[Chuyên đề]PT, HPT,BPT : mũ,logarit

[kimxakiem2507]

giải phương trình và bất phương trình
c, [TEX]log_3(x^2+x+1)=-x^2+2x+log_3x[/TEX]

[TEX]pt\Leftrightarrow{\left{log_3\frac{x^2+x+1}{x}=-x^2+2x\\x>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{log_3[1+x+\frac{1}{x}]=1-(x-1)^2\\x>0[/TEX][TEX]\ \ \ (1)[/TEX]
[TEX]x+\frac{1}{x}\ge2\Rightarrow{log_3[1+x+\frac{1}{x}]\ge1(2)[/TEX]
[TEX]1-(x-1)^2\le1(3)[/TEX]
[TEX](1)(2)(3)\Rightarrow{pt\Leftrightarrow{x=1[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

Tìm m để bất phương trình: [tex]5^{2x} - 5^{x+1} - 2m5^x + m^2 + 5m > 0[/tex] thỏa với mọi số thực x.

[TEX]t=5^x,x\in{R\Rightarrow{t>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{t^2-(5+2m)t+m^2+5m>0\[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[t<m\\t>m+5[/TEX]
[TEX]YCBT\Leftrightarrow{t^2-(5+2m)t+m^2+5m>0\ \ \forall{t>0[/TEX][TEX]\ \ \Leftrightarrow{m\le{-5[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Giải phương trình:

[tex]log_2(cosx+1)=2cosx [/tex] .

 

[ivory]

Giải phương trình:

[tex]log_2(cosx+1)=2cosx [/tex] .

kí hiệu [TEX]cosx=t. vs t\in (-1;1][/TEX]. Ta có phương trình:
[TEX]log_2(1+t)=2t\leftrigh i(t)=ln(1+t)-tln4=0.[/TEX]

p/s : lân` sau giải chi tiết hơn nữa nkz

 

[keosuabeo_93]

[TEX]2^{3x} - 6.2^x-\frac{1}{2^{3(x-1)} }+\frac{12}{2^x}=1[/TEX]
...................................
...........................................

 

[lagrange]

[TEX]2^{3x} - 6.2^x-\frac{1}{2^{3(x-1)} }+\frac{12}{2^x}=1[/TEX]
...................................
...........................................

đặt [tex]t=2^x[/tex] [tex]t>0[/tex]
ta có:
[tex]t^3-6t-\frac{8}{t^3}+\frac{12}{t}=1[/tex]
[tex]<=>(t^3-\frac{8}{t^3})-6(t-\frac{2}{t})-1=0[/tex]
[tex]<=>(t-\frac{2}{t})[(t-\frac{2}{t})^2+6]-6(t-\frac{2}{t})-1=0[/tex]
đặt [tex]y=t-\frac{2}{t}[/tex]
[tex]=>y^3-1=0=>y=1<=>t-\frac{2}{t}=1<=>t^2-t-2=0<=>t=2<=>x=1[/tex]

 

[ivory]

kí hiệu [TEX]cosx=t. vs t\in (-1;1][/TEX]. Ta có phương trình:
[TEX]log_2(1+t)=2t\leftrigh i(t)=ln(1+t)-tln4=0(1).[/TEX]

[TEX]i"(t)=-\frac{1}{(1+t)^2}\le 0[/TEX] suy ra (1) có không quá hai nghiệm.
mặt khác [TEX]i(0)=i(-0.5)=0[/TEX]. Vậy [TEX]cosx=1[/TEX] hoặc [TEX]cosx=-0.5[/TEX]
Tìm được [TEX]x=\frac{\pi}{2}+k\pi; x=\alpha\frac{2\pi}{3}+m2\pi,\alpha\in<-1;1> [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Giải phương trình"

[tex]2^{\sqrt{1-x^2}+3sinx}-2^{\sqrt{1-x^2}+4sin^3x}=13sin3x [/tex]

 

[ivory]

Giải phương trình"

[tex]2^{\sqrt{1-x^2}+3sinx}-2^{\sqrt{1-x^2}+4sin^3x}=13sin3x [/tex]

*Thừa nhận định lí Lagrange.( la-gơ-răng)
ĐKXD:[TEX]x\in [-1;1].[/TEX]
*Kí hiệu [TEX]\sqrt{1-x^2}+3sinx=a, \sqrt{1-x^2}+4sin^3x=b.[/TEX]Phương trình trở thành:
[TEX]2^a-2^b=13(a-b)(1).[/TEX].
Theo định lí Lagrange, tồn tại số [TEX]c\in (a;b)[/TEX]hoặc [TEX]c\in (b;a)[/TEX] sao cho
[TEX]2^a-2^b=(a-b)2^cln2.[/TEX]Kết hợp với (1) ta được [TEX]a=b[/TEX] hoặc [TEX]2^c=\frac{13}{ln2}[/TEX]hay [TEX]c=log_2\frac{13}{ln2}>4.[/TEX]
Nếu [TEX]a=b[/TEX] thì [TEX]3sinx=4sin^3x[/TEX] dẫn đến [TEX]x=0.[/TEX]
Nhận thấy rằng [TEX]a<4;b<4[/TEX]nên không xảy ra trường hợp còn lại.
Đáp số [TEX]x=0.[/TEX]
_________________________
Nếu không nhắc đến định lí Lagrange thì có thể vận dụng kết quả của bài toán 47,
trang 176, SGK Giải Tích 12 Nâng Cao.

 

[phamduyquoc0906]

*Một bài hay!
Định [TEX]m [/TEX]để hệ phương trình sau có nghiệm:
[TEX]\left{m\sqrt{x^2+1}=y+2-m\\e^{x^2-y^2}=\frac{y^2+1}{x^2+1}[/TEX]

 

[ivory]

*Một bài hay!
Định [TEX]m [/TEX]để hệ phương trình sau có nghiệm:
[TEX]\left{m\sqrt{x^2+1}=y+2-m(1)\\e^{x^2-y^2}=\frac{y^2+1}{x^2+1}(2)[/TEX]

Từ (2) ta có[TEX]x^2-y^2=ln(y^2+1)-ln(x^2+1)\leftrigh (x^2+1)-(y^2+1)=ln(y^2+1)-ln(x^2+1).[/TEX]
Đặt [TEX]c(t)=t+lnt (t\ge 1)[/TEX] thì phương trình trên có dạng [TEX]c(x^2+1)=c(y^2+1)[/TEX].
[TEX]c'(t)=1+\frac{1}{t}> 0.[/TEX] Suy ra hàm số c(t) đồng biến trên [TEX][1;+\infty)[/TEX].Vậy [TEX]x^2+1=y^2+1\leftrigh \left[x=y\\x=-y[/TEX]

 

[silvery21]

tiếp

a; [TEX]log_2 ( x^2 +x+1) + log_2 ( x^2 - x +1) = log_2 ( x^4 +x^2 +1) + log_2 ( x^4 -x^2 +1) [/TEX]

b; [TEX]3 log_3 ( 1+sqrt{x} + \sqrt[3]{x}) = 2 log_2 sqrt{x}[/TEX]

c,[TEX]\sqrt{{5}^{x}-1}+{5}^{x}-3\geq \sqrt{{5}^{2x+{log}_{5}2}-2.{5}^{x+1}+16}[/TEX]

d,[TEX]{3}^{\sqrt{2(x-1)}+1}-{3}^{x}\leq {x}^{2}-4x+3[/TEX]

e,[TEX]\left|{log}_{3}(2{cos}^{2}x) \right|+\left|{log}_{3}(2{sin}^{2}x )\right|<1[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

tiếp

a; [TEX]log_2 ( x^2 +x+1) + log_2 ( x^2 - x +1) = log_2 ( x^4 +x^2 +1) + log_2 ( x^4 -x^2 +1) [/TEX]

[TEX]1/pt\Leftrightarrow{(x^2+x+1)(x^2-x+1)=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)[/TEX]
Xét hàm[TEX] f(t)=(t^2+t+1)(t^2-t+1)(1)(t\in{R})[/TEX]
[TEX]f^'(t)=2t(2t^2+1)\Rightarrow{f^'(t)=0 \Leftrightarrow{t=0[/TEX]
Lập [TEX]BBT[/TEX] và nhận xét [TEX]f(t)[/TEX] là hàm chẵn do [TEX]f(t)=f(-t)[/TEX]
[TEX](1)\Rightarrow{f(x)=f(x^2)\Rightarrow{\left[x^2=x\\x^2=-x[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[x=0\\x=1\\x=-1[/TEX]

b; [TEX]3 log_2 ( 1+sqrt{x} + \sqrt[3]{x}) = 2 log_2 sqrt{x}[/TEX]

[TEX]3 log_2 ( 1+sqrt{x} + \sqrt[3]{x}) = 2 log_2 sqrt{x}=6t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{\left{\sqrt{x}=2^{3t}\\1+2^{3t}+2^t=2^{2t}[/TEX]
Đến đây giải ra t rồi ra x nhưng bài này chắc bạn viết nhầm đề nhỉ.Theo mình nghĩ phải là thế này mới hợp lý

[TEX]3 log_3 ( 1+sqrt{x} - \sqrt[3]{x}) = 2 log_2 sqrt{x}[/TEX]

Để có [TEX] t=0[/TEX] và có được [TEX]x=1[/TEX]

Sao bạn post bài giống nhau nhiều chỗ quá vậy?Bạn ra xoá mấy bài ở ngoài đi bạn

 

[phamduyquoc0906]

*Một bài hay!
Định [TEX]m [/TEX]để hệ phương trình sau có nghiệm:
[TEX]\left{m\sqrt{x^2+1}=y+2-m\\e^{x^2-y^2}=\frac{y^2+1}{x^2+1}[/TEX]

Bài này phương trình dười giải được [TEX]\left[x=y\\x=-y[/TEX]

Khi đưa lên phương trình trên giải thế nào ,mình giải tiếp thấy không ổn,các bạn giúp với.Bài này cái khó nhất là ở chỗ này

 

[silvery21]

tiếp :

a; [TEX]2^{ x+1} + 3 ^{ x+1} - x^2 ( ln2 + \frac{3}{2} ln 3 ) - 5 =0[/TEX]

b; [TEX]2^{ x-1} - 2 ^{ x^2- x } = ( x- 1)^2[/TEX]

c; [TEX]5 ^{ x^2 + 2m x + 2} - 5 ^{2x^2 + 4m x + m+2 } = x^2 + 2m x + m[/TEX]

d; [TEX]log _ 3 (\frac{ x^2 +x+3 }{2 x^2 + 4x+5 }) = x ^2 + 3x +2[/TEX]

e; [TEX]3^{x^2} = cos x[/TEX]

 

[ivory]

Bài này phương trình dười giải được [TEX]\left[x=y\\x=-y[/TEX]

Khi đưa lên phương trình trên giải thế nào ,mình giải tiếp thấy không ổn,các bạn giúp với.Bài này cái khó nhất là ở chỗ này

Thay [TEX]x^2=y^2[/TEX] vào phương trình đầu ta được
[TEX]m(1+\sqrt{1+y^2})=y+2(1)[/TEX].
Hệ phương trình có nghiệm chỉ khi (1) có nghiệm [TEX]y\in R.[/TEX]
Nhận xét: với [TEX]t\in (-1;1)[/TEX] thì biểu thức [TEX]\frac{2t}{1-t^2}[/TEX] nhận giá trị tuỳ ý thuộc [TEX]R.[/TEX]
Vậy có thể đặt [TEX]y=\frac{2t}{1-t^2} (t\in (-1;1)).[/TEX] Thay vào (1) thu được:
[TEX]m=-t^2+t+1.[/TEX]
Tìm được [TEX]m\in (-1;\frac{5}{4}].[/TEX]
___________
* Bạn có thể khảo sát hàm [TEX]\frac{2+y}{1+\sqrt{1+y^2}}.[/TEX]
*Cách đặt như trên có thể xuất phát từ cách đặt [TEX]y=tanu, u\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).[/TEX]

 

[713075]

cho mình hỏi bài này ,o biêt dã có trong này chưa
[TEX]{log_2{x}}^2-log_3{[x^{log_3{x}-2}]=1[/TEX]

 

[vivietnam]

cho mình hỏi bài này ,o biêt dã có trong này chưa
[TEX]{log_2{x}}^2-log_3{[x^{log_3{x}-2}]=1[/TEX]

pt\Leftrightarrow[TEX]log_2x^2-log_3(\frac{x^{log_3x}}{x^2})=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]log_2x^2-log_3(x^{log_3x})-log_3x^2=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]log_2x^2-log_3{x^2}-(log_3x)^2-1=0[/TEX]
đặt [TEX]log_3x=t \Rightarrow x=3^t[/TEX] \Rightarrowphương trình thành [TEX]2.t.log_23-2t-t^2-1=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]t^2+2.(1-log_23)t+1=0[/TEX]
đến đây có lẽ đã được

 

[vivietnam]

b; [TEX]2^{ x-1} - 2 ^{ x^2- x } = ( x- 1)^2[/TEX]

pt\Leftrightarrow[TEX]2^{x-1}-2^{x^2-x}=(x^2-x)-(x-1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2^{x-1}+(x-1)=2^{x^2-x}+(x^2-x)[/TEX]
xét hàm số [TEX]y=2^a+a[/TEX]
có [TEX]y'=2^a.ln2+1 >0[/TEX]\Rightarrowhàm số này đồng biến \Rightarrow[TEX]y(x-1)=y(x^2-x)[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]x-1=x^2-x[/TEX] \Leftrightarrowx=1

d; [TEX]log _ 3 (\frac{ x^2 +x+3 }{2 x^2 + 4x+5 }) = x ^2 + 3x +2[/TEX]

tương tự câu b
pt\Leftrightarrow[TEX]log_3(x^2+x+3)-log_3(2x^2+4x+5)=(2x^2+4x+5)-(x^2+x+3)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]log_3(x^2+x+3)+(x^2+x+3)=log_3(2x^2+4x+5)+(2x^2+4x+5)[/TEX]
xét hàm số [TEX]y=log_3a+a[/TEX]có [TEX]y'=\frac{1}{a.ln3}+1 >0[/TEX]\Rightarrowhàm số này đồng biến trên TXĐ \Rightarrow[TEX]y(x^2+x+3)=y(2x^2+4x+5)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+x+3=2x^2+4x+5[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+3x+2=0[/TEX]\Leftrightarrowx=-1 hoặc x=-2

 

[vivietnam]

c; [TEX]5 ^{ x^2 + 2m x + 2} - 5 ^{2x^2 + 4m x + m+2 } = x^2 + 2m x + m[/TEX]

không khác ji 2 câu trên
pt\Leftrightarrow[TEX]5^{x^2+2mx+2}-5^{2x^2+4mx+m+2}=(2x^2+4mx+m+2)-(x^2+2mx+2)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]5^{x^2+2mx+2}+(x^2+2mx+2)=5^{2x^2+4mx+m+2}+(2x^2+4mx+m+2)[/TEX]
xét hàm số y=..........................
ta cũng có y'>0
\Rightarrowphương trình có nghiệm \Leftrightarrow[TEX]x^2+2mx+2=2x^2+4mx+m+2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+2mx+m=0[/TEX]

e; [TEX]3^{x^2} = cos x[/TEX]

ta có vì [TEX]x^2 \geq0 \Rightarrow 3^{x^2}\geq3^0=1[/TEX] với mọi x
\Rightarrow VT \geq 1
mà cosx\leq1 \Rightarrow VP \leq 1
\Rightarrowphương trình có nghiệm \Leftrightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} 3^{x^2} = 1 \\ cosx=1 \end{array} \right.[/tex]
\Leftrightarrowx=0