}{sinB})(1+\frac{1}{sinC})\geq \left(1+\frac{2}{\sqrt[]{3}}\right)^3[/TEX]

Để giải bài nầy ta đi chứng 2 minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)\ge \left(1+\sqrt[3]{abc}\right)[/TEX] thật vậy.
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 3 số dương ta được.
[TEX]a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
[TEX]ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/TEX]
Do đó.
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)\ge 1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc[/TEX]
[TEX](1+a)(1+b)(1+c)\ge \(1+\sqrt[3]{abc}\)^3[/TEX]
Bổ đề 2.
[TEX]sinA.sinB.sinC\le \frac{3\sqrt{3}}{8}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{1}{sinA.sinB.sinC}\ge\frac{8}{3 \sqrt{3}}[/TEX]
Từ 2 bổ đề trên ta có [TEX]dpcm[/TEX].

[TEX]\red Cho\ \ x,y,z>0 \ \ CMR:\ \ (1+ \frac{x}{y}) ( 1+ \frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}) \geq 2\left(1+ \frac{x+y+z}{ \sqrt[3]{xyz} }\right)[/TEX]

Ta có:
[TEX]A=\(1+\frac{x}{y}\)\(1+\frac{y}{z}\)\(1+\frac{z}{x}\)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}[/TEX]
[TEX]=2+\(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\)+\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}\)+\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\)[/TEX]
[TEX]=\(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{x}{x}\)+\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\)+\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\)-1[/TEX]
[TEX]\geq 3\(\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\ge 2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\ge 2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\ge 2\(1+\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)(dpcm)[/TEX]

Cho các số thực không âm [TEX]\red x,y,z[/TEX] với [TEX]\red x+y+z=4[/TEX] . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :
[TEX]\red P = \sqrt[]{2x+1} + \sqrt{3y+1} + \sqrt[]{4z+1} [/TEX]

[TEX]P=\sqrt{2}.\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{3}.\sqrt{y+ \frac{1}{3}}+\sqrt{4}.\sqrt{z+\frac{1}{4}}[/TEX]
Áp dụng [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] ta được.
[TEX]P\le \sqrt{2+3+4}.\sqrt{(x+y+z)+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}[/TEX]
[TEX]\righ P\le \frac{\sqrt{183}}{2}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi.
[TEX]P_{max}=\frac{\sqrt{183}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \left{\frac{x+\frac{1}{2}}{2}= \frac{y+\frac{1}{3}}{3}=\frac{z+\frac{1}{4}}{4}= \frac{x+y+z+\frac{13}{12}}{9}\\x+y+z=4\\x,y,z>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow\left{x=\frac{17}{27}\\y=\frac{49}{36}\\z=\frac{217}{108}[/TEX]
[TEX]P^2=3+2(x+y+z)+y+2z+2\sqrt[]{2x+1} . \sqrt{3y+1}+2\sqrt{3y+1} . \sqrt[]{4z+1}+2\sqrt[]{4z+1}.\sqrt[]{2x+1}(!)[/TEX]
Ta có:

[TEX]\ \\ \ ( \sqrt[]{2x+1}-1)(\sqrt{3y+1}-1)+(\sqrt{3y+1}-1)(sqrt[]{4z+1}-1)+(sqrt[]{4z+1}-1)(\sqrt[]{2x+1}-1)\ge 0[/TEX]

[TEX]\righ \sqrt[]{2x+1} . \sqrt{3y+1}+\sqrt{3y+1} . \sqrt[]{4z+1}+\sqrt[]{4z+1}.\sqrt[]{2x+1}\ge 2P-3(!!)[/TEX]

[TEX](!)&(!!)\righ P^2\ge 3+2(x+y+z)+y+2z+4P-6\ge 4P+5[/TEX]
[TEX]\righ P^2-4P-5\ge 0[/TEX]
[TEX]\righ P\ge 5[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi :
[TEX]\ \ \ \ \left{y+2z=0\\x+y+z=4\\x,y,z\ge 0 [/TEX][TEX]\Rightarrow\left{x=4\\y=z=0[/TEX]

Cho [TEX]\red a,b,c,d [/TEX] là 4 số dương thoả mãn ĐK:

[TEX]\red\frac{1}{a+1} +\frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1} +\frac{1}{d+1} \geq 3[/TEX] [TEX]\red CMR:\ \ 81abcd-1 \leq 0[/TEX]

Bài toán viết lại. [TEX]\frac{1}{a+1}\ge\sum_{cyc}^{b,c,d}\frac{b}{b+1}[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] cho 3 số dương .
[TEX]\frac{1}{a+1}\ge\sum_{cyc}^{b,c,d}\frac{b}{b+1}\ge 3\sqrt{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}[/TEX]
Tương tự ta có.
[TEX]\frac{1}{b+1}\ge\sum_{cyc}^{a,c,d}\frac{a}{a+1}\ge 3\sqrt{\frac{acd}{(a+1)(c+1)(d+1)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{c+1}\ge\sum_{cyc}^{a,b,d}\frac{a}{a+1}\ge 3\sqrt{\frac{abd}{(a+1)(b+1)(d+1)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{d+1}\ge\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+1}\ge 3\sqrt{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]
___________________
Nhấn vế theo vế ta được.
[TEX]\frac{1}{\prod^{a,b,c,d}(a+1)}\ge 81\frac{\prod^{a,b,c,d}a}{\prod^{a,b,c,d}(a+1)}[/TEX]

Hay [TEX]81abcd-1\le 0(dpcm)[/TEX]

[tex]\red Cho\ \ x,y,z>0\ \ &\ \ x+y+z=\frac{3}{4}\ \ cmr:\ \ \sum_{cyc}\sqrt[3]{x+3y}\le 3[/tex]

[TEX]a=\sqrt[3]{x+3y}>0\ \ b=\sqrt[3]{y+3z}>0\ \ z=\sqrt[3]{z+3x}>0 [/TEX]

Lúc đó : [TEX]a^3+b^3+c^3=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=3\ \ \ \ (ycbt)\leftrightarrow a+b+c\le 3[/TEX]

Ta luôn có:

[TEX](a^3+b^3+c^3)(1+1+1)(1+1+1)\ge (a+b+c)^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a+b+c)^3\le 9(a^3+b^3+c^3)=27[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b+c\le 3\ \ (dpcm)[/TEX]

[tex]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ & \ \ ab+bc+ca=abc\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2+2b^2}{ab}\ge \sqrt{3}[/tex]
______________________________
Với A, B, C là ba góc của tam giác ABC
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]\red S = \frac{{\sqrt {1 + 2\cos ^2 A} }}{{\sin B}} + \frac{{\sqrt {1 + 2\cos ^2 B} }}{{\sin C}} + \frac{{\sqrt {1 + 2\cos ^2 C} }}{{\sin A}}[/TEX]
______________________________
[TEX]\red Cho \ \ a,b,c>0\ \ &\ \ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=3\ \ CMR:\ \ \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\geq 1[/TEX]

Bạn nghỉ bài nầy thế nào ? Nó cũng dễ

Ta có:

[TEX]\(\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2} }{a}\)\le \sqrt{1+2}.\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}} [/TEX]

[TEX]\righ \sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \frac{\frac{1}{b}+\frac{2 }{a}}{\sqrt{3}}[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \frac{3\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)}{ \sqrt{3}}=\sqrt{3} \ \ (dpcm)[/TEX]
________________________

[tex]S=\sum \sqrt{\frac{1}{sin^2A}+2.cot^2B} [/tex]

Ta có theo [tex]Bunhiacopki[/tex] thì:

[tex]\frac{1}{sinA}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2} cotB\le\sqrt{1^2+\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{1}{sin^2A}+2.cot^2B}[/tex]

[tex]\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}S\ge \sum\frac{1}{sinA}+\sum cotA[/tex]

[tex]\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}S\ge \frac{9}{\sum sinA}+\sum cotA[/tex]

[tex]\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}S\ge \ 2\sqrt{3}+\sqrt{3}[/tex]

[tex]\rightarrow S\ge 3\sqrt{2}[/tex]

[TEX]\red Cho \ \ a,b,c>0 \ \ & \ \ a+b+c=1\ \ CMR:\ \ 3\(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c} \)\le \frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c}\ \ (dpcm) [/TEX]
__________________________
[tex]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ a.b.c=10\ \ CMR:\ \ 3\sum_{cyclic}\frac{log a}{4^a}\le \sum_{cyclic}\frac{1}{4^a}[/tex] .

[TEX]\red Cho \ \ a_i>0\ \&\ \ \prod_{i=1}^{n}a_i=1\ \ CMR:\ \ \sum_{i=1}^n\(a_i-\frac{2}{a_i+1\)\ge 0[/TEX]

Bạn nghỉ bài nầy thế nào? Nó cũng dễ

Với [TEX]0<a,b,c<1[/TEX] ta có :

[TEX]\righ \(c-b\)\(\frac{1}{3^c}-\frac{1}{3^b}\)\le 0[/TEX]

[TEX]\rightarrow \frac{c}{3^c}+\frac{b}{3^b}\le \frac{b}{3^c}+\frac{c}{3^b}\ \ (!)[/TEX]

Tương tự ta có :

[TEX]\rightarrow \frac{b}{3^b}+\frac{a}{3^a}\le \frac{a}{3^b}+\frac{b}{3^a}\ \ (!!)[/TEX]

[TEX]\rightarrow \frac{a}{3^a}+\frac{c}{3^c}\le \frac{c}{3^a}+\frac{a}{3^c}\ \ (!!!)[/TEX]

[TEX](!)+(!!)+(!!!)[/TEX] ta được.

[TEX]2\(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c} \)\le \frac{b+c}{3^a}+\frac{c+a}{3^b}+\frac{a+b}{3^c}[/TEX]

[TEX]3\(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c} \)\le \frac{b+c+a}{3^a}+\frac{c+a+b}{3^b}+\frac{a+b+c}{3^c} [/TEX]

[TEX]\rightarrow3\(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c} \)\le \frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c}\ \ (dpcm) [/TEX]

Bạn có thể giải rất dễ dàng bằng bất đẳng thức [tex]Chebyshev[/tex]

 

[vodichhocmai]

KỶ THUẬT CHUẨN HÓA [tex]\blue f (tx_1;tx_2...tx_n)=t^{\alpha}f(x_1;x_2...x_n)[/tex]

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh của một tam giác .

[TEX]a)\red CMR: \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\ge 4\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)\ \ (!)[/TEX]

[TEX]\red b) a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}[/TEX]

a)Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức trên là thuần nhất vì [TEX]f(ta;tb;tc)=t^{-1}f(a;b;c)[/TEX]
Không mất tính tổng quát của bài toán ta chuẩn hoá [TEX]a+b+c=1[/TEX]

[TEX] (ycbt)\leftrightarrow \sum_{cyclic}\frac{5a-1}{a-a^2}\le 9\ \ \ \ \ \ voi\ \ a+b+c=1[/TEX]
Xét [TEX] 0<x<\frac{1}{2} [/TEX] ta có :

:-SS[TEX]\frac{5x-1}{x-x^2}-(18x-3)=\frac{36\(x-\frac{1}{3}\)^2\(x-\frac{1}{2}\)}{x-x^2}\le 0[/TEX]

[TEX] \righ \frac{5x-1}{x-x^2}\le 18x-3[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyc}\frac{5a-1}{a-a^2}\le 18\sum_{cyc}a-9=9 \ \ (dpcm)[/TEX]

b)Bất đẳng thức trên là thuần nhất vì [tex]f(ta;tb;tc)=t^{-1}f(a;b;c)[/tex]

Không mất tính tổng quát ta chuẩn hoá [tex]a+b+c=9[/tex]

[tex](ycbt)\rightarrow\sum_{cyclic}\frac{a}{(9-a)^2}\ge\frac{1}{4}[/tex]

Dễ dàng chứng minh được :

[tex]\frac{a}{(9-a)^2}\ge \frac{a}{18}-\frac{1}{12}[/tex]

[tex]\rightarrow\sum_{cyclic}\frac{a}{(9-a)^2}\ge\frac{a+b+c}{18}-\frac{3}{12}[/tex]

[tex]\rightarrow\sum_{cyclic}\frac{a}{(9-a)^2}\ge\frac{1}{4}\ \ (dpcm)[/tex]

Sau khi giải bài nầy xong , ta tự hỏi vì sao tác giả lại biết con số [tex]y=18x-3[/tex]. Từ đó ta có nhận xét sau đây .Nếu trong một giới hạn [tex]\(\alpha ; \beta \)[/tex] nào đó , tồn tại một tiếp tuyến tại điểm [tex]x=x_0[/tex] có phương trình [tex]y=ax+b[/tex] thì ta luôn có [tex]f(x)\ge ax+b\ \ [/tex] hoặc [tex]f(x)\le ax+b\ \ [/tex] ngoại trừ [tex]x_0[/tex] là tọa độ điểm uốn . Nhờ tính chất hình học đó , ta có thể giải một số bài bất đẳng thức có dạng [tex]T\ge \sum_{cyclic} f(a) [/tex] hay [tex]T\le \sum_{cyclic} f(a) [/tex]

[tex]a)\red Cho\ \ a+b+c=6\ \ CMR:\ \ a^4+b^4+c^4\ge 2(a^3+b^3+c^3\)[/tex]
[TEX]b)\red a,b,c>0\ \ a+b+c=1\ \ CMR:\ \ \frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}\ge\frac{27}{5}[/TEX]

Nhận thấy rằng điểm tới hạn tại [tex]a=b=c=2[/tex] và bất đẳng thức có dạng :[tex] (a^4-2a^3)+(b^4-2b^3)+(c^4-2c^3)\ge 0 [/tex] Hay : [tex] f(a)+f(b)+f( c )\ge 0[/tex].
Nếu [tex]f(x)=x^4-2x^3[/tex] thì tiếp tuyến tại [tex]x=2[/tex] là [tex]y=8x-16[/tex] .
Xét [tex]f(x)-(8x-16)=(x-2)^2(x^2-2x+4)\ge 0[/tex] . Từ đó ta có lới giải sau :

Ta luôn có :

[tex]a^4-2a^3-(8a-16)=(a-2)^2(a^2-2a+4)\ge 0[/tex]

[tex]\rightarrow a^4-2a^3\ge 8a-16[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc} (a^4-2a^3)\ge 8\sum_{cyc}a -48 [/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyc}(a^4-2a^3)\ge 0\ \ (dpcm) [/tex]

b)Dễ dàng chứng minh được :

[TEX]\frac{1}{2a-a^2}\ge \frac{-108a}{25}+\frac{243}{75}[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyclic}\frac{1}{2a-a^2}\ge \frac{-108(a+b+c)}{25}+\frac{243}{25}[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{cyclic}\frac{1}{2a-a^2}\ge \frac{27}{5}[/tex]

[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ & \ \ a+b+c=3\ \ CMR:\ \ a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR:\ \ 3({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2})[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào . Nó cũng dễ

[TEX]\red a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \leq 8[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài vô địch Mỹ

[TEX]\red a,b,c>-\frac{3}{4}\ \ &\ \ a+b+c=1 \ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10}[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài vô địch Ba Lan

[TEX]\red a,b,c>0\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\ge\frac{3}{5}[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài Olympic Nhật Bản

[TEX]\red a,b,c>0\ \ &\ \ a+b+c=1 \ \ CMR:\ \ 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\ge 1[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài vô địch [TEX]China[/TEX]

[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR: \sum_{cyclic}\frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\le\frac{6}{5}[/TEX]
Bạn nghỉ bài nầy thế nào Đó là bài [TEX] Olympic\ \ 30-4-2006 [/TEX]

 

[vodichhocmai]

ĐIỂM RƠI HAY ĐIỂM TỚI HẠN

[tex]\red Cho \ \ a,b,c>0\ \ a^5+b^5+c^5=3\ \ CMR:\ \ a^2+b^2+c^2\le 3[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho năm số dương .

[tex]a^5+a^5+1+1+1\ge 5a^2[/tex]

[tex]\righ 2\sum_{cyc}a^5+9\ge 5\sum_{cyc}a^2[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le \frac{ 2\sum_{cyc}a^5+9}{5}[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le 3\ \ (dpcm)[/tex]

[tex]\red Cho \ \ a,b,c>0\ \ a^3+b^3=2\ \ CMR:\ \ a+b\le 2[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .

[tex]a^3+1+1\ge 3a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a^3+4\ge 3\sum_{cyc}a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a\le \frac{ \sum_{cyc}a^3+4}{3}[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a\le 2\ \ (dpcm)[/tex]

[TEX]\red x,y,z[/TEX] là các số thực dương có tích bằng 1
[TEX]\red CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{3}{4} [/TEX]

Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .

[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \geq \frac{3x}{4}[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyc} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{1}{2}(x+y+z) -\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

[tex]\red Cho a,b,c>0\ \ a+b+c=3 \ \ CMR: \ \ \sum_{cyclic}\frac{a^3}{b+1}\ge \frac{3}{2}[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .

[tex]\frac{a^3}{b+1}+\frac{b+1}{4}+\frac{1}{2}\ge \frac{3}{2}a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}+\frac{a+b+c+3}{4}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) [/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}\ge \frac{3}{2}\ \(dpcm)[/tex]

[tex]\red Cho\ \ a,b,c>0 \ \ CMR: \ \ \sum_{cyclic}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\ge \frac{\sum_{cyclic } \sqrt{ab}}{4}[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .

[tex]\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge \frac{3}{4} a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{\sum_{cyc}a}{2}\ge \frac{3}{4}\sum_{cyc}a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\ge \frac{1}{4}\sum_{cyc}a\ \ (!)[/tex]

Ta lại có theo [tex]AM-GM [/tex] thì :

[tex]a+b\ge 2\sqrt{ab}[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a\ge \sum_{cyc}\sqrt{ab}\ \ (!!)[/tex]

Từ [tex](!)&(!!)[/tex] suy ra [tex](dpcm)[/tex]

[TEX]\red Cho \ \ a,b,c> 0\ \ &\ \ a^2+b^2+c^2=3\ \ MIN_{T=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4}[/TEX]

Dễ nhận thấy nếu [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX] thì:

[TEX]a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2 [/TEX]

[TEX]\rightarrow a^4+b^4+c^4\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4} [/TEX]

[TEX]T\ge \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4}[/TEX]

[TEX]T\ge \(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^3}{2}\)+\(\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^3+a^2}{4}+ \frac{b^3}{2} \)+\(\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^3+b^2}{4}+\frac{c^3}{2}\)[/TEX]

[TEX]\rightarrow T\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2} [/TEX]

[TEX]\rightarrow T\ge \frac{9}{2}[/TEX]

Để nhìn thấy rõ toàn cục bài bất đẳng thức trong việc chọn điểm rơi .Ta đi vào bài sau :[tex]\red Cho\ \ 1\ \ [b\ \ [a\ \ [N^+\ \ x,y>0\ \ x^a+y^a=n \ \ Min_{[x^b+y^b]}= 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}[/tex]

Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho [tex]a [/tex] số dương .

[tex]\underbrace {x^a+x^a+...+x^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{x^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.x^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]

[tex]\underbrace {y^a+y^a+...+y^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{y^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.y^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]

[tex]\righ b(x^a+y^a)+(a-b)n\ge a.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}.(x^b+y^b)[/tex]

[tex]\righ x^b+y^b\le 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}[/tex]

[tex]\righ Min__{[x^b+y^b]}= 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}\ \ (dpcm)[/tex]

[tex] Cho\red\ \ a,b,c >0\ \ &\ \ a+b+c=abc\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2}{a+bc }\ge \frac{a+b+c}{4}[/tex]

[tex] Cho\red\ \ x,y,z >0\ \ CMR:\ \ \frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\ge x+y+z[/tex]

[tex] Cho\red\ \ x,y,z >0\ \ CMR:\ \ x^2+y^2+z^2\ge \sqrt{2}(xy+xz)[/tex]

[tex] Cho\red\ \ x,y >2\ \&\ \ x+y=8\ \ CMR:\ \ \frac{x^4}{(y-2)^2}+\frac{y^4}{(x-2)^2}\ge 128[/tex]

Bạn nghỉ mấy bài nầy thế nào .Nó cũng dễ

 

[vodichhocmai]

Các bạn muốn được hiểu hơn , có thể đẳng kí học tại lớp luyện thi Vip của hocmai.vn

 

[lamanhnt]

CMR: [tex]8^a+8^b+8^c>=2^a+2^b+2^c[/tex] biết [tex] a+b+c=0[/tex]...........................

 

[vodichhocmai]

CMR: [tex]8^a+8^b+8^c>=2^a+2^b+2^c[/tex] biết [tex] a+b+c=0[/tex]...........................

Cách một

[TEX]3\(8^a+8^b+8^c\)-\(4^a+4^b+4^c\)\(2^a+2^b+2^c\):=\sum_{cyclic} \(4^a-4^b\)\(2^a-2^b\)\ge 0[/TEX]

[TEX]\righ 8^a+8^b+8^c \ge \frac{(4^a+4^b+4^c\)\(2^a+2^b+2^c\)}{3}\ge 2^a+2^b+2^c[/TEX]

[TEX]\tex{ Theo Am-Gm}[/TEX]

Cách hai

[TEX]\Leftrightarrow\left{x,y,z>0\\xyz=1\\ x^3+y^3+z^3\ge x+y+z[/TEX]

Mà nó thì luôn đúng theo [TEX]AM-GM[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX]\sum{\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}}\ge \sqrt{3}[/TEX]
với a,b,c>0

 

[lamanhnt]

xin được chỉ giáo

cho [tex]a,b\geq0, a^2+b^2+ab=3[/tex]
tìm GTLN< GTNN của biểu thức [tex]P=a^4+b^4+2ab-a^5b^5[/tex]
2, giả sử x,y z là các số thực thỏa mãn: [tex]x+y+z=6[/tex]. CMR:
[tex]8^x+8^y+8^z\geq4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}[/tex]
3, cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện [tex]a+b+c=sqrt{3}[/tex]
tìm GTNN của [tex]P=sqrt{a^2+ab+b^2}+sqrt{b^2+bc+c^2}+sqrt{c^2+ac+a^2}[/tex]

 

[rua_it]

cho [tex]a,b\geq0, a^2+b^2+ab=3[/tex]
tìm GTLN< GTNN của biểu thức [tex]P=a^4+b^4+2ab-a^5b^5[/tex]
[tex]P=sqrt{a^2+ab+b^2}+sqrt{b^2+bc+c^2}+sqrt{c^2+ac+a^2}[/tex]

[tex](gt)\Rightarrow 3=ab+a^2+b^2 \geq 2ab \Rightarrow ab \leq \frac{3}{2}[/tex]

[tex]a^4+b^4=(a^2)^2+(b^2)^2=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(3-ab)^2-2a^2b^2[/tex]

[tex]\Rightarrow P=a^4+b^4+2ab-a^5b^5=(3-t)^2-2t^2+2t-t^5(0 \leq t \leq \frac{3}{2})[/tex]

[tex]\mathrm{Xet:f(t)=-t^5-t^2-4t+9(0 \leq t \leq \frac{3}{2})[/tex]

Khảo sát f(t) dễ dàng tìm min max.