Toán 12 “Định hướng ôn thi lấy trên 7 điểm môn Toán trong kì thi ĐH”

[hocmai.toanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Định hướng ôn thi lấy trên 7 điểm môn Toán trong kì thi ĐH ​

Với mục đích củng cố khái quát lại các phương pháp giải, các dạng bài tập và cùng trao đổi các suy nghĩ cách làm khi giải 1 bài toán, tại những chuyên đề khó lấy điểm trong kì thi ĐH như: Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; chuyên đề Hình học không gian; chuyên đề Hình học toạ độ phẳng và chuyên đề Bất đẳng thức. Còn các chuyên đề dễ lấy điểm hơn thì sẽ không được đề cập trong topic.
Lịch dự kiến như sau:
+ Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình: từ 14/04 – 10/05
+ Hình học không gian: từ 10/05 – 25/5
+ Hình học toạ độ phẳng + Bất đẳng thức: 25/5- …….
Trong topic này tại mỗi chuyên đề đều có phân loại các phương pháp, các dạng toán, các ví dụ minh hoạ cùng bài tập đi kèm.
Các bạn tham gia khi giải toán cố gắng trao đổi những suy nghĩ, các cách thức tư duy ra lời giải đó nhé!

(Các nội dung được tham khảo trong các tài liệu của thầy Phương, thầy Khải, thầy Nguyễn Cam, thủ khoa Đặng Thành Nam…….)
Trước khi vào vấn đề 1: Phương trình. Cùng nhau làm vài bài nhập môn, tráng miệng

\[\begin{array}{l}
1)2\sqrt[3]{{3x - 2}} + 3\sqrt {6 - 5x} - 8 = 0\\
2)3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} + 4\sqrt {4 - {x^2}} = 10 - 3x\\
3)2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16}
\end{array}\]

Thân ái và quyết thắng !​

 

[heroineladung]

1) $2\sqrt[3]{3x-2} + 3\sqrt{6-5x} - 8 = 0.$
​

ĐK: x \leq $\dfrac{6}{5}.$

Đặt:
​

$\left\{\begin{matrix}
a = \sqrt[3]{3x-2}\\b = \sqrt{6-5x}
\end{matrix}\right.$ (b \geq 0) $\rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^3 = 3x - 2\\b^2 = 6-5x
\end{matrix}\right.$
​

$ \leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
5a^3 = 15x - 10\\3b^2 = 18 - 15x
\end{matrix}\right. \rightarrow 5a^3 + 3b^2 = 8.$
​

Ta có HPT:

$ \left\{\begin{matrix}
2a + 3b = 8 (1)\\5a^3 + 3b^2 = 8 (2)
\end{matrix}\right.$
​

Từ (1) $\rightarrow b = \dfrac{8 - 2a}{3}$

Thế vào (2) ta dc:

$5a^3 + 3(\dfrac{8-2a}{3})^2 = 8$

$ \leftrightarrow 15a^3 + 4a^2 - 32a + 40 = 0 $

$\leftrightarrow (a + 2)(15a^2 - 26a + 20) = 0$

$\leftrightarrow a = -2 \rightarrow b = 4 (tm) \rightarrow x = -2 (tm)$.
​

 

[heroineladung]

$$2) 3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} + 4\sqrt {4 - {x^2}} = 10 - 3x$$
ĐK: -2\leq x \leq 2

Đặt:

$\left\{\begin{matrix}
a = \sqrt{x+2}\\b = \sqrt{2-x}
\end{matrix}\right.$ (a,b \geq 0)

Ta có:
$$10 - 3x = (x+2) + 4(2-x) = a^2 + 4b^2. $$
$$PT \leftrightarrow 3a - 6b + 4ab = a^2 + 4b^2$$
$$\leftrightarrow a^2 - (3 + 4b)a + 4b^2 + 6b = 0$$
Có:
$\Delta = (3 + 4b)^2 - 4(4b^2 + 6b) = 9 > 0;$ \forall b.

$\rightarrow$ [ $\begin{matrix}
a = 3 + 2b\\ a = 2b
\end{matrix}$

☺ TH1: $a = 3 + 2b$

Giải ra thấy PTVN.

☺ TH2: $a = 2b \leftrightarrow x = \dfrac{6}{5}$ (tm)

Vậy PT có nghiệm dn là $x = \dfrac{6}{5}$.

 

[heroineladung]

$$3) 2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16}$$
ĐK: $-2 \le x \le2$
$$PT \leftrightarrow 4(2x +4) + 16(2-x) + 16\sqrt{(2x+4)(2-x)} = 9x^2 + 16$$
$$\leftrightarrow 16\sqrt{-2x^2 + 8} = 9x^2 + 8x - 32$$
$$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
9x^2 + 8x - 32 \ge 0 (1)\\ 256(-2x^2 + 8) = (9x^2 + 8x - 32)^2(2)
\end{matrix}\right.$$
(1) $\leftrightarrow$ $x \ge \dfrac{-4+4\sqrt{19}}{9}$ hoặc $
x \le \dfrac{-4-4\sqrt{19}}{9} $ (%%-)


(2) $\leftrightarrow$ $81x^4 + 144x^3 - 512x - 1024 = 0$

$\leftrightarrow (x^2 - \dfrac{32}{9})(81x^2 + 144x + 288) = 0$

$\leftrightarrow x^2 = \dfrac{32}{9} \leftrightarrow x = \pm \dfrac{4\sqrt{3}}{2} $(%%-%%-)


Kết hợp (%%-) và (%%-%%-) $\rightarrow x = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$ (tm đk)

Vậy PT có nghiệm dn $x = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$.

 

[hocmai.toanhoc]

Rất hoan nghênh tinh thần của #heroineladung. Em có thể giải thích rõ trong bài 3 khi giải PT bậc 4 cách thức, phương pháp nào ta có thể tách được như vậy?

Ở bài này có 1 cách giải khác là khi bình phương lần 1 xong ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn bằng cách đặt

$t=\sqrt{8-2x^2}$

khi đó ta được 1 PT bậc 2 với ẩn là t và còn chứa x. Ta giải PT bậc 2 này sẽ tìm được mối liên hệ giữa t và x đơn giản hơn rất nhiều.

 

[hocmai.toanhoc]

Phương trình​

1. Biến đổi PT dưới dạng tương đương
2. PP trục căn thức
3. Đưa về hệ tạm
4. Biến đổi thành tích
5. PP đặt ẩn phụ
6. PP đặt ẩn phụ đưa về HPT
7. PP đặt ẩn phụ đưa về PT bậc 2
8. PP đánh giá
9. PP lượng giác hoá
10. Một số PT chứa dạng đặc biệt

1. Biến đổi PT dưới dạng tương đương
Thông thường ta hay sử dụng 1 số phép biến đổi sau.
$\begin{array}{l}
\sqrt f = \sqrt g \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0{\rm{ }}\left( {f \ge 0} \right)\\
f = g
\end{array} \right.\\
\sqrt f = g \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f = {g^2}
\end{array} \right.
\end{array}$

VD1
${\rm{a)}}\sqrt { - {x^2} + x\sqrt {x + 5} + 7} = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3}$

PT $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- {x^2} - 2x + 3 \ge 0\\
- {x^2} + x\sqrt {x + 5} + 7 = - {x^2} - 2x + 3
\end{array} \right.$

$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 3 \le x \le 1\\
x\sqrt {x + 5} = - 2(x + 2)\\
\end{array}( * ) \right.$

+ Với x=0 thì ( * ) không thỏa mãn

+ Với $- 3 \le x < 0 \cup 0 < x \le 1$ thì ( * )$ \leftrightarrow \sqrt {x + 5} = - 2\left( {\dfrac{{x + 2}}{x}} \right)$

$ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2\left( {\dfrac{{x + 2}}{x}} \right) > 0\\
x + 5 = 4\dfrac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 < x < 0\\
{x^3} + {x^2} - 16x - 16 = 0
\end{array} \right.$

$ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 < x < 0\\
(x + 1)({x^2} - 16) = 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 < x < 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = \pm 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \leftrightarrow x = - 1$

b) $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = \sqrt {2({x^3} + 1)} \,\,\,(1)$

$(1) \rightarrow \left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 2 = 2\left( {{x^3} + 1} \right) \leftrightarrow x({x^2} - 1) = 0 \leftrightarrow x = 0 \vee x = \pm 1$
Thử lại thấy x=1 (t/m).

Nếu PT có dạng: $\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} = \sqrt {h\left( x \right)} + \sqrt {k\left( x \right)} $
Với dấu hiệu: $f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + k\left( x \right)$

Cách làm: đưa PT về $\sqrt {f\left( x \right)} - \sqrt {h\left( x \right)} = \sqrt {k\left( x \right)} - \sqrt {g\left( x \right)} $ bình phương 2 vế => tìm đc nghiệm thử lại PT ban đầu

VD2: $\sqrt {3x + 1} + \sqrt {x + 3} = 2\sqrt x + \sqrt {2x + 2} \left( 1 \right)$

ĐK: $x \ge 0$

Nhận thấy $\left( {3x + 1} \right) + \left( {2x + 2} \right) = \left( {4x} \right) + \left( {x + 3} \right)$ =>ta có biến đổi sau

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \leftrightarrow \sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 2} = 2\sqrt x - \sqrt {x + 3} \\
= > 5x + 3 - 2\sqrt {\left( {3x + 1} \right)\left( {2x + 2} \right)} = 5x + 3 - 4\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} \\
\leftrightarrow \left( {3x + 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 4x\left( {x + 3} \right)\\
\leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\
\leftrightarrow x = 1
\end{array}$

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy PT có nghiệm x=1.

Bài tập

$\begin{array}{l}
1)\sqrt {{x^2} - \frac{7}{{{x^2}}}} + \sqrt {x - \frac{7}{{{x^2}}}} = x\\
2)\sqrt {{x^2} - x - 6} + 3\sqrt x = \sqrt {2\left( {{x^2} + 5x - 3} \right)} \\
3)\sqrt {2x + 1} + \sqrt x = \sqrt {2{x^2} + 4x - 23} \\
4)\sqrt {3{x^2} - 5x + 7} + \sqrt {3{x^2} - 7x + 2} = 3\\
5)\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4}
\end{array}$

 

[heroineladung]

Rất hoan nghênh tinh thần của #heroineladung. Em có thể giải thích rõ trong bài 3 khi giải PT bậc 4 cách thức, phương pháp nào ta có thể tách được như vậy?

Ở bài này có 1 cách giải khác là khi bình phương lần 1 xong ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn bằng cách đặt

$t=\sqrt{8-2x^2}$

khi đó ta được 1 PT bậc 2 với ẩn là t và còn chứa x. Ta giải PT bậc 2 này sẽ tìm được mối liên hệ giữa t và x đơn giản hơn rất nhiều.

PT bậc 4 em tách thành 2 PT bậc 2, em thấy cũng có nhiều bạn biết cách tách rồi, em học các bạn ở diễn đàn khác nên biết chút chút.
Dùng máy tính giải PT thì thấy PT có 1 nghiệm lẻ x = 1,88561....gán vào biến A, bấm lại PT đó, ấn SHIFT + SOLVE, lấy số -10 chẳng hạn, em thấy PT có thêm nghiệm nữa x = -1,88561...gán vào biến B. Oh, may 2 nghiệm khá hợp nhau, ấn A + B = 0, AB = $-\dfrac{32}{9}$ → PT bậc 2: $x^2 - \dfrac{32}{9}$. Lấy PT bậc 4 chia cho PT bậc 2 vừa tìm dc ta sẽ tìm dc PT bậc 2 còn lại. Yeah! Có ai k hiểu ý tớ nói k nhỉ? Chắc là không ai.

 

[heroineladung]

~O) $$1) \sqrt{x^2 - \dfrac{7}{x^2}} + \sqrt{x - \dfrac{7}{x^2}} = x$$

ĐK: $\left\{\begin{matrix}
x^2 - \dfrac{7}{x^2} \ge 0 \\\\x - \dfrac{7}{x^2} \ge 0
\\\\x \neq 0
\end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^4 - 7 \ge 0\\\\x^3 - 7 \ge 0
\\\\x \neq 0
\end{matrix}\right.$

$PT \leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^4 - 7}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{x^3 - 7}{x^2}} = x$

$\leftrightarrow x^4 + x^3 - 14 + 2\sqrt{(x^4 - 7)(x^3 - 7)} = x^4$

$\leftrightarrow 2\sqrt{x^7 - 7x^4 - 7x^3 + 49} = 14 - x^3$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
14 - x^3 \ge 0\\4(x^7 - 7x^4 -7x^3 + 49) = (14 - x^3)^2
\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x \le \sqrt[3]{14}\\4x^7 - x^6 - 28 x^4 = 0
\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x \le \sqrt[3]{14}\\x^4(x-2)(4x^2 + 7x + 14) = 0
\end{matrix}\right. $

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x \le \sqrt[3]{14}\\x = 0 \vee x = 2
\end{matrix}\right. $

$\leftrightarrow \left[\begin{array}{1}
x = 0(l)\\
x = 2(tm)
\end{array}\right.$

Vậy PT có nghiệm dn x = 2.

 

[heroineladung]

~O) $$2) \sqrt{x^2 - x - 6} + 3\sqrt{x} = \sqrt{2(x^2 + 5x - 3)}$$

ĐK: $\left\{\begin{matrix}
x^2 - x - 6 \ge 0\\\\x \ge 0
\\\\x^2 + 5x - 3 \ge 0
\end{matrix}\right. \leftrightarrow x \ge 3$


$PT \leftrightarrow x^2 + 8x - 6 + 6\sqrt{x^3 - x^2 - 6x} = 2x^2 + 10x - 6$


$\leftrightarrow 6\sqrt{x^3 - x^2 - 6x} = x^2 + 2x$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2 + 2x \ge 0\\\\36(x^3 - x^2 - 6x) = x^4 + 4x^2 + 4x^3
\end{matrix}\right. $

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2 + 2x \ge 0\\\\x^4 - 32x^3 + 40x^2 + 216x = 0
\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2 + 2x \ge 0\\\\x(x+2)(x^2 - 34x + 108) = 0
\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{array}{1}
x \ge 0\\
x \le -2
\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{1}
x = 0\\
x = -2\\
x = 17 \pm \sqrt{181}
\end{array}\right.

\end{matrix}\right.$


$\leftrightarrow \left[\begin{array}{1}
x = 0\\
x = -2\\
x = 17 \pm \sqrt{181}
\end{array}\right.$

Kh với điều kiện → PT có nghiệm: $x = 17 \pm \sqrt{181}$.

 

[forum_]

Bài tập

$\begin{array}{l}
1)\sqrt {{x^2} - \frac{7}{{{x^2}}}} + \sqrt {x - \frac{7}{{{x^2}}}} = x\\
2)\sqrt {{x^2} - x - 6} + 3\sqrt x = \sqrt {2\left( {{x^2} + 5x - 3} \right)} \\
3)\sqrt {2x + 1} + \sqrt x = \sqrt {2{x^2} + 4x - 23} \\
4)\sqrt {3{x^2} - 5x + 7} + \sqrt {3{x^2} - 7x + 2} = 3\\
5)\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4}
\end{array}$

3/

ĐK: là các biểu thức trong căn ko âm

Nhân liên hợp:

$\sqrt {2x + 1} -3 + \sqrt x -2 = \sqrt {2{x^2} + 4x - 23} - 5$

\Leftrightarrow $\dfrac{2(x+4)}{\sqrt {2x + 1} +3}+\dfrac{x-4}{\sqrt x +2}=\dfrac{2(x-4)(x+6)}{\sqrt {2{x^2} + 4x - 23} + 5}$

Lập luận suy ra x = 4 là nghiệm duy nhất của pt

 

[hocmai.toanhoc]

3/
ĐK: là các biểu thức trong căn ko âm

Nhân liên hợp:

$\sqrt {2x + 1} -3 + \sqrt x -2 = \sqrt {2{x^2} + 4x - 23} - 5$

\Leftrightarrow $\dfrac{2(x+4)}{\sqrt {2x + 1} +3}+\dfrac{x-4}{\sqrt x +2}=\dfrac{2(x-4)(x+6)}{\sqrt {2{x^2} + 4x - 23} + 5}$

Lập luận suy ra x = 4 là nghiệm duy nhất của pt

Đánh giá để x=4 là nghiệm duy nhất dễ bị ngất trên cành quất đấy
nhiều khi bình phương lên lại dễ giải

$2x+1+x+2\sqrt{2x^2+x}=2x^2+4x-23$

\Leftrightarrow $2\sqrt{2x^2+x}=2x^2+x-24$

đặt $t=\sqrt{2x^2+x}$\Rightarrow $2t=t^2-24$ nghe ngon hơn là mình dùng liên hợp

 

[forum_]

Đánh giá để x=4 là nghiệm duy nhất dễ bị ngất trên cành quất đấy
nhiều khi bình phương lên lại dễ giải

$2x+1+x+2\sqrt{2x^2+x}=2x^2+4x-23$

\Leftrightarrow $2\sqrt{2x^2+x}=2x^2+x-24$

đặt $t=\sqrt{2x^2+x}$\Rightarrow $2t=t^2-24$ nghe ngon hơn là mình dùng liên hợp

Dạ, lúc đầu em cũng có ý định bình phương lên vì nghiệm nó đẹp nhưng sau nhác, ghi liên hợp cho nhanh

4)$\sqrt {3{x^2} - 5x + 7} + \sqrt {3{x^2} - 7x + 2} = 3$ (1)

Cái này nhân liên hợp )

ĐK: là các b.thức trong căn ko âm

$\dfrac{2x+5}{\sqrt {3{x^2} - 5x + 7} - \sqrt {3{x^2} - 7x + 2}} = 3$

\Rightarrow $\sqrt {3{x^2} - 5x + 7} - \sqrt {3{x^2} - 7x + 2}=\dfrac{2x+5}{3}$ (2)

Cộng (1) với (2) , vế theo vế đc:

$2.\sqrt {3{x^2} - 5x + 7} = \dfrac{2x+14}{3}$

He, đặt đk rồi bình phương lên

PT bậc 4 em tách thành 2 PT bậc 2, em thấy cũng có nhiều bạn biết cách tách rồi, em học các bạn ở diễn đàn khác nên biết chút chút.
Dùng máy tính giải PT thì thấy PT có 1 nghiệm lẻ x = 1,88561....gán vào biến A, bấm lại PT đó, ấn SHIFT + SOLVE, lấy số -10 chẳng hạn, em thấy PT có thêm nghiệm nữa x = -1,88561...gán vào biến B. Oh, may 2 nghiệm khá hợp nhau, ấn A + B = 0, AB = $-\dfrac{32}{9}$ → PT bậc 2: $x^2 - \dfrac{32}{9}$. Lấy PT bậc 4 chia cho PT bậc 2 vừa tìm dc ta sẽ tìm dc PT bậc 2 còn lại. Yeah! Có ai k hiểu ý tớ nói k nhỉ? Chắc là không ai.

Cái này em nghĩ cũng tùy thôi ạ

Ví dụ phương trình này: $x^4+8x^3+24x^2+32x+20=0$

Thì ko làm theo PP đó đc

Làm theo PP khác

 

[forum_]

5)$\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $

Giải:

ĐK: là các b.thức trong căn ko âm

(cái này thực ra ko phải vậy nhưng do nhác làm nên mới ghi vậy )

Pt \Leftrightarrow $\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} -\sqrt {3{x^2} - 5x - 1} = \sqrt {{x^2} - 2} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $

Nhân liên hợp:

$\dfrac{4-2x}{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} +\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}}=\dfrac{3x-6}{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4}}$

\Leftrightarrow $\dfrac{3(x-2)}{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4}} + \dfrac{2(x-2)}{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} +\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}} = 0$

Ta thấy:

$\dfrac{3}{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4}} + \dfrac{2}{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} +\sqrt {3{x^2} - 5x - 1}}$ > 0

\Rightarrow x-2 = 0 \Leftrightarrow x = 2

Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình ;

 

[hocmai.toanhoc]

Thanks #forum_ đã trao đổi nhiệt tình anh thấy em hay dùng nhân liên hợp thì hôm ta sẽ nói về phương pháp này

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP​

Thông thường ta hay sử dụng phương pháp này khi nhẩm được 1 nghiệm, ta biến đổi phương trình về dạng $\left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right) = 0$ và những PT này thường sẽ có 1 nghiệm => ta cần chứng minh $g\left( x \right) \ne 0$ với x thuộc điều kiện ban đầu. Việc chứng minh $g\left( x \right) \ne 0$ ta hay dùng đánh giá qua bất đẳng thức hoặc khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
Một số hằng đẳng thức hay dùng

$\sqrt A + \sqrt B = \dfrac{{A - B}}{{\sqrt A - \sqrt B }};{\rm{ }}\sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} = \dfrac{{A - B}}{{\sqrt[3]{{{A^2}}} + \sqrt[3]{{AB}} + \sqrt[3]{{{B^2}}}}}$


Ví dụ 1. Giải PT: $\sqrt {3{x^2} - 5x + 1} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3\left( {{x^2} - x - 1} \right)} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} \,\,(1)$

HD
Như bạn #forum_ đã làm ở trên http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2497514&postcount=13

Ví dụ 2. Giải PT: $\sqrt {{x^2} + 12} - \sqrt {{x^2} + 5} = 3x - 5$

HD

ĐK để phương trình có nghiệm: $x \ge \frac{5}{3}$ vì $\sqrt {{x^2} + 12} > \sqrt {{x^2} + 5} $

Nhận thấy x=2 là 1 nghiệm của phương trình=> ý tưởng là sẽ nhóm thừa số (x - 2) ra ngoài

Ta có $PT \leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} - \sqrt {{x^2} + 5} - 1 = 3\left( {x - 2} \right)$

$ \leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} - 4 + 3 - \sqrt {{x^2} + 5} = 3\left( {x - 2} \right)\\
\leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} + \dfrac{{4 - {x^2}}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }} = 3\left( {x - 2} \right)\\
\leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \dfrac{{x + 2}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }} - 3} \right) = 0\\
\leftrightarrow x = 0
$

Vì với $x \ge \dfrac{5}{3} = > \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \dfrac{{x + 2}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }} - 3 \le \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - \dfrac{{x + 2}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }} - 3 = - 3 < 0$

Bài tập

$1) \sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + x = \sqrt {{x^3} - 2} \\
2)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 5x - 1\\
3){x^2} + x - 1 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} \\
4)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {2x - 5} = 2{x^2} - 5x \\
5)\sqrt {x + 2} + \sqrt {5x + 6} + 2\sqrt {8x + 9} = 4{x^2} \\
6)\sqrt {2{x^3} + 4{x^2} + 4x} - \sqrt[3]{{16{x^3} + 12{x^2} + 6x + 3}} = 4{x^4} + 2{x^3} - 2x - 1 \\
7)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} = {x^2} + 7x + 12 \\
8)\sqrt[3]{{162{x^3} + 2}} - \sqrt {27{x^2} - 9x + 1} = 1 \\
9)\sqrt[3]{{7x - 8}} + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} = x $

 

[heroineladung]

Cái này em nghĩ cũng tùy thôi ạ

Ví dụ phương trình này: $x^4+8x^3+24x^2+32x+20=0$

Thì ko làm theo PP đó đc

Làm theo PP khác

Uk, chuẩn rồi em, tùy PT mà sử dụng phương pháp giải khác nhau, khi gặp PT bậc 4 chị cứ bấm máy tính cái đã, nếu có nghiệm đẹp thì phân tích tiếp, nếu nghiệm lẻ thì dùng máy tính tìm nghiệm lẻ nữa, nếu vô nghiệm như PT của em thì có nhiều cách nữa, ví dụ dùng hệ số bất định đi.


Giả sử: $x^4+8x^3+24x^2+32x+20 = (x^2 + bx + c)(x^2 + dx + e)$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b + d = 8\\c + e + bd = 24
\\be + cd = 32
\\ce = 20
\end{matrix}\right.$

Từ PT cuối $ce = 20$ chia ra các trường hợp thấy c = 2, e = 10 là hợp lí nhất.

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}
b + d = 8\\10b + 2d = 32 \end{matrix}\right. $ $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b = 2\\d = 6
\end{matrix}\right.$

$\rightarrow x^4+8x^3+24x^2+32x+20 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 + 6x + 10)$

 

[heroineladung]

%%- $$1) \sqrt[3]{x^2 - 1} + x = \sqrt{x^3 - 2}$$

ĐK: $x \ge \sqrt[3]{2}$

$PT \leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2 - 1} - 2) + (x - 3) = \sqrt{x^3 - 2} - 5$

$\leftrightarrow \dfrac{x^2 - 9}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2 } + 4 + 2\sqrt[3]{x^2 -1}} + (x-3) = \dfrac{x^3 - 27}{\sqrt{x^3 - 2} + 5}$

$\leftrightarrow (x-3)\underbrace{[\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} + 4 + 2\sqrt[3]{x^2-1}} + 1 - \dfrac{x^2 + 3x + 9}{\sqrt{x^3 - 2} + 5}]} = 0$

...............................................<0,\forall $x \ge \sqrt[3]{2}$

$\leftrightarrow x - 3 = 0 \leftrightarrow x = 3 (tm)$

Vậy PT có nghiệm dn x = 3.

 

[forum_]

Uk, chuẩn rồi em, tùy PT mà sử dụng phương pháp giải khác nhau, khi gặp PT bậc 4 chị cứ bấm máy tính cái đã, nếu có nghiệm đẹp thì phân tích tiếp, nếu nghiệm lẻ thì dùng máy tính tìm nghiệm lẻ nữa, nếu vô nghiệm như PT của em thì có nhiều cách nữa, ví dụ dùng hệ số bất định đi.


Giả sử: $x^4+8x^3+24x^2+32x+20 = (x^2 + bx + c)(x^2 + dx + e)$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b + d = 8\\c + e + bd = 24
\\be + cd = 32
\\ce = 20
\end{matrix}\right.$

Từ PT cuối $ce = 20$ chia ra các trường hợp thấy c = 2, e = 10 là hợp lí nhất.

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}
b + d = 8\\10b + 2d = 32 \end{matrix}\right. $ $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b = 2\\d = 6
\end{matrix}\right.$

$\rightarrow x^4+8x^3+24x^2+32x+20 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 + 6x + 10)$

Hệ số bất định hơi bị mệt, có 1 cách tổng quát hơn mà các bước làm cũng khá đơn giản và nhẹ

Pt dạng $ax^4+bx^3+cx^2+bkx+ak^2=0$ (1)

Ta có:

(1) \Leftrightarrow $a(x^4+2x^2k+k^2)+bx(x^2+k)+(c-2ak)x^2=0$

\Leftrightarrow $a(x^2+k)^2+bx(x^2+k)+(c-2ak)x^2=0$

Đến đây có 2 hướng giải quyết

$\fbox{1}$

Đưa pt về dạng $A^2=B^2$

Thêm bớt biến đổi VT thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của 1 tổng, chuyển các hạng tử chứa $x^2$ sang bên phải

$\fbox{2}$

Đặt $y = x^2+k$ \Rightarrow y \geq k

Pt(1) trở thành $ay^2+bxy+(c-2ak)x^2=0$

Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về pt bậc 2 theo ẩn x


3/

ĐK: biểu thức trong căn ko âm

Đặt $\sqrt[]{x^2-2x+2}=t$ (t \geq 0)

\Rightarrow $t^2 = x^2-2x+2$

pt \Leftrightarrow $t^2 - (x+2)t + 3x-3 = 0$

\Leftrightarrow $(t-3)(t-x+1) = 0$

Đến đây giải bình thường

Tạm thế đi, khi nào rảnh em giải tiếp

À, Thầy hocmai.toanhoc và chị heroineladung xem hộ em 2 cái pic em đeo dưới chữ kí với ạ .

6)$\sqrt {2{x^3} + 4{x^2} + 4x} - \sqrt[3]{{16{x^2} + 12{x^2} + 6x + 3}} = 4{x^4} + 2{x^3} - 2x - 1$

Bài này em thấy sao sao ấy , cái chỗ bôi đỏ đó ạ ;

 

[hocmai.toanhoc]

#heroineladung
giờ mới biết em là girl , một số phương pháp giải PT bậc 4 của em đã trao đổi rất hữu ích cho các bạn chưa biết. Hy vọng sẽ có nhiều người đọc được nó!

#forum_
anh sửa lại bài đó rồi! 2 cái topic đó a thấy cũng phát triển, có nhiều mod tham gia thì phải? Em cần anh giúp gì?

 

[youandpro]

Rất hoan nghênh tinh thần của #heroineladung. Em có thể giải thích rõ trong bài 3 khi giải PT bậc 4 cách thức, phương pháp nào ta có thể tách được như vậy?

Ở bài này có 1 cách giải khác là khi bình phương lần 1 xong ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn bằng cách đặt

$t=\sqrt{8-2x^2}$

khi đó ta được 1 PT bậc 2 với ẩn là t và còn chứa x. Ta giải PT bậc 2 này sẽ tìm được mối liên hệ giữa t và x đơn giản hơn rất nhiều.

thầy ơi cho e hỏi nếu làm như cách thầy thì đc vừa ẩn t và x rồi giải delta đúng hk thầy , còn cách bạn kia e đọc qua trên mạng 1 lần rồi nhưng liệu có cách nào khác để tách hk ạ

 

[youandpro]

à e quên đọc trang 2 ! sorry :3 ^^ ! hjx x làm phiền quá ^^