Toán Bất đẳng thức

[bosjeunhan]

Cấy ny em chế từ thất bại, ai hay vô hm và quan tâm tới BĐT nhì sẽ biết chế từ chỗ mô(Nhất là anh bboy114crew)
Có thể nó có thể gặp ở đâu đó rồi, nhưng thật sự em chế ra nó và có cách giải của riêng mình, mọi người coi thử:

Bài 26 : Cho các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2} [/TEX]

 

[bboy114crew]

Cấy ny em chế từ thất bại, ai hay vô hm và quan tâm tới BĐT nhì sẽ biết chế từ chỗ mô(Nhất là anh bboy114crew)
Có thể nó có thể gặp ở đâu đó rồi, nhưng thật sự em chế ra nó và có cách giải của riêng mình, mọi người coi thử:

Bài : Cho các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2} [/TEX]

Bài này ta chỉ cần làm như sau!
BĐT cần chứng minh tương đương với:
[TEX]\sum(1- \frac{a}{a+1}) \geq 3- \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
BĐT này hiển nhiên đúng theo C-S!
Về cái motip sử dụng cái kĩ thuật anh vừa dùng còn nhiều bài lắm!
p\s: Ý em nói là sao anh không hiểu!

 

[bosjeunhan]

Bài này ta chỉ cần làm như sau!
BĐT cần chứng minh tương đương với:
[TEX]\sum(1- \frac{a}{a+1}) \geq 3- \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
BĐT này hiển nhiên đúng theo C-S!
Về cái motip sử dụng cái kĩ thuật anh vừa dùng còn nhiều bài lắm!
p\s: Ý em nói là sao anh không hiểu!

Anh hok thấy là em chế từ cấy bài em hỏi anh à Đây nỳ.

Cauchy cấy cục nớ xong đảo lên thôi anh ợ. Cách của em là như anh đó:

Cho $a+b+c=3$ (số thực dương)
CMR:

[TEX]\frac{a}{a+\sqrt[]{3a+bc}} + \frac{b}{b+\sqrt[]{3b+ac}} + \frac{c}{c+\sqrt[]{3c+ab}} \leq 1 [/TEX]

Bài này thế này nhé!
Ta có:
[TEX]\sum \frac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}[/TEX]
[TEX] \leq \sum \frac{a}{2a+\sqrt{bc}}[/TEX]
Ta chỉ cần chứng minh:
[TEX]\sum \frac{a}{2a+\sqrt{bc}} \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{bc}}{2a+\sqrt{bc}} \geq 1[/TEX]
Điều này luôn đúng theo Cauchy -Schwarz !

Một bài nữa, ấy mà em toàn chế bài có liên quan tới anh nák:

Bài 27:
Cho 3 số thực dương thỏa mãn [TEX]3abc \geq ab+bc+ca[/TEX] CMR:
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}}+\frac{1}{\sqrt[]{b}}+\frac{1}{\sqrt[]{c}} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Anh có thấy quen không ạ )


Viết cấy đề lại không người khác lại nhầm, rồi chứng minh mô mô nớ vs em cụng ghi sai dấu dẫn đến hiểu lầm.

P/s: Em del mấy cây spam đi nhá

 

[vy000]

Một bài nữa, ấy mà em toàn chế bài có liên quan tới anh nák:
Cho 3 số thực dương thỏa mãn $3abc=ab+bc+ca$ CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{\sqrt[]{a}} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Anh có thấy quen không ạ )
[/FONT][/SIZE]

\Rightarrow [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3[/TEX]
\Rightarrow a+b+c\geq3 \Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2\geq3[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a^2+b^2+c^2)^2\geq(a+b+c)^2\geq3(a+b+c)\geq(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})}\geq\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Coi lại cái đề dùm cái

 

[bosjeunhan]

\Rightarrow [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3[/TEX]
\Rightarrow a+b+c\geq3 \Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2\geq3[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a^2+b^2+c^2)^2\geq(a+b+c)^2\geq3(a+b+c)\geq(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})}\geq\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Nếu đề như hồi đêm thì BĐT bạn nghĩ ra và tự chứng minh là đúng ), Cảm ơn bạn.

Nhưng, đề nghị bạn xem lại đề bài, mình bổ sung những dữ kiện cần thiết. Tất cả mọi người ak !

 

[son9701]

Anh hok thấy là em chế từ cấy bài em hỏi anh à Đây nỳ.

Cho 3 số thực dương thỏa mãn [TEX]3abc \geq ab+bc+ca[/TEX] CMR:
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}}+\frac{1}{\sqrt[]{b}}+\frac{1}{\sqrt[]{c}} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]


P/s: Em del mấy cây spam đi nhá[/B]

Giả thiết tg đg vs:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq 3[/TEX]
Mà [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]
Nên [TEX]a+b+c \geq 3[/TEX]

Phần còn lại giải tg tự như vy000

ĐÃ BẢO LÀM SAI ĐỀ CÒN LÀM TƯƠNG TỰ CẤY CHI

 

[bosjeunhan]

Cho 3 số thực dương thỏa mãn [TEX]3abc \geq ab+bc+ca[/TEX] CMR:
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}}+\frac{1}{\sqrt[]{b}}+\frac{1}{\sqrt[]{c}} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

Đây ak, em chưa bài này, sơ lược thôi, lâu rồi mới có thời gian cho pic :x
Từ giả thiết, ta có:
[TEX]3 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Đặt $x=\frac{1}{a}$,...
Ta có: 3 \geq x+y+z
Áp dụng BĐT cauchy
[TEX]x^2+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x} \geq 3x [/TEX]
Tương tự, ta có:
[TEX]x^2+y^2+z^2+2.(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z}) \geq 3.(x+y+z) \geq x^2+y^2+z^2+2.(xy+yz+xz)[/TEX]
[TEX]\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z} \geq xy+yz+xz[/TEX]
Đến đây thì xong rồi nhỉ

 

[bboy114crew]

Đây ak, em chưa bài này, sơ lược thôi, lâu rồi mới có thời gian cho pic :x
Từ giả thiết, ta có:
[TEX]3 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Đặt $x=\frac{1}{a}$,...
Ta có:3\geq x+y+z
Áp dụng BĐT cauchy
[TEX]x^2+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x} \geq 3x [/TEX]
Tương tự, ta có:
[TEX]x^2+y^2+z^2+2.(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z}) \geq 3.(x+y+z) \geq x^2+y^2+z^2+2.(xy+yz+xz)[/TEX]
[TEX]\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z} \geq xy+yz+xz[/TEX]
Đến đây thì xong rồi nhỉ

Anh chưa thấy có gì liên quan đến bài toán của em cả????

Em tưởng anh nhận ra rồi chứ ạ, vậy để em giải tiếp

 

[bosjeunhan]

Đây ak, em chưa bài này, sơ lược thôi, lâu rồi mới có thời gian cho pic :x
Từ giả thiết, ta có:
[TEX]3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} [/TEX]
Đặt $x=\frac{1}{a}$,...
Ta có:3\geq x+y+z
Áp dụng BĐT cauchy
[TEX]x^2+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x} \geq 3x [/TEX]
Tương tự, ta có:
[TEX]x^2+y^2+z^2+2.(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z}) \geq 3.(x+y+z) \geq x^2+y^2+z^2+2.(xy+yz+xz)[/TEX]
[TEX]\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z} \geq xy+yz+xz[/TEX]
Đến đây thì xong rồi nhỉ

Tiếp nhá ạ:
Suy ra được
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}}+\frac{1}{\sqrt[]{b}}+\frac{1}{\sqrt[]{c}} \geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq \frac{9}{ab+bc+ca} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

 

[bo_ieu_tho]

Thư giãn nào mấy bác, cho không khí đỡ căng thẳng
Bài 21: CM BĐT với u,y,e,ê > 0 và a,n,h \geq 1
$\frac{3.[(e-m)^2-(e+m)^2].[(y-1)^2-(y+1)^2]}{16.(a^3+n^3+h^3)}.\frac{ê}{u^{-1}} $ \leq :khi (79):

Chữa luôn nhể:

Áp dụng BĐT cauchy+biến đổi đại số, ta đưa về đc

$\frac{e.m.y.ê.u}{a.n.h}$ \leq :khi (79):
\Leftrightarrow $\frac{e.m.y.ê.u}{a.n.h}$ \leq $e.m.y.ê.u.a.n.h$ =))
\Leftrightarrow $(a.n.h)^2$ \geq 1

Luôn đúng

 

[rinnegan_97]

mạo muội gửi 1 bài chế:

Bài 28: Cho a,b,c dương:

CMR: [TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ac+a^2} \geq\frac{1}{3}[/TEX]

bik [TEX]a^2+b^2+c^2=2[/TEX]

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

mạo muội gửi 1 bài chế:
cho a,b,c dương:

CMR: [TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ac+a^2} \geq\frac{1}{3}[/TEX]

bik [TEX]a^2+b^2+c^2=2[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^3+\sum_{sym} a^2b}=\frac{4}{\sum a. \sum a^2}\geq...[/TEX]

mà kiểu j lại ra 1/3 nhỉ :-/

 

[hthtb22]

Xin lỗi mọi người ,đính chính
Bài 29:
Cho a, b, c dương
Max{a,b,c} \leq 0.99
0 \leq x,y,z \leq 0.5;x+y+z=1
Tìm min
A(x,y,z)=ax+by+cz

 

[vy000]

thắc mắc chút nữa: A(x,y,z) nghĩa là thế nào?
____________________________________

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

Xin lỗi mọi người ,đính chính
Cho a, b, c dương
Max{a,b,c} \leq 0.99
0 \leq x,y,z \leq 0.5;x+y+z=1
Tìm min
A(x,y,z)=ax+by+cz

gs a=max{a,b,c}

A(x,y,z)=a(1-y-z)+by+cz

\\\\\\\\\=a+(b-a)y+(c-a)z

\\\\\\\\ \geq a+0.5(b-a)+0.5(c-a)

\\\\\\\\\=0.5(b+c)



>>>>>>> [TEX]a,b,c \in (0; 0.99][/TEX]

 

[bosjeunhan]

Bài 30: Cho $x,y,z>1$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=5$.
Chứng minh rằng: \[\frac{{{x}^{2}}}{y}+\frac{{{y}^{2}}}{z}+\frac{{{z}^{2}}}{x}\ge \frac{4}{\sqrt[]{7}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\]

 

[minhtuyb]

Đề nghị bò đưa ra lời giải của bài trên.
---
Bài này là bài kiến nghị chung kết HMEO nhưng bị ông Sơn bác bỏ T.T (Lí do thương mem? @_@). Thôi cứ đưa lên đây ai chém được thì chém:


Bài 31: Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của:
$$xy(x^2+y^2+xy)+yz(y^2+y^2+yz)+zx(z^2+x^2+zx)$$​

Tui cũng chế câu hình, thương mem quá, cụng bỏ đi roài =))

 

[son9701]

Thêm 1 bài nữa nhìn khủng bố cho m.n mần:

Bài 32: Chứng minh rằng với mọi a;b;c là 3 cạnh 1 tam giác thì ta có:

$$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 9a^2b^2c^2$$

 

[bosjeunhan]

Thêm 1 bài nữa nhìn khủng bố cho m.n mần:

Chứng minh rằng với mọi a;b;c là 3 cạnh 1 tam giác thì ta có:

$$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 9a^2b^2c^2$$

Cái này có đưa Churs vào đc ko nhỉ ^^

 

[son9701]

Cái này có đưa Churs vào đc ko nhỉ ^^

Chả biết,nhưng để mần ra cái này t phải dùng định lý Lai-bơ-nít của hình học

Trong tam giác ABC trọng tâm G,tâm ngoại tiếp (O) và BC=a;CA=b;AB=c ta có:

$OG^2=R^2- \frac{a^2+b^2+c^2}{9}$

Đăng lên đây để mọi người mần đường khác ~~