Toán 9 [LỚp 9] Bất đẳng thức phương pháp làm trội

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có :
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2[/tex]
Bài 2: Với mọi n thuộc N, [tex]n\geq 3[/tex] . Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}[/tex]

 

[ankhongu]

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có :
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2[/tex]
Bài 2: Với mọi n thuộc N, [tex]n\geq 3[/tex] . Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}[/tex]

1.
Áp dụng : [tex]\frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} = (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})(1 + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}) < 2(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})[/tex]

2.
Áp dụng : [tex]2n + 1 = n + ( n + 1) > 2\sqrt{n(n + 1)}[/tex] (Cosi nhưng không xảy ra dấu bằng)
Có [tex]\frac{1}{(2n + 1)(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2n + 1} < \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{2\sqrt{n(n + 1)}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

Chưa chắc đâu nhưng cứ thử đi

 

[Sư tử lạnh lùng]

1.
Áp dụng : [tex]\frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} = (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})(1 + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}) < 2(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})[/tex]

2.
Áp dụng : [tex]2n + 1 = n + ( n + 1) > 2\sqrt{n(n + 1)}[/tex] (Cosi nhưng không xảy ra dấu bằng)
Có [tex]\frac{1}{(2n + 1)(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2n + 1} < \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{2\sqrt{n(n + 1)}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

Chưa chắc đâu nhưng cứ thử đi

Cảm ơn bạn nha, bạn giỏi quá!