Toán 9 BẤT ĐẲNG THỨC

[Hoàng Vũ Nghị]

Bài 3:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $$^2+y^2+z^2=2$$.cmr $$x+y+z\leq 2\sqrt{1+yz}$$
Bài 4:Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr
$$\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq 6$$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bài 3:
Phân tích : Do vế phải xuất hiện yz và trong quá trình đánh giá ta cần sử dụng đến giả thiết $$x^2+y^2+z^2=2$$ ,nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;x) và (1;y+z)
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
$$x+y+z=1.x+1.(y+z)\leq \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=\sqrt{2(2+2yz)}=2\sqrt{1+yz}$$
Bài 4 :
Phân tích
Vì giải thiết cho a+b+c=3 nên ta cần đánh giá vế trái qua tổng a+b+c.Do đó ta cần một đánh giá có dạng $$a^2+3b^2\geq (ma+nb)^2$$ và đẳng thức xảy ra tại a=b=1
Diều này giúp ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số $$(x;y);(a,\sqrt{3}b)$$ (x,y) tìm sau
Ta có
$$(x^2+y^2)(a^2+3b^2)\geq (xa+y\sqrt{3}b)^2$$
Đẳng thức xảy ra khi $$\frac{x}{a}=\frac{y}{\sqrt{3}b}$$ và a=b=1 nên ta có $$x=\frac{y}{\sqrt{3}}$$ chọn x=1 ,$$y=\sqrt{3}$$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số $$(1;\sqrt{3}),(a,\sqrt{3}b)$$ ta có
$$(1^2+(\sqrt{3})^2)(a^2+(\sqrt{3}b)^2)\geq (a+3b)^2\\\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a+3b}{2}$$
CMTT suy ra đpcm .
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1



Bài 5: (tương tự):Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr $$\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}+\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq 9$$
Bài 6 : Cho các số thực dương a,b,c .cmr $$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1$$

Tích cực lên đi các bạn ...bởi biết đâu ta sẽ giúp được một ai đó trong tương lai

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Bài 3:
Phân tích : Do vế phải xuất hiện yz và trong quá trình đánh giá ta cần sử dụng đến giả thiết $$x^2+y^2+z^2=2$$ ,nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;x) và (1;y+z)
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
$$x+y+z=1.x+1.(y+z)\leq \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=\sqrt{2(2+2yz)}=2\sqrt{1+yz}$$
Bài 4 :
Phân tích
Vì giải thiết cho a+b+c=3 nên ta cần đánh giá vế trái qua tổng a+b+c.Do đó ta cần một đánh giá có dạng $$a^2+3b^2\geq (ma+nb)^2$$ và đẳng thức xảy ra tại a=b=1
Diều này giúp ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số $$(x;y);(a,\sqrt{3}b)$$ (x,y) tìm sau
Ta có
$$(x^2+y^2)(a^2+3b^2)\geq (xa+y\sqrt{3}b)^2$$
Đẳng thức xảy ra khi $$\frac{x}{a}=\frac{y}{\sqrt{3}b}$$ và a=b=1 nên ta có $$x=\frac{y}{\sqrt{3}}$$ chọn x=1 ,$$y=\sqrt{3}$$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số $$(1;\sqrt{3}),(a,\sqrt{3}b)$$ ta có
$$(1^2+(\sqrt{3})^2)(a^2+(\sqrt{3}b)^2)\geq (a+3b)^2\\\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a+3b}{2}$$
CMTT suy ra đpcm .
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1



Bài 5: (tương tự):Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr $$\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}+\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq 9$$
Bài 6 : Cho các số thực dương a,b,c .cmr $$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1$$

Tích cực lên đi các bạn ...bởi biết đâu ta sẽ giúp được một ai đó trong tương lai

$$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$$

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Bài 5: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
$$(1+(\frac{\sqrt{14}}{2})^2)(2a^2+\frac{7}{b^2})\geq (\sqrt{2}a+\frac{7\sqrt{2}}{2b})^2\\ \Rightarrow \sqrt{2a^2+7b^2}\geq \frac{(a+\frac{7}{2b})2}{3}=\frac{2a+\frac{7}{b}}{3}$$
CMTT có: $$\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}\geq \frac{2b+\frac{7}{c}}{3};\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq \frac{2c+\frac{7}{a}}{3}\\$$
Mà: $$\frac{2a+\frac{7}{b}}{3}+\frac{2b+\frac{7}{c}}{3}+\frac{2c+\frac{7}{a}}{3}=\frac{2(a+b+c)+7(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{3}\\ \geq \frac{2(a+b+c)+7.\frac{9}{a+b+c}}{3}=9\\ \Rightarrow dpcm$$
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Bài 6:
$$\frac{a}{a+2b}=\frac{a^2}{a^2+2ab};\frac{b}{b+2c}=\frac{b^2}{b^2+2bc};\frac{c}{c+2a}=\frac{c^2}{c^2+2ac}\\ =>\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$$
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Mặc dù còn rất rất nhiều nhưng chúng ta tạm kết thúc ở đây
...
Tiếp theo đó là Làm quen với việc sử dụng các kĩ thuật ghép cauchy,cauchy ngược dấu...
Đầu tiên :Kĩ thuật ghép cauchy (hay còn gọi là kĩ thuật cân bằng hệ số)
Đó chính à sử dụng cauchy sao cho xảy ra dấu bằng
Chúng ta sẽ đến luôn phần bài tập
Bài 1:Cho các số thực dương a,b .CMR $$(a+b)(ab+4)\geq 8ab$$
Bài 2 :Cho các số thực dương a,b,c .chứng minh rằng
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$$
Bài 3:$$(a^2+\frac{1}{bc})^{m}+(b^2+\frac{1}{ca})^{m}+(c^2+\frac{1}{ab})^{m}\geq 3.2^m$$
Bài 4 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 .chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$$

Mọi người tag thêm bạn bè vào làm cho vui đi ~~

 

[Minh Dora]

Mặc dù còn rất rất nhiều nhưng chúng ta tạm kết thúc ở đây
...
Tiếp theo đó là Làm quen với việc sử dụng các kĩ thuật ghép cauchy,cauchy ngược dấu...
Đầu tiên :Kĩ thuật ghép cauchy (hay còn gọi là kĩ thuật cân bằng hệ số)
Đó chính à sử dụng cauchy sao cho xảy ra dấu bằng
Chúng ta sẽ đến luôn phần bài tập
Bài 1:Cho các số thực dương a,b .CMR $$(a+b)(ab+4)\geq 8ab$$
Bài 2 :Cho các số thực dương a,b,c .chứng minh rằng
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$$
Bài 3:$$(a^2+\frac{1}{bc})^{m}+(b^2+\frac{1}{ca})^{m}+(c^2+\frac{1}{ab})^{m}\geq 3.2^m$$
Bài 4 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 .chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$$

Mọi người tag thêm bạn bè vào làm cho vui đi ~~

1,Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
(a+b)(ab+4)>=$$2\sqrt{ab}.2\sqrt{4ab}=8ab$$
Dấu = xảy ra <=> a=b=2
2,
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2(1)
<=> (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) + (a+b+c)/(a+b) ≥ 3/2 + 3 = 9/2 (cộng 2 vế cho 3)
<=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 9
<=>[(b+c) + (c+a) + (a+b)].[(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9(1)
Áp dụng cô-si:
$$(b+c) + (c+a) + (a+b) >= 3.\sqrt[3]{(b+c).(c+a).(a+b)}$$
(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)>= $$3.\sqrt[3]{\frac{1}{(b+c).(c+a).(a+b)}}$$
Suy ra (1) luôn đúng
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Chúng ta tiếp tục nhỉ ~~
Bài 3 :
$$(a^2+\frac{1}{bc})^{m}\geq (2.\sqrt{\frac{a^2}{bc}})^m$$
Tương tự
Suy ra $$VT\geq 2^m[{(\sqrt{\frac{a^2}{bc}}})^m+{(\sqrt{\frac{b^2}{ca}}})^m+{(\sqrt{\frac{c^2}{ab}}})^m]\\\geq 2^m.3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{ab.bc.ca}})}=2^m.3=3.2^m$$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Bài 4 :
Áp dụng bđt Cauchy ta có
$$a^3+a^3+1\geq 3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2$$
Tương tự
Suy ra $$2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2$$
Lại có
$$a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3$$
$$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3\\\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$$

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

À thì, cái bài từ hôm khảo sát nào rồi mà vẫn không biết làm
Nhờ mọi người cho mình xin phương pháp giải.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 13a + 5b +12c - 9 = 0
Chứng minh rằng:
$$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leq 1$$
Ngu bất quá mà

 

[Hoàng Vũ Nghị]

À thì, cái bài từ hôm khảo sát nào rồi mà vẫn không biết làm
Nhờ mọi người cho mình xin phương pháp giải.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 13a + 5b +12c - 9 = 0
Chứng minh rằng:
$$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leq 1$$
Ngu bất quá mà

Áp dụng Schwarz ta có
$$\frac{ab}{2a+b}=\frac{ab}{9}(\frac{9}{a+a+b})\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\=\frac{2b}{9}+\frac{a}{9}$$
Maáy cái sau tách tương tự
Cộng lại có $$VT\leq \frac{13a+5b+12c}{9}=1$$
Dấu = xảy khi $$a=b=c=\frac{3}{10}$$

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Áp dụng Schwarz ta có
$$\frac{ab}{2a+b}=\frac{ab}{9}(\frac{9}{a+a+b})\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\=\frac{2b}{9}+\frac{a}{9}$$
Maáy cái sau tách tương tự
Cộng lại có $$VT\leq \frac{13a+5b+12c}{9}=1$$
Dấu = xảy khi $$a=b=c=\frac{3}{10}$$

Mình hỏi ngu ak, cái này bạn dự đoán dấu = trước hay làm kiểu gì vậy? Với cả sao bạn nghĩ đến xài Schwarz and tách ra như thế vậy, mình ngồi cả buổi vẫn không biết làm
Please chỉ mình đi mà!

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Mình hỏi ngu ak, cái này bạn dự đoán dấu = trước hay làm kiểu gì vậy? Với cả sao bạn nghĩ đến xài Schwarz and tách ra như thế vậy, mình ngồi cả buổi vẫn không biết làm
Please chỉ mình đi mà!

Theo mình thấy thì cứ làm thôi ... nhưng thông thường thì thấy cái mẫu như vậy là tách nó ra ..hôm đấy chắc hên nên thử phát ra luôn
Mình thấy bất k có phương pháp ...nó chỉ có cách làm và 1 sự xử lí hợp lí thôi

 

[Hoàng Vũ Nghị]

chúng ta tiếp tục nhỉ ~
Cho $$0\leq x;y;z\leq 1$$ thỏa mãn x+y+z=1,5 .tìm max của $$x^2+y^2+z^2$$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

chúng ta tiếp tục nhỉ ~
Cho $$0\leq x;y;z\leq 1$$ thỏa mãn x+y+z=1,5 .tìm max của $$x^2+y^2+z^2$$

topic có vẻ chán nhỉ ...sôi nổi lên đi mọi người
C1 :
$$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\\\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx-1+x+y+z\leq 0\\\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz+x+y+z-1\geq 0+1,5-1=0,5$$
lại có
$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\\leq 2,25-2.0.5=1,25$$
Dấu = xảy ra khi 1 số =0 ,1 số=1 ,1 số=0.5
C2:
$$x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+2xy\\=(x+y)^2+z^2\\=(1,5-z)^2+z^2\leq ...$$

 

[Phượng's Nguyễn's]

topic có vẻ chán nhỉ ...sôi nổi lên đi mọi người
C1 :
$$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\\\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx-1x+y+z\leq 0\\\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz+x+y+z-1\geq 0+1,5-1=0,5$$
lại có
$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\\leq 2,25-2.0.5=1,25$$
Dấu = xảy ra khi 1 số =0 ,1 số=1 ,1 số=0.5
C2:
$$x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+2xy\\=(x+y)^2+z^2\\=(1,5-z)^2+z^2\leq ...$$

trời thế mà mk nghĩ mái..=)))god bất

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho a,b,c>0 và a+4b+9c=6.cmr $$a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{6}$$

 

[Hồng Vânn]

Cho a,b,c>0 và a+4b+9c=6.cmr $$a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{6}$$

Bạn đưa lời giải sớm đc ko, cô mk ra đề thi bài này thử nhưng mk ko làm đc!

 

[The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫]

Cho a,b,c>0 và a+4b+9c=6.cmr $$a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{6}$$

$$a^{3}+\frac{1}{216}+\frac{1}{216}\geq \frac{1}{12}a\\b^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq \frac{1}{3}b\\c^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}c\\\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{12}(a+4b+9c)-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$
a=1/6 b= 1/2 c=1/3

 

[Hoàng Vũ Nghị]

$$a^{3}+\frac{1}{216}+\frac{1}{216}\geq \frac{1}{12}a\\b^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq \frac{1}{3}b\\c^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}c\\\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{12}(a+4b+9c)-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$
a=1/6 b= 1/2 c=1/3

Vậy câu hỏi đặt ra la làm sao làm được như vậy ~

 

[The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫]

Vậy câu hỏi đặt ra la làm sao làm được như vậy ~

thấy điểm rơi khi a=1/6 b= 1/3 c=1/2 cái này mình mò ))
khi đó a^3=216 sau đó mình nghĩ cần giản ước về a nên mình cộng thêm 2 cái 1/216 2 cái kia tương tự ai ngờ nó ra =)))

 

[Hoàng Vũ Nghị]

thấy điểm rơi khi a=1/6 b= 1/3 c=1/2 cái này mình mò ))
khi đó a^3=216 sau đó mình nghĩ cần giản ước về a nên mình cộng thêm 2 cái 1/216 2 cái kia tương tự ai ngờ nó ra =)))

đó là khi bạn nhẩm ra thôi ..có cách nào tổng quát hơn không ?