[Chuyên đề] Lượng giác (ver.2)

[niemkieuloveahbu]

Bài 78: [TEX]cos( \frac{ \pi}{4}+2x)cos( \frac{ \pi}{4}-2x)+sin^2x(cos2x+1)= \frac{ \pi}{4}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos{\frac{\pi}{2}}+cos4x+(1-cos2x)(1+cos2x)=\frac{\pi}{2}\\\Leftrightarrow cos4x+sin^22x=\frac{\pi}{2}\\ \Leftrightarrow cos4x=\pi-1[/TEX]

\Rightarrow VN

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 80: [TEX]sin^3x(1+cotx)+cos^3x(1+tanx)= \sqrt{2sin2x}[/TEX]

[TEX]Dk : sinx,cosx > 0[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow sin^2x(sinx+cosx)+cos^2x(sinx+cosx)=\sqrt{2sin2x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (sinx+cosx)^2=2sin2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1+sin2x=2sin2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin2x=1[/TEX]

...........................

Bài 81: [TEX]5cosx+sinx-3= \sqrt{2}sin(2x+ \frac{ \pi}{4})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 5cosx+sinx-3=sin2x+cos2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 5cosx+sinx-3=2sinxcosx+2cos^2x-1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2cosx-1)(cosx-2)+sinx(2cosx-1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2cosx-1)(cosx+sinx-2)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[2cosx-1=0\\cosx+sinx-2=0[/TEX]

 

[dandoh221]

Bài 79: [TEX]cos2x+2cosx+sinx=cosx(cos2x-sin2x)[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow (cosx-sinx)(cosx+sinx) + sinx + cosx = cosx(cos2x-1-sin2x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (cosx-sinx)(cosx+sinx) + sinx + cosx = -2cosx.sinx(sinx+cosx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (sinx + cosx)( cosx-sinx + 1 + 2cosx.sinx) = 0[/TEX]



Các bạn trình bày lời giải như thế này cho mình để dễ tổng hợp nhé

 

[destinyx4]

Bài 82[TEX]{cos2x-\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})+2}=(sin{\frac{x}{2}}-cos{\frac{x}{2}})^2[/TEX]
Bài 83:[TEX]sin(3x-\frac{\pi }{4})=sin2xsin(x+\frac{\pi }{4})[/TEX]
Bài 84:[TEX]4cos^2x-4cos2xcos^2-6sinxcosx+1=0[/TEX]
Bài 85[TEX]:\sqrt{sinx}+sinx+sin^2x+cosx=1[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 76
ĐK: [TEX]cos{\frac{x}{2}}\neq 0[/TEX]
[TEX]tan\frac{x}{2}cosx+sin2x=0\\ \Leftrightarrow 2sinxcosx+cosxtan\frac{x}{2}=0[/TEX]

PT tích,

 

[matnatinhyeu_1995]

Bài 85:

ĐK:[TEX]sinx\geq0[/TEX]

pt\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{sinx}+cosx+sinx-cos^2x=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](\sqrt{sinx}+cosx)(1+\sqrt{sinx}-cosx)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{\sqrt{sinx}+cosx=0}\\{1+\sqrt{sinx}-cosx = 0}[/TEX]

_TH1:[TEX]\sqrt{sinx}+cosx=0 [/TEX]tthay vào pt ban đầu ta được

[TEX]sin^2x+sinx-1=0\Leftrightarrow.....;)[/TEX]

_TH2:[TEX]1+\sqrt{sinx}-cosx = 0\Leftrightarrow 1+\sqrt{sinx}=cosx[/TEX]

Xét VT\geq1,VP\leq1 nên dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]\left\{ \begin{array}{l} sinx=0 \\ cosx=1 \end{array} \right[/TEX]

\Rightarrow........

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 82[TEX]{cos2x-\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})+2}=(sin{\frac{x}{2}}-cos{\frac{x}{2}})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos2x-sinx-cosx+2=1-sinx\\ \Leftrightarrow 2cos^2x-cosx=0[/TEX]

Bài 83:[TEX]sin(3x-\frac{\pi }{4})=sin2xsin(x+\frac{\pi }{4})[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow sin(3x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}cos(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}cos(3x+\frac{\pi}{4})\\\Leftrightarrow sin(3x-\frac{\pi}{4})=cos(x-\frac{\pi}{4})[/TEX]

Bài 84:[TEX]4cos^2x-4cos2xcos^2x-6sinxcosx+1=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4cos^2x(1-cos2x)-3sin2x+1=0\\ \Leftrightarrow 2sin^22x-3sin2x+1=0[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 86: [TEX] \sqrt{3}sin(3x- \frac{ \pi}{5})+2sin(8x- \frac{ \pi}{3})=2sin(2x+ \frac{11 \pi}{15})+3cos(3x- \frac{ \pi}{5})[/TEX]

Bài 87: [TEX]sin^2( \frac{x}{2}- \frac{ \pi}{4})+cos(x- \frac{ \pi}{6})= \frac{1}{8}(sin3x+sinx)(1+tan^2x)[/TEX]

Bài 88: [TEX] \frac{sin2x}{sinx+cosx}+ \frac{1}{ \sqrt{2}tanx}=2cosx[/TEX]

Bài 89: [TEX] \frac{sin^2x}{tan( \frac{ \pi}{4}+x)tan( \frac{ \pi}{4}-x)}=(7cos^2x-3)cotx[/TEX]

Bài 90: [TEX]2(1+cosx)(1+cot^2x)= \frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

 

[matnatinhyeu_1995]

Bài 91: [TEX]6sinx +10cosx-4cos^2x-sin2x-6=0[/TEX]

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 90: [TEX]2(1+cosx)(1+cot^2x)= \frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

[TEX]<=> 2(1+cosx)\frac{1}{sin^2x}=\frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

[TEX] <=>2(1+cosx)(sinx+cosx)=(sinx-1)(1-cos^2x)[/TEX]

[TEX] <=>(1+cosx)[2sinx+2cosx-sinx-cosx+sinxcosx+1]=0[/TEX]

[TEX]<=> (1+cosx)(sinx+cosx+sinxcosx+1)=0[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Nợ đáp án chuẩn bài 63,giờ post bù nhé,,sr vì sự chậm chễ này,tại tớ mải chém gió quá,.

Bài 63:

Giải phương trình:

[TEX]cosx \sqrt{\frac{1}{cosx}-1}+cos3x\sqrt{\frac{1}{cos3x}-1}=1[/TEX]

DK: [TEX]cosx>0,cos3x>0[/TEX]

Từ đó

[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt{cosx-cos^2x}+\sqrt{cos3x-cos^23x}=1[/TEX]

Áp dụng Cauchy,ta có:

[TEX]cosx-cos^2x=cosx(1-cosx)\leq [\frac{cosx+(1-cosx)}{2}]^2=\frac{1}{4}\\ \Rightarrow \sqrt{cosx-cos^2x} \leq \frac{1}{2}[/TEX]

Tương tự ta có:

[TEX]\Rightarrow \sqrt{cos3x-cos^23x}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{cosx-cos^2x}+\sqrt{cos3x-cos^23x} \leq 1[/TEX]

Dấu "=" xảy ra : [TEX]\Leftrightarrow \{cosx=\frac{1}{2}\\cos3x=\frac{1}{2}[/TEX]

Dấn tới PT vô nghiệm.

 

[ngocthao1995]

Bài 90: [TEX]2(1+cosx)(1+cot^2x)= \frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

Đk...
PT [TEX]\Leftrightarrow \frac{2(1+cosx)}{sin^2x}=\frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2}{1-cosx}=\frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2sinx+2cosx=(sinx-1)(1-cosx)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinx+cosx+sinxcosx+1=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinx(1+cosx)+(1+cosx)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (sinx+1)(cosx+1)=0[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 86: [TEX] \sqrt{3}sin(3x- \frac{ \pi}{5})+2sin(8x- \frac{ \pi}{3})=2sin(2x+ \frac{11 \pi}{15})+3cos(3x- \frac{ \pi}{5})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{3}[\frac{1}{2}sin(3x-\frac{\pi}{5})-\frac{\sqrt{3}}{2}cos(3x-\frac{\pi}{5})]=sin(2x+\frac{11\pi}{15})-sin(8x-\frac{\pi}{3})\\\Leftrightarrow \sqrt{3}sin(3x-\frac{8\pi}{15})=-2cos(5x+\frac{\pi}{5})sin(3x-\frac{8\pi}{15})[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Tớ mới lập pic giới hạn,mọi người vô cùng thảo luận nhé,
[Chuyên đề] Giới hạn

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 89: [TEX] \frac{sin^2x}{tan( \frac{ \pi}{4}+x)tan( \frac{ \pi}{4}-x)}=(7cos^2x-3)cotx[/TEX]

ĐK: [TEX]\{cos2x \neq 0\\sinx\neq 0[/TEX]

Nhận thấy:

[TEX]tan( \frac{ \pi}{4}+x)tan( \frac{ \pi}{4}-x) =1\\ PT \Leftrightarrow sin^2x=(7cos^2x-3).\frac{cosx}{sinx}\\\Leftrightarrow sin^3x-7cos^3x+3cosx=0[/TEX]

\Rightarrow Đẳng cấp bậc 3 sinx,cosx

Bài 90: [TEX]2(1+cosx)(1+cot^2x)= \frac{sinx-1}{sinx+cosx}[/TEX]

ĐK: [TEX]\{sinx \neq 0\\sinx+cosx\neq 0[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 2(1+cosx).\frac{1}{sin^2x}=\frac{sinx-1}{sinx+cosx}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{1-cosx}=\frac{sinx-1}{sinx+cosx}\\\Leftrightarrow (sinx+1)(cosx+1)=0[/TEX]

 

[ngocthao1995]

Bài 88: [TEX] \frac{sin2x}{sinx+cosx}+ \frac{1}{ \sqrt{2}tanx}=2cosx[/TEX]

Đk...

PT [TEX]\Leftrightarrow \frac{sin2x}{sinx+cosx}+\frac{cosx}{\sqrt{2}sinx}=2cosx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2sinxcosx}{sinx+cosx}+\frac{cosx}{\sqrt{2}sinx}=2cosx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{2}sin^2xcosx+cos^2x+sinxcosx=2\sqrt{2}cosxsinx(sinx+cosx)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos^2x+sinxcosx=2\sqrt{2}cos^2xsinx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cosx(cosx+sinx-2\sqrt{2}sinxcosx)=0[/TEX]

.......

Bài 87: [TEX]sin^2( \frac{x}{2}- \frac{ \pi}{4})+cos(x- \frac{ \pi}{6})= \frac{1}{8}(sin3x+sinx)(1+tan^2x)[/TEX]

Đk....

Ta có [TEX] \frac{1}{8}(sin3x+sinx)(1+tan^2x)=\frac{1}{8}.2sin2xcosx.\frac{1}{cos^2x}=\frac{{1}}{{2}}sinx[/TEX]
PT
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1-sinx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx = \frac{1}{2}sinx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1-sinx+\sqrt{3}cosx=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{3}cosx-sinx=-1[/TEX]

......

 

[tuyn]

Bài 92: [TEX]sin4x+sin3x+cosx=4sinx+2[/TEX]

Bài 93: [TEX] \frac{cos^3x-cos^2x}{sinx+cosx}=2(1+sinx)[/TEX]

Bài 94: [TEX]1+sin2x=2(cotx-cot2x)[/TEX]

Bài 95: [TEX] \frac{1+cosx}{sinx}=2sinx+2 \sqrt{3}cosx- \sqrt{3}[/TEX]

Bài 96: [TEX]3sin^4x+2cos^23x+cos3x=3cos^4x-cosx+1[/TEX]

 

[heartrock_159]

Bài 91: [TEX]6sinx +10cosx-4cos^2x-sin2x-6=0 (a)[/TEX]

Bài này khá thú vị: ^^
[TEX](a) \Leftrightarrow -4cos^2x+cos(10-2sinx) + (6sinx -6)=0 (b)[/TEX]

TA XEM ĐÂY LÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI COS:

[TEX](b)\Rightarrow \Delta = (10-2sinx)^2 +16(6sinx-6) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Delta = (2sinx-14)^2[/TEX]

VẬY [TEX] \Delta \geq 0[/TEX] NÊN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Tìm cosx(1) và cosx(2) như tìm nghiệm của phương trình bậc hai đối vối x vậy ^^
OK RỒI NHÉ................................

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 93: [TEX] \frac{cos^3x-cos^2x}{sinx+cosx}=2(1+sinx)[/TEX]

ĐK: [TEX]sinx+cosx \neq 0[/TEX]
Thấy ngay nhân tử chung 2 vế
[TEX]PT \Leftrightarrow \frac{(cosx-1)(1-sinx)(1+sinx)}{sinx+cosx}=2(1+sinx)[/TEX]
TH1: sinx =-1
TH2: [TEX]\frac{(cosx-1)(1-sinx)}{sinx+cosx}=2\\ \Leftrightarrow (sinx+1)(cosx+1) =0[/TEX]

Bài 94: [TEX]1+sin2x=2(cotx-cot2x)[/TEX]

ĐK: [TEX]sin2x \neq 0[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 1+sin2x=\frac{2}{sin2x}\\ \Leftrightarrow sin^22x+sin2x-2 =0[/TEX]

Bài 95: [TEX] \frac{1+cosx}{sinx}=2sinx+2 \sqrt{3}cosx- \sqrt{3}[/TEX]

ĐK: [TEX]sinx \neq 0[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 1+cosx=2sin^2x+2\sqrt{3}sinxcosx-\sqrt{3}sinx\\\Leftrightarrow \sqrt{3}sinx+cosx=\sqrt{3}sin2x-cos2x\\\Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi}{6})=sin(2x-\frac{\pi}{6})[/TEX]

Chém mấy bài rồi đi ngủ,=))

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 96: [TEX]3sin^4x+2cos^23x+cos3x=3cos^4x-cosx+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3(sin^4x-cos^4x)+2cos^23x-1+cos3x+cosx=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3(sin^2x-cos^2x)+cos6x+cos3x+cosx=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -3cos2x+cos6x+cos3x+cosx=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos6x-cos2x-2cos2x+cos3x+cosx=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -2sin4xsin2x-2cos2x+2cos2xcosx=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos2x(-2sin^22x-1+cosx)=0[/TEX]


...............................