[Nhóm tự học] Lượng giác

[king_wang.bbang]

bài tiếp theo

$\sqrt{5+sin^23x} = sinx+2cosx$

Ta có

$\sqrt {5 + {{\sin }^2}3x} \ge \sqrt 5$

Đẳng thức xảy ra khi

$\sin 3x = 0$ hay $3\sin x - 4{\sin ^3}x = 0$

Áp dụng BĐT Bunnhiacopski cho vế sau:

$\sin x + 2\cos x \le \sqrt {\left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} $

\Leftrightarrow $ \sin x + 2\cos x \le \sqrt 5 $

Đẳng thức xảy ra khi

$\frac{{\sin x}}{1} = \frac{{\cos x}}{2}$

Phương trình đã cho thỏa mãn khi:

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {5 + {{\sin }^2}3x} = \sqrt 5 \\\sin x + 2\cos x = \sqrt 5
\end{array} \right.$

\Leftrightarrow $ \left\{ \begin{array}{l}\sin x\left( {3 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 0\\ \sin x = \frac{{\cos x}}{2}\end{array} \right.$

Dễ thấy PT đã cho vô nghiệm

 

[delta_epsilon]

Đóng góp cho topic một vài bài để mọi người làm chơi, chờ bài tập mới về

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ĐỐI VỚI MỘT SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
$\bullet$ Chú ý cách giải, điều kiện có nghiệm.
1) $$2cos^2x-3cosx+1=0$$
2) $$cos^2x+sinx+1=0$$
3) $$2cos2x-4cosx=1$$
4) $$5tan^3x+7tan^2x+3tanx+1=0$$

 

[delta_epsilon]

Ta có

$\sqrt {5 + {{\sin }^2}3x} \ge 5$

Bạn quên dấu căn rồi kìa, phải là:
$$\sqrt {5 + {{\sin }^2}3x} \ge \sqrt{5}$$
mới đúng

 

[pro0o]

Bài 1:

$$2cos^2x - 3cosx + 1 = 0$$

Đặt t = cosx , |t| \leq 1.

Pt trở thành:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

<=> t = 1 hoặc $t = \dfrac{1}{2}$

Với t = 1 thì $cosx = 1 <=> x = k2\pi$

Với $t = \dfrac{1}{2}$ thì $cosx = \dfrac{1}{2}$

$<=> x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$

 

[pro0o]

Bài 2:

$$cos^2 + sinx + 1 = 0$$


$cos^2 + sinx + 1 = 0$

$<=> 1- sin^2x + sinx + 1 = 0$

$<=> sin^2x - sinx - 2 = 0$

Đặt t = sinx, |t| \leq 1

Pt trở thành: $t^2 - t - 2 = 0$

<=> t = -1 hoặc t = 2 (loại)

Với t = - 1 thì $sinx = -1 <=> x = \dfrac{-\pi}{2} + k2\pi$

 

[pro0o]

Bài 3:

$$2cos2x - 4cosx = 1$$


$2cos2x - 4cosx = 1$

$<=> 2(2cos^2x - 1) - 4cosx - 1 = 0$

$<=> 4cos^2x - 4cosx - 3 = 0$

Đặt t.....

 

[pro0o]

Bài 4:

$$5tan^3x + 7tan^2x + tanx + 1 = 0$$

Cái này bấm máy giải pt bậc 3 được không nhỉ ???

Hay là giải bằng cách biến đổi $tan^3x$ ?

$tan^3x = \dfrac{(3-tan^2x)tanx}{1 - 3tan^2x}$

 

[delta_epsilon]

Bài 4:

$$5tan^3x + 7tan^2x + tanx + 1 = 0$$

Cái này bấm máy giải pt bậc 3 được không nhỉ ???

Hay là giải bằng cách biến đổi $tan^3x$ ?

$tan^3x = \dfrac{(3-tan^2x)tanx}{1 - 3tan^2x}$

Chú ý các hệ số của phương trình đi bạn
Phương trình này có nghiệm đẹp mà

 

[nguoianhtinhthan]

Bài 4:

$$5tan^3x + 7tan^2x + tanx + 1 = 0$$

Cái này bấm máy giải pt bậc 3 được không nhỉ ???

Hay là giải bằng cách biến đổi $tan^3x$ ?

$tan^3x = \dfrac{(3-tan^2x)tanx}{1 - 3tan^2x}$

Đặt $u=\tan x$ phương trình trở thành:
$5u^3+7u^2+3u+1=0$ (1)
Ta có: $-a+b-c+d=-5+7-3+1=0$ \Rightarrow $u=-1$ là nghiệm của phương trình.
(1) \Leftrightarrow $(u+1)(5u^2+2u+1)=0$
Bạn chứng minh $5u^2+2u+1>0$ với mọi m để chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất là -1.
$\tan x = -1$ \Leftrightarrow $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

 

[pro0o]

Đặt $u=\tan x$ phương trình trở thành:
$5u^3+7u^2+3u+1=0$ (1)
Ta có: $-a+b-c+d=-5+7-3+1=0$ \Rightarrow $u=-1$ là nghiệm của phương trình.
(1) \Leftrightarrow $(u+1)(5u^2+2u+1)=0$
Bạn chứng minh $5u^2+2u+1>0$ với mọi m để chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất là -1.
$\tan x = -1$ \Leftrightarrow $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

Làm thế nào để viết được cái này?

(1) \Leftrightarrow $(u+1)(5u^2+2u+1)=0$


Dùng sơ đồ hoocne hả bạn? :-?

 

[nguoianhtinhthan]

Làm thế nào để viết được cái này?

(1) \Leftrightarrow $(u+1)(5u^2+2u+1)=0$


Dùng sơ đồ hoocne hả bạn? :-?

Đúng rồi, chia $5u^3+7u^2+3u+1$ cho $u+1$ sẽ được $5u^2+2u+1$
$5u^2+2u+1$ có biệt thức < 0 và a = 5 > 0
nên luôn dương với mọi u
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất u = -1.

 

[delta_epsilon]

Đúng rồi, chia $5u^3+7u^2+3u+1$ cho $u-1$ sẽ được $5u^2+2u+1$
$5u^2+2u+1$ có biệt thức < 0 và a = 5 > 0
nên luôn dương với mọi u
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất u = -1.

Chia cho $u+1$ chứ bạn
lại nhầm dấu nữa rồi.
Trong khi chờ có bài mới các bạn làm tạm 2 bài tập của mình nhé

 

[delta_epsilon]

Giải các phương trình lượng giác sau:
1) $$2sinx-2cosx=\sqrt{2}$$
p.s: không được áp dụng hệ quả $sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x+\dfrac{\pi}{4})$
2) $$3sinx+4cosx=5$$
p.s: giải đầy đủ các bước để làm mẫu cho các bài tương tự về sau.

 

[nguoianhtinhthan]

Giải các phương trình lượng giác sau:
1) $$2sinx-2cosx=\sqrt{2}$$
p.s: không được áp dụng hệ quả $sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x+\dfrac{\pi}{4})$

$2sinx-2cosx=\sqrt{2}$
\Leftrightarrow $sinx-cosx=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow $1-2sinxcosx=\dfrac{1}{2}$
\Leftrightarrow $sin2x=\dfrac{1}{2}$
\Leftrightarrow ...

p.s: bài giải không hề áp dụng hệ quả đó nhé

 

[vitconvuitinh]

2) $$3sinx+4cosx=5$$
p.s: giải đầy đủ các bước để làm mẫu cho các bài tương tự về sau.[/QUOTE]

Chia 2 vế cho 5 ta có:
PT \Leftrightarrow[TEX]\frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1[/TEX]
Đặt [TEX]a=arcsin\frac{3}{5}[/TEX] ta có: [TEX]cosa=\frac{4}{5}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sinxsina+coxcosa=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]cos(x-a)=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x-a=k2\pi[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]x=a+k2\pi[/TEX]

 

[nguoianhtinhthan]

Giải các phương trình lượng giác sau:
2) $$3sinx+4cosx=5$$
p.s: giải đầy đủ các bước để làm mẫu cho các bài tương tự về sau.

$\begin{array}{l}
3\sin x + 4\cos x = 5\\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\sin x + \dfrac{4}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\cos x = \dfrac{5}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x + \dfrac{4}{5}\cos x = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sin a = \dfrac{3}{5}\\
\cos a = \dfrac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \sin a\sin x + \cos a\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos (x - a) = 1\\
\Leftrightarrow x = a + k2\pi ,a = \arcsin (\dfrac{3}{5})
\end{array}$

 

[nguoianhtinhthan]

$\begin{array}{l}
1)\sin \left( {2x + \dfrac{{9\pi }}{2}} \right) - 3\cos \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = 1 + 2\sin x\\
2)3\sin (x + 1) + 4\cos (x + 1) = 5\\
3){\sin ^2}(x + 1).\cos 3x + {\cos ^2}x.\sin 3x = 2
\end{array}$

 

[delta_epsilon]

Bài 2:

Bài 2:
\[\begin{array}{l}
3\sin \left( {x + 1} \right) + 4\cos \left( {x + 1} \right) = 5\\
\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\sin \left( {x + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\cos \left( {x + 1} \right) = \frac{5}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\\
\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin \left( {x + 1} \right) + \frac{4}{5}\cos \left( {x + 1} \right) = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sin a = \frac{3}{5}\\
\cos a = \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \sin a\sin \left( {x + 1} \right) + \cos a\cos \left( {x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + 1 - a} \right) = 1\\
\Leftrightarrow x = a - 1 + k2\pi ,a = \arcsin \left( {\frac{3}{5}} \right)
\end{array}\]

 

[delta_epsilon]

Bài 1:
\[\begin{array}{l}
\sin \left( {2x + \dfrac{{9\pi }}{2}} \right) - 3\cos \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = 1 + 2\sin x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2} + 4\pi } \right) - 3\cos \left( {\pi + x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1 + 2\sin x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + 3\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1 + 2\sin x\\
\Leftrightarrow \cos 2x + 3\sin x = 1 + 2\sin x\\
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x = 1\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\]

 

[king_wang.bbang]

Làm thế nào để viết được cái này?

(1) \Leftrightarrow $(u+1)(5u^2+2u+1)=0$


Dùng sơ đồ hoocne hả bạn? :-?

Bạn thích dùng hoocne hoặc chia đa thức đều được cả