[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[duynhana1]

Ko biết có trùng ko

Bài 1 này mình đã tham khảo được 1 lời giải rất hay

[TEX]DK x \ge - 1 [/TEX]
Ta có :
[TEX]\sqrt{1+x} + 1 \ge \sqrt{x+2} \\ \Rightarrow \sqrt{x^3+2} \ge \sqrt{(x+2)^3} \\ \Leftrightarrow x^3 + 2 \ge x^3 + 6x^2 + 12 x + 8 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6x^2 + 12 x + 6 \le 0 \\ \Leftrightarrow 6( x+1)^2 \le 0 [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x = -1 [/TEX]

Vậy phương trrình có nghiệm duy nhất [TEX]x=-1 [/TEX]

[TEX]2.\left{ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 \\ x+y-\sqrt{xy}=3 \right.[/TEX]

Đây là đề khảo sát đầu năm của trường mình. Cách làm tự nhiên nhất là rút và thế

[TEX]DK: x,y \ge 0 [/TEX]
[TEX](hpt) \Leftrightarrow x+y + 2 + 2 \sqrt{x+y+ xy + 1} = 16 \\ x+y = 3 + \sqrt{xy}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 5 + \sqrt{xy} + 2 \sqrt{xy + \sqrt{xy} + 4} = 16 (*)[/TEX]

[TEX]t = \sqrt{xy}[/TEX]
[TEX](*) \Leftrightarrow \left{ t \le 11 \\ t^2 - 22t + 121 = 4 t^2 + 4t + 16 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ t \le 11 \\ 3 t^2 + 26t -105 = 0 \right. \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow \sqrt{xy}= 3 [/TEX]

[TEX](hpt) \Leftrightarrow \left{ xy = 9\\ x+ y = 3+ 3 = 6 \right. \Leftrightarrow x=y=3[/TEX]

 

[2731994]

[TEX]DK x \ge - 1 [/TEX]
Ta có :
[TEX]\sqrt{1+x} + 1 \ge \sqrt{x+2} [/TEX]

bạn ơi cho mình hỏi, chỗ này sao có dc vậy bạn ???

Bình phương lên thì nó luôn đúng . Do ta dự đoán nó chỉ có 1 nghiệm là -1 nên làm vậy.

Dễ thấy pt chỉ có nghiệm duy nhất
Đặt
[TEX]x = \frac{1}{2}(d - \frac{1}{d})\\[/TEX]

bài này sao nhận xét dc là có 1 nghiệm duy nhất vậy bạn, và căn cứ để đặt x như vậy là j hả bạn

Do VT đồng biến, còn VP là 1 hằng số. Đặt thì để bạn ý trả lời :"> mình không biết

Nguyên văn bởi nhocngo976
[TEX]\left{\begin{x^2-y\sqrt{xy}=31 \\ y^2-x\sqrt{xy}=72[/TEX]

Nhân chéo đặt [TEX]\left{ a = \sqrt{x} \\ b =\sqrt{y} [/TEX]

nhân chéo thế nào đây bạn, giải cụ thể hơn đi bạn, ở cái pt 1 bạn kia viết sai là 32 chứ k phải 31

Nhân chéo ta đưa về được phương trình đồng bậc 3. Khi đó chia cho x^3 hay y^3 ta đưa về đưược phương trình bậc 6 nhưng chắc nghiệm đẹp :x

[tex]\left{\begin{ x^3-8x=y^3+2y \\x^2-3=3(y^2+1)[/tex]

[TEX]6 (x^3- y^3)=(8x+ 2y)(x^2- 3y^2)[/TEX]

mình k hiểu, bạn giải ra giúp tí

Cái này là phương trình đồng bậc chia cho x^3 hoặc y^3 thì ta đưa về pt bậc 3, 1 ẩn

 

[keropik]

bạn ơi cho mình hỏi, chỗ này sao có dc vậy bạn ???

Theo mình là

Bài 1 này mình đã tham khảo được 1 lời giải rất hay

Cách giải không tự nhiên lắm thì phải. :| Đây là cách duy nhất à?

Còn nhiều cách khác nhưng toàn kinh khủng hì hì. Giải như vậy do nhẩm được nghiệm -1. Dễ gì nghĩ ra bài như thế này ) nên có gặp cũng gặp lại bài này

 

[nguyentung2510]

[TEX]\sqrt[3]{x^2 -7x +8} +\sqrt[3]{x^2 -6x +7} - \sqrt[3]{2x^2 -13x -12} = 3[/TEX]

[TEX]\sqrt[3]{\frac{2x}{x+1}} +\sqrt[3]{\frac{1}{2} +\frac{1}{2x}}[/TEX]

Sửa đề bài 2 gấp

Tạm thế.

 

[duynhana1]

[TEX]\sqrt[3]{x^2 -7x +8} +\sqrt[3]{x^2 -6x +7} - \sqrt[3]{2x^2 -13x -12} = 3[/TEX]

[TEX]\sqrt[3]{\frac{2x}{x+1}} +\sqrt[3]{\frac{1}{2} +\frac{1}{2x}}[/TEX]

Tạm thế.

[TEX]\left{ a = x^2 -7x +8 \\ b=x^2 -6x +7 \right. [/TEX]

[TEX]\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 3 + \sqrt[3]{a + b - 27} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a+b + 3\sqrt[3]{ab} (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) = a+b + 9 \sqrt[3]{a + b - 27} ( 3 + \sqrt[3]{a + b - 27}) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 3 + \sqrt[3]{a + b - 27} =0 \\ \sqrt[3]{ab} = 3 [/TEX]

 

[nhocngo976]

2, [TEX]\left{\begin{ sinxcosy=sinz \\cosxsiny=cosz \\2003x+2004y=2005z^2[/TEX]

ai làm bài ni đi
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Giải pt [TEX]9x^6+(x^4+x^2+1)^2=18x^5[/TEX]

.............................

 

[quyenuy0241]

Ế ệ ề ê

[TEX]\left{3a^3+5b^3-2ab=6 \\ 2a^3+3b^3+3ab=8 \\ a,b>0[/TEX]

 

[minhkhac_94]

2, [TEX]\left{\begin{ sinxcosy=sinz \\cosxsiny=cosz \\2003x+2004y=2005z^2[/TEX]

[/IMG]

Từ (1) và (2)

Ta có BDT luôn đúng với mọi x,y :

Nên

Đẳng thức xảy ra khi :

Hoặc

Chia 2 vế cho \pi thì VT thuộc Z còn VP ko thuộc Z
Với Cac TH còn lại của (I) và của (Ii) thì đều vô nghiệm

 

[minhkhac_94]

[TEX]\sqrt[3]{x^2 -7x +8} +\sqrt[3]{x^2 -6x +7} - \sqrt[3]{2x^2 -13x -12} = 3[/TEX]

Đặt thế này có gọn hơn ko nhỉ

 

[duynhan1]

Giải pt [TEX]9x^6+(x^4+x^2+1)^2=18x^5[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow -9x^4 ( x^2 - 2x+1) = (x^4 + x^2+1)^2 - 9x^4 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow - 9x^4 (x-1)^2 = (x^2-1)^2(x^4+4x^2+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x=1 \\- 9x^4 =(x+1)^2(x^4+4x^2+1) (2)[/TEX]

Phương trình [TEX](2) [/TEX] vô nghiệm do:

• [TEX]VT \le 0 \ \ \ "=" \Leftrightarrow x= 0 [/TEX]
• [TEX]VP \ge 0 \ \ \ "=" \Leftrightarrow x=-1[/TEX]

[TEX]\Huge \fbox{KL : S=\{1\} }[/TEX]

 

[love_a1k36]

[TEX]\left{\sqrt{x+1} + \sqrt{y-1}=4 \\ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]\left{\sqrt{x+1} + \sqrt{y-1}=4 \\ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1} = 10 \\ \sqrt{x+6} - \sqrt{x+1} + \sqrt{y+4} - \sqrt{y-1} = 2 [/TEX]

[TEX]\left{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1} = 10 \\ \frac{1}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6}} +\frac{1}{ \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1}} = 2 [/TEX]

Dễ rồi nhỉ

 

[nhocngo976]

đề khảo sat ^^, giải cụ thể nhé , thanks


tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2011}+\|y+1\|=m \\ \|x|\sqrt{y^2+2y+2011}=\sqrt{2011-x^2}-m[/TEX]

 

[duynhan1]

đề khảo sat ^^, giải cụ thể nhé , thanks


tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2011}+\|y+1\|=m \\ \|x|\sqrt{y^2+2y+2011}=\sqrt{2011-x^2}-m[/TEX]

Đặt [TEX]z= y+1 [/TEX]. Ta có :
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2011}+\|z\|=m \\ \|x|\sqrt{z^2+2010}=\sqrt{2011-x^2}-m \right. (2)[/TEX]

Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất [TEX]\Leftrightarrow[/TEX]Hệ (2) có nghiệm duy nhất.

Ta có :
Nếu [TEX](x_o;z_o)[/TEX] là nghiệm của hệ (2) thì [TEX](x_o;-z_o); (-x_o;z_o); (-x_o;-z_o)[/TEX] cũng là nghiệm của hệ (2).

Điều kiện cần để hệ (2) có nghiệm duy nhất đó là : [TEX]\left{ x_o = 0 \\ z_o = 0[/TEX]. Thay vào hệ ta có :
[TEX]m= \sqrt{2011} [/TEX]

Điều kiện đủ :
Với [TEX]m = \sqrt{2011}[/TEX], ta có hệ ban đầu tương đương với :
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2011}+\|y+1\|=\sqrt{2011} (I)\\ \|x|\sqrt{y^2+2y+2011}=\sqrt{2011-x^2}-\sqrt{2011} (II)[/TEX]

Ta có :
[TEX]VT(I) \ge \sqrt{2011} =VP[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ x = 0 \\ y = - 1[/TEX]

Thay vào (II) thỏa .

Vậy với[TEX] m = \sqrt{2011} [/TEX]thì hệ có nghiệm duy nhất : [TEX](0;-1)[/TEX]

[tex] \Huge \fbox{ KL: \ m = \sqrt{2011} } [/tex]

Ôi trình bày

 

[hwngnp]

đề khảo sat ^^, giải cụ thể nhé , thanks


tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2011}+\|y+1\|=m \\ \|x|\sqrt{y^2+2y+2011}=\sqrt{2011-x^2}-m[/TEX]

Điều kiện cần

Giả sử (xo,yo) là nghiệm \Rightarrow [tex](-xo,-2-y0)[/tex] cũng là nghiệm

\Rightarrow nghiệm duy nhất [tex] \left{\begin{x0=-xo\\y0=-2-y0[/tex]


\Rightarrow[tex]x_o=0, y_o=-1[/tex]\Rightarrow[tex]m=\sqrt{2011}[/tex]

điều kiện đủ

với [tex]m=\sqrt{x^2+2011} [/tex]thì hệ

\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2011}+\|y+1\|=\sqrt{2011} \\ \|x|\sqrt{y^2+2y+2011}=\sqrt{2011-x^2}-\sqrt{2011}[/TEX]

ta có [tex]\sqrt{x^2+2011} \geq0[/tex]

[tex] \sqrt{y^2+2y+2011}\geq0[/tex]

\Rightarrow[TEX]\left{begin{|x|=0\\ \|y+1|=0[/TEX]

 

[nhocngo976]

gpt [TEX]\sqrt[3]{x-1}+ \sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{5x}[/TEX]
~~~~~~~~~ ~

 

[01263812493]

Bài này lớp 9 thì phải

gpt [TEX]\sqrt[3]{x-1}+ \sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{5x}[/TEX]
~~~~~~~~~ ~

 

[01263812493]

Nhờ mấy anh chị giúp :|
Giải phương trình:

 

[connguoivietnam]

[TEX]\frac{x^3}{\sqrt{4-x}}+x^2-4=0[/TEX]

ĐK [TEX]4 > x[/TEX]

[TEX]x^3+\sqrt{4-x}.(x^2-4)=0[/TEX]

[TEX]x^3=\sqrt{4-x}.(4-x^2)[/TEX]

[TEX]x^6=(4-x)(16-8x^2+x^4)[/TEX]

[TEX]x^6=64-32x^2+4x^4-16x+8x^3-x^5[/TEX]

Nếu không bổ sung sẽ Delete

 

[linh954]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1} = 10 \\ \sqrt{x+6} - \sqrt{x+1} + \sqrt{y+4} - \sqrt{y-1} = 2 [/TEX]

[TEX]\left{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1} = 10 \\ \frac{1}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6}} +\frac{1}{ \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1}} = 2 [/TEX]

hj, chỗ đó phải là 5 chứ
[TEX]\left{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1} = 10 \\ \frac{5}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6}} +\frac{5}{ \sqrt{y+4} + \sqrt{y-1}} = 2 [/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]\frac{x^3}{\sqrt{4-x}}+x^2-4=0[/TEX]

ĐK [TEX]4 > x[/TEX]

[TEX]x^3+\sqrt{4-x}.(x^2-4)=0[/TEX]

[TEX]x^3=\sqrt{4-x}.(4-x^2)[/TEX]

[TEX]x^6=(4-x)(16-8x^2+x^4)[/TEX]

[TEX]x^6=64-32x^2+4x^4-16x+8x^3-x^5[/TEX]

Em cũng ra thế này nhưng không tìm nghiệm được có ai giải cái phương trình bậc 6 này hok

 

[2731994]

Điều kiện cần

Giả sử (xo,yo) là nghiệm \Rightarrow [tex](-xo,-2-y0)[/tex] cũng là nghiệm

giải thích giúp chỗ này với
thanks nhiều
..........................................................................................................

Nếu thay y bởi -2-y thì hệ của ta không đổi