[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[lamtrang0708]

cho 3 số a,b,c tùy ý sao cho a^2 + b^2 > 0.CM 1 trong 2 pt sau có no
1) asinx + bcosx = c
2)atanx + bcotx = c. căn 2

 

[duynhan1]

cho 3 số a,b,c tùy ý sao cho a^2 + b^2 > 0.CM 1 trong 2 pt sau có no
1) asinx + bcosx = c
2)[TEX]atanx + bcotx = c. \sqrt2 \ \ (2)[/TEX]

[TEX]TH1: a^2 + b^2 \ge c^2 \Rightarrow (1) [/TEX] (1) có nghiệm .

[TEX]TH2: a^2 + b^2 < c^2 [/TEX]

Xét (2):

[TEX]DK : sin 2x \not= 0[/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow a tan^2x + b - \sqrt{2} c tan x = 0[/TEX]

[TEX]TH2a: \ \ a = 0 \Rightarrow b\not= 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow tan x = \frac{b}{\sqrt{2}c}[/TEX](khác 0 ) --> có nghiệm

[TEX]TH2b:\ \ a \not= 0 \Rightarrow \Delta = 2c^2 - 4ab \geq 2c^2 - 2(a^2+b^2) =2(c^2-a^2-b^2) >0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (2) [/TEX] có nghiệm

 

[hetientieu_nguoiyeucungban]

[TEX]1)\sqrt{sinx}+sinx+sin^{2}x+cosx =1[/TEX]

[TEX]2)4cosx^{3}-3cosx=\sqrt{1-cos^{2}x}[/TEX]

[TEX]3)cos3x.sin2x-cos4x.sinx=\frac{1}{2}sin3x+\sqrt{1+cosx}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]1)\sqrt{sinx}+sinx+sin^{2}x+cosx =1[/TEX]

[TEX]sin x \ge 0 [/TEX]

[TEX] (1) \Leftrightarrow \sqrt{sinx }- cos x = cos^2 x - sin x [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \sqrt{sinx} - cos x = 0 \\ cos x + \sqrt{sinx} = -1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \sqrt{sinx} = cos x \\ 1 + \sqrt{sin x } = - cos x [/TEX]

[TEX](1)[/TEX] giải dễ.

[TEX](2) VT \ge 1 \ge VP [/TEX]

[TEX]2)4cosx^{3}-3cosx=\sqrt{1-cos^{2}x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 3x = |sin x | [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ cos 3x \ge 0 \\ \left[ cos 3x = sin x \\ cos 3x =-sin x [/TEX]

[TEX]3)cos3x.sin2x-cos4x.sinx=\frac{1}{2}sin3x+\sqrt{1+cosx}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin 5x - sin x - ( sin 5x - sin 3x ) = sin 3x + 2 \sqrt{1+cosx}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow - sin x = 2 \sqrt{1+ cos x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ sin x \le 0 \\ 1- cos^2 x = 4 ( 1+ cos x)[/TEX]

 

[hetientieu_nguoiyeucungban]

[TEX]1)48-\frac{1}{cos4x}-\frac{2}{sin^{2}x}(1+cot2x.cotx)=0[/TEX]

[TEX]2)cos2x-\sqrt{3}sin2x-\sqrt{3}sin3x-cosx+4=0[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]2)cos2x-\sqrt{3}sin2x-\sqrt{3}sin3x-cosx+4=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin ( \frac{\pi}{6} - x) - sin ( 3x - \frac{\pi}{6} ) = -2[/TEX]

[TEX]\mathit{ VT \ge VP[/TEX]

 

[jerusalem]

1/
[TEX]\mathit{ \frac{2(cos^6x + sin^6x ) - sin x.cos x }{\sqrt{2} - 2sinx } = 0[/TEX]
[TEX]\mathrm \text{ Khoi A - Nam 2006} \blue[/TEX]

ĐK: [TEX]\sqrt{2} - 2sinx \neq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2-\frac{3}{2}sin^2 2x - \frac{sin 2x}{2}=0[/TEX]

2/
[TEX]\mathit{ cotx + sinx(1+ tgx.tg\frac{x}{2} ) = 4[/TEX]
[TEX]\mathrm \text{ Khoi B - Nam 2006} \blue[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]cotx+sinx[ \frac{ sinx sin(\frac{x}{2})+cosx cos (\frac{x}{2}) }{ cosx .cos(\frac{x}{2}) }]=4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]tanx+cotx=4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sin2x=\frac{1}{2}[/TEX]

3/
[TEX]\mathit{ cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 [/TEX]

[TEX]\mathrm \text{ Khoi D - Nam 2006} \blue[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] -2sin2xsinx-2sin^2x =0 [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sin^2x(cosx+1)=0[/TEX] ------------->[TEX]\red sin^2x(2cosx+1)=0[/TEX]

 

[duynhan1]

1.
[TEX]\left{x,y,z \ge 0\\ x+y+z = \pi \\ \sum \frac{1}{1+2cos x + 4 cos x.cos y} = 1 [/TEX]

Ai xử bài này đi , từ điều kiện có thể coi đây là 3 góc của 1 tam giác mà

 

[quyenuy0241]

1.
[TEX]\left{x,y,z \ge 0\\ x+y+z = \pi \\ \sum \frac{1}{1+2cos x + 4 cos x.cos y} = 1 [/TEX]

Ai xử bài này đi , từ điều kiện có thể coi đây là 3 góc của 1 tam giác mà

[tex]4cosx.cosy=2.[cos(x+y)+cos(x-y)] \le 2cos(x+y)+1=2cos(\pi-z)+1=2-2cos z [/tex]

[tex] \frac{1}{1+2cosx+4cosx.cosy} \ge \frac{1}{3+2cosx-2cosz} [/tex]

Vậy ta có:

[tex]\frac{1}{1+2cosx+4cosx.cosy}+\frac{1}{1+2cosy+4cosy.cosz}+\frac{1}{1+2cosz+4cosx.cosz} \ge \frac{9}{9+2(cosx+cosy+cosz-cosx-cosy-cosz)} =1[/tex]

[tex]VT \ge VP [/tex]

Vậy [tex]x=y=z=\frac{\pi}{3} [/tex]

 

[quyenuy0241]

[TEX]1)48-\frac{1}{cos4x}-\frac{2}{sin^{2}x}(1+cot2x.cotx)=0[/TEX]

Ta luôn có điều sau:
[tex]1+cotx.cot2x=\frac{cosxcos2x+sinxsin2x}{sinx.sin2x}=\frac{cosx}{sinx.sin2x}=\frac{1}{2sin^2x} [/tex]

[tex]PT \Leftrightarrow 48-\frac{1}{cos4x}-\frac{2}{2sin^4x}=0 [/tex]

[tex] \Leftrightarrow 48=\frac{1}{cos4x}-\frac{1}{sin^4x} [/tex]

Tác giả coi lại đề xem kia là [tex]cos^4x[/tex] hay [tex]cos4x[/tex] rùm nhá

 

[duynhan1]

Tiếp thôi )
Cho [TEX]\mathrm{ \Delta ABC[/TEX] có các góc không tù thỏa điều kiện:

[TEX]\mathit{ cos 2A + 2\sqrt{2} cos B + 2\sqrt{2} cos C = 3[/TEX]

Tính các góc của [TEX]\Delta ABC[/TEX]

[TEX]\blue {Khoi A - 2004}[/TEX]

[TEX]5 sin x - 2 = 3 ( 1- sin x ) tg^2 x [/TEX]

[TEX]\blue Khoi B - 2004[/TEX]

[TEX]\mathcal{ (2 cos x - 1 )( 2 sin x + cos x) = sin 2x - sin x [/TEX]

[TEX]\blue Khoi D - 2004[/TEX]

[TEX]4 sin^2 x - 2( \sqrt{3} - 2) sin x - \sqrt{6} = 0[/TEX]

[TEX]\mathit \blue CD kinh te doi ngoai -2004 [/TEX]

[TEX]\sqrt{3} cos 4x + sin 4x = 2 cos 3x [/TEX]

[TEX]\mathit \blue CD Cong nghiep 4 -2004 [/TEX]

 

[jerusalem]

mấy bài lượng giác liên quan đến dãy số

1) Cho [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex], [tex]\gamma[/tex] đều [tex]\neq \frac{pi}{2}+k pi [/tex],giả sử [tex]sin^2 \alpha ,sin^2\beta,sin^2 \gamma[/tex],lập thành một cấp số cộng ,[tex]sin \beta \neq 0[/tex]và [tex]tan \alpha.tan \gamma=1[/tex] .CMR [tex]tan\alpha,tan\beta,tan\gamma[/tex] lập thành một cấp số nhân

2)cho tam giác ABC có hệ thức

[tex]\frac{c}{b}=\frac{m_b}{m_c}\neq1[/tex]

CMR:khi đó [tex]cotA,cotB,cotC[/tex] là một cấp số cộng

3)Cho tam giác ABC có [tex]cot A,cotB,cotC[/tex] lập thành một cấp số cộng.CMR [tex]a^2,b^2,c^2 [/tex]cũng lập thành một cấp số cộng

 

[herrycuong_boy94]

1.

2.

)

3.

4.

)

 

[herrycuong_boy94]

3)Cho tam giác ABC có [tex]cot A,cotB,cotC[/tex] lập thành một cấp số cộng.CMR [tex]a^2,b^2,c^2 [/tex]cũng lập thành một cấp số cộng

Mấy bài này cũng khó, thông cảm, chỉ chém được bài 3 thôi
Theo bài ra, cotA, cotB,cotC lập thành một cấp số cộng

chứng minh tương tự ==> a^2,b^2,c^2 lập thành một cấp số cộng
|

 

[duynhan1]

2)cho tam giác ABC có hệ thức :
[tex]\frac{c}{b}=\frac{m_b}{m_c}\neq1[/tex]
CMR:khi đó [tex]cotA,cotB,cotC[/tex] là một cấp số cộng

[TEX]\frac{c}{b}=\frac{m_b}{m_c} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow c^2( 2a^2 + 2b^2 - c^2 ) = b^2(2a^2 + 2b^2 - b^2 )[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b^4 - 2a^2 b^2 = c^4- 2a^2c^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow | b^2 - a^2 | = | c^2 - a^2 | [/TEX]

Do [TEX]\frac{c}{b} \not= 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow b^2 - a^2 = a^2 - c^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b^2 + c^2 = 2a^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b^2 + c^2 = 2a^2 [/TEX]

Làm ngược henry cuong ta có =))

[TEX]cot B + cot C = 2 cot A [/TEX]
đpcm =))

. .

 

[jerusalem]

còn bài nè ai làm nốt đi ạ

1) Cho [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex], [tex]\gamma[/tex] đều [tex]\neq \frac{pi}{2}+k pi [/tex],giả sử [tex]sin^2 \alpha ,sin^2\beta,sin^2 \gamma[/tex],lập thành một cấp số cộng ,[tex]sin \beta \neq 0[/tex]và [tex]tan \alpha.tan \gamma=1[/tex] .CMR [tex]tan\alpha,tan\beta,tan\gamma[/tex] lập thành một cấp số nhân

thêm 2 bài nữa

4) Cho tam giác ABC có cấp số nhân A,B,C với q=2.CMR: [tex]h_a=h_b+h_c[/tex]

5)Cho tam giác ABC cân ở đỉnh A.Biết rằng các cạnh đáy BC,đường cao AH,và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q.CMR:[tex]q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} [/tex]

 

[duynhan1]

còn bài nè ai làm nốt đi ạ
4) Cho tam giác ABC có cấp số nhân A,B,C với q=2.CMR: [tex]h_a=h_b+h_c[/tex]

[TEX]A+ 2A + 4A = \pi \Rightarrow \left{ A = \frac{\pi}{7} \\ B = \frac{2\pi}{7} \\ C = \frac{4\pi}{7} [/TEX]
Ta có :
[TEX]2hb + hc = S_{ABC}. \frac{b+c}{bc} = \frac{S_{ABC}}{2R}.\ \ \frac{sin B + sin C}{sin B. sin C } = \frac{S_{ABC}}{2R} \frac{2 sin {\frac{3\pi}{7}} . cos {\frac{\pi}{7}} }{sin {\frac{2\pi}{7}}sin {\frac{4\pi}{7}}} = = \frac{S_{ABC}}{2R. sin{\frac{\pi}{7}} } =2 ha[/TEX]
[Tex]{--> hb+hc} = ha [/Tex]

[TEX]sin {\frac{4\pi}{7} = sin {\frac{3\pi}{7}[/TEX]

 

[duynhan1]

5)Cho tam giác ABC cân ở đỉnh A.Biết rằng các cạnh đáy BC,đường cao AH,và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q.CMR:[tex]q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} [/tex][/SIZE]

[TEX]\hat{B} = \hat{C} = x [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \hat{A} = \pi - 2x [/TEX]

Ta có : [TEX]AH = AB . sin x[/TEX]
Lại có :

[TEX]\frac12 AB^2 . sin ( \pi- 2x) = BC. AH [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow AB . cos x = BC [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{ q = \frac{sin x}{cos x} \\ q = \frac{1}{sin x}[/TEX]

Do: AH,BC,AB>0 [TEX]\Rightarrow sin x >0 ; cos x >0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin^2 x = cos x \Leftrightarrow [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos^2 x + cos x - 1= 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin x = \sqrt{\frac{\sqrt{5} -1}{2}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow q = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}[/TEX]

 

[connguoivietnam]

khối A năm 2004

[TEX]5sinx-2=3(1-sinx)tan^2x[/TEX]

[TEX]cosx[/TEX] khác [TEX]0[/TEX]

[TEX]5sinx-2=3(1-sinx)\frac{sin^2x}{cos^2x}[/TEX]

[TEX]cos^2x(5sinx-2)=3(1-sinx)sin^2x[/TEX]

[TEX](1-sinx)[(1+sinx)(5sinx-2)-3sin^2x]=0[/TEX]

khối B năm 2004

[TEX](2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx[/TEX]

[TEX](2cosx-1)(2sinx+cosx)=sinx(2cosx-1)[/TEX]

[TEX](2cosx-1)(sinx+cosx)=0[/TEX]

khối D năm 2004

[TEX]4sin^2x-2(\sqrt{3}-2)sinx-\sqrt{6}=0[/TEX]

giải pt bậc 2 bình thường

đại học kt đối ngoại

[TEX]\sqrt{3}cos4x+sin4x=2cos3x[/TEX]

[TEX]\frac{\sqrt{3}}{2}cos4x+\frac{1}{2}sin4x=cos3x[/TEX]

[TEX]cos(4x-\frac{pi}{6})=cos3x[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

Nhận dạng tam giác :