Toán Bất đẳng thức

[thienlong_cuong]

Em nghĩ cái bất đẳng thức của bác thienlong_cuong không đúng trong 1 số trường hợp vì ta có:

[TEX]\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
thì nếu ta chọn x=a;y=b;z=c thì hiển nhiên nó là bđt giả sử tức là:
[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
nhưng nếu chọn x=b;y=a;z=c thì:
[TEX]\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{b+c} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

cũng đúng.Nhưng khi cộng lại thì hỡi ôi:...............tan nát cõi lòng.

Bosjeunhan: Cộng lại thì sao bạn. Mình vẫn chưa hiểu

cuối cùng thì [TEX]3 \geq 3[/TEX] !? Chưa thuyết phục vì nó vẫn đúng mà !

Cách cm của tại hạ ở đây !?

[TEX]\sum \frac{a}{a + b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1 + \frac{b}{a}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Nếu đặt

[TEX]\frac{b}{a} = x[/TEX]

[TEX]\frac{c}{b} = y[/TEX]

[TEX]\frac{a}{c} = z[/TEX]

Khi đó [TEX]xyz = 1[/TEX]


Quy đồng khai triển ta sẽ có
[TEX]x + y + z \geq xy + yz + xz[/TEX] (với [TEX]xyz =1[/TEX]) (*)

Nếu chia 2 vế cho xyz = 1
Thì ta lại đc 1 BĐT khác

[TEX]\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}[/TEX]

Nếu gọi
[TEX]\frac{1}{x} = k[/TEX]

[TEX]\frac{1}{y} = p[/TEX]

[TEX]\frac{1}{z} = t[/TEX]

Khi đó cũng có [TEX]kpt = 1[/TEX]

Lại đc 1 BĐT hay hay khác

[TEX]k + p + t \leq kp + pt + kt[/TEX] (với[TEX] kpt = 1[/TEX]) (*)(*)

Nhìn (*) và (*)(*) thấy nó hoàn toàn sai ! Cả 2 BĐT đều bình đẳng nhưng trái dấu hoàn toàn !


Bosjeunhan:Hix, anh nỏ bit hs đúng hay sai hay ra răng cả.
Nhưng quy đồng lên nhân sang thì cho hs về đc
(b-a).(c-b).(a-b)
Thì hs đúng còn chi nữa hầy.

 

[lequangnam97]

cho mình hỏi! tât cả những cái nỳ làm sao để có thể giải một cách đơn giản như các cậu làm vậy, mình phải vất vả vài đêm mà không nghĩ za, mà cách cậu làm trong thời gian ngắn ngủi, và chính sác, anh chi mình với

 

[smilelove_chuotxinh]

Nhìn (*) và (*)(*) thấy nó hoàn toàn sai ! Cả 2 BĐT đều bình đẳng nhưng trái dấu hoàn toàn !

Ừ, cái BĐT này sai rành rành, không cm được đâu )
Tui nhớ thì chỉ có vụ này thôi thì phải :-?:
Bài 12:
Cho $a,b,c>0$. CMR:
$$\displaystyle{\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}}$$
Cm thử xem :x
Nick kia đang bị truy sát nên chạy sang đây ="='

 

[thienlong_cuong]

Ừ, cái BĐT này sai rành rành, không cm được đâu )
Tui nhớ thì chỉ có vụ này thôi thì phải :-?:
Cho $a,b,c>0$. CMR:
$$\displaystyle{\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4}}$$
Cm thử xem :x
Nick kia đang bị truy sát nên chạy sang đây ="='

!
[TEX]\sum \frac{a^2}{(a + b)^2} = \sum \frac{1}{1 + \frac{2b}{a} + \frac{b^2}{a^2}} =\sum \frac{1}{(1 + \frac{b}{a})^2} = \sum \frac{1}{(1 + x)^2}[/TEX]

Éc ! Sao thấy kì vậy hầy !

Khi đó

[TEX]\sum \frac{1}{(1 + x)^2} \geq \frac{1}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2(y^2 + 1)} + \frac{1}{(1 + z)^2} \geq \frac{1}{1 + xy} + \frac{1}{(1 + z)^2} = \frac{xyz}{xyz + xy} + \frac{1}{(1 + z)^2} = \frac{z}{z + 1} + \frac{1}{(z + 1)^2} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

Lỗi, lỗi, anh bạn thông cảm ). Định ghi $\frac{3}{4}$ mà nhầm

 

[son9701]

cuối cùng thì [TEX]3 \geq 3[/TEX] !? Chưa thuyết phục vì nó vẫn đúng mà !

Cách cm của tại hạ ở đây !?

[TEX]\sum \frac{a}{a + b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1 + \frac{b}{a}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Nếu đặt

[TEX]\frac{b}{a} = x[/TEX]

[TEX]\frac{c}{b} = y[/TEX]

[TEX]\frac{a}{c} = z[/TEX]

Khi đó [TEX]xyz = 1[/TEX]


Quy đồng khai triển ta sẽ có
[TEX]x + y + z \geq xy + yz + xz[/TEX] (với [TEX]xyz =1[/TEX]) (*)

Nếu chia 2 vế cho xyz = 1
Thì ta lại đc 1 BĐT khác

[TEX]\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}[/TEX]

Nếu gọi
[TEX]\frac{1}{x} = k[/TEX]

[TEX]\frac{1}{y} = p[/TEX]

[TEX]\frac{1}{z} = t[/TEX]

Khi đó cũng có [TEX]kpt = 1[/TEX]

Lại đc 1 BĐT hay hay khác

[TEX]k + p + t \leq kp + pt + kt[/TEX] (với[TEX] kpt = 1[/TEX]) (*)(*)

Nhìn (*) và (*)(*) thấy nó hoàn toàn sai ! Cả 2 BĐT đều bình đẳng nhưng trái dấu hoàn toàn !


Bosjeunhan:Hix, anh nỏ bit hs đúng hay sai hay ra răng cả.
Nhưng quy đồng lên nhân sang thì cho hs về đc
(b-a).(c-b).(a-b)
Thì hs đúng còn chi nữa hầy.

3 \geq 3 suy ra mâu thuẫn mừ:

Vì như vậy bất đẳng thức chỉ đúng nếu dấu = xảy ra trong mọi trường hợp thôi .

P/s: Cường: Cái của ông 2 bất đẳng thức trái dấu cũng thế cả thôi,vì dấu = mà )

P/s: Bò: $(a-b)(b-c)(c-a)$ \geq 0 là sai vì nếu a \geq b \geq c \Rightarrow .......... Sc: ẶC: (a-b).(c-b).(c-a) Tui ra ry mà

Dù không phải tự chế nhưng trong chùm bài (a-b)(b-c)(c-a) nên tui góp vui 1 bài nhá:

Bài 13:
Chứng minh : Với a;b;c > 0
$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}$ \geq $abc+ |(a-b)(b-c)(c-a)|$

P/s: Đề thi TST của nc nào k nhớ tên (nhưng gần Nga ) )

 

[thienlong_cuong]

3 \geq 3 suy ra mâu thuẫn mừ:

Vì như vậy bất đẳng thức chỉ đúng nếu dấu = xảy ra trong mọi trường hợp thôi .

P/s: Cường: Cái của ông 2 bất đẳng thức trái dấu cũng thế cả thôi,vì dấu = mà )

P/s: Bò: $(a-b)(b-c)(c-a)$ \geq 0 là sai vì nếu a \geq b \geq c \Rightarrow ..........

Dù không phải tự chế nhưng trong chùm bài (a-b)(b-c)(c-a) nên tui góp vui 1 bài nhá:

Chứng minh : Với a;b;c > 0
$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}$ \geq $abc+ |(a-b)(b-c)(c-a)|$

P/s: Đề thi TST của nc nào k nhớ tên (nhưng gần Nga ) )

định nghĩa 3 \geq 3 vẫn cho là đúng mà !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Cái này nhiều tranh cãi lắm ! Ko hiểu rõ cái bản chất của nó nữa !

 

[vanngochocmai]

to can loi giai va cach lam de trao doi kien thuc chu ko mun ra de lam hoai the nay met lam

 

[minhtuyb]

định nghĩa 3 \geq 3 vẫn cho là đúng mà !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Cái này nhiều tranh cãi lắm ! Ko hiểu rõ cái bản chất của nó nữa !

Bản chất?
Đơn giản là: $a\geq b\Leftrightarrow a>b\ or\ a=b$
Thanks bác Cường, đang cần bài cm đó ^_^

 

[netarivar]

Bài 14: Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương, chứng minh rằng:
a) [TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2[/TEX]
b) Mở rộng: Với $n$ số thực dương:
[TEX](a_{1}^{n-1}+n-1)(a_{2}^{n-1}+n-1)...(a_{n}^{n-1}+n-1)\geq n(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{n-1}[/TEX]

 

[asroma11235]

Góp vui 1 bài:
Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
a) [TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2[/TEX]
b) Mở rộng:
[TEX](a_{1}^{n-1}+n-1)(a_{2}^{n-1}+n-1)...(a_{n}^{n-1}+n-1)\geq n(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{n-1}[/TEX]
(Bất đẳng thức mở rộng là của mình và anh Đào Thanh Oai nghĩ ra)

a/ Ta có:
$$(a+b+c)^2 \le (a^2+2)[1+ \dfrac{(b+c)^2}{2}]$$
Ta sẽ chứng minh:
$$(b^2+2)(c^2+2) \ge 3[1+ \dfrac{(b+c)^2}{2}]$$
[TEX]\Leftrightarrow \frac{b^2+c^2}{2}+b^2c^2-3bc+1 \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow bc+b^2c^2-3bc+1=(bc-1)^2 \ge 0[/TEX]
-Mở rộng dạng kia chắc làm tương tự

 

[son9701]

Gửi lên 1 trái tim (k rõ là có bị trùng lặp không nữa):

Bài 15:Cho góc $\alpha$ có số đo < 90 độ.Chứng minh rằng
$P= sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha$ \geq $2$

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

Gửi lên 1 trái tim (k rõ là có bị trùng lặp không nữa):

Cho góc $\alpha$ có số đo < 90 độ.Chứng minh rằng
$P= sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha$ \geq $2$

ngon!

bđt này hơi bị độc đấy!

=)) ......................................................

 

[ngoa_long_tien_sinh]

Gửi lên 1 trái tim (k rõ là có bị trùng lặp không nữa):

Cho góc $\alpha$ có số đo < 90 độ.Chứng minh rằng
$P= sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha$ \geq $2$

ừ bất đẳng thức này hay đấy rất độc.
ta có [TEX] sin^{2012}\alpha \leq sin^{2}\alpha \forall \alpha [/TEX]
[TEX]cos^{2012}\alpha \leq cos^{2}\alpha \forall \alpha[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P= sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha \leq sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha = 1 [/TEX] Còn cách của bạn thì tôi chịu.

 

[son9701]

ừ bất đẳng thức này hay đấy rất độc.
ta có [TEX] sin^{2012}\alpha \leq sin^{2}\alpha \forall \alpha [/TEX]
[TEX]cos^{2012}\alpha \leq cos^{2}\alpha \forall \alpha[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P= sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha \leq sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha = 1 [/TEX] Còn cách của bạn thì tôi chịu.

Xin lỗi,chế nhầm :d ( Ai ngờ hệ quả của việc sin cos < 1 lại tai hại thế )

Xin sửa lại đề bài thành: Chứng minh rằng
[TEX]sin^{2012}\alpha + cos^{2012}\alpha \geq \frac{1}{2^{1005}} [/TEX]
Với $ 0 < \alpha < 90^o$

 

[daovuquang]

Xin lỗi,chế nhầm :d ( Ai ngờ hệ quả của việc sin cos < 1 lại tai hại thế )

Xin sửa lại đề bài thành: Chứng minh rằng
[TEX]sin^{2012}\alpha + cos^{2012}\alpha \geq \frac{1}{2^{1005}} [/TEX]
Với $ 0 < \alpha < 90^o$

Áp dụng Holder: [TEX](sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha)(1+1)(1+1)...(1+1)\geq(sin^2\alpha+cos^2\alpha)^{1006}=1.[/TEX](1005 lần [TEX]1+1[/TEX])
\Rightarrow [TEX]sin^{2012}\alpha + cos^{2012}\alpha \geq \frac{1}{2^{1005}}.[/TEX]

 

[bosjeunhan]

Áp dụng Holder: [TEX](sin^{2012}\alpha+cos^{2012}\alpha)(1+1)(1+1)...(1+1)\geq(sin^2\alpha+cos^2\alpha)^{1006}=1.[/TEX](1005 lần [TEX]1+1[/TEX])
\Rightarrow [TEX]sin^{2012}\alpha + cos^{2012}\alpha \geq \frac{1}{2^{1005}}.[/TEX]

Mới lớp 8 đã động đến Holder rồi cơ ak, tốt, hứa hẹn thế hệ kim cương đây.

Một bài chế khá hay: (Thg bạn hs chế)
Bài 16:
Cho a,b,c \geq 1 chứng minh rằng:

[TEX]\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}} + \frac{1}{1+ \sqrt[4]{bc^3}} + \frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}} [/TEX]

Để pic càng ngày càng lớn mạnh và có thể đưa đến nhiều kiến thức về BĐT cũng như là sự sáng tạo trong tư duy khi làm và chế BĐT mình đề nghị nhưng câu hỏi được đưa lên mà sau 1 tháng vẫn chưa có lời giải thì người ra sẽ post lên. Mọi người thấy thế nào ạ.
Hãy cho mình thêm ý kiến về vấn đề này! (đặc biệt là về vấn đề thời gian).
Rất mong được sử góp ý của các bạn.
Thân.

Xin gửi về tin nhắn riêng, trách spam trong pic.

Cảm ơn các bạn, theo một số ý kiến thì chúng ta sẽ thống nhất là:

+Sau 2 tuần bài chưa có lời giải thì sẽ được người ra post lên.
+Tham khảo thêm một số ý kiến, post bài các bạn ghi số thứ tự tại các bài.
+Các bài giải cần khá củ thể và đi đến cuối cùng

Chính vì vậy, những bài chưa có hướng thì hãy đưa lên đi ạ.
Thank all.

 

[bboy114crew]

Mới lớp 8 đã động đến Holder rồi cơ ak, tốt, hứa hẹn thế hệ kim cương đây.

Một bài chế khá hay: (Thg bạn hs chế)

Cho a,b,c \geq 1 chứng minh rằng:

[TEX]\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}} + \frac{1}{1+ \sqrt[4]{bc^3}} + \frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}} [/TEX]

Để pic càng ngày càng lớn mạnh và có thể đưa đến nhiều kiến thức về BĐT cũng như là sự sáng tạo trong tư duy khi làm và chế BĐT mình đề nghị nhưng câu hỏi được đưa lên mà sau 1 tháng vẫn chưa có lời giải thì người ra sẽ post lên. Mọi người thấy thế nào ạ.
Hãy cho mình thêm ý kiến về vấn đề này! (đặc biệt là về vấn đề thời gian).
Rất mong được sử góp ý của các bạn.
Thân.

Xin gửi về tin nhắn riêng, trách spam trong pic.

Bài này sao giống bài thi vào KHTN năm nào quá!

 

[bosjeunhan]

Cho các số thực dương thỏa mãn: [TEX]a+b=4ab[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{4b} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

Minh xin được đưa ra lời giải của bài này:

BĐT tương đương:
[TEX] \frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
( Mình chỉ chế có thể mà rất tiếc chưa giải có thể giải trong hai tuần vừa qua)

Đây là một bài chế của mem rinnegan.Link đây ạ

[TEX](a+b)^2\geq 4ab [/TEX]
( AM-GM )
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq a+b [/TEX]
(Do a+b=4ab)
[TEX]\Leftrightarrow a+b \geq 1[/TEX]
(Do a,b>o)
[TEX]\Leftrightarrow 2.(a+b) \geq a+b+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a+b}{a+b+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
[TEX](a+b)^2 \leq (\frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1}).(4ab^2+a+4a^b+b)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{(a+b)^2}{4ab.(a+b)+a+b} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+a+b} = \frac{a+b}{a+b+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
(Do a+b=4ab)
Dấu "=" có \Leftrightarrow a=b=1/2

Đồng chí Thienlong_cuong hãy post bài giải cho bài 1, bài 2.
Có 1 bài tôi vẫn chưa giải quyết được.

 

[minhtuyb]

Bài này sao giống bài thi vào KHTN năm nào quá!

Chuẩn hàng rùi anh ). Em cũng chỉ nhớ là từ thời mình đc 1,2 tuổi gì đó =))
Lời giải vắn tắt (dạo nì lười giải tử tế quá ))
Ta dễ dàng cm BĐT sau: Với $x,y \ge 1$ thì:
$$\frac{1}{1+\sqrt{x}}+\frac{1}{1+\sqrt{y}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}(*)$$
Chắc ở đây ai cũng biết cách cm, áp dụng luôn cho lành :
$$\frac{2}{1+b}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+a}\ge \frac{2}{1+b}+\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\ge \frac{4}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$$
$$\frac{2}{1+c}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+b}\ge \frac{2}{1+c}+\frac{2}{1+\sqrt{bc}}\ge \frac{4}{1+\sqrt[4]{bc^3}}$$
$$\frac{2}{1+a}+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+c}\ge \frac{2}{1+a}+\frac{2}{1+\sqrt{ac}}\ge \frac{4}{1+\sqrt[4]{a^3c}}$$
Cộng vế với vế chia cho 4 ta có ĐPCM. Dấu bằng khi $a=b=c$

 

[thienlong_cuong]

Bài 1: Thienlong_cuong: Cho các số thực dương x ; y ; z thõa mãn [TEX]xyz = 1[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + y^2 + z^2} + \frac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq \frac{1}{1 + x + x^2} + \frac{1}{1 + y + y^2} + \frac{1}{1 + z + z^2}[/TEX]
Bài 2: Thienlong_cuong: Gửi 1 bài chế này
Cho các số thực dương a, b , c
Thõa mãn[TEX] a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
Chứng minh rằng

[TEX]\sum \frac{a}{1 - a^2} \geq \frac{9}{2(a + b + c)}[/TEX]

|Ko biết có sai đề ko biết !
Bài 3: Bài này tôi chế từ 1 bài trên diễn đàn
Cho các số thực dương thỏa mãn: [TEX]a+b=4ab[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{4b} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

(Như tôi đã nói trên bài này lúc đầu tôi chế thành
[TEX] \frac{a}{4b} + \frac{b}{4a} \geq \frac{1}{2}[/TEX] ---siêu không nào )

=(( ! Nầy ! Chế thì chế vậy thôi ! Chứ ai biết nó đúng hay sai đâu ! :-SS


[TEX]\frac{1}{1 + x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + y^2 + z^2} + \frac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq \frac{1}{1 + x + x^2} + \frac{1}{1 + y + y^2} + \frac{1}{1 + z + z^2}[/TEX]

/ ! Nhìn hơi hơi đẹp 1 tý ! Nhưng nhìn vô chắc ai cũng nghĩ tới chuyện bắc cầu với 1 số thực dương nào đó

Nhìn VT , rõ ràng nó là 1 ngụy trang "tồi tệ" của bài toán
[TEX]\sum \frac{1}{1 + a^3 + b^3} \leq 1[/TEX] với abc = 1

Chỉ khó nhau VP thôi
thực ra vế phải lại là 1 ngụy trang của 1 bài toán khác
vs đk xyz = 1
Thì hầu hết ý tưởng đặt ẩn phụ chắc hẳn là
[TEX]\frac{x}{y} = a[/TEX] ; .....
Phá cái ngụy trang này , ta sẽ đc 1 cái mới nhìn có vẻ cồng hơn nhưng ngon ăn hơn ! (nopis ngon vậy thôi chứ nhai khi nào cho hết)

[TEX]\sum \frac{b^2}{b^2 + ab + a^2} \leq 1[/TEX]

Nhân vào 2 vế 1 lượng [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac[/TEX]

[TEX]\sum \frac{b^2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac)}{b^2 + ab + a^2} \leq a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac[/TEX]

Khá Bất ngờ vs pp này !

[TEX]\sum a^2 + \sum \frac{b^2(c^2 + bc + ac)}{b^2 + ab + a^2} \geq a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c(a + b + c)}{b^2 + ab + a^2} \geq ab + bc + ac[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c^2(a + b + c)}{b^2c + abc + a^2c} \geq ab + bc + ac[/TEX]

! Đúng theo schwarz