Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[trydan]

;
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Japan, 1997​

 

[bigbang195]

Bài này thì sao:
Cho các số dương a,b,c với a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{1}{9-ab}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{9-bc}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{9-ca}[/TEX]\leq[TEX]\frac{3}{8}[/TEX]

xem ở quyển ý hết :-j .

 

[quyenuy0241]

[tex]x,y,z \in R [/tex]

TM: [tex] x^2+y^2+z^2=2 [/tex]

[tex]CMR: x+y+z \le 2+xyz [/tex]

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm thỏa mãn

[TEX]a+b+c=ab+bc+ac[/TEX]. Chứng minh

[TEX]a+b+3c \ge 4[/TEX]

p/s: bài này rất hay

Đk có nhầm không em

[tex]a=b=c=0 [/tex]

------------------------------------------------------------------------------

 

[ngojsaoleloj8814974]

1.) Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:


2.) Cho a,b,c dương và [TEX]abc = 1[/TEX]. Tìm min:

[TEX] P=\frac{{(1+a)}^{3}}{bc} + \frac{{(1+b)}^{3}}{ac} + \frac{{(1+c)}^{3}}{ba}[/TEX]

[TEX](1+a)^3 \geq 4a(a+1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P=\frac{{(1+a)}^{3}}{bc} + \frac{{(1+b)}^{3}}{ac} + \frac{{(1+c)}^{3}}{ba} \geq \frac{{4a(1+a)}}{bc} + \frac{{4b(1+b)}}{ac} + \frac{{4c(1+c)}}{ba}=4a^3+4b^3+4c^3+4a^2+4b^2+4c^2 \geq 12abc+12\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=24[/TEX]
khi a=b=c=1

 

[bigbang195]

Đk có nhầm không em

[tex]a=b=c=0 [/tex]

------------------------------------------------------------------------------

Em cũng thấy hay ạ, xem có ai đoán ra ko


p/s ko có bộ 2 nào =0

 

[bigbang195]

[tex]x,y,z \in R [/tex]

TM: [tex] x^2+y^2+z^2=2 [/tex]

[tex]CMR: x+y+z \le 2+xyz [/tex]

Lười quá ko post

Toàn Eng em ko hiểu (

 

[quan8d]

dương thỏa mãn

Tìm min

Do [TEX]a,b,c,d [/TEX]d­ương nên[TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 \Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)^2 \geq 0 .[/TEX] Tương tự :
[TEX](\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{a}{d}+\frac{d}{a}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{d}{b}+\frac{b}{d}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{d}{c}+\frac{c}{d}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)^2+(\frac{b}{c}+\frac{b}{c}-2)^2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2)^2+(\frac{a}{d}+\frac{d}{a}-2)^2+(\frac{d}{b}+\frac{b}{d}-2)^2 +(\frac{d}{c}+\frac{c}{d}-2)^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})^2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})^2+(\frac{a}{d}+\frac{d}{a})^2+(\frac{d}{b}+\frac{b}{d})^2+(\frac{d}{c}+\frac{c}{d})^2 + 24 \geq 4(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}+\frac{a}{d}+\frac{d}{a}+\frac{a}{d}+\frac{d}{c}+\frac{d}{c})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}) + 48 \geq4(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}) = 80 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}) \geq 32[/TEX]
Min = 32

 

[bigbang195]

Do [TEX]a,b,c,d [/TEX]d­ương nên[TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 \Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)^2 \geq 0 .[/TEX] Tương tự :
[TEX](\frac{b}{c}+\frac{b}{c}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{a}{d}+\frac{d}{a}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{d}{b}+\frac{b}{d}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX](\frac{d}{c}+\frac{c}{d}-2)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)^2+(\frac{b}{c}+\frac{b}{c}-2)^2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2)^2+(\frac{a}{d}+\frac{d}{a}-2)^2+(\frac{d}{b}+\frac{b}{d}-2)^2 +(\frac{d}{c}+\frac{c}{d}-2)^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})^2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})^2+(\frac{a}{d}+\frac{d}{a})^2+(\frac{d}{b}+\frac{b}{d})^2+(\frac{d}{c}+\frac{c}{d})^2 + 24 \geq 4(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}+\frac{a}{d}+\frac{d}{a}+\frac{a}{d}+\frac{d}{c}+\frac{d}{c})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}) + 48 \geq4(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}) = 80 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}) \geq 32[/TEX]
Min = 32

Sai ngay ở đánh giá đầu .
Min =36

 

[quan8d]

Chung vui: ;
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Đặt [TEX]x = \frac{b+c}{2}[/TEX] suy ra:
[TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) = (a^2+2)\left[b^2c^2+2(b^2+c^2)+4 \right] \geq (a^2+2)\left[2bc+2(b^2+c^2)+3 \right] = (a^2+2)\left[b^2+c^2+(b+c)^2+3 \right] \geq (a^2+2)(3+6x^2) [/TEX]
Ta có : [TEX]ab+bc+ca \leq a(b+c)+\frac{(b+c)^2}{4} = 2ax+x^2 [/TEX]
Cần chứng minh : [TEX](a^2+2)(3+6x^2) \geq 9(2ax+x^2) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+2a^2x^2+2+x^2-6ax \geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-x)^2+2(ax-1)^2 \geq 0 , đúng .[/TEX]
Vậy [TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Chung vui: ;
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

APMO, 2004​

Nó thì luôn đúng do

[TEX] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 3\(a+b+c\)^2+\(1-abc\)^2\ \ [/TEX]

 

[kimxakiem2507]

Nó thì luôn đúng do

[TEX] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 3\(a+b+c\)^2+\(1-abc\)^2\ \ [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow8+\(a^2+b^2+c^2\)4+\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)2+a^2b^2c^2\ge 3\(a^2+b^2+c^2\)+6\(ab+bc+ca\)+1-2abc+a^2b^2c^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 7+\(a^2+b^2+c^2\)+2\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)\ge 6\(ab+bc+ca\)-2abc[/TEX]

Chúng tại có các bất đẳng thức phụ sau :

[TEX]\left{ a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2\(ab+bc+ca\)\\ 2\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)+ 6\ge 4\(ab+bc+ca\)[/TEX]

Chúc các bạn vui vẽ

 

[tell_me_goobye]

;
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Japan, 1997​

ĐẶT a+b+c =k sử dụng bdt quen thuộc
[TEX]\prod abc \geq (a+b-c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow abc \geq (2k -a)[/TEX]
rút gọn lai được [TEX]4 \sum ab -k^2 \leq \frac{9}{k} abc [/TEX]
BDT [TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 +2abc+1 \geq 4(ab+bc+ac)[/TEX]

BDT này quen thuộc rồi

 

[trydan]

[Aaron Pixton]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng

 

[quan8d]

Bài này thì sao:
Cho các số dương a,b,c với a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{1}{9-ab}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{9-bc}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{9-ca}[/TEX]\leq[TEX]\frac{3}{8}[/TEX]

Biến đổi BĐT và chuyển về dạng [TEX]p,q,r [/TEX], ta có :
[TEX]8(243-18p+3r) \leq 3(729-81+27r-r^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow243-99q+57r-3r^2 \geq 0[/TEX]
Theo BĐT AM-GM ta có : [TEX]3 = 3(\frac{a+b+c}{3})^6 \geq 3(abc)^2 = 3r^2[/TEX]
Theo BĐT schur thì : [TEX]r \geq \frac{p(4q-p^2)}{9} = \frac{4q-9}{3} \Rightarrow 57r \geq 19(4q-9)[/TEX]
Nên [TEX]243-99q+57r-3r^2 \geq 243-99q+76q-171-3r^2 = 72-23q-3r^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(1-r^2)+23(3-q) \geq0[/TEX] (đpcm)

 

[ilovetoan]

cho a+b+c=3
chứng mình a/( b^2+1)+b/(c^2+1)+c/(a^2+1)>=3/2
- các mod sửa bài hộ tui nha , xóa luôn cai dòng này , nhác đánh công thức quá

 

[nhockthongay_girlkute]

choa,b,c ko âm t/m a+b+c=3
chứng mình [TEX]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge\ \frac{3}{2}[/TEX]

Dễ dàng chứng minh được . [TEX]a^2+b^2+c^2 \ge\3[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức [TEX]Schwarz[/TEX] ta có .

[TEX]VT= \sum_{cyc}\frac{ a^4 }{ a^2b^2+a^2 } \ge\ \sum_{cyc}\frac{ a^4 }{ a^2b^2+ \frac{a^2(a^2+b^2+c^2)}{3}}[/TEX]
[TEX]VT \ge\ \sum_{cyc} \frac{3\(\sum_{cyc}a^2\)^2}{\sum_{cyc}a^4+5 \sum_{cyc}a^2b^2}[/TEX]

Ta đi chứng minh [TEX]\sum_{cyc}\frac{3\(\sum_{cyc}a^2\)^2}{\sum_{cyc}a^4+5\sum_{cyc}a^2b^2}\ge\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{cyc}a^4\ge\sum_{cyc} a^2b^2[/TEX] luôn đúng theo [TEX]AM-GM[/TEX]

^^________________________________________________________________________________________^^

 

[ak_47]

^^________________________________________________________________________________________^^

đúng nhưng dài dòng và phức tạp hơn Cauchy ngược .

 

[ak_47]

Mà ở tử là a chứ không phải a^2 .

 

[dandoh221]

[TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương thỏa mãn [TEX]\blue ab+bc+ac+abc=4.[/TEX] Chứng minh rằng


[TEX]\blue a+b+c \ge ab+bc+ac[/TEX]

p/s:trydan có lời giải bài [TEX]abc=1[/TEX] post dùm anh nhé