H
H
huynhbachkhoa23
Đề: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc+5\ge 3(a+b+c)$$
Lời giải:
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Đồng bậc hóa trước, ta quy về bậc 2 để dễ dàng cho tính toán:
$$abc+abc+1 \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}=\dfrac{3abc}{\sqrt[3]{abc}} \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}\\
6(a+b+c)=2.3.(a+b+c) \le 9+(a+b+c)^2$$
Cuối cùng theo BDT Schur ta có:
$$LHS-RHS \ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}-2(ab+bc+ca) \ge 0$$
$$a^2+b^2+c^2+abc+5\ge 3(a+b+c)$$
Lời giải:
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Đồng bậc hóa trước, ta quy về bậc 2 để dễ dàng cho tính toán:
$$abc+abc+1 \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}=\dfrac{3abc}{\sqrt[3]{abc}} \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}\\
6(a+b+c)=2.3.(a+b+c) \le 9+(a+b+c)^2$$
Cuối cùng theo BDT Schur ta có:
$$LHS-RHS \ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}-2(ab+bc+ca) \ge 0$$
H
huynhbachkhoa23
Đề: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 4$$
Dễ thế này mà làm mất cả trưa của bố -_-
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}} +\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 4$$
$$\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 4$$
Dễ thế này mà làm mất cả trưa của bố -_-
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}} +\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 4$$
H
huynhbachkhoa23
Tiếp:
Bài toán 1: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^4+b^4+b^4}{ab+bc+ca}+\dfrac{3abc}{a+b+c} \ge \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$$
Bài toán 2: Giả sử ta có các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx>0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+ \dfrac{16(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2} \ge 8$$
Bài toán 1: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^4+b^4+b^4}{ab+bc+ca}+\dfrac{3abc}{a+b+c} \ge \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$$
Bài toán 2: Giả sử ta có các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx>0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+ \dfrac{16(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2} \ge 8$$
Last edited by a moderator:
M
minhhieupy2000
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.
Chứng minh: $\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a} \le \dfra
$
Chứng minh: $\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a} \le \dfra
$
H
huynhbachkhoa23
Bất đẳng thức tương đương với:Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.
Chứng minh: $\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a} \le \dfra
$$\dfrac{ab+bc+ca}{2}-LHS \ge \dfrac{ab+bc+ca}{2}-RHS \leftrightarrow \sum \dfrac{ab^2}{2a+b} \ge \dfrac{ab+bc+ca-3}{2}$$
$$LHS >0 \ge RHS$$
Thế là ếu nào.
H
huynhbachkhoa23
Chắc đề bài này là $\sum\limits_{cyc} \dfrac{a^2b}{2a+b} \le 1$ thì làm như sau.
Bất đẳng thức tương đương với:
$$\sum\limits_{cyc} \dfrac{ab^2}{2a+b} \ge ab+bc+ca-2$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum\limits_{cyc} \dfrac{ab^2}{2a+b} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}$$
Vì vậy mà ta cần chứng minh:
$$\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca} \ge ab+bc+ca-2 \leftrightarrow 4(ab+bc+ca-3)^2 \ge 0\;\;\text{(True)}$$
Hoàn tất chứng minh.
Bất đẳng thức tương đương với:
$$\sum\limits_{cyc} \dfrac{ab^2}{2a+b} \ge ab+bc+ca-2$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum\limits_{cyc} \dfrac{ab^2}{2a+b} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}$$
Vì vậy mà ta cần chứng minh:
$$\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca} \ge ab+bc+ca-2 \leftrightarrow 4(ab+bc+ca-3)^2 \ge 0\;\;\text{(True)}$$
Hoàn tất chứng minh.
M
minhhieupy2000
H
huynhbachkhoa23
M
minhhieupy2000
Kiểm tra rồi bác nhé , không sai =)) =)) =)) =)) =)) mà LHS vs RHS là gì vậy bác khoa :|Bác viết sai thì có)
H
huynhbachkhoa23
Trang mấy để em kiểm tra lại.
$\text{LHS=Left Hand Side}$
$\text{RHS=Right Hans Side}$
H
huynhbachkhoa23
Cho các số không âm $a,b,c$ có tổng bằng $2$. Chứng minh:
$$\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3}+\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a} \le 2$$
Bài này trong sách AM-GM, nhưng em chỉ cần 3 dòng để giải, không cần dài dòng như trong sách của thầy Cẩn. Đang chờ người nào đó mò ra cách mà ngắn hơn 3 dòng)
$$\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3}+\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a} \le 2$$
Bài này trong sách AM-GM, nhưng em chỉ cần 3 dòng để giải, không cần dài dòng như trong sách của thầy Cẩn. Đang chờ người nào đó mò ra cách mà ngắn hơn 3 dòng
)
H
huynhbachkhoa23
Gợi ý:
Bài toán 1:
Dùng định lý S.O.S chứng minh:
$$\dfrac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}-2(a^2+b^2+c^2) \ge a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)$$
Sau đó quy về chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c} \ge 2(ab+bc+ca)$$
Bất đẳng thức này luôn đúng theo bất đẳng thức Schur bậc 3.
Bài toán 2:
Giả sử $x\ge y\ge z$ và đặt $f(x,y,z)=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+ \dfrac{16(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}$ cho tiện.
Chứng minh $f(x,y,z)\ge f(x,y+z,0)$
Sau đó chuẩn hóa $x+y+z=1$ rồi dùng biến đổi tương đương chứng minh $f(x,1-x,0)\ge 8$
Quá dễ phải không
|
M
minhhieupy2000
H
huynhbachkhoa23
Vậy chắc thầy Cẩn ghi sai gì đó rồi. Lời giải của em vẫn đúng thì chắc chắn thầy sai.
T
transformers123
Đề: Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$$
Tiếc là em chưa có đáp án =))
$$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$$
Tiếc là em chưa có đáp án =))
H
huynhbachkhoa23
Bài Đề: Đặt $S=\sum\limits_{sym} \dfrac{x}{y} \ge 6$ với $(x,y,z)=\left(\dfrac{a}{b}, \dfrac{b}{c}, \dfrac{c}{a}\right)$
Bất đẳng thức tương đương với
$$\sqrt{S+3}\ge 1+ \sqrt[3]{2+S}$$
Bất đẳng thức một biến thì quá dễ.
Nhầm đôi chút.
Bất đẳng thức tương đương với
$$\sqrt{S+3}\ge 1+ \sqrt[3]{2+S}$$
Bất đẳng thức một biến thì quá dễ.
Nhầm đôi chút.
Last edited by a moderator:
H
huynhbachkhoa23
Ta có thể đặt thêm $t=\sqrt[3]{S+2} \ge 2$. Chứng minh quy về:
$$\sqrt{t^3+1} \ge 1+t \leftrightarrow \sqrt{t^2-t+1} \ge \sqrt{t+1} \leftrightarrow t(t-2) \ge 0$$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng.
H
huynhbachkhoa23
Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$ thì $bc(b^2+c^2-3ab-3ac)\le 0$Cho các số không âm $a,b,c$ có tổng bằng $2$. Chứng minh:
$$\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3}+\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a} \le 2$$
Bài này trong sách AM-GM, nhưng em chỉ cần 3 dòng để giải, không cần dài dòng như trong sách của thầy Cẩn. Đang chờ người nào đó mò ra cách mà ngắn hơn 3 dòng
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và kết quả ở trên:
$$LHS \le \sqrt{2\sum ab(a^2+b^2)} \le \sqrt{2a(b+c)\left[a^2+(b+c)^2\right]} \le \dfrac{(a+b+c)^2}{2}=2$$
H
huynhbachkhoa23
Bài toán: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{b+c}{a^2+bc}+\dfrac{c+a}{b^2+ca}+\dfrac{a+b}{c^2+ab}$$
Bổ đề: Nếu $a\ge b\ge c $ và $ x,y,z\ge 0$ thỏa $z\ge y$ hoặc $x\ge y$ thì $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b) \ge 0$
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{b+c}{a^2+bc}+\dfrac{c+a}{b^2+ca}+\dfrac{a+b}{c^2+ab}$$
Bổ đề: Nếu $a\ge b\ge c $ và $ x,y,z\ge 0$ thỏa $z\ge y$ hoặc $x\ge y$ thì $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b) \ge 0$