Toán 12 “Định hướng ôn thi lấy trên 7 điểm môn Toán trong kì thi ĐH”

[youandpro]

Uk, chuẩn rồi em, tùy PT mà sử dụng phương pháp giải khác nhau, khi gặp PT bậc 4 chị cứ bấm máy tính cái đã, nếu có nghiệm đẹp thì phân tích tiếp, nếu nghiệm lẻ thì dùng máy tính tìm nghiệm lẻ nữa, nếu vô nghiệm như PT của em thì có nhiều cách nữa, ví dụ dùng hệ số bất định đi.


Giả sử: $x^4+8x^3+24x^2+32x+20 = (x^2 + bx + c)(x^2 + dx + e)$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b + d = 8\\c + e + bd = 24
\\be + cd = 32
\\ce = 20
\end{matrix}\right.$

Từ PT cuối $ce = 20$ chia ra các trường hợp thấy c = 2, e = 10 là hợp lí nhất.

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}
b + d = 8\\10b + 2d = 32 \end{matrix}\right. $ $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b = 2\\d = 6
\end{matrix}\right.$

$\rightarrow x^4+8x^3+24x^2+32x+20 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 + 6x + 10)$

làm phiền bạn tí ! bạn cho mình hỏi cách hệ số bất định của bạn đến bước ce =20 thì nhẩm ra c= 2 e=10 ! vậy có phải là 2 nghiệm ce luôn thuộc N hk ! hay có khả năng ví dụ c=4/5 , e = 25 với khả năng c=10 e=2 thì sao bik ^^. Với hệ số của a không = 1 mà bằng số khác thì cách này phá sản à ^^

 

[youandpro]

cách 1 của @heroineladung mình hiểu rồi ! tks bạn đã share 1 cách khá hay hihi ^^

 

[hocmai.toanhoc]

ĐƯA VỀ HỆ TẠM​

Phương trình có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$ mà $A - B = kC$ (k= const). Khi đó ta được hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt A + \sqrt B = C\\
\sqrt A - \sqrt B = k
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt A = \dfrac{{C + k}}{2}\\
\sqrt B = \dfrac{{C - k}}{2}
\end{array} \right.\]

Giải hệ và thử lại nghiệm ta sẽ tìm được nghiệm của PT ban đầu
Thực chất của PP này là PP nhân liên hợp như đã giới thiệu bên trên
Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4\left( 1 \right)$
Giải
Dễ thấy $2{x^2} + x + 9 - \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2x + 8 = 2\left( {x + 4} \right)$
Ta có $PT \leftrightarrow \dfrac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4$

$ \leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} - 1} \right) = 0\\
\leftrightarrow
x = - 4\\ hoặc
\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\left( 2 \right)$

Thử lại $x = - 4$ không phải là nghiệm
Từ (1) và (2) ta có $\sqrt {2{x^2} + x + 9} = \dfrac{{x + 6}}{2} = > x = 0;x = \dfrac{8}{7}$
Thử lại PT(1) cả 2 nghiệm trên đều thỏa mãn
Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x = 0;x = \dfrac{8}{7}$

Bài tập
$1)3\left( {2 + \sqrt {x - 2} } \right) = 2x + \sqrt {x + 6} $

$2)\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​

- Một số phép biến đổi quen thuộc
\[\begin{array}{l}
u + v = uv + 1 \leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {v - 1} \right) = 0\\
au + bv = ab + uv \leftrightarrow \left( {b - u} \right)\left( {a - v} \right) = 0\\
{\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} \rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0
\end{array}\]
- Một số bài toán nếu ta để nguyên hiện tại thì khó có thể nhìn ra nhân tử chung để biến đổi về dạng tích. Nhưng khi qua 1 vài bước đặt ẩn phụ thì sẽ biến đổi phương trình mới về dạng tích dễ dàng hơn.

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}$
HD
$\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}\\
\leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} - 1} \right) = 0$
=> Phương trình có 2 nghiệm: $x = 0;x = - 1$

Ví dụ 2 Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2} + x}}$
HD
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của PT=> chia cả 2 vế cho x ta được

$\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} + \sqrt[3]{x} = 1 + \sqrt[3]{{x + 1}} \leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right) = 0$

=> Phương trình có 1 nghiệm: x=1

Ví dụ 3 Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt[{}]{{{x^2} + 4x + 3}}$
HD
Nhận thấy PT có dạng $au + bv = ab + uv$ ta có biến đổi

$\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt[{}]{{{x^2} + 4x + 3}} \leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3} - 2x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) = 0$

=> Phương trình có 2 nghiệm: x=1, x=0

Bài tập

$1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$

 

[forum_]

5/

$\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2-x-8} + \sqrt[3]{x^2-8x+1}=2$

Em nghĩ đây là dấu - , chứ + thì em làm mọi cách rồi mà ko đc

Ta có hằng đẳng thức sau:

$(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Chứng minh bằng khai triển

Đặt $\sqrt[3]{7x+1}=a$

$- \sqrt[3]{x^2-x-8}=b$

$\sqrt[3]{x^2-8x-1}=c$

Từ đó suy ra : $a^3+b^3+c^3=8$ and $a+b+c=2$

Áp dụng hđt trên ta đc: 3(a+b)(b+c)(c+a) =0

\Leftrightarrow a=-b or b= -c or c= -a

Đến đây thế vào , mũ 3 hai vế ta đc pt bậc 2, giải pt bậc 2 đối với các anh chị là vấn đề đơn giản

p/s: ko cần điều kiện vì mũ lẻ

 

[forum_]

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP​

Bài tập

$2)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 5x - 1\\
4)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {2x - 5} = 2{x^2} - 5x \\
5)\sqrt {x + 2} + \sqrt {5x + 6} + 2\sqrt {8x + 9} = 4{x^2} \\
6)\sqrt {2{x^3} + 4{x^2} + 4x} - \sqrt[3]{{16{x^3} + 12{x^2} + 6x + 3}} = 4{x^4} + 2{x^3} - 2x - 1 \\
7)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} = {x^2} + 7x + 12 \\
8)\sqrt[3]{{162{x^3} + 2}} - \sqrt {27{x^2} - 9x + 1} = 1 \\
9)\sqrt[3]{{7x - 8}} + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} = x $

8/
pt viết lại thành :

$\sqrt[3]{162x^3+2}-2-\sqrt[]{27x^2-9x+1} +1=0$

\Leftrightarrow $\dfrac{162x^3-6}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} - \dfrac{3x(3x-1)}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1} = 0$

\Leftrightarrow $(3x-1)[ \dfrac{2(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} - \dfrac{3x}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1}] = 0$

Ta thấy pt:

$\dfrac{2(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} - \dfrac{3x}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1}=0$

\Leftrightarrow $\dfrac{2(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} = \dfrac{3x}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1}$

Đặt $a = \sqrt[3]{16x^3+2}$ ta đc:

$2(3x+\dfrac{1}{3x}+1) = a + \dfrac{4}{a}+2$

\Leftrightarrow $3x+\dfrac{1}{3x}+1 = \dfrac{a}{2}+ \dfrac{2}{a}+1$

\Leftrightarrow $3x= \dfrac{a}{2}$

or $3x= \dfrac{2}{a}$

\Leftrightarrow $x = \dfrac{1}{3}$

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là $x =\dfrac{1}{3}$

p/s: còn lại là các bài chưa có lời giải

;

 

[heroineladung]

làm phiền bạn tí ! bạn cho mình hỏi cách hệ số bất định của bạn đến bước ce =20 thì nhẩm ra c= 2 e=10 ! vậy có phải là 2 nghiệm ce luôn thuộc N hk ! hay có khả năng ví dụ c=4/5 , e = 25 với khả năng c=10 e=2 thì sao bik ^^. Với hệ số của a không = 1 mà bằng số khác thì cách này phá sản à ^^

Tớ trả lời thế này nhé! ce phải thuộc Z và c,e thuộc ước của 20 → $c \in$ {$\pm 1; \pm2;\pm4;\pm5;\pm10$} Thay c lần lượt vào các giá trị đó rồi tìm ra e, b, d. Làm cũng nhọc lắm đó cậu )

Vì PT đó a = 1 nên tớ làm theo cách này, nếu cậu muốn tìm hiểu về các cách giải PT bậc 4 thì có thể lên google học hỏi, còn nhiều cách nữa mà, k bị phá sản đâu mà cậu phải lo.

 

[heroineladung]

BÀI TẬP PHẦN ĐƯA VỀ HỆ TẠM
​

%%- 1) $$ 3(2 + \sqrt{x-2}) = 2x + \sqrt{x+6}$$
ĐK: $x \ge 2$

$PT \leftrightarrow 3\sqrt{x-2} - \sqrt{x+6} = 2x - 6$

$\leftrightarrow \dfrac{8x - 24}{3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}} = 2x - 6$

$\leftrightarrow \dfrac{8(x - 3)}{3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}} = 2(x - 3)$
$\leftrightarrow$ [ $\begin{matrix}
x - 3 = 0 \leftrightarrow x = 3 (tm)\\
\dfrac{8}{3\sqrt{x-2}+ \sqrt{x+6}} = 2
\end{matrix}$

Giải $\bigstar$ : $\bigstar \leftrightarrow 3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4$

$\leftrightarrow 3\sqrt{x^2 + 4x - 12} = 14 - 5x$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
14 - 5x \ge 0\\16x^2 - 176x + 304 = 0
\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x \le \dfrac{14}{5}\\ x = \dfrac{11 \pm 3\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow x = \dfrac{11 - 3\sqrt{5}}{2}$

Vậy PT có nghiệm: $ x = 3; x = \dfrac{11 -3\sqrt{5}}{2}$.


%%- 2) $$\sqrt{2x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 3x$$

Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của PT.

$PT \leftrightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 2} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + 1} = 3$

Đặt $t = \dfrac{1}{x}$. Khi đó PT trở thành:

$\sqrt{t^2 + t + 2} + \sqrt{t^2 - t + 1} = 3$

Ta có: $(\sqrt{t^2 + t + 2} + \sqrt{t^2 - t + 1})(\sqrt{t^2 + t + 2} - \sqrt{t^2 - t + 1}) = 2t + 1 \rightarrow \sqrt{t^2 + t + 2} - \sqrt{t^2 - t + 1} = \dfrac{2t + 1}{3}$

$\rightarrow$ Hệ: $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{t^2 + t + 2} + \sqrt{t^2 - t + 1} = 3\\ \sqrt{t^2 + t + 2} - \sqrt{t^2 - t + 1} = \dfrac{2t + 1}{3}
\end{matrix}\right.$

$\rightarrow 2\sqrt{t^2 + t + 2} = \dfrac{2t + 10}{3}$ $\leftrightarrow 3\sqrt{t^2 + t + 2} = t + 5$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t \ge -5\\8t^2 - t - 7 = 0
\end{matrix}\right.$ $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t \ge -5\\t = 1 \vee t = \dfrac{-7}{8}
\end{matrix}\right. $

$\leftrightarrow \left [\begin {array}{1}
t = 1\\
t = \dfrac{-7}{8}
\end{array}\right.$ $\leftrightarrow \left [\begin {array}{1}
x = 1\\
x = \dfrac{-8}{7}
\end{array}\right.$

Thay các nghiệm x vừa tìm được vào PT thấy x = 1 thỏa mãn.

Vậy PT có nghiệm dn x = 1.

 

[forum_]

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​

Bài tập

$1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$

1/ ĐK: 0 \leq x \leq 1

Để dễ nhìn ta đặt: $\sqrt[]{x}=a$ (a \geq 0) ; $\sqrt[]{1-x}=b$ (b \geq 0)

PT trở thành: $ab+b=1+ab^2$

\Leftrightarrow $(ab-1)(b-1)=0$

\Leftrightarrow $continue......$



2/

Đặt $\sqrt {3{x^2} - 18x + 25}=a$ (a \geq 0); $\sqrt {4{x^2} - 24x + 29}=b$ (b \geq 0)

pt \Leftrightarrow $a-b=a^2-b^2$

\Leftrightarrow $continue......$

 

[forum_]

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​

Bài tập

$1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$

4/

ĐK: -1 \leq x \leq 7

PT viết lại dưới dạng:

$x + 1+ 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{(7-x)(x+1)}$

Đặt $\sqrt[]{x+1}=a$ ( a \geq 0) ; $\sqrt[]{7-x}=b$ (b \geq 0)

$a^2+2b=2a+ab$

\Leftrightarrow (a-b)(a-2) = 0

\Leftrightarrow $continue...$

;

 

[braga]

ĐƯA VỀ HỆ TẠM​

Phương trình có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$ mà $A - B = kC$ (k= const). Khi đó ta được hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt A + \sqrt B = C\\
\sqrt A - \sqrt B = k
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt A = \dfrac{{C + k}}{2}\\
\sqrt B = \dfrac{{C - k}}{2}
\end{array} \right.\]

Giải hệ và thử lại nghiệm ta sẽ tìm được nghiệm của PT ban đầu
Thực chất của PP này là PP nhân liên hợp như đã giới thiệu bên trên
Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4\left( 1 \right)$
Giải
Dễ thấy $2{x^2} + x + 9 - \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2x + 8 = 2\left( {x + 4} \right)$
Ta có $PT \leftrightarrow \dfrac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4$

$ \leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} - 1} \right) = 0\\
\leftrightarrow
x = - 4\\ hoặc
\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\left( 2 \right)$

Thử lại $x = - 4$ không phải là nghiệm
Từ (1) và (2) ta có $\sqrt {2{x^2} + x + 9} = \dfrac{{x + 6}}{2} = > x = 0;x = \dfrac{8}{7}$
Thử lại PT(1) cả 2 nghiệm trên đều thỏa mãn
Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x = 0;x = \dfrac{8}{7}$

Bài tập
$1)3\left( {2 + \sqrt {x - 2} } \right) = 2x + \sqrt {x + 6} $

$2)\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​

- Một số phép biến đổi quen thuộc
\[\begin{array}{l}
u + v = uv + 1 \leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {v - 1} \right) = 0\\
au + bv = ab + uv \leftrightarrow \left( {b - u} \right)\left( {a - v} \right) = 0\\
{\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} \rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0
\end{array}\]
- Một số bài toán nếu ta để nguyên hiện tại thì khó có thể nhìn ra nhân tử chung để biến đổi về dạng tích. Nhưng khi qua 1 vài bước đặt ẩn phụ thì sẽ biến đổi phương trình mới về dạng tích dễ dàng hơn.

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}$
HD
$\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}\\
\leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} - 1} \right) = 0$
=> Phương trình có 2 nghiệm: $x = 0;x = - 1$

Ví dụ 2 Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2} + x}}$
HD
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của PT=> chia cả 2 vế cho x ta được

$\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} + \sqrt[3]{x} = 1 + \sqrt[3]{{x + 1}} \leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right) = 0$

=> Phương trình có 1 nghiệm: x=1

Ví dụ 3 Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt[{}]{{{x^2} + 4x + 3}}$
HD
Nhận thấy PT có dạng $au + bv = ab + uv$ ta có biến đổi

$\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt[{}]{{{x^2} + 4x + 3}} \leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3} - 2x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) = 0$

=> Phương trình có 2 nghiệm: x=1, x=0

Bài tập

$1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$

$\fbox{2}.$ Đặt $\sqrt{3x^2 - 18x + 25}=a \ ; \ \sqrt{4x^2 - 24x + 29}=b \ ; \ \ a,b\ge 0.$
$$pt\iff a+b=a^2-b^2\iff (a+b)(a-b-1)=0$$
$\fbox{5}.$ Đặt $\sqrt[3]{7x+1}=a \ ; \ -\sqrt[3]{x^{2}-x-8}=b \ ; \ \sqrt[3]{x^{2}-8x-1}=c \\ \implies \begin{cases}a+b+c=2\\a^3+b^3+c^3=8\end{cases} \implies (a+b+c)^{3}-(a^3+b^3+c^3)=0\iff 3(a+b)(b+c)(c+a)=0$

 

[hocmai.toanhoc]

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP​

$
2)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 5x - 1\\
4)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {2x - 5} = 2{x^2} - 5x \\
5)\sqrt {x + 2} + \sqrt {5x + 6} + 2\sqrt {8x + 9} = 4{x^2} \\
6)\sqrt {2{x^3} + 4{x^2} + 4x} - \sqrt[3]{{16{x^3} + 12{x^2} + 6x + 3}} = 4{x^4} + 2{x^3} - 2x - 1 \\
7)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} = {x^2} + 7x + 12 \\

9)\sqrt[3]{{7x - 8}} + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} = x $

Trả hàng 3 bài
2/ làm bình thường
4/
$\begin{array}{l}
\sqrt {x - 2} - 1 + \sqrt {4 - x} - 1 + \sqrt {2x - 5} - 1 = 2{x^2} - 5x - 3\\
\leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {4 - x} + 1}} + \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {2x - 5} + 1}} = \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)\\
\leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 5} + 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = 0\\
ĐK: x \in \left[ {\dfrac{5}{2};4} \right] = > \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 5} + 1}} - \left( {2x + 1} \right) < 0
\end{array}
Vậy x=3 là nghiệm duy nhất
$

5/ Nhận thấy $x=-1,x=2$ là 2 nghiệm của phương trình nên

PT\Leftrightarrow$4\left( {{x^2} - x - 2} \right)+4x + 8-\sqrt {x + 2} - \sqrt {5x + 6} - 2\sqrt {8x + 9} =0
$
Ta tìm a,b:

${\left( {ax + b} \right)^2} - \left( {x + 2} \right) = k\left( {{x^2} - x - 2} \right)\\
\leftrightarrow .......\\
\leftrightarrow k = 1/9,a = 1/3,b = 4/3
$
Tương tự như vậy ta sẽ có phân tích sau:
$
\begin{array}{l}
4\left( {{x^2} - x - 2} \right) + \left( {\dfrac{{x + 4}}{3} - \sqrt {x + 2} } \right) + \left( {x + 2 - \sqrt {5x + 6} } \right) + 2\left( {\dfrac{{4x + 7}}{3} - \sqrt {8x + 9} } \right) = 0\\
\leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {4 + \dfrac{1}{{x + 4 + 3\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{1}{{x + 2 + \sqrt {5x + 6} }} + \dfrac{{32}}{{4x + 7 + 3\sqrt {8x + 9} }}} \right) = 0\\
\leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \leftrightarrow x = - 1,x = 2
\end{array}
$
Vậy PT có 2 nghiệm $x = - 1,x = 2$

P/s: câu này cần trâu bò, khá là nhọc khi sử dụng pp này

 

[forum_]

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​

Bài tập

$1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$[/FONT]

Bài tập phần này chỉ còn mỗi câu 3 thôi và em nghi đề ko đúng. Phải là

$\sqrt {- x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x$

chứ ạ

Nếu đề đúng thì làm bình thường theo dạng thôi

p/s: Còn 3 bài ở phần PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP nữa

 

[mrza]

Bài số 3 phương pháp nhân lượng liên hiệp

Em làm pp khác ạ, nhưng cũng ra được nghiệm, mn kiểm tra giúp em:

[tex]{x^2} + x - 1 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} [/tex]
\[\left\{ \begin{array}{l}
a = {x^2} + x - 1\\
b = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - {b^2} = 3x - 3\\
a = (x + 2)b
\end{array} \right.\]
[tex] \Rightarrow (x + 2)b - {b^2} = 3x - 3[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {b^2} - (x + 2)b + 3x - 3 = 0[/tex]
[tex]\Delta = {(x + 2)^2} - 4(3x - 3) = {x^2} - 8x + 16 = {(x - 4)^2} \ge 0\forall x[/tex]
[tex] \Rightarrow b = \frac{{x + 2 + \left| {x - 4} \right|}}{2} \vee b = \frac{{x + 2 - \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
[tex]b = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 1} > x - 1[/tex]
[tex] \bullet b = \frac{{x + 2 + \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
TH1: [tex]x \ge 4 \Rightarrow b = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = x - 1(loai)[/tex]
TH2: [tex]x < 4 \Rightarrow b = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 7 = 0[/tex]
[tex] \Leftrightarrow x = 1 + 2\sqrt 2 (nhan) \vee x = 1 - 2\sqrt 2 (nhan)[/tex]
[tex] \bullet b = \frac{{x + 2 - \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
TH1: [tex]x \ge 4 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow x = 1 + 2\sqrt 2 (loai) \vee x = 1 - 2\sqrt 2 (loai)[/tex]
TH2: [tex]x < 4 \Rightarrow b = x - 1(loai)[/tex]
Vậy phương trình có tập nghiệm [tex]S = \left\{ {1 \pm 2\sqrt 2 } \right\}[/tex]

 

[levanvu12a1]

Bài số 3 phương pháp nhân lượng liên hiệp

Em làm pp khác ạ, nhưng cũng ra được nghiệm, mn kiểm tra giúp em:

[tex]{x^2} + x - 1 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} [/tex]
\[\left\{ \begin{array}{l}
a = {x^2} + x - 1\\
b = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - {b^2} = 3x - 3\\
a = (x + 2)b
\end{array} \right.\]
[tex] \Rightarrow (x + 2)b - {b^2} = 3x - 3[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {b^2} - (x + 2)b + 3x - 3 = 0[/tex]
[tex]\Delta = {(x + 2)^2} - 4(3x - 3) = {x^2} - 8x + 16 = {(x - 4)^2} \ge 0\forall x[/tex]
[tex] \Rightarrow b = \frac{{x + 2 + \left| {x - 4} \right|}}{2} \vee b = \frac{{x + 2 - \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
[tex]b = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 1} > x - 1[/tex]
[tex] \bullet b = \frac{{x + 2 + \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
TH1: [tex]x \ge 4 \Rightarrow b = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = x - 1(loai)[/tex]
TH2: [tex]x < 4 \Rightarrow b = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 7 = 0[/tex]
[tex] \Leftrightarrow x = 1 + 2\sqrt 2 (nhan) \vee x = 1 - 2\sqrt 2 (nhan)[/tex]
[tex] \bullet b = \frac{{x + 2 - \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
TH1: [tex]x \ge 4 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow x = 1 + 2\sqrt 2 (loai) \vee x = 1 - 2\sqrt 2 (loai)[/tex]
TH2: [tex]x < 4 \Rightarrow b = x - 1(loai)[/tex]
Vậy phương trình có tập nghiệm [tex]S = \left\{ {1 \pm 2\sqrt 2 } \right\}[/tex]

$\Delta =(x-4)^2 $\Rightarrow b=3 or b=x-1
Cậu không càn xét đâu vì kiểu j nó cũng có hai nghiệm vây mà

 

[ha_nb_9x]

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​

Bài tập

$1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$

1) Điều kiện (Tự tìm)
Đặt $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{1-x}$
Thay vào phương trình, ta có
$uv+v=1+{v}^{2}u$
\Leftrightarrow $u{v}^{2}-uv=v-1$
\Leftrightarrow $uv(v-1)=v-1$
\Leftrightarrow $(v-1)(uv-1)=0$
Còn lại tự làm tiếp
4) Điều kiện (Tự tìm)
Đặt $u=\sqrt{7-x}$, $v=\sqrt{x+1}$ =>Từ đó cứ theo hướng dẫn mà giải thôi

Mà hướng dẫn cho mình cách giải phương trình sử dụng hàm biến thiên với, mình chưa rõ cách làm

 

[congchuacuu]

cho mih hoi bai nay ,giai he phuong trinh
2x+can bậc hai (2-x=y-x^2-y^2)=1
2x^3=2y^2+1

 

[hocmai.toanhoc]

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP​

$
2)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 5x - 1\\
4)\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {2x - 5} = 2{x^2} - 5x \\
5)\sqrt {x + 2} + \sqrt {5x + 6} + 2\sqrt {8x + 9} = 4{x^2} \\
6)\sqrt {2{x^3} + 4{x^2} + 4x} - \sqrt[3]{{16{x^3} + 12{x^2} + 6x + 3}} = 4{x^4} + 2{x^3} - 2x - 1 \\
7)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} = {x^2} + 7x + 12 \\

9)\sqrt[3]{{7x - 8}} + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} = x $

$6)ĐK:2{x^3} + 4{x^2} + 4x \ge 0 \leftrightarrow x \ge 0$

$\begin{array}{l}
PT \leftrightarrow \sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} = \left( {2x + 1} \right)\left( {2{x^3} - 1} \right)\\
\leftrightarrow \sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} - \left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) - \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} = \left( {2x + 1} \right)\left( {2{x^3} - 1} \right)\\
\leftrightarrow \dfrac{{2{x^3} - 1}}{{\sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} + \left( {2x + 1} \right)}} - \dfrac{{4\left( {2{x^3} - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} + {{\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)} \right]}^{2/3}}}} - \left( {2x + 1} \right)\left( {2{x^3} - 1} \right) = 0\\
\leftrightarrow \left( {2{x^3} - 1} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} + \left( {2x + 1} \right)}} - \dfrac{4}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} + {{\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)} \right]}^{2/3}}}} - \left( {2x + 1} \right)} \right] = 0
\end{array}$

Với $x \ge 0$ thì ${\dfrac{1}{{\sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} + \left( {2x + 1} \right)}}}- {\left( {2x + 1} \right)}<0$

Vậy $x= \sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}$ là nghiệm duy nhất của PT

7) ĐK $x\ge -2$
Nhận thấy x=2 là 1 nghiệm nên ta có biến đổi sau

$\begin{array}{l}
PT \leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} = {x^2} - 4x + 4 + 11x + 8\\
\leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} - 2\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} - 3\left( {x + 6} \right) + 12 - 6x = {x^2} - 4x + 4\\
\leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right) + \left( {x + 6} \right)\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right) = {\left( {x - 2} \right)^2} + 6\left( {x - 2} \right)\\
\leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} + \dfrac{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 7} + 3}} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\
\leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} + \dfrac{{x + 6}}{{\sqrt {x + 7} + 3}} - \left( {x + 4} \right)} \right) = 0\\
với \ge - 2 ta có \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} + \dfrac{{x + 6}}{{\sqrt {x + 7} + 3}} - \left( {x + 4} \right) < \dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 6}}{3} - \left( {x + 4} \right) < 0\\
\end{array}$
= > x = 2 là nghiệm duy nhất của pt

9) Dùng wolframanpha thì giải ta được nghiệm $x=\dfrac{6-\sqrt2}{4};x=\dfrac{6+\sqrt2}{4}$
=> x là nghiệm của phương trình bậc hai $ 8x^2-24x+17=0$
=> ta sẽ phân tích
$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{7x - 8}} + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} = x\\
\leftrightarrow \sqrt[3]{{7x - 8}} - \left( {ax + b} \right) + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} - \left( {cx + d} \right) = 0
\end{array}$

ta sẽ tìm a, b, c, d sao cho
$\sqrt[3]{{7x - 8}} - \left( {ax + b} \right)=f(x) (8x^2-24x+17)$

$\sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} - \left( {cx + d} \right)=k.(8x^2-24x+17)$

=>............
P/s: đây là 1 cách giải không hay. Sẽ có cách khác để tìm a,b,c, d mà không cần biết trước 2 nghiệm

 

[hocmai.toanhoc]

ĐẶT 1 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN MỚI​

Ví dụ 1. Giải BPT: $\sqrt {5{x^2} + 10x + 1} = 7 - {x^2} - 2x\,\,(1)$
Đặt $u = \sqrt {5{x^2} + 10x + 1} \ge 0 \rightarrow {u^2} = 5({x^2} + 2x) + 1.$
Khi đó: $(1) \leftrightarrow u = 7 - \dfrac{{{u^2} - 1}}{5}$
$\leftrightarrow {u^2} + 5u - 36 = 0 \leftrightarrow (u + 9)(u - 4) = 0 \leftrightarrow u = 4 \leftrightarrow 5({x^2} + 2x - 3) = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 3
\end{array} \right.$
Ví dụ 2. $x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } = 6$
ĐK: $1 \le x \le 6$
Đặt $t = \sqrt {x - 1} \left( {t \ge 0} \right)$
Khi đó ta được phương trình ${t^2} + \sqrt {5 + t} = 5 \leftrightarrow 5 - {t^2} = \sqrt {5 + t} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le t \le \sqrt 5 \\
{\left( {5 - {t^2}} \right)^2} = 5 + t
\end{array} \right.$
Giả tìm được $t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2} \leftrightarrow \sqrt {x - 1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2} \leftrightarrow x = \dfrac{{11 - \sqrt {17} }}{2}$

Ví dụ 3. ${x^2} + 2x\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3x + 1$
ĐK: $ - 1 \le x < 0$
Chia cả 2 vế của pt cho x ta được $x + 2\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3 + \dfrac{1}{x} \leftrightarrow x - \dfrac{1}{x} + 2\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3$

Đến đây thì dễ rồi .
Bài tập:
1) $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \dfrac{{x + 3}}{2}$
$\begin{array}{l}
2)\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = 2\\
3)\sqrt {x + 1} - \sqrt {12 - x} = \sqrt { - {x^2} + 11x - 23} \\
4)\sqrt {x + 7} - \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 2x + 63} \\
5)\sqrt {3 - x} + \sqrt {x - 1} - 4\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = - 2\\
6)(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} \\
7)x + \sqrt {4 - {x^2}} = 2 + 3x\sqrt {4 - {x^2}} \\
8)1 + \dfrac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \\
9){x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} - {x^2}}} = 2x + 1\\
10){x^3} + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} = x\sqrt {2\left( {1 - {x^2}} \right)} \\
11)\left( {13 - 4x} \right)\sqrt {2x - 3} + \left( {4x - 3} \right)\sqrt {5 - 2x} = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15}
\end{array}$

 

[hocmai.toanhoc]

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN​

Là phương pháp đặt ẩn mới nhưng không thay thế hoàn toàn ẩn cũ
Dấu hiệu: Thông thường các phương trình giải bằng phương pháp này có dạng
$\begin{array}{l}
a{x^2} + bx + c = \left( {mx + n} \right)\sqrt {px + q} \\
a{x^2} + bx + c = \left( {mx + n} \right)\sqrt {p{x^2} + qx + r} \\
a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \left( {mx + n} \right)\sqrt {p{x^3} + q{x^2} + rx + s}
\end{array}$
Phương pháp giải: đặt $t = \sqrt {f\left( x \right)} \left( {t \ge 0} \right)$ khi đó ta đưa pt về dạng
$\alpha {t^2} - \left( {mx + n} \right)t + g\left( x \right) = 0$

Vấn đề còn lại là việc chọn $\alpha$ sao cho delta là số chính phương

Ví dụ 1. GPT: $(4x - 1)\sqrt {{x^3} + 1} = 2{x^3} + 2x + 1\,\,\,(1)$

Đặt $u = \sqrt {{x^3} + 1} \ge 0 \rightarrow {u^2} = {x^3} + 1.$
Khi đó (1) $ \rightarrow (4x - 1)u = 2({x^3} + 1) + 2x - 1$
Ta có: $\leftrightarrow 2{u^2} - (4x - 1)u + 2x - 1 = 0.$
$\Delta = {(4x - 1)^2} - 8(2x - 1) = {(4x - 3)^2}$
$(1) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{2}\\
u = 2x - 1
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x{}^3 + 1 = \frac{1}{4}\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 \ge 0\\
{x^3} + 1 = {(2x - 1)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^3} = - \frac{3}{4}\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 \ge 0\\
x{(x - 2)^2} = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \sqrt[3]{{\frac{3}{4}}}\\
x = 2
\end{array} \right.$

Ví dụ 2. GPT: $2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16} $

ĐK: $x \in \left[ { - 2;2} \right]$

Bình phương 2 vế ta được

$\begin{array}{l}
- 9{x^2} - 8x + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} + 32 = 0\left( 1 \right)\\
\leftrightarrow \alpha {t^2} + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} - 9{x^2} - 8x + 32 - \alpha {t^2} = 0\\
\leftrightarrow \alpha {t^2} + 16t - 9{x^2} - 8x + 32 - \alpha \left( {2\left( {4 - {x^2}} \right)} \right) = 0\\
\leftrightarrow \alpha {t^2} + 16t - \left( {9 + 2\alpha } \right){x^2} - 8x + 32 - 8\alpha = 0\\
= > \Delta ' = 64 - \alpha \left[ {\left( {9 + 2\alpha } \right){x^2} - 8x + 32 - 8\alpha } \right]\\
= - \left( {9 + 2\alpha } \right)\alpha {x^2} + 8\alpha x - 32\alpha + 8{\alpha ^2} + 64
\end{array}$

Ta chọn:$\alpha :\Delta '$ là số chính phương (thông thường ta sẽ chọn sao cho hệ số của x2 là số chính số chính phương=> dễ thấy $\alpha = - 4$ )

$\left( 1 \right) \leftrightarrow 4\left[ {2\left( {4 - {x^2}} \right)} \right] + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} - {x^2} - 8x = 0$
Đặt $t = \sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} = > PT:4{t^2} + 16t - {x^2} - 8x = 0$
$\Delta ' = 4{\left( {x - 4} \right)^2} = > t = 4 - \frac{x}{2};t = - \frac{x}{2}$
Đến đây thì dễ rồi
Bài tập.

$\begin{array}{l}
1){x^2} + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt {{x^2} + 1} \\
2)x - 2\sqrt {x - 1} - (x - 1)\sqrt x + \sqrt {{x^2} - x} = 0\\
3)2(3x - 1)\sqrt {2{x^2} + x - 1} = 6{x^2} - 3x - 4\\
4)2(1 - x)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1.\\
5){x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} \\
6)4\sqrt {x + 1} - 1 = 3x + 2\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - {x^2}}
\end{array}$

 

[forum_]

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

1/

Đặt : $\sqrt[]{x^2+1} = t$ \geq 0

\Rightarrow $t^2 = x^2+1$

Pt \Leftrightarrow $t^2 + 3x - (x+3)t = 0$

\Leftrightarrow $(t-x)(t-3)=0$

\Leftrightarrow $continue....$

2/

Đặt $\sqrt[]{x} = a$ \geq 0 ; $\sqrt[]{x-1} = b$ \geq 0

\Rightarrow $a^2-b^2 =1$

\Rightarrow $a^2=b^2 +1$ (1)

PT \Leftrightarrow $a^2-2b-ab^2+ab=0$

Thay (1) vào PT đc

$b^2 +1-2b-ab^2+ab=0$

\Leftrightarrow $(b-1)(b-1-ab)=0$

p/s: đợt này em bận thi học kì II, nên làm tạm thế vậy