Ôn Thi Đại Học 2013.

[jet_nguyen]

Bài 44: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $A(0,-1)$ đến $y=2x^3+3x^2-1$.

Phương trình tiếp tuyến qua $A(0,-1)$ có hệ số góc $k$: $y=kx-1 (\Delta)$
$ (\Delta)$ là tiếp tuyến của (C)$$\Longleftrightarrow \begin{cases}2x^{3}+2x^{2}-1=kx-1 (1) \\ 6x^{2}+6x=k (2) \end{cases} $$ có nghiệm
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được:
$$2x^{3}+2x^{2}-1=(6x^{2}+6x)x-1$$$$ \Longleftrightarrow 4x^3+3x^2=0 $$$ \Longleftrightarrow x=0 \Longrightarrow k=0$ (loại) hoặc $x=-\dfrac{3}{4} \Longrightarrow k=-\dfrac{9}{8} $ (nhận)
Vậy PTTT : $$y= -\dfrac{9x}{8} -1$$

Bạn thiếu mất 1 đáp án rồi, vì sao $k=0$ lại loại nhỉ?
Với $k=0$ thì phương trình có dạng $y=-1$.
Vậy có 2 tiếp tuyến thoả bài toán:
$$\Delta_1:y=-1$$$$\Delta_2:y=-\dfrac{9}{8}x-1$$

 

[adriana_nhuy]

Bạn thiếu mất 1 đáp án rồi, vì sao $k=0$ lại loại nhỉ?
Với $k=0$ thì phương trình có dạng $y=-1$.
Vậy có 2 tiếp tuyến thoả bài toán:
$$\Delta_1:y=-1$$$$\Delta_2:y=-\dfrac{9}{8}x-1$$

Vì $y=-1$ là đường thẳng $// Oy$
Tiếp tuyến là đường thẳng có hệ số góc $k$ , $y=-1$ thì không có hệ số góc nên loại !

 

[jet_nguyen]

Vì $y=-1$ là đường thẳng $// Oy$
Tiếp tuyến là đường thẳng có hệ số góc $k$ , $y=-1$ thì không có hệ số góc nên loại !

Hịc, bạn bị hổng kiến thức cơ bản nhất rồi, đặc biệt là khả năng hình học, $y=a$ $ (a \in R)$ là đường thẳng $//Ox$ và hệ số góc $k=0$ bạn nhé, còn đường thẳng có dạng $x=m$ $(m \in R)$ mới là đường thẳng $//Oy$ và không có hệ số góc. Mình nghĩ bạn đã học dạng này và cũng đã gặp trường hợp đường thẳng có dạng $x=m$ $(m \in R)$ mà chắc không hiểu nên giờ áp dụng một cách máy móc cho bài này. Xem lại giúp mình nhé. Và bạn cũng cần biết là: chúng ta mới chỉ học các đường cong cơ bản thôi nên mới không tồn tại tiếp tuyến dạng $x=m$, chứ nếu chuyên sâu thì hẳn nó còn đúng không nhỉ?, bạn thử tìm hiểu nha, vì thế đừng khẳng định lung tung nhé.

P/s: Mình mong các bạn dừng thảo luận bài này tại đây để tránh làm loãng Topic, mọi thắc mắc về bài này bạn thảo luận tại trang cá nhân của mình nhé.

 

[jet_nguyen]

Bài 45: Cho hàm số $y = x^3- 3x+2 (C)$. Viết phương trình đường thẳng d cắt hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C. Biết $x_A = 2; BC = 2\sqrt{2}$

Giải:
​

$\bullet$ Gọi $(\Delta )$ là đường thẳng cần tìm, và $A(2,4) \in (C)$.
$\bullet$ Theo yêu câu bài toán ta có $(\Delta )$ phải đi qua A. Suy ra:
$$(\Delta ):y = k(x - 2) + 4 = kx - 2k + 4$$
$\bullet$ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $(\Delta )$ :
$$x^3 - 3x + 2 = kx - 2k + 4$$$$ \Longleftrightarrow x^3 - (3 + k)x + 2k - 2 = 0$$$$
\Longleftrightarrow (x - 2)({x^2} + 2x - k + 1) = 0$$$$ \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} x = 2\\ g(x) = {x^2} + 2x - k + 1 = 0 \end{array} \right.$$ $\bullet$ Để (C) cắt$ (\Delta )$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $g(x)=0 $ có 2 nghiệm phân biệt khác 2 : $$\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{1} \Delta ' > 0\\ g(2) \ne 0
\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{1} k > 0\\ k \ne 9
\end{array}( * ) \right.$$
$\bullet$ Khi đó gọi $B({x_1},k{x_1} - 2k + 4);C({x_2},k{x_2} - 2k + 4)$ là 2 giao điểm của $(C)$ và $(\Delta )$.
$\bullet$ Theo yêu cầu bài toán :
$$ B{C^2} = 8 $$$$\Longleftrightarrow {({x_2} - {x_1})^2} + {[k({x_2} - {x_1})]^2} = 8 $$$$\Longleftrightarrow ({k^2} + 1){({x_2} - {x_1})^2} = 8 $$$$\Longleftrightarrow ({k^2} + 1)[{({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2}] = 8
$$$$ \Longleftrightarrow ({k^2} + 1)[4 - 4( - k + 1)] = 8$$$$\Longleftrightarrow ({k^2} + 1)(4k) = 8$$$$\Longleftrightarrow {k^3} + k - 2 = 0 $$$$\Longleftrightarrow k = 1 \,\ (N)$$
$\bullet$ Vậy $(\Delta ):y = x + 2$ là đường thẳng cần tìm.

 

[adriana_nhuy]

Bài 47: Cho hàm số $y = \dfrac{2x}{x-2}(C)$. Viết phương tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy tại các điểm A, B sao cho: $AB = \sqrt{2}OA$

Ta có $Cos\hat{ABO}= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{AOB}= 45^o$
Nên tam giác AOB vuông cân tại O. Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = 1 và k = -1
Gọi tọa độ tiếp điểm là $M(x_{o}; y_{0})$ ta có $k = f'_{(x_0)} = \dfrac{-4}{(x_{o}-2)^2}$
$\Rightarrow \dfrac{-4}{(x_{o}-2)^2}= -1$ (Do k = 1 loại)
$\Leftrightarrow x_{o}= 0$ hoặc $x_{o}=4$
+ Với $x_{o}=0 \Rightarrow y_{o}=\dfrac{-1}{2} \Rightarrow y= -x-\dfrac{-1}{2}$
+ Với $x_{o}=4 \Rightarrow y_{o}=\dfrac{-1}{2} \Rightarrow y=-x+4$

 

[truongduong9083]

Ta có $Cos\hat{ABO}= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{AOB}= 45^o$
Nên tam giác AOB vuông cân tại O. Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = 1 và k = -1
Gọi tọa độ tiếp điểm là $M(x_{o}; y_{0})$ ta có $k = f'_{(x_0)} = \dfrac{-4}{(x_{o}-2)^2}$
$\Rightarrow \dfrac{-4}{(x_{o}-2)^2}= -1$ (Do k = 1 loại)
$\Leftrightarrow x_{o}= 0$ hoặc $x_{o}=4$
+ Với $x_{o}=0 \Rightarrow y_{o}=\dfrac{-1}{2} \Rightarrow y= -x-\dfrac{-1}{2}$
+ Với $x_{o}=4 \Rightarrow y_{o}=\dfrac{-1}{2} \Rightarrow y=-x+4$

Bạn bị nhầm ở chỗ hai tiếp tuyến nhé
$\bullet$ Với $x_0 = 0$ phương trình tiếp tuyến là: $y = - x$ (Loại)
$\bullet$ Với $x_0 = 4$ phương trình tiếp tuyến là: $y = - x + 8$
Vậy chỉ có tiếp tuyến $y = -x + 8$ thoả mãn điều kiện đầu bài bạn nhé
Ngoài cách làm trên ta có thể làm theo cách sau
$\bullet$ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_o; y_o)$ có dạng: $y - y_0 = k(x - x_0) \Rightarrow y = -\dfrac{4}{(x_0-2)^2}(x-x_0)+\dfrac{2x_0}{x_0-2}$
$\bullet$ Theo giả thiết ta tìm được toạ độ các điểm $A(\dfrac{x^2_0}{2}; 0); B(0; \dfrac{2x^2_0}{(x_0-2)^2})$
Do tam giác OAB vuông cân tại O nên OA = OB
$$\Rightarrow \dfrac{x^2_0}{2} = \dfrac{2x^2_0}{(x_0-2)^2}$$
$$\Leftrightarrow x^3_0(x_0 - 4) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_o = 0 \\ x_o = 4 \end{array} \right.$$
Đến đây giống cách 1 rồi nhé

 

[jet_nguyen]

Bài 48: Cho hàm số $y = \dfrac{x}{x-1}(C)$. Viết phương tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng $2(2+\sqrt{2})$

Giải:
​

$\bullet$ Dễ dàng tìm được 2 đường tiệm cận của đồ thị là: $x=1;y=1 \Longrightarrow I(1;1)$
$\bullet$ Gọi tiếp tuyến tại $M(x_o;y_o) \in (C)$ là: $y=-\dfrac{x-x_o}{(x_o-1)^2}+\dfrac{x_o}{x_o-1}$
$\bullet$ Ta thấy:

- Khi $x=1 \Longrightarrow y=\dfrac{x_o+1}{x_o-1} \Longrightarrow A \left(1;\dfrac{x_o+1}{x_0-1} \right)$
- Khi $y=1 \Longrightarrow x=2x_o-1 \Longrightarrow B \left(2x_o-1 ;1 \right)$
​

$\bullet$ Ta có:
Cách 1:
$$P_{ABI}=IA+IB+AB=\dfrac{x_o+1}{x_0-1}-1+2x_o-2+\sqrt{(2x_o-2)^2+\left(1-\dfrac{x_o+1}{x_0-1} \right)^2}=2(2+\sqrt{2})$$$$\Longleftrightarrow 2+2(x_o-1)^2+\sqrt{(x_o-1)^4+4}=2(2+\sqrt{2})(x_o-1)$$$$\Longleftrightarrow x_o=2 \,\ V \,\ x_o=0$$
Cách 2:
$$\begin{aligned} P_{ABI}=IA+IB+AB &=\dfrac{x_o+1}{x_0-1}-1+2x_o-2+\sqrt{(2x_o-2)^2+\left(1-\dfrac{x_o+1}{x_0-1} \right)^2}\\ & =\dfrac{2}{|x_o-1|}+2|x_o-1|+2\sqrt{(|x_o-1|)^2+\dfrac{1}{(|x_o-1|)^2}} \\ & \ge 2(2+\sqrt{2}) \end{aligned}$$ Dấu "=" xảy ra khi $|x_o-1|=1 \Longleftrightarrow x_o=2 \,\ V \,\ x_o=0$

$\bullet$ Vậy tiếp tuyến cần tìm là: $$\Delta_1:y= -x$$$$\Delta_2:y= -x+4$$

 

[truongduong9083]

Bài 46: Cho hàm số $y = \dfrac{4}{3}x^3- (2m+1)x^2+(m+2)x+\dfrac{1}{3} (C)$. Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của $(C_m)$ với trục tung cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\dfrac{1}{18}$.

$\bullet$ Ta có điểm $B(0; \dfrac{1}{3})$. Nên phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
(C) tại điểm B có dạng: $y = (m+2)x+\dfrac{1}{3}$ (d). Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm $A(-\dfrac{1}{3m+6}; 0)$
$\bullet$ Theo giả thiết diện tích tam giác OAB bằng $\dfrac{1}{18}$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{18}$$
$$\Leftrightarrow |m+2| = 1$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -1 \\ m = -3 \end{array} \right.$$
$\bullet$ Vậy $m = - 1$ và $m = - 3$ là giá trị cần tìm của bài toán

 

[truongduong9083]

Bài 49: Cho hàm số $y = \dfrac{2x-1}{x+1}(C)$. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm trên đồ thị (C) điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị (C) cắt các đường tiệm cận tại A và B thoả mãn: $IA^2+IB^2 = 40$.

$\bullet$ Ta có đường tiệm cận đứng là $d_1: x = -1$; tiệm cận ngang $d_2: y = 2$ $\Rightarrow I(-1; 2)$
$\bullet$ Gọi tọa độ tiếp điểm $M(x_o; y_o)$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng
$y = \dfrac{3}{(x_o+1)^2}(x-x_o)+\dfrac{2x_o-1}{x_o+1}$
Theo bài ra ta có tọa độ hai điểm $A(-1; \dfrac{2x-4}{x_o+1}); B(2x_o+1; 2)$
$\bullet$ Giả thiết cho $IA^2+IB^2 = 40$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{36}{(x_o+1)^2}+4(x_o+1)^2 = 40 \\ x_o > 0 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x_o+1)^4 - 10(x_o+1)^2+9 = 0 \\ x_o > 0 \end{array} \right.$$
$$ \Rightarrow x_o = 2$$
$\bullet$ Với $x_o = 2$ ta có tọa độ điểm $M(2; 1)$

 

[truongduong9083]

Bài 51: Cho hàm số $y = x^4-x^2+1 (C)$. Tìm trên trục Oy các điểm A sao cho từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

 

[truongduong9083]

Bài 52: Cho hàm số $y = \dfrac{x+3}{x - 1} (C)$. Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d: $y = 2x+1$ sao cho từ M kẻ được 1 tiếp tuyến tới hàm số (C).

 

[truongduong9083]

Bài 53:. Cho hàm số $y = -x^3+3x +2 (C)$. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C).

 

[jet_nguyen]

Bài 50: Cho hàm số $y = \dfrac{x-2}{x+1}(C)$. Viết phương tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận tại các điểm A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là nhỏ nhất (Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận).

Giải:
​

$\bullet$ Dễ dàng tìm được 2 đường tiệm cận của đồ thì là: $x=-1;y=1$.
Suy ra giao điểm 2 đường tiệm cận là: $I(-1,1)$.
$\bullet$ Ta có phương trình tiếp tuyến tạ $M(x_o;y_o) \in (C)$:
$$\Delta:y= \dfrac{3}{(x_o +1)^2} (x-x_o)+\dfrac{x_o-2}{x_o+1}$$
$\bullet$ Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại: $A\left(-1;\dfrac{x_o-5}{x_o+1}\right),B(2x_o+1;1)$
Suy ra: $IA=\dfrac{6}{|x_o+1|};IB=2|x_o+1| \Longrightarrow IA.IB=12 \Longrightarrow S_{IAB}=\dfrac{1}{2}IA.IB=6$
$\bullet$ Gọi $p;r$ lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của $\Delta ABI$ thì : $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6}{p}$
$\bullet$ Vì thế $r$ lớn nhất khi $p$ nhỏ nhất. Mặt khác $\Delta IAB$ vuông tại I nên:
$$2p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2} \ge 2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}=4\sqrt{3}+2\sqrt{6}$$ Dấu "=" xảy ra khi: $IA=IB \Longleftrightarrow x=-1^+_-\sqrt{3}$
$\bullet$ Vậy có 2 tiếp tuyến thảo yêu cầu bài toán:
$$\Delta_1: y=x+2(1-\sqrt{3})$$$$\Delta_2: y=x+2(1+\sqrt{3})$$

 

[huutho2408]

Tiếp tuyến

Bài 51: Cho hàm số $y = x^4-x^2+1 (C)$. Tìm trên trục Oy các điểm A sao cho từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

$\bullet$ Gọi $A(0;m)$ thì phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A

$y=kx+m$ tiếp xúc với (C):$y=x^4-x^2+1$

$\Longleftrightarrow \begin{cases} x^4-x^2+1=kx+m & \color{red}{} \\ 4x^3-2x=k& \color{red}{} \end{cases} $

$\Longleftrightarrow 3x^4-x^2+m-1=0$ (1)

$\bullet$ Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì pt (1) có 3 nghiện phân biệt:

$\Longleftrightarrow $ pt (1) phải có 1 nghiệm bằng 0 $\Longleftrightarrow $ $m=1$

$\bullet$ Với m=1 ta có pt (1) trở thành: $$3x^4-x^2=0$$
$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} x=0 & \color{red}{} \\ x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} & \color{red}{}\\x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} & \color{red}{} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Từ trên ta có đt qua A kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới (C) lần lượt là:
$$y=1$$
$$y=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}x+1$$
$$y=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}x+1$$
$\bullet$ Vậy $A(0;1)$ thõa mãn ycbt

 

[huutho2408]

Tiếp tuyến

Bài 52: Cho hàm số $y = \dfrac{x+3}{x - 1} (C)$. Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d: $y = 2x+1$ sao cho từ M kẻ được 1 tiếp tuyến tới hàm số (C).

$\bullet$ Gọi $M(m;2m+1)$ thuộc (d) thì phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M là

$y=k(x-m)+2m+1$ tiếp xúc với (C):$y=\dfrac{x+3}{x-1}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}\dfrac{x+3}{x-1} =k(x-m)+2m+1 & \color{red}{} \\-\dfrac{4}{(x-1)^2} =k& \color{red}{} \end{cases} $ có nghiệm

$\Longleftrightarrow y=y'(x-m)+2m+1$

$\Longleftrightarrow f(x)=mx^2-2(m+2)x+3m+2=0$ (1)

$\bullet$ Để từ M kẻ được 1 tiếp tuyến tới (C) ta có 3 trường hợp xảy ra

$\bullet$ TH1:$m=0$ thì pt(1) có 1 nghiệm duy nhất (thoả mãn)

$\bullet$ TH2:$m\not=0$ thì pt(1) có 1 nghiệm duy nhất:
$$\Longleftrightarrow \begin{cases}f(1)\not=0 & \color{red}{} \\\ \triangle'=0& \color{red}{} \end{cases} $$
$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} m=-1 & \color{red}{} \\ m=2 & \color{red}{} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1
$$\Longleftrightarrow \begin{cases}f(1)=0 & \color{red}{} \\\ \triangle' > 0& \color{red}{} \end{cases} $$
$$\Rightarrow m = 1$$
$\bullet$ Vậy các điểm M thỏa mãn ycbt là: $M_1(0;1)$;$M_2(-1;-1)$;$M_3(2;5); M_4(1; 3)$

 

[truongduong9083]

Bài 54: Cho hàm số $y = \dfrac{x+3}{x+2} (C)$. Tìm m để
đường thẳng $d: y = 2x+3m$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $\vec{OA}.\vec{OB} = - 4$ (Với O là gốc tọa độ).

 

[truongduong9083]

Bài 55: Tìm trên hàm số $y = \dfrac{-x+1}{x-2}(C)$ các điểm A, B sao cho đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
$y = x$.

 

[truongduong9083]

Bài 56. Cho hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1} (C)$ và điểm
$A(-2; 5)$. Xác định đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C sao cho tam giác ABC đều.

 

[huutho2408]

Tiếp tuyến

Bài 53:. Cho hàm số $y = -x^3+3x +2 (C)$. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C).

$\bullet$ Gọi $A(m;0)$ thì phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A

$y=k(x-m)$ tiếp xúc với (C):$y=-x^3+3x+2$

$$\Longleftrightarrow \begin{cases} -x^3+3x+2=k(x-m) & \color{red}{} \\ -3x^2+3=k& \color{red}{} \end{cases} $$
$$\Longleftrightarrow -x^3+3x+2=(-3x^2+3)(x-m) $$
$$\Longleftrightarrow 2x^3-3mx^2+2+3m=0 $$
$$\Longleftrightarrow (x+1)[2x^2-(3m+2)x+3m+2]=0 $$
$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} x=-1 & \color{red}{} \\ g(x)=2x^2-(3m+2)x+3m+2=0 & \color{red}{} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì pt (1) có 3 nghiện phân biệt:
$$\Longleftrightarrow \begin{cases} g(-1)\not=0 &\color{red}{} \\ \triangle{g}>0& \color{red}{} \end{cases}$$
$$\Longleftrightarrow \begin{cases} m\not=-1 &\color{red}{} \\m<-\dfrac{2}{3} \bigcup m>2 & \color{red}{} \end{cases}$$

 

[truongduong9083]

Bài 57: Cho hàm số $y = \dfrac{mx+2}{x - 1} (C_m)$. Tìm m để trên đồ thị $(C_m)$ có hai điểm P, Q cách đều hai điểm $A(-3; 4); B(3; -2)$ và diện tích APBQ bằng 24.