Toán bất đẳng thức -cực trị

[Cao Khánh Tân]

Bài 73:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2=\frac{1}{9}$$ . CMR:
$$S=(2b+2c-a)^3 +(2c+2a-b)^3+(2a+2b-c)^3 \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Bài 74: Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn abcd=1 . CMR:
$$a^3+b^3+c^3+d^3 \geq max\left \{ a+b+c+d; \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right \}$$
Bài 75:CMR:
$$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \forall a,b,c >0$$
Bài 76: Cho $$a,b,c \geq 0; a^2+b^2+c^2=1$$
CMR: $$3abc-1 \leq a^3+b^3+c^3 \leq 3abc+1$$
Bài 77: Cho $$a,b,c,d \geq 0; a^2+b^2 = c^2 + d^2=5$$
CMR: $$(5-a-2b)(5-c-2d)(5-ac-bd) < 422$$
Bài 78: Cho $$a,b,c \geq 0; a+b+c=1$$
Tìm Max, Min của $$S= ab+bc+ca-mabc$$
Bài 79: Cho a,b,c >=0 thỏa mãn a+b+c=1
Tìm GTLN của số thực m sao cho:
$$a^3 + b^3+c^3+mabc \geq \frac{1}{9}+\frac{m}{27}$$
Bài 80: Cho a,b,c >0
CMR: $$\frac{(a^2-bc)(b^2-ca)}{a+b} + \frac{(b^2-ca)(c^2-ab)}{b+c} + \frac{(c^2-ab)(a^2-bc)}{c+a} \leq 0$$
Bài 81: Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn a+b+c+d=4
CMR: $$a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab \leq 4$$

Bài 74:
Ta phải chứng minh 2 bất đẳng thức sau:

Với (1) ta dùng bất đẳng thức AM-GM

Ta lại có:

(vì abcd=1)

Chứng minh tương tự như (3) ta được:

Với (2) ta dùng bất đẳng thức AM-GM cho các tổng sau:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1

 

[Tony Time]

Bài 82:
Cho [TEX]xy+xz+yz=1[/TEX]
Tìm Min: [TEX]P=x^2+y^2+2z^2[/TEX]

Bài này coi v mà khó lắm á, các bác vào xơi thử :v
@Nguyễn Xuân Hiếu @kingsman(lht 2k2) @iceghost @Dương Bii @Quân Nguyễn 209........

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 82:
Cho [TEX]xy+xz+yz=1[/TEX]
Tìm Min: [TEX]P=x^2+y^2+2z^2[/TEX]

Bài này coi v mà khó lắm á, các bác vào xơi thử :v
@Nguyễn Xuân Hiếu @kingsman(lht 2k2) @iceghost @Dương Bii @Quân Nguyễn 209........

Hệ số bất định thôi :v Ez done :v

 

[Tony Time]

Hệ số bất định thôi :v Ez done :v

Giải ra giùm luôn ik :3

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 82:
Cho [TEX]xy+xz+yz=1[/TEX]
Tìm Min: [TEX]P=x^2+y^2+2z^2[/TEX]

Bài này coi v mà khó lắm á, các bác vào xơi thử :v
@Nguyễn Xuân Hiếu @kingsman(lht 2k2) @iceghost @Dương Bii @Quân Nguyễn 209........

Hướng dẫn cách U.C.T bài này nhé :v
Vai trò $x,y$ như nhau nên điểm rơi là $x=y$ do đó ta tách như sau:
$a(x^2+y^2)+(1-a)x^2+z^2+z^2+(1-a)y^2(a \leq 1)
\\\geq 2a.xy+2\sqrt{1-a}.xz+2\sqrt{1-a}.zy$
Tới đây cần tìm $a$ sao cho $a=\sqrt{1-a} \Rightarrow a^2+a-1=0$
Tới đây chọn nghiệm $a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
Khi đó $2a=\sqrt{5}-1$
Hay $P \geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+xz)=\sqrt{5}-1$
Thử bài này xem :v
Bài 83: Cho các số thực dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}
&1 \leq x \leq y \leq z \leq 1 & \\
&2y+z \leq 2 & \\
&3x+2y+z \leq 3 &
\end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{x^2+y^2+z^2} \leq \dfrac{7}{6}$

 

[Cao Khánh Tân]

Bài 82:
Cho [TEX]xy+xz+yz=1[/TEX]
Tìm Min: [TEX]P=x^2+y^2+2z^2[/TEX]

Bài này coi v mà khó lắm á, các bác vào xơi thử :v
@Nguyễn Xuân Hiếu @kingsman(lht 2k2) @iceghost @Dương Bii @Quân Nguyễn 209........

Bài 82: Bài này mình nghĩ dùng cân bằng hệ số nó hay hơn:

Dấu bằng xảy ra khi:

 

[Cao Khánh Tân]

Hướng dẫn cách U.C.T bài này nhé :v
Vai trò $x,y$ như nhau nên điểm rơi là $x=y$ do đó ta tách như sau:
$a(x^2+y^2)+(1-a)x^2+z^2+z^2+(1-a)y^2(a \leq 1)
\\\geq 2a.xy+2\sqrt{1-a}.xz+2\sqrt{1-a}.zy$
Tới đây cần tìm $a$ sao cho $a=\sqrt{1-a} \Rightarrow a^2+a-1=0$
Tới đây chọn nghiệm $a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
Khi đó $2a=\sqrt{5}-1$
Hay $P \geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+xz)=\sqrt{5}-1$
Thử bài này xem :v
Bài 83: Cho các số thực dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}
&1 \leq x \leq y \leq z \leq 1 & \\
&2y+z \leq 2 & \\
&3x+2y+z \leq 3 &
\end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{x^2+y^2+z^2} \leq \dfrac{7}{6}$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 82: Bài này mình nghĩ dùng cân bằng hệ số nó hay hơn:

Dấu bằng xảy ra khi:

U.C.T hay cân bằng hệ số là như nhau mà :v =)) Muốn tìm ra cái số để tách như bạn thì phải thông qua bước của mình thôi :v

Tìm thử cách khác xem :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cách khác :v
$\dfrac{49}{36}=x^2.\dfrac{1}{9x^2}+y^2.\dfrac{1}{4y^2}+z^2.\dfrac{1}{z^2}
\\=(z^2-y^2).\dfrac{1}{z^2}+(y^2-x^2)(\dfrac{1}{4y^2}+\dfrac{1}{z^2})+x^2(\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{4y^2}+\dfrac{1}{9x^2})
\\\geq z^2-y^2+(y^2-x^2).\dfrac{2}{2yz}+3x^2.\sqrt[3]{\dfrac{1}{36x^2y^2z^2}}
\\\geq z^2-y^2+2(y^2-x^2)+3x^2
\\=x^2+y^2+z^2$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Khởi động tiếp nhé :v
Bài 83: (Võ Quốc Bá Cẩn, Báo Pi) Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$(2-a)(2-b)(2-c) \geq abc$
P/s: Bài này gắn liền một kỉ niệm với mình hix
Bài 84: (THPT chuyên KHTN-DHQG Hà Nội) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $2x+y$ và $2y+x$ khác $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\dfrac{(2x^2+y)(4x+y^2)}{(2x+y-2)^2}+\dfrac{(2y^2+x)(4y+x^2)}{(x+2y-2)^2}-3(x+y)$
P/s: Các bạn làm đi nhé

 

[Quân Nguyễn 209]

Khởi động tiếp nhé :v
Bài 83: (Võ Quốc Bá Cẩn, Báo Pi) Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$(2-a)(2-b)(2-c) \geq abc$
P/s: Bài này gắn liền một kỉ niệm với mình hix
Bài 84: (THPT chuyên KHTN-DHQG Hà Nội) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $2x+y$ và $2y+x$ khác $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\dfrac{(2x^2+y)(4x+y^2)}{(2x+y-2)^2}+\dfrac{(2y^2+x)(4y+x^2)}{(x+2y-2)^2}-3(x+y)$
P/s: Các bạn làm đi nhé

Bài 84 Làm bài này gồi ahjhj :v
Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức sau bằng pp quy đồng rồi phân tích nhân tử trâu bò cổ điển và hiệu quả :
[TEX]\frac{(2x^2+y)(4x+y^2)}{(2x+y-2)^2} \geq 2x+y-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]
[TEX]<=> (2xy-6x-3y+2)^2 \geq 0[/TEX] (luôn đúng)
Cmtt có [TEX]\frac{(2y^2+x)(4y+x^2)}{(x+2y-2)^2} \geq 2y+x-\frac{1}{2}[/TEX] thì khi ta cộng hết lại sẽ ra :v
P/s: kỉ niệm gì vậy bác @Nguyễn Xuân Hiếu ^^

 

[lengoctutb]

Bài 85 : $[Indonesia$ $2007]$
Chứng minh rằng $:$ $\left( a^{2}+1\right) \left( b^{2}+1\right) \left( c^{2}+1\right) \geq \left( ab+bc+ca-1\right) ^{2}$ $,$ $\forall a,b,c\in \mathbb{R}$

 

[kingsman(lht 2k2)]

Khởi động tiếp nhé :v
Bài 83: (Võ Quốc Bá Cẩn, Báo Pi) Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$(2-a)(2-b)(2-c) \geq abc$
P/s: Bài này gắn liền một kỉ niệm với mình hix

tui làm thử câu này :
nhân all lại ta dc
8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ac)-2abc>=0
đặt p=a+b+c ;;q=ab+ac+bc ;;r=abc
ta dc :<=> 8-4p+2q-2r>=0=> -2r>=4p-2q-8
áp dụng bdt schur ta có
$$-2r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{-2}=\frac{p(2q+2)}{-2}$$
+ với giả thiết :
$$p^{2}-2q=3$$
=> $$q=\frac{p^{2}-3}{2}$$
vậy thế vào cm chắc ok ....
p/s : tui nhứt với bài này quá !!!! để xíu tui kiểm tra lại .....nghỉ tí đã ..quá mệt

 

[Quân Nguyễn 209]

Đóng góp 1 bài áp dụng [TEX]Schur[/TEX] nho nhỏ :v
Bài 86 Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] và [TEX]k \geq 3[/TEX] thỏa [TEX]a^k+b^k+c^k=3[/TEX] . Chứng minh rằng [TEX]a^{k+1}b^{k+1}+b^{k+1}c^{k+1}+a^{k+1}c^{k+1} \leq 3[/TEX]

 

[lengoctutb]

Bài 85 : $[Indonesia$ $2007]$
Chứng minh rằng $:$ $\left( a^{2}+1\right) \left( b^{2}+1\right) \left( c^{2}+1\right) \geq \left( ab+bc+ca-1\right) ^{2}$ $,$ $\forall a,b,c\in \mathbb{R}$

Ta có $:$ $\left( a^{2}+1\right) \left( b^{2}+1\right) =a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}+1=\left( a^{2}+2ab+b^{2}\right) +\left( a^{2}b^{2}-2ab+1\right) =\left( a+b\right) ^{2}+\left( ab-1\right) ^{2}$
Áp dụng BĐT $Cauchy$ $Schwarz$$,$ta có$:$
$( a^{2}+1) ( b^{2}+1) ( c^{2}+1) =[ ( a+b) ^{2}+( ab-1) ^{2}] ( c^{2}+1^{2}) \geq [ c( a+b) +1( ab-1) ] ^{2}=( ab+bc+ca-1) ^{2}$ $(đpcm)$

 

[Cao Khánh Tân]

Bài 86:
Ta có:

Tương tự ta có được các bất đẳng thức còn lại:

Cộng vế với vế ta được:

Vậy ta phải chứng minh:

Đặt:

Ta lại có:

(vì xyz <=1)
Dấu bằng xảy ra khi

 

[Quân Nguyễn 209]

Hết bài r kìa ahjhj =))
Bài 87 [Star E.] Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a+b+c \leq 3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ac} \geq 673[/TEX]
Bài 88 [Star E.] Cho [TEX]m,n[/TEX] nguyên dương . Chứng minh [TEX]|\frac{m}{n}-\sqrt{2}| \geq \frac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}[/TEX]
Bài 89 Cho a,b thỏa [TEX]a+b=2[/TEX]. Chứng minh [TEX]min[|a|,|b|]<1<max[|a|,|b|][/TEX] khi và chỉ khi [TEX]-3<ab<1[/TEX]

Bài 86:
Ta có:

Tương tự ta có được các bất đẳng thức còn lại:

Cộng vế với vế ta được:

Vậy ta phải chứng minh:

Đặt:

Ta lại có:

(vì xyz <=1)
Dấu bằng xảy ra khi

P/s: Bài này có thể áp dụng [TEX]Schur[/TEX] để làm nhanh hơn nhưng cũng phải chứng minh lại nên chẳng tiết kiệm được bao nhiêu thời gian ._. Cách của bạn @Cao Khánh Tân được rồi :v

 

[Cao Khánh Tân]

Bài toán 13:Trích Vietnamese IMO TST 2001
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa
$$2x+4y+7z=2xyz$$
Tìm min của biểu thức
P = $$x+y+z$$

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

Mặt khác áp dụng Cauchy - Schwarz ta lại có:

Dấu bằng xảy ra khi :

Mình có tham khảo đáp án của Vietnamese IMO TST 2001

 

[ngann0609]

mình hỏi bài này
cho a,b,c thuộc R sao cho $$\frac{1}{a+b+1}$$ + $$\frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1}$$ $$\geq 1$$
CMR: a+b+c$$\geq ab+bc+ca$$

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Cho các số thực a,b,c với $a,b,c\in[1,3]$. Tim Max:
$P=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$
@iceghost , @Nguyễn Xuân Hiếu