Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[bigbang195]

Dạng bài hơi khó một chút
1.Cho a,b,c \geq 0. CMR

2.Cho a,b,c >0 . CMR :

Bài 1:

[TEX]VT =\sum \frac{(a^2-bc)^2}{(a^2-bc)(b^2+c^2+2a^2)} \ge \frac{\sum a^2-\sum ab}{\sum (a^2-bc)(b^2+c^2+2a^2)}[/TEX]

Chỉ cần CM [TEX]\sum (a^2-bc)(b^2+c^2+2a^2) \ge 0[/TEX]
hay [TEX]2 \sum a^4+2\sum a^2b^2 \ge \sum a^3b +\sum b^3a+2 abc(a+b+c)[/TEX]

ta chỉ cần Sử dụng
[TEX]\left{ \sum a^4+\sum a^2b^2 \ge 2 \sum a^3b \\ \sum b^4+\sum b^2a^2 \ge 2\sum b^3a \\ \sum a^4+\sum a^2b^2 \ge 2abc(a+b+c)[/TEX]

 

[bigbang195]

Bài 1:

[TEX]VT =\sum \frac{(a^2-bc)^2}{(a^2-bc)(b^2+c^2+2a^2)} \ge \frac{\sum a^2-\sum ab}{\sum (a^2-bc)(b^2+c^2+2a^2)}[/TEX]

Chỉ cần CM [TEX]\sum (a^2-bc)(b^2+c^2+2a^2) \ge 0[/TEX]
hay [TEX]2 \sum a^4+2\sum a^2b^2 \ge \sum a^3b +\sum b^3a+2 abc(a+b+c)[/TEX]

ta chỉ cần Sử dụng
[TEX]\left{ \sum a^4+\sum a^2b^2 \ge 2 \sum a^3b \\ \sum b^4+\sum b^2a^2 \ge 2\sum b^3a \\ \sum a^4+\sum a^2b^2 \ge 2abc(a+b+c)[/TEX]

Xin Lỗi nhé bài này mình giải sai mất rùi !

 

[bigbang195]

Trước hết nhắc lại BĐT Chebyshev :
Bất đẳng thức Chebyshev:
[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b ; x \ge y[/TEX] thì:[TEX]\huge (a+b)(x+y) \le 2(ax+by)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]\huge x \ge y \ge z [/TEX]thì [TEX]\huge (a+b+c)(x+y+z) \le 3(ax+by+xz)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]dạng tổng quát : với mọi [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]


[TEX]\huge *[/TEX]nếu là 2 dãy ngược chiều [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\le b_2\le ...\le b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge *[/TEX][TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \le n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]

Ta thấy : để muốn sử dụng nó ta phải sắp xếp

chẳng hạn
VT tuy có

nhưng

có nghĩa là ngược chiều như vậy ko thể áp dụng trực tiếp được
ta sẽ nghĩ đến việc nhân cả tử và mẫu với cái gì đó để có thể sử dụng Chebyshev và đó là:

ta thấy biểu thức này bằng 0
và cũng có

vì

và

và các Mẫu số lúc này là

để cho thuận chiều ta phải chứng minh

hay có nghĩa

Mình sẽ chứng minh 1 vế và các bạn sẽ chứng minh nó tương tự

luôn có

và

nên

vậy đã thỏa mãn
ta áp dụng Chebyshev :

ĐPCM

 

[bigbang195]

Mình sẽ chứng minh luôn Bất đẳng thức ChebyShev với 3 biến để tiện sử dụng vì hầu hết các BDT đều là 3 biến

với

và

z thì

Đúng .

DẠNG DỄ​

Bài 12

dương. Chứng minh

Bài 13:

dương và

.Chứng minh

Bài 14:

dương và

Chứng minh :

Đừng nản lòng nhé !, hãy thử áp dụng những BDT ở phần đầu bài xem sao, mò mẫm,mò mẫm..............
Bài 15:

và

.Chứng minh

Bình Thường​

Bài 16:

chứng minh

Bài 17:

Chứng minh

 

[rua_it]

2.Cho a,b,c >0 . CMR :

Vì vai trò của a,b,c là bình đẳng nên khong mất tính tổng quát, giả sử [tex] a \geq b\geq c>0[/tex]
[tex]\Rightarrow VT-VP =\frac{a.(ab+ac-(b^2+c^2)}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{b.(bc+ba-(c^2+a^2)}{(c^2+a^2)(c+a)}+\frac{c.(ca+cb-(a^2+b^2)}{(a^2+b^2).(a+b)} \\ = \frac{a.(b(a-b)+c(a-c))}{(b^2+c^2).(b+c)}+\frac{b.(c(b-c)+a.(b-a))}{(a^2+c^2)(a+c)}+\frac{c(a(c-a)+b(c-b))}{(a^2+b^2).(a+b)} \\ =[\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(c^2+a^2)(c+a)}].ab.(a-b)+[\frac{1}{(c^2+a^2)(c+a)}-\frac{1}{(a^2+b^2)(a+b)}].bc.(b-c)+[\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(a^2+b^2)(a+b)}].ac(a-c) \geq 0 \\ \Rightarrow dpcm[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a=b=c[/tex]

 

[dandoh221]

hic . bài 16 thế mà ko ra, ngu quá =(khi (127)::khi (104)::khi (157):
bài 15 đúng là sai thật. như thế này thì đúng há
Bài 15:

và

.Chứng minh

Xét ab \leq 0 \Rightarrow VT \leq 0
Xét ab > 0 \Rightarrow

 

[quyenuy0241]

Mình sẽ chứng minh luôn Bất đẳng thức ChebyShev với 3 biến để tiện sử dụng vì hầu hết các BDT đều là 3 biến

với

và

z thì

Đúng .

DẠNG DỄ​

Bài 12

dương. Chứng minh

Bài 13:

dương và

.Chứng minh

Bài 14:

dương và

Chứng minh :

Đừng nản lòng nhé !, hãy thử áp dụng những BDT ở phần đầu bài xem sao, mò mẫm,mò mẫm..............
Bài 15:

và

.Chứng minh

Bình Thường​

Bài 16:

chứng minh

Bài 17:

Chứng minh

Câu 15, thì có[tex](a^2+b^2)2ab\le \frac{(a+b)^4}{4}=\frac{1}{4}[/tex] từ đó suy ra điều phải CM

 

[bigbang195]

DẠNG DỄ​

Bài 12

dương. Chứng minh

Ta có :

Tương tự với mấy cái kia rồi cộng lại

Bài 13:

dương và

.Chứng minh

Vì

nên

mà ta có bdt

nên

Bài 14:

dương và

Chứng minh :

áp dụng

Đừng nản lòng nhé !, hãy thử áp dụng những BDT ở phần đầu bài xem sao, mò mẫm,mò mẫm..............
Bài 15:

và

.Chứng minh

Bình Thường​

Bài 16:

chứng minh

Bài 17:

Chứng minh

do 1-a;1-b;1-c có 2 số cùng dấu nên ko mất tính tổng quát giả sử (1-b)(1-c) \geq 0 khi đó

[/QUOTE]

Bài 13: cũng có thể giải như sau:

vậy chỉ cần chứng minh :

Theo SCHWARZ

Bài 15 cậu và anh quyenuy0241 đều sai vì ta không thể áp dụng am-gm cho các số âm

Bài 16:
Sử dụng các BDT đã biết :
am-gm 3 biến :

bdt nổi tiếng:

Lời giải : 3 dòng

 

[bigbang195]

DẠNG DỄ​

Bài 12

dương. Chứng minh

Ta có :

Tương tự với mấy cái kia rồi cộng lại

Bài 13:

dương và

.Chứng minh

Vì

nên

mà ta có bdt

nên

Bài 14:

dương và

Chứng minh :

áp dụng

Đừng nản lòng nhé !, hãy thử áp dụng những BDT ở phần đầu bài xem sao, mò mẫm,mò mẫm..............
Bài 15:

và

.Chứng minh

Bình Thường​

Bài 16:

chứng minh

Bài 17:

Chứng minh

do 1-a;1-b;1-c có 2 số cùng dấu nên ko mất tính tổng quát giả sử (1-b)(1-c) \geq 0 khi đó

[/QUOTE]

Bài 13: cũng có thể giải như sau:

vậy chỉ cần chứng minh :

Theo SCHWARZ

Bài 15 cậu và anh quyenuy0241 đều sai vì ta không thể áp dụng am-gm cho các số âm

Bài 16:
Sử dụng các BDT đã biết :
am-gm 3 biến :

bdt nổi tiếng:

Lời giải : 3 dòng

 

[bigbang195]

Dạng dễ

Bài 18 :

dương Chứng minh

Bài 19 :

chứng minh

Bài 20:

chứng minh

Bài 21:

Chứng minh

Dạng Bình thường

Bài 22:

;

. Chứng minh

Bài 23:

.Chứng minh

Bài 24:

và

. Chứng minh

 

[rua_it]

[tex]a,b,c \geq 0[/tex] [tex]and[/tex] [tex]abc=1[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1} \leq 3[/tex]

 

[dandoh221]

Bài 18 :

dương Chứng minh

áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

Bài 23:

.Chứng minh

Nhân thêm một lượng vào .....

thấy làm đc ngay gõ tùm lum cái ) sai mọi người thông cảm

 

[bigbang195]

Bài 18 :

dương Chứng minh

áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

Bài 23:

.Chứng minh

Nhân thêm một lượng vào .....

thấy làm đc ngay gõ tùm lum cái ) sai mọi người thông cảm

Chứng minh nhỏ hơn 0 cơ mà bạn !

 

[rua_it]

1.Cho a,b,c \geq 0. CMR

[tex]\huge Cauchy Schwarz \Rightarrow \left{\begin{\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \geq\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}}\\{\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \geq\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\\{\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2} \geq\frac{(a+c)^2}{a^2+c^2+2b^2}[/tex]
Cộng vế theo vế, ta được ngay dpcm.

 

[bigbang195]

[tex]\huge Cauchy Schwarz \Rightarrow \left{\begin{\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \geq\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}}\\{\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \geq\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\\{\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2} \geq\frac{(a+c)^2}{a^2+c^2+2b^2}[/tex]
Cộng vế theo vế, ta được ngay dpcm.

em ko hiểu anh làm luôn đi anh
thanks anh .

 

[rua_it]

Cộng theo vế và nhóm hợp lý, ta được:
[tex](\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})+(\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2})+](\frac{c^2}{c^2+a^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}) -(\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+a^2+2b^2} \geq 0[/tex]
[tex]\rightarrow 3-(\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+a^2+2b^2} \geq 0[/tex]
[tex]\rightarrow (1-\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2+2c^2})+(1-\frac{b^2+c^2+2bc}{b^2+c^2+2a^2}) +(1-\frac{c^2+a^2+2ac}{c^2+a^2+2b^2}) \geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow dpcm[/tex]

 

[cool_strawberry]

Tiện thể tớ post luôn 2 bài trong đề toán phải làm trong kì nghỉ Tết!
1.Cho a,b,c là số đo góc nhọn thỏa mãn:[TEX]cos^2a+cos^2b+cos^2c>2[/TEX]
Chứng minh: [TEX](tg a.tg b.tg c)^2<\frac{1}{8}[/TEX]
2.Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{a^5+c^5+ac}[/TEX]

 

[rua_it]

[tex]\frac{ab}{a^5+b^5+ab} =\frac{ab}{(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)+ab}[/tex]

[tex]= \frac{ab}{(a+b)(a^2b^2+(a-b)(a^3-b^3)+ab}[/tex]

[tex]=\frac{ab}{(a+b)(a^2b^2+(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+ab} \leq \frac{ab}{(a^2b^2(a+b)+ab)}=\frac{ab}{ab(ab(a+b)+1)}[/tex]
[tex]=\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{abc}{ab(a+b+c)} = \frac{c}{a+b+c}[/tex]

Tương tự, ta có:

[tex]\left{\begin{\frac{bc}{a^5+b^5+ab} \leq \frac{a}{a+b+c}}\\{\frac{bc}{c^5+b^5+bc} \leq \frac{b}{a+b+c}[/tex]

Cộng theo vế ta có ngay dpcm.

 

[bigbang195]

Tiện thể tớ post luôn 2 bài trong đề toán phải làm trong kì nghỉ Tết!
1.Cho a,b,c là số đo góc nhọn thỏa mãn:[TEX]cos^2a+cos^2b+cos^2c>2[/TEX]
Chứng minh: [TEX](tg a.tg b.tg c)^2<\frac{1}{8}[/TEX]
2.Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{a^5+c^5+ac}[/TEX]

Kinh lớp 9 mà bạn đã học đến Bt lượng giác rùi à.
chắc là sử dụng đính lí COS

 

[bigbang195]

Dạng bình thường​

[TEX]a,b,c[/TEX] là các số dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Tìm min
[TEX]\frac{1}{a(a+b}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}[/TEX]