Toán $\color{Blue}{\fbox{TOÁN 9} \text{Ôn thi học kì II+ Ôn thi vào lớp 10.}}$

[duchieu300699]

Đề của letsmile đại khái gần xong nên mình đăng 1 bài làm hao tổn nhiều sức lực của mình lên cho mọi người cùng làm. Bài này trong violympic đó

$ \left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2=0\\16a^2+ab^2-b=0 \end{matrix}\right.$​

Tìm nghiệm hữu tỉ khác 0. Hết.

forum vào làm thử đi

 

[letsmile519]

Đề của letsmile đại khái gần xong nên mình đăng 1 bài làm hao tổn nhiều sức lực của mình lên cho mọi người cùng làm. Bài này trong violympic đó

$ \left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2\\16a^2+ab^2-b=0 \end{matrix}\right.$​

Tìm nghiệm hữu tỉ khác 0. Hết.

Thôi mềnh chém luôn sai các bác sửa , à à...forum_ k được ném phi lao đâu ná!!

\Leftrightarrow $$\left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2\\16a^2b+ab^3-b^2=0 \end{matrix}\right.$$

Công 2 pt lại có

$$12a+20a^2b+ab^3=0$$

Vì a,b khác 0

\Rightarrow $$12+20ba+b^3=0$$

\Leftrightarrow $$a=\frac{-12-b^3}{20b}$$

Thay vào pt 2 của hệ đầu nhé!

\Rightarrow $$16.\frac{(b^3+12)^2}{400b^2}+b(-12-b^3)-b=0$$

\Leftrightarrow $$\frac{(b^3+12)^2}{25b^2}-13b-b^4=0$$

\Leftrightarrow $$b^6+24b^3+144-13.25b^3-25b^6=0$$

Sau đó đặt $b^3=x$ và gải tìm x theo pt bậc 2 => tìm đk b<=> tìm được a

 

[lonton12]

Cho mình hỏi tại sao: $a^3$ + $b^3$ \geq $ \frac{a^3 + b^3}{4}$

Còn đề dưới giúp mình bài 3c và 4d với
Cảm ơn nhé!

ĐỀ TIẾP THEO NHÉ

Bài 1:
a,Rút gọn BT:

$A=(\dfrac{3}{x-3\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}).\dfrac{x-9}{\sqrt{x}}$ với x>0;x khác 9

b,CMR: $\sqrt{5}(\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+2})=10$

Bài 2: a,Cho PT: ${x^2}-2({m^2}+1)x+2{m^2}-1=0$
Tìm các GT nguyên của m để PT có 2 nghiệm dương pb $x_1;x_2$ và $P=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ nguyên

b,Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn PT:

${x^4}+{x^2}-{y^2}+y+4=0$

Bài 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng (d): y=(k-1)x+4 (k là tham số) và (P): $y={x^2}$
a,Khi k=-2,tim tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b,CMR:với mọi k thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb
c,Gọi $y_1;y_2$ là tung độ các giao điểm của (d) và (P).Tìm k sao cho $y_1+y_2=y_1.y_2$

Bài 4:Cho tam giác ABC nhọn,nội tiếp đường tròn (O;R), có đường cao $AH=\sqrt{2}$.Gọi D;E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và CA.CMR:
a,góc BAH=góc DEH
b,Tam giác ADE đ.dạng với tam giác ACB
c,AO vuông góc với DE
d,Diện tích tam giác ADE = diện tích tứ giác BCED

Bài 5:Cho a;b;c là các số thực k âm tm: a+b+c=3
CMR:
${(a-1)^3}+{(b-1)^3}+{(c-1)^3}$ \geq $\dfrac{-3}{4}$

 

[eye_smile]

3c,Tự mình làm đề mình vậy)
Với mọi giá trị của k, (d) cắt (P) tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn:
$x_1+x_2=k-1$
$x_1.x_2=-4$
Khi đó $y_1={x_1^2};y_2={x_2^2}$
\Rightarrow $y_1+y_2=y_1.y_2$ \Leftrightarrow ${x_1^2}+{x_2^2}={x_1^2}.{x_2^2}$
\Leftrightarrow ${(x_1+x_2)^2}-2x_1.x_2={(x_1.x_2)^2}$
\Leftrightarrow ${(k-1)^2}+8=16$
\Leftrightarrow $k=1+2\sqrt{2}$ hoặc $k=1-2\sqrt{2}$

 

[eye_smile]

4d,Hướng dẫn:
Kẻ đường kính AOF
C/m tam giác ADH đ.dạng với tam giác ACF
\Rightarrow $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Tam giác ADE đ.dạng với tam giác ACB
\Rightarrow $\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}={(\dfrac{AD}{AC})^2}= \dfrac{1}{2}$
\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

Do $3({a^3}+{b^3})$ \geq 0
\Leftrightarrow $4({a^3}+{b^3})$ \geq ${a^3}+{b^3}$
\Leftrightarrow ${a^3}+{b^3}$ \geq $\dfrac{{a^3}+{b^3}}{4}$

 

[eye_smile]

1b,tìm bộ ba số nguyên tố liên tiếp(p;q;r) sao cho p²+q²+r² cũng là số nguyên tố

Trong 3 số p;q;r phải có 1 số chia hết cho 3 vì nếu cả 3 số đều k chia hết cho 3 thì bình phương của mỗi số đều chia 3 dư 1
\Rightarrow tổng 3 bình phương chia hết cho 3 (ktm)
Mà 3 số đều nguyên tố nên số chia hết cho 3 đó là 3
+TH1:3;5;7 \Rightarrow ${3^2}+{5^2}+{7^2}$ nguyên tố --->tm
+TH2:2;3;5 \Rightarrow ${2^2}+{3^2}+{5^2}$ là hợp số --->ktm
-->3 số cần tìm là 3;5;7

 

[forum_]

Đề của letsmile đại khái gần xong nên mình đăng 1 bài làm hao tổn nhiều sức lực của mình lên cho mọi người cùng làm. Bài này trong violympic đó

$ \left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2\\16a^2+ab^2-b=0 \end{matrix}\right.$​

Tìm nghiệm hữu tỉ khác 0. Hết.

Hứ, forum làm thử à ??? Có mấy ngày ko lên thôi mà trên này nói xấu khiếp :|

Bài trong Violympic cấp QG chứ gì ? )

Hao tổn nỗi gì ? ).Bài này mà có nghiệm đẹp đẹp là làm 3 dòng thôi......Nghiệm xấu xấu thì làm cách to to 1 tí nhưng cũng ko thành vấn đề =)).

Tau định làm nhưng đề ko rõ ràng ) Cái pt(1) đao đao sao ấy , = gì ?? Up lại đề xử cho

@letsmile519: Ú.....ù ..........=)) ......). Em có dám ném bác đâu !!!! ...

Nhưng mà em phát hiện ra lỗi này

Thôi mềnh chém luôn sai các bác sửa , à à...forum_ k được ném phi lao đâu ná!!

\Leftrightarrow $$\left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2\\16a^2b+ab^3-b^2=0 \end{matrix}\right.$$

Công 2 pt lại có

$$12a+20a^2b+ab^3=0$$

Vì a,b khác 0

\Rightarrow $$12+20ba+b^3=0$$

\Leftrightarrow $$a=\frac{-12-b^3}{20b}$$

Thay vào pt 2 của hệ đầu nhé!

\Rightarrow $$16.\frac{(b^3+12)^2}{400b^2}+b(-12-b^3)-b=0$$

\Leftrightarrow $$\frac{(b^3+12)^2}{25b^2}-13b-b^4=0$$

\Leftrightarrow $$b^6+24b^3+144-13.25b^3-25b^6=0$$

Sau đó đặt $b^3=x$ và gải tìm x theo pt bậc 2 => tìm đk b<=> tìm được a

p/s: dạo này chắc ko on đc, 2 bác nói hộ phó nhóm cho em kiếu 1 thời gian . Mấy ngày nay kiểm tra trên lớp ngập đầu luông :-S

 

[duchieu300699]

Vào thi mà làm kiểu giống bác letsmile thì ...xong
Còn forum nghiệm bài này khá đẹp đấy (-0,5 với 2)
Thêm bài nữa mấy bác làm luôn nha

Tổng các nghiệm $x$ của Pt: $2x^6+y^2-2x^3y-320=0$. (Nhớ x $\in$ R nghen)

Mấy bác làm không ra thì tớ post kq lên cho. Đều chắc không đâu

 

[forum_]

Vào thi mà làm kiểu giống bác letsmile thì ...xong
Còn forum nghiệm bài này khá đẹp đấy (-0,5 với 2)
Thêm bài nữa mấy bác làm luôn nha

Tổng các nghiệm $x$ của Pt: $2x^6+y^2-2x^3y-320=0$. (Nhớ x $\in$ R nghen)

ú .......ù .................hú hú )

Đầu tiên đôi nét giới thiệu, đây là đề thi hsg tỉnh Thanh Hóa năm ngoái thì phải ="=

$2x^6+y^2-2x^3y-320=0$

\Leftrightarrow $(x^6+y^2-2x^3y)+x^6=320$

\Leftrightarrow $(x^3-y)^2+(x^3)^2=320$

Nhìn ra rồi nhỉ . Hiếu này, tau nghĩ x thuộc N chớ thuộc R thì làm đến khi nào cho xong ?

OK, bài hệ nghiệm đẹp thì đơn giản rồi nhưng h đi học , khi nào rảnh up )

Còn nữa, đi thi mà làm đc như letsmile519 là tốt rồi :|. chê bai cái nỗi gì :|:|

Há há =)) http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/117939-cho-pt-2x6y2-2x3y-3200/

Bài 3 mà mi hỏi trong này chuyển vế, dùng Cô-si.

 

[duchieu300699]

x thuộc R nó mới khổ chứ nghiệm nguyên thì khỏe hung Biết kq =0 là được (Đề bữa đi thi tỉnh đó)
3 bài nớ bữa làm chưa được đăng lên có ai giải đâu, bơ phải tự giải đó (.
Còn bài 3 là $\frac{1}{27}$ đó Nô :-SS

Chê bai đâu chỉ là vào thi vio mà mi làm thế khác gì tự sát, ra thi viết tê, hiểu chửa :khi (36):

 

[trungthinh.99]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2008^2+2009^2}<\frac{1}{2}$ câu này là của đề tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008-2009

$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2006^2}+\frac{1}{2007^2}}$ là số hữu tỉ. Câu này của đề tuyển sinh vào lớp 10 của THPT-TH Cao Nguyên năm 2006-2007.

Mời các bác bơi vào mà chém.

 

[trungthinh.99]

Cái này không = thật nhé!!!

VT xấp xỉ 0,6381858209.....

VP xấp xỉ 0,56......

Không biết đề của ai, "kết quả ra sao, cách làm thế nào ~ ... " nhưng mà mình thấy VT=VP mà

Đây nè.

Đấy! mình thấy nó = nhau mà. Đó chỉ là "bình luận" cái = nhau thôi nhé chứ mình k bik chứng minh nhá.

 

[soicon_boy_9x]

Chứng minh đẳng thức : $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{9}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{9}} + \sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}$

$\leftrightarrow \sqrt[3]{2}-1=\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}
{9}+3\dfrac{(1-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(1+\sqrt[3]{4})}{9}$

$\leftrightarrow \sqrt[3]{2}-1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{(1-\sqrt[3]
{2})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(1+\sqrt[3]{4})}{3}(1)$

Đặt $\sqrt[3]{2}=x$

$(1) \rightarrow x-1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{(1-x)(x^2-x)(1+x^2)}{3}$

$\leftrightarrow 3x-3=1+(1-x)(x^2-x)(1+x^2)$

$\leftrightarrow 3x-3=1-x(x-1)^2(x^2+1)$

$\leftrightarrow 3x-3=1-(x^3-2x^2+x)(x^2+1)$

$\leftrightarrow 3x-3=1-x^5+2x^4-x^3-x^3+2x^2-x$

$\leftrightarrow x^5-2x^4+2x^3-2x^2+4x-4=0$

$\leftrightarrow (x^5-2x^2)-(2x^4-4x)+(2x^3-4)=0$

$\leftrightarrow (x^2-2x+2)(x^3-2)=0(*)$

Với $x=\sqrt[3]{2}$ thì $(8)$ luôn đúng

Vậy ta có dpcm

 

[forum_]

x thuộc R nó mới khổ chứ nghiệm nguyên thì khỏe hung Biết kq =0 là được (Đề bữa đi thi tỉnh đó)
3 bài nớ bữa làm chưa được đăng lên có ai giải đâu, bơ phải tự giải đó (.
Còn bài 3 là $\frac{1}{27}$ đó Nô :-SS

Ừ, đúng rồi $\dfrac{1}{27}$

Còn bài hpt tau nghĩ thế này chắc đẹp )

$ \left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2=0 (1) \\16a^2+ab^2-b=0 (2) \end{matrix}\right.$

Từ pt(1) => $12a=-b^2-4a^2b$ (3)

Từ pt(2) => $-b=-16a^2-ab^2$ (4)

pt(1) + pt(2):

$12a+4a^2b+b^2+0 +16a^2+ab^2-b=0$

\Leftrightarrow $b^2+2.4a.b+16a^2-8ab+12a+4a^2b+ab^2-b=0$

\Leftrightarrow $(b+4a)^2 + (4a^2b+ab^2) + 12a-8ab-b=0$ (5)

Thay (3),(4) vào (5) đc:

$(b+4a)^2 + (4a^2b+ab^2) -b^2-4a^2b -8ab-16a^2-ab^2=0$

\Leftrightarrow $(b+4a)^2 + (4a^2b+ab^2) -(4a^2b+ab^2)-(8ab+32a^2)-(b^2-16a^2)=0$

\Leftrightarrow $-8a(b+4a)=0$

Vì a khác 0 nên b + 4a = 0 \Leftrightarrow b = -4a

Thay vào pt (1) or pt(2) , dễ dàng tìm a,b

Cách 2:

Nhân 4 vào PT(1) rút $16a^2= b-ab^2$ ở PT(2) thay vào PT(1) ta có: $48a+5b^2-ab^3=0$ (*)

Lại rút ở PT(1): $b^2=-12a-4a^2b$ thay vào PT (*) rút gọn , ta có: $12+20ab+b^3=0$

Suy ra đc hệ:

$ \left\{\begin{matrix} 12a+4a^2b+b^2=0 (1) \\ 12+20ab+b^3 = 0 (3) \end{matrix}\right.$

Nhân PT(3) - b.PT(1) có: $-a^2b^2 + 2ab+3=0$

Tìm đc ab = -1 hoặc ab = 3

Đến đây đơn giản

 

[trungthinh.99]

$\leftrightarrow \sqrt[3]{2}-1=\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}
{9}+3\dfrac{(1-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(1+\sqrt[3]{4})}{9}$

$\leftrightarrow \sqrt[3]{2}-1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{(1-\sqrt[3]
{2})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(1+\sqrt[3]{4})}{3}(1)$

Đặt $\sqrt[3]{2}=x$

$(1) \rightarrow x-1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{(1-x)(x^2-x)(1+x^2)}{3}$

$\leftrightarrow 3x-3=1+(1-x)(x^2-x)(1+x^2)$

$\leftrightarrow 3x-3=1-x(x-1)^2(x^2+1)$

$\leftrightarrow 3x-3=1-(x^3-2x^2+x)(x^2+1)$

$\leftrightarrow 3x-3=1-x^5+2x^4-x^3-x^3+2x^2-x$

$\leftrightarrow x^5-2x^4+2x^3-2x^2+4x-4=0$
$\leftrightarrow (x^5-2x^2)-(2x^4-4x)+(2x^3-4)=0$

$\leftrightarrow (x^2-2x+2)(x^3-2)=0(*)$

Với $x=\sqrt[3]{2}$ thì $(8)$ luôn đúng

Vậy ta có dpcm

Đúng quá rồi còn gì... Chứng mình hay đấy.

 

[congchuaanhsang]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2008^2+2009^2}<\frac{1}{2}$ câu này là của đề tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008-2009

$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2006^2}+\frac{1}{2007^2}}$ là số hữu tỉ. Câu này của đề tuyển sinh vào lớp 10 của THPT-TH Cao Nguyên năm 2006-2007.

Mời các bác bơi vào mà chém.

Xét dạng tổng quát: $\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}$ (n $\in$ $N^*$)

=$\sqrt{\dfrac{n^2(n+1)^2+n^2+(n+1)^2}{[n(n+1)]^2}}$=$\sqrt{\dfrac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}}$

=$\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\dfrac{1}{n(n+1)}=1+ \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$

Thay vào là được

 

[congchuaanhsang]

Cho mình hỏi tại sao: $a^3$ + $b^3$ \geq $ \frac{a^3 + b^3}{4}$

Mình nghĩ có lẽ ý bạn là $a^3+b^3$ \geq $\dfrac{(a+b)^3}{4}$ (a+b>0)

Nếu là thế thì cm như sau:

Có $a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$ (biến đổi tương đương là ra)

\Leftrightarrow $3(a^3+b^3)$ \geq $3ab(a+b)$

\Leftrightarrow $4(a^3+b^3)$ \geq $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3$

\Leftrightarrow $a^3+b^3$ \geq $\dfrac{(a+b)^3}{4}$

 

[congchuaanhsang]

ú .......ù .................hú hú )

Đầu tiên đôi nét giới thiệu, đây là đề thi hsg tỉnh Thanh Hóa năm ngoái thì phải ="=

$2x^6+y^2-2x^3y-320=0$

\Leftrightarrow $(x^6+y^2-2x^3y)+x^6=320$

\Leftrightarrow $(x^3-y)^2+(x^3)^2=320$

Nhìn ra rồi nhỉ . Hiếu này, tau nghĩ x thuộc N chớ thuộc R thì làm đến khi nào cho xong ?

OK, bài hệ nghiệm đẹp thì đơn giản rồi nhưng h đi học , khi nào rảnh up )

Còn nữa, đi thi mà làm đc như letsmile519 là tốt rồi :|. chê bai cái nỗi gì :|:|

Há há =)) http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/117939-cho-pt-2x6y2-2x3y-3200/

Bài 3 mà mi hỏi trong này chuyển vế, dùng Cô-si.

Nhầm to!
Đề thi hsg tỉnh Thanh Hóa năm ngoái làm gì có câu này!
Chỉ có đề thi năm 2010-2011 có câu tìm nghiệm nguyên của:
$2x^6+y^2-2x^3y=64$
Vì đây là tìm nghiệm nguyên nên phân tích thành tổng 2 bp như chị forum_ sẽ ra ngay
@duchieu: Bài đó ở đâu vậy? Có thể là x $\in$ Z chứ nếu là R thì có vẻ hơi bất khả thi

 

[duchieu300699]

Nhầm to!
Đề thi hsg tỉnh Thanh Hóa năm ngoái làm gì có câu này!
Chỉ có đề thi năm 2010-2011 có câu tìm nghiệm nguyên của:
$2x^6+y^2-2x^3y=64$
Vì đây là tìm nghiệm nguyên nên phân tích thành tổng 2 bp như chị forum_ sẽ ra ngay
@duchieu: Bài đó ở đâu vậy? Có thể là x $\in$ Z chứ nếu là R thì có vẻ hơi bất khả thi

Đề thi vio tỉnh đấy. Bài con ếch kq=0. Lúc vào thi mềng cũng làm theo thuộc Z thì =0. Còn đề nó bảo thuộc R