Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[redevil240295]

hay quá!

[TEX]a,b,c[/TEX] là 3 số tùy ý thuộc [TEX][0;1][/TEX]. CMR

[TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 1 + a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]

[tex] (1-a)(1-b)(1-c) \geq0[/tex]
\Leftrightarrow[tex] 1\geq a+b+c -ab-bc-ca[/tex]
VP\geq [tex] a^2b+b^2c+c^2a+a+b+c-ab-bc-ac[/tex]
Ta chỉ cần CM :
[tex]a^2b+b^2c+c^2a+a+b+c-ab-bc-ac[/tex]\geq[tex]a^2+b^2+b^2[/tex]
Chuyển vế và phân tích ta sẽ thu được tổng của 3 nhân tử \geq0
\Leftrightarrow[tex] a(1-b)(1-a) +.....+......\geq0[/tex] (*)
(*) đúng vì[TEX]a,b,c[/TEX] là 3 số tùy ý thuộc [TEX][0;1][/TEX]
\Rightarrowta có đpcm

em gà lắm!

 

[quyenuy0241]

Có lẽ đây là chuyển vị ạ .

không phải rồi ! Đây là dồn biến

Còn cách chuyển vị đơn giản hơn nhiều

 

[quyenuy0241]

Có lẽ đây là chuyển vị ạ .

Ta sẽ CM:

[tex]4(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab) \le (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2[/tex]

không mất tính tổng quát giả sư : [tex]a \ge b \ge c [/tex]

[tex]\Rightarrow a^2+bc \le (a+c)^2 [/tex]

[tex]Can-CM: b^2+c^2+ab+ac \le (a+b)(a+c) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow c^2 \le bc [/tex](luôn đúng )

Đẳng thức xảy ra : (0,1,1) và các hoán vị

 

[quan8d]

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho :[tex] a^3+b^3+c^3[/tex] = 3
Chứng minh:[tex]\frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{3-b^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{3-c^2}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

post bài lên rồi bây giờ người post phải giải là sao đây trời
có: [tex] a^3 + b^3 + c^3 = 3 [/tex] , a,b,c dương \Rightarrow [tex] 0 < a,b,c < \sqrt[3]{3}[/tex]
\Rightarrow[tex] a^2 , b^2 , c^2 < \sqrt[3]{9} < \sqrt[2]{9} = 3[/tex]
BĐT \Leftrightarrow [TEX]\frac{a^3}{a\sqrt{3-a^2}}+\frac{b^3}{b\sqrt{3-b^2}}+\frac{c^3}{c\sqrt{3-c^2}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}[/TEX]
Cô si \Rightarrow [tex]\sqrt[3]{(2a^2)(3-a^2)(3-b^2)} \leq \frac{2a^2+3-a^2+3-a^2}{3} = 2[/tex]
\Rightarrow[tex]2a^2(3-a^2)^2 \leq 8 \Rightarrow a^2(3-a^2)^2 \leq 4 [/tex]
[tex] a > 0, 3-a^2 > 0 \Rightarrow 0 < a\sqrt{3-a^2} < \sqrt{2}[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{a^3}{a\sqrt{3-a^2}} \geq \frac{a^3}{\sqrt{2}}[/tex]
Tương tự :
[tex]\frac{b^3}{b\sqrt{3-b^2}} \geq \frac{b^3}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\frac{c^3}{c\sqrt{3-c^2}} \geq \frac{c^3}{\sqrt{2}}[/tex]
Cộng 3 BĐT ta đc đpcm
Nhớ thanks nha mỏi tay lắm

 

[vodichhocmai]

post bài lên rồi bây giờ người post phải giải là sao đây trời
có: [tex] a^3 + b^3 + c^3 = 3 [/tex] , a,b,c dương \Rightarrow [tex] 0 < a,b,c < \sqrt[3]{3}[/tex]
\Rightarrow[tex] a^2 , b^2 , c^2 < \sqrt[3]{9} < \sqrt[2]{9} = 3[/tex]
BĐT \Leftrightarrow [TEX]\frac{a^3}{a\sqrt{3-a^2}}+\frac{b^3}{b\sqrt{3-b^2}}+\frac{c^3}{c\sqrt{3-c^2}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}[/TEX]
Cô si \Rightarrow [tex]\sqrt[3]{(2a^2)(3-a^2)(3-b^2)} \leq \frac{2a^2+3-a^2+3-a^2}{3} = 2[/tex]
\Rightarrow[tex]2a^2(3-a^2)^2 \leq 8 \Rightarrow a^2(3-a^2)^2 \leq 4 [/tex]
[tex] a > 0, 3-a^2 > 0 \Rightarrow 0 < a\sqrt{3-a^2} < \sqrt{2}[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{a^3}{a\sqrt{3-a^2}} \geq \frac{a^3}{\sqrt{2}}[/tex]
Tương tự :
[tex]\frac{b^3}{b\sqrt{3-b^2}} \geq \frac{b^3}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\frac{c^3}{c\sqrt{3-c^2}} \geq \frac{c^3}{\sqrt{2}}[/tex]
Cộng 3 BĐT ta đc đpcm
Nhớ thanks nha mỏi tay lắm

Nhưng thật không vui cho bạn vì bài giải này tôi nghỉ là không đúng

 

[tigerboy]

Cho các số [TEX]a,b,c[/TEX] đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

[TEX]({\frac{a+b}{a-b}})^{2} + ({\frac{b+c}{b-c}})^{2} + ({\frac{c+a}{c-a}})^{2} \geq 2[/TEX]

 

[tigerboy]

Cho [TEX]x\in R[/TEX]. CMR

Bất đẳng thức trên lưôn đúng do [TEX]a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca[/TEX]

???

Em không hiểu chỗ này ! :|
______________________________________

1.) Cho x,y,z dương và có tổng = 1. CMR

[TEX]\sqrt{2x^2 + xy + 2y^2} + \sqrt{2y^2 + yz + 2z^2} + \sqrt{2z^2 + zx + 2x^2}[/TEX] \geq [TEX]\sqrt{5}[/TEX]

2.) Chứng minh:

[TEX]1019x^2 + 18y^4 + 1007z^2[/TEX] \geq [TEX]30xy^2 + 6y^2z + 2008[/TEX]

 

[big.bang]

Em không hiểu chỗ này ! :|
______________________________________


2.) Chứng minh:

[TEX]1019x^2 + 18y^4 + 1007z^2[/TEX] \geq [TEX]30xy^2 + 6y^2z + 2008[/TEX]

.

 

[big.bang]

a,b,c không âm thoả mãn

. tìm max

 

[djbirurn9x]

Cho [TEX]x \in R[/TEX]. Chứng minh rằng :

[TEX]{(\frac{12}{5})}^{x} + {(\frac{15}{4})}^{x} + {(\frac{20}{3})}^{x}\geq 3^x + 4^x + 5^x[/TEX]

cái này là đề thi đh cách đây mấy năm
bắt cặp 2 số bên trái cauchy thì \geq 1 số bên phải rối cộng lại

P/s : chả hiểu hocmai.vn bị lỗi gì mà BR9 với anh vodichhocmai được thax hơn 4 tỉ lần

 

[quyenuy0241]

Em không hiểu chỗ này ! :|
______________________________________

1.) Cho x,y,z dương và có tổng = 1. CMR

[TEX]\sqrt{2x^2 + xy + 2y^2} + \sqrt{2y^2 + yz + 2z^2} + \sqrt{2z^2 + zx + 2x^2}[/TEX] \geq [TEX]\sqrt{5}[/TEX]

[tex]2x^2+xy+2y^2=\frac{5(x+y)^2}{4}+\frac{(x-y)^2}{4} \ge \frac{5(x+y)^2}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{2x^2 + xy + 2y^2} \ge \frac{\sqrt{5}(x+y)}{2} [/tex]
tương tự ,cộng vào [tex]\fbox{Ok!!} [/tex]

 

[bigbang195]

dương thỏa mãn

Tìm min

 

[kanghasoo]

chứng mính [TEX]( a + b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{a}+ 2a\sqrt{b}[/TEX] biết
a, b > 0

 

[bigbang195]

chứng mính [TEX]( a + b) + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{a}+ 2a\sqrt{b}[/TEX] biết
a, b > 0

Đề bài sai .

 

[tigerboy]

1.) Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

[TEX](\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{c+a}+1)(\frac{4c}{b+a}+1) > 25[/TEX]

2.) Cho a,b,c dương và [TEX]abc = 1[/TEX]. Tìm min:

P= [TEX]\frac{{(1+a)}^{3}}{bc} + \frac{{(1+b)}^{3}}{ac} + \frac{{(1+c)}^{3}}{ba}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm thỏa mãn

[TEX]a+b+c=ab+bc+ac[/TEX]. Chứng minh

[TEX]a+b+3c \ge 4[/TEX]

p/s: bài này rất hay

 

[bigbang195]

[Moldova TST 2004 of Marian Tetiva]
[TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực dương. Chứng minh rằng
[TEX]\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\le\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}[/TEX]

 

[trydan]

Chung vui: ;
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

APMO, 2004​

 

[bigbang195]

Chung vui: ;
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

APMO, 2004​

Bài này thì xài Schur

:-j dễ nhất trong các bài Schur

 

[th3_l0rd_0f_th3_sky]

Bài này thì sao:
Cho các số dương a,b,c với a+b+c=3.CMR:
[TEX]\frac{1}{9-ab}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{9-bc}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{9-ca}[/TEX]\leq[TEX]\frac{3}{8}[/TEX]