[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[mu_di_ghe]

[TEX]\huge \left{\begin{ sinx+siny+sinz=0 \\ sin^{2008}x+sin^{2010}y+sin^{2012}z=2[/TEX]

Để đó xử sau, chừ đang bí )

Đặt a,b, c cho gọn

[TEX]\left { a+b+c=0 \\ a^{2008}+b^{2010}+c^{2012}=2 \\ a,b,c \in [-1;1][/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 2 \Leftrightarrow (b+c)^2+b^2+c^2 \geq 2 \Leftrightarrow b^2+c^2+bc \geq 1 \ \ \ (1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b+c)^2-bc \geq 1 \Leftrightarrow bc\leq (b+c)^2-1 =a^2-1 \leq 0 \ \ \ (2)[/TEX]

Trường hợp 1 [TEX]bc=0[/TEX] dễ dàng suy ra nghiệm [TEX](1;0;-1) \ ; \ (1;-1;0) \ ; \ (-1;0;1) \ ; \ (-1;1;0)[/TEX]

Trường hợp 2 [TEX]bc<0[/TEX]. Không mất tổng quát [TEX]b>0 \ ; \ c <0[/TEX]

TH2.1 [TEX]\ \ \ b+c \geq 0 \Rightarrow 1\leq VT(1) = b^2+c(b+c)\leq b^2 \Leftrightarrow \left {b^2=1 \\ b+c=0[/TEX]

TH2.2 [TEX]\ \ \ b+c\leq 0 \Rightarrow 1 \leq VT(1)=c^2+b(b+c)\leq c^2 \Leftrightarrow \left {c^2=1 \\ b+c=0[/TEX]

Tóm lại hệ [TEX](a,b,c)[/TEX] có nghiệm [TEX](1;-1;0)[/TEX] và các chuyển vị của nó.
Từ đây có thể suy ra nghiêm [TEX](x,y,z)[/TEX] rồi

 

[duynhan1]

Đặt a,b, c cho gọn

[TEX]\left { a+b+c=0 \\ a^{2008}+b^{2010}+c^{2012}=2 \\ a,b,c \in [-1;1][/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 2 \Leftrightarrow bc \le a^2 - 1 \le 0 [/TEX]

Mượn ý tưởng của bài này

Ta chứng minh được : [TEX]\left{ ac \le 0 \\ ab \le 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow ab.bc.ca \le 0 \Leftrightarrow a^2.b^2.c^2 \le 0 \Leftrightarrow abc = 0[/TEX]

Không mất tính tổng quát giả sử : [TEX]a= 0 \Rightarrow b^{2010} + c^{2012} \le 2 [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ b = \pm 1 \\ c = \pm 1[/TEX]

Kết hợp [TEX]a+b+c=0 [/TEX] ta có các nghiệm là : [TEX](0;-1;1)[/TEX] và các hoán vị

Từ đó suy ra x,y,z

 

[01263812493]

a là cạnh huyền và b,c là 2 cạnh góc vuông, Tìm tất cả a,b,c thỏa:
[TEX]\blue \left{(b-2)(c-2)=2(a+2)\\ a,b,c \in Z[/TEX]

Bài này thi lớp chuyên em không biết làm sao :|

 

[nhocngo976]

[tex]\left{\begin{ x-\frac{1}{x^3}=y-\frac{1}{y^3} \\ (x-4y)(2x-y+4)=-36[/tex]

 

[lamtrang0708]

[TEX]\left{\begin{ x-\frac{1}{x^3}=y-\frac{1}{y^3} \\ (x-4y)(2x-y+4)=-36[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow x-y= \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}[/TEX]
[tex]\Leftrightarrow( x-y)(\frac{1}{xy}.(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+ \frac{1}{xy}) =0 [/TEX]
[tex]\Leftrightarrow x=y[/TEX]
(còn 1 cái bên trong cố CM nó #0)
thay vào pt 2 có
[TEX] -3x^2-12x+36=0[/TEX]
[TEX]\left[\begin{x=-6}\\{x=2} [/TEX]

 

[jkluio]

Giải phương trình: [TEX]\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}=4x^4 -3x^2 +5x[/TEX]

 

[duynhan1]

Giải phương trình: [TEX]\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}=4x^4 -3x^2 +5x[/TEX]

[TEX]DK : x \ge \frac38[/TEX]

[TEX]\sqrt{4x-1}.1 \le \frac{4x-1+1}{2} = 2x[/TEX]
[TEX]\sqrt[4]{8x-3}.1.1.1 \le \frac{8x-3+1+1+1}{4} = 2x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \le 4x (1) [/TEX]
Xét hiệu :
[TEX]( 4x^4 - 3x^2 + 5x) - 4x = x(x+1)(2x-1)^2 \ge 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4x^4 - 3x^2 + 5x \ge 4x[/TEX] hay [TEX]VP \ge 4x (2) [/TEX]

Từ (1) và (2) ta có : [TEX]VP \ge VT[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

[TEX]\left{ \sqrt{4x-1} = 1 \\ \sqrt[4]{8x-3} = 1 \\ x(x+1)(2x-1)^2 = 0 \right. \Leftrightarrow x = \frac12 \ (thoa) [/TEX]

 

[utit_9x]

[TEX]DK : x \ge \frac38[/TEX]

[TEX]\sqrt{4x-1}.1 \le \frac{4x-1+1}{2} = 2x[/TEX]
[TEX]\sqrt[4]{8x-3}.1.1.1 \le \frac{8x-3+1+1+1}{4} = 2x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \le 4x (1) [/TEX]
Xét hiệu :
[TEX]( 4x^4 - 3x^2 + 5x) - 4x = x(x+1)(2x-1)^2 \ge 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4x^4 - 3x^2 + 5x \ge 4x[/TEX] hay [TEX]VP \ge 4x (2) [/TEX]

Từ (1) và (2) ta có : [TEX]VP \ge VT[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

[TEX]\left{ \sqrt{4x-1} = 1 \\ \sqrt[4]{8x-3} = 1 \\ x(x+1)(2x-1)^2 = 0 \right. \Leftrightarrow x = \frac12 \ (thoa) [/TEX]

Bạn duynhan1 có cách nào giải bài này ứng dụng đạo hàm ko . Cách kia chắc đi thi ko nghĩ ra là móm

 

[duynhan1]

Bạn duynhan1 có cách nào giải bài này ứng dụng đạo hàm ko . Cách kia chắc đi thi ko nghĩ ra là móm

Nhìn vào điều kiện thì ta thấy cả 2 vế đều đồng biến nên mình nghĩ là sẽ không có cách để ứng dụng đạo hàm.

Hướng suy nghĩ của mình :
Lúc gặp bài này thì mình thấy một bên là căn bậc 4 một bên là bậc 4. Số bậc chênh lệch nhau quá lớn nên chắc phải dùng đánh giá.

Lại nhẩm được nghiệm [TEX]x= \frac12[/TEX]( chủ yếu là nhẩm sao cho khai được căn) nên mình dự đoán được điểm rơi. Áp dụng Co-si cho VT rồi hy vọng khi xét hiệu ta sẽ được điều phải chứng minh.

 

[duynhan1]

Bài khảo sát truờng chuanho

----------------------------------

Anh sửa trực tiếp lên đây cho đỡ loãng TOPIC nhé.

Bài giải em ổn mà. Nếu mà có bắt bẻ thì giám khảo chi bắt bẻ ở cái dấu suy ra cuối cùng, nếu theo đúng nguyên tắc thì em phải thử lại nghiệm, mà nghiệm bài này thì xấu quá, thử lại tốn thời gian. Do đó, ta sẽ hạn chế cái dấu suy ra đó bằng cách giải trực tiếp hệ:

Ý em hỏi là vậy phải không?

 

[maunguyet.hilton]

Có bài tuyển sinh vào 10 các mem giúp đỡ nhớ!
: Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm of pt x² + 1005x + 1 = 0
Gọi y1 và y2 là 2 nghiệm of pt y² + 1006y + 1 = 0

Tính giá trị of biểu thức : M = (x1 - y1).(x2 - y1).(x1 + y2).(x2 + y2)!

Dạ thanks trước ạ!

 

[duynhan1]

Có bài tuyển sinh vào 10 các mem giúp đỡ nhớ!
: Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm of pt x² + 1005x + 1 = 0
Gọi y1 và y2 là 2 nghiệm of pt y² + 1006y + 1 = 0

Tính giá trị of biểu thức : M = (x1 - y1).(x2 - y1).(x1 + y2).(x2 + y2)!

Dạ thanks trước ạ!

Cả 2 pt đều có 2 nghiệm phân biệt, theo hệ thức Vi-et ta có :
[TEX]\left{ x_1 + x_2 = -1005 \\ x_1.x_2= 1 \\ y_1+y_2 = -1006 \\ y_1.y_2 = 1[/TEX]

[TEX]M= ( x_1 x_2 - y_1( x_1+x_2) + y_1^2)( x_1x_2+ y_2( x_1+x_2) +y_2^2) \\ = ( 1 + 1005y_1 + y_1^2)(1 - 1005 y_2 + y_2^2) \\ =2011 y_1y_2 (do y_1,\ y_2\ la nghiem\ cua\ phuong\ trinh\ (2) ) \\ = 2011 [/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 16: Tìm m sao cho phương trình :

a, Có nghiệm.
b, Có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 18:

Bài 19:

Bài 20:

 

[hetientieu_nguoiyeucungban]

Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

(1)

đk [TEX]x\geq 1[/TEX]

chia cả 2 vế của pt cho [TEX]\sqrt[4]{x^2-1}[/TEX]

đc[TEX]3\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}+m\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=2[/TEX]

đặt[TEX]\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=t[/TEX] đkt>0

đc pt [TEX]3t^2-2t+m=0(2)[/TEX]

pt (1) có nghiệm khi pt(2) có nghiệm dương

[TEX]<=>{{\begin{align*}\Delta '\geq 0& \\ P\geq 0 & \\ S\geq 0& \end{align*}[/TEX]

[TEX]m\epsilon [0;\frac{1}{3}][/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài 1:

ĐK [TEX]-1 \leq x \leq 1[/TEX]

đặt [TEX]t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \ge 0[/TEX] :-?

[TEX]\Rightarrow 4t=7+\frac{(t^2-2)^2}{4} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t^4-4t^2-16t+32=0 \\\\ (t-2)^2(t^2+4t+8)=0 \\\\ t=2 \\\\ \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2 \\\\ x=0[/TEX]

cách 2: đặt x=cosa , a thuộc [0;pi] )

 

[bananamiss]

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 16: Tìm m sao cho phương trình :

a, Có nghiệm.
b, Có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 18:

Bài 19:

Bài 20:

2,

[TEX]\sqrt{5x-3}+\sqrt{3x-1}=x-1 [/TEX]

[TEX]dat \ \left{ 5x-3=a \\ 3x-1 =b [/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow a+b=2(a^2-b^2)[/TEX]

3,

[TEX]\sqrt[3]{2x+2}+\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{9x}[/TEX]

[TEX]dat \ \left{ \2x+2=a \\ x-2=b[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt{3(a+b)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a+b+3\sqrt[3]{ab.3(a+b)}=3(a+b)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(8a-b)(a-8b)=0[/TEX]

4,

[TEX]\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{2x-3}=1[/TEX]

[TEX]dat \ \left{ x-2=a \\ 2x-3=b [/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{b-2a}[/TEX]

tương tự câu 3

6,

[TEX]\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x+1}+\frac{2-x}{4}[/TEX]

[TEX]\left{ \sqrt{2x+3}=a \\ \sqrt{3x+1}=b[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow a-b=\frac{b^2-a^2}{4}[/TEX]

7, [TEX]Dk \ \frac{-1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} , \ \ x \neq \ 0[/TEX]

[TEX]xet \ \frac{-1}{2} \leq x < 0 \ \ \ va\ 0 < x \leq \frac{1}{2} [/TEX]
nhân chéo, bình phương

8,
DK...
sd bunhia

11,

[TEX]4\sqrt{x+3}=1+4x+\frac{3}{x} \Leftrightarrow 4x^2-4x\sqrt{x+3}+x+3=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{x+3})^2=0[/TEX]

12,

[TEX]2x\sqrt{x^2-x+1}+4\sqrt{3x+1}=2x^2+2x+6[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2-x+1-2x\sqrt{x^2-x+1}+x^2)+(3x+1-4\sqrt{3x+1}+4)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-x+1}-x)^2+(\sqrt{3x+1}-2)^2=0[/TEX]

13,

[TEX]2\sqrt{x+3}=9x^2-x-4 \Leftrightarrow x+3+2\sqrt{x+3}+1=9x^2 \Leftrightarrow (\sqrt{x+3}+1)^2=(3x)^2[/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài 4:

đặt

[TEX]\left{\begin{ \sqrt[3]{x-2} =t \\ \sqrt[3]{2x-3}=1-t ( t \leq 1)[/TEX]

\[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{ x-2=t^3 (1) \\ 2x-3=1-3t+3t^2-t^3 (2)[/TEX]

[TEX](1).2-(2) ---> 3t^3-3t^2+3t-1=-1 \\\\\Leftrightarrow t^3-t^2+t=0 \\\\\Leftrightarrow t=0 \Leftrightarrow x=2 [/TEX]

 

[anhsao3200]

[toán 11]Giải phương trình

Giải pt:
1/

2/

 

[chontengi]

 

[minhtuan_94]

bạn à bài trên có lẽ là cần điều kiện hai vế lớn hơn 0 nũa