Ôn Thi Đại Học 2013.

[jet_nguyen]

Bài 63: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x+1} (C)$ để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

Giải:
​

$\bullet$ Lấy $M \left(m,\dfrac{m-1}{m+1} \right) \in (C)$
$\bullet$ Tổng khoảng cách từ M đến Ox và Oy là:
$$d=|x_M|+|y_M|=|m|+\bigg|\dfrac{m-1}{m+1} \bigg|$$ $\bullet$ Nhận xét: Với $M(1,0)$ thì $d=1$, do đó để d nhỏ nhất thì ta chỉ cần xét:
$$\left\{\begin{array}{1} |m|<1 \\ \bigg|\dfrac{m-1}{m+1} \bigg| <1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow 0<m<1$$ $\bullet$ Khi đó: $$d=m+\dfrac{m-1}{m+1}=m+1+\dfrac{2}{m+1}-2 \ge 2\sqrt{(m+1)\left( \dfrac{2}{m+1}\right)}-2=2(\sqrt{2}-1)$$ $\bullet$ Vậy: $Min d= 2(\sqrt{2}-1)$ khi $m=\sqrt{2}-1 \Longrightarrow M(\sqrt{2}-1;1-\sqrt{2})$.

 

[jet_nguyen]

Bài 66: Giả sử đồ thị hàm số $y= x^3 - 6x^2 + 9x + d$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $x_1 < x_2 < x_3$ .Chứng minh rằng: $0 < x_1 < 1 < x_2 < 3 < x_3 < 4$

Giải:
​

$\bullet$ Gọi: $(C): x^3-6x^2x+d$
$\bullet$ Phương trình hoành độ giao điểm cuả $(C)$ với $Ox$ là:
$$x^3-6x^2+9x+d=0 ( * ) \Longleftrightarrow d=-x^3+6x^2-9x$$
$\bullet$ Để $(C)$ giao $Ox$ tại 3 điểm phân biệt khi phương trình ( * ) có 3 nghiệm phân biệt, tức là đuờng thẳng $d:y=d$ cắt đồ thị hàm số: $(H): y=-x^3+6x^2-9x$ tại 3 điểm phân biệt $$\Longleftrightarrow -4<d<0$$$\bullet$ Đặt: $f(x)=-x^3+6x^2-9x$ thì với $d\in (-4,0)$ ta có:
$$f(0)=d<0;f(1)=d+4>0;f(3)=d<0;f(4)=d+4>0$$ $\bullet $ Suy ra: $f(0)f(1)<0;f(1)f(3)<0;f(3)f(4)<0$, kết hợp với tính liên tục của hàm số ta sẽ có điều phải chứng minh.

 

[jet_nguyen]

Trước khi qua chuyên đề mới mình xin cảm ơn tất cả các bạn đã ủng hộ và tham gia đóng góp cho Topic, vì thế để đáp lại sự nhiệt tình của các bạn mình và anh truongduong9083 gửi tặng các bạn Chuyên Đề Hàm Số. Chuyên đề gồm các bài tập và lời giải được tổng hợp từ Topic này, cuối chuyên đề là bài tập rèn luyện có đáp án được trích từ đề thi chính thức và đề thi thử, hy vọng sẽ giúp các bạn củng cố lại được các dạng bài. Cuối cùng xin chúc các bạn đạt điểm tối đa trong phần này nhé.

​

 

[jet_nguyen]

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.​

​

​

Vẫn như thường lệ, mình sẽ bắt đầu bằng một bài cơ bản nhé.

Bài 1: Giải phương trình sau:
$$2^{x+1}.4^{x-1}.\dfrac{1}{8^{1-x}}=16^x$$

 

[jet_nguyen]

Bài 2: Giải phương trình sau:
$$2^{x+2}.5^{x+2}=2^{3x}.5^{3x}$$

 

[jet_nguyen]

Bài 3: Giải phương trình sau:
$$\sqrt{(x-2)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{\log_3x}}=\sqrt{x-2}$$

 

[jet_nguyen]

Bài 4: Giải phương trình sau:
$$(\sqrt{10}+3)^{\frac{x-3}{x-1}} = (\sqrt{10}-3)^{\frac{x+1}{x+3}}$$

 

[smileandhappy1995]

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.​

​

​

Vẫn như thường lệ, mình sẽ bắt đầu bằng một bài cơ bản nhé.

Bài 1: Giải phương trình sau:
$$2^{x+1}.4^{x-1}.\dfrac{1}{8^{1-x}}=16^x$$

phương trình:
$$\Leftrightarrow 2^{x+1}.2^{2x-2}.\dfrac{1}{2^{3-3x}}=2^{4x}$$
$$\Leftrightarrow 2^{6x-4}=2^{4x}$$
$$\Leftrightarrow 6x-4=4x$$
$$\Leftrightarrow x=2$$

 

[dhbk2013]

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.​

​

​

Vẫn như thường lệ, mình sẽ bắt đầu bằng một bài cơ bản nhé.

Bài 1: Giải phương trình sau:
$$2^{x+1}.4^{x-1}.\dfrac{1}{8^{1-x}}=16^x$$

$$\Leftrightarrow 2^{x+1}.2^{2.(x-1)}.\frac{1}{2^{3.(1-x)}} = 2^{4x}$$
$$\Leftrightarrow 2^{6x-4} = 2^{4x}$$
$$\Leftrightarrow 6x-4 = 4 $$
$$\Leftrightarrow x = 2$$

 

[dhbk2013]

Bải 4: Giải phương trình sau:
$$(\sqrt{10}+3)^{\frac{x-3}{x-1}} = (\sqrt{10}-3)^{\frac{x+1}{x+3}}$$

Giải : Điều kiện : $x\neq 1$ và $x \neq - 3$
$\bullet$Vì $(\sqrt{10}+3).(\sqrt{10}-3) = 1$ nên phương trình sẽ trở thành :
$(\frac{1}{\sqrt{10}-3})^{\frac{x-3}{x-1}} = (\sqrt{10}-3)^{\frac{x+1}{x+3}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{10}-3)^{\frac{3-x}{x-1}} = (\sqrt{10}-3)^{\frac{x+1}{x+3}}$
$\Leftrightarrow 9-x^2 = x^2-1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt{5} \\ x = -\sqrt{5} \end{array} \right.$
$\bullet$ Đối chiếu điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm $x = \sqrt{5}$ và $x = -\sqrt{5}$

 

[phieuluumotminh]

Bài 5: Giải phương trình:
$log_3^2(x+1) + (x - 5).log_3(x+1) - 2x + 6 = 0$

 

[acidnitric_hno3]

Bài 5: Giải phương trình:
$log_3^2(x+1) + (x - 5).log_3(x+1) - 2x + 6 = 0$
$\bullet$ ĐK: $x> -1$
Đặt $log_3(x+1) = t$
phương trình trở thành:
$ t^2 + (x-5)t - 2x + 6 = 0$
Ta có $ \triangle = (x-5)^2 + 8x - 24 = x^2 - 2x+1 = (x-1)^2$
Vậy phương trình có hai nghiệm: $\left[ \begin{array}{l} t = 2 \\ t = 3-x\end{array} \right.$
$\bullet$ Với $t = 2$ $\Rightarrow log_3(x+1) = 2 \Leftrightarrow x = 8$
$\bullet$ Với $log_3(3-t+1) = t \Leftrightarrow log_3(4-t) = t \Leftrightarrow 3^t = 4-t\Leftrightarrow 3^t+t-4=0$
Xét $ f(t) = 3^t+t-4$
ta thấy hàm số hàm số $y = f(t)$ là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(t)=0 có nghiệm duy nhất. Dễ thấy $t = 1 \Rightarrow x = 2$
$\bullet$ Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x = 2$ và $x = 8$

 

[truongduong9083]

Bài 3: Giải phương trình sau:
$$\sqrt{(x-2)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{\log_3x}}=\sqrt{x-2}$$

$\bullet$ Đk: $x \geq 2$ (*)
phương trình tương đương:
$$\left[ \begin{array}{l} \sqrt{x - 2} = 0 \\ (x - \frac{1}{2})^{log_3x} = 1 (1) \end{array} \right.$$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ (x - \frac{1}{2})^{log_3x} = 1 (1) \end{array} \right.$$
Giải phương trình (1) ta xét hai trường hợp
1. $x - \dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$ (Loại)
2. $0 <x - \dfrac{1}{2} \neq 1$
(1) $\Rightarrow log_3x = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (Loại)
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x = 2$

 

[truongduong9083]

Bài 2: Giải phương trình sau:
$$2^{x+2}.5^{x+2}=2^{3x}.5^{3x}$$

$\bullet$Phương trình tương đương:
$$10^{x+2} = 10^{3x}$$
$$\Leftrightarrow x+2 = 3x$$
$$\Leftrightarrow x = 1$$
$\bullet$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$

 

[truongduong9083]

Bài 6: Giải phương trình $(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x = 4$
Các bạn chú ý: Vì tô pic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn

 

[truongduong9083]

Bài 7: Giải phương trình $(7+4\sqrt{3})^x-3(2-\sqrt{3})^x+2 = 0$
Các bạn chú ý: Vì tô pic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn

 

[truongduong9083]

Bài 8: Giải phương trình $(3+\sqrt{5})^x+16(3-\sqrt{5})^x = 2^{x+3}$
Các bạn chú ý: Vì tô pic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn

 

[truongduong9083]

Bài 9: Giải phương trình $2^{3x}-6.2^x- \dfrac{1}{2^{3(x - 1)}}+\dfrac{12}{2^x} = 1$
Các bạn chú ý: Vì tô pic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn

 

[truongduong9083]

Bài 10: Giải phương trình $2^{x^2-3x+3}+2^{x - 1} = 2+2^{(x-1)^2}$
Các bạn chú ý: Vì tô pic sau tổng hợp thành tài liệu để mọi người tham khảo nên mình rất mong được sự ủng hộ của các bạn, mong các bạn tham gia nhiệt tình và khi post bài chú ý đọc qua hướng dẫn sử dụng latex. Cám ơn các bạn

 

[dhbk2013]

Bài 6: Giải phương trình $(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x = 4 (1)$

Giải:
$\bullet$ Điều kiện: $ x \not=0$ (*)
$Do (2 + \sqrt{3})^x.(2-\sqrt{3})^x = 1 .$
$(1) \Leftrightarrow ( 2+\sqrt{3})^x + \dfrac{1}{(2+\sqrt{3})^x} = 4 $
Đặt $t = (2+\sqrt{3})^x $ ($t > 0$). Phương trình trở thành
$ t^2 - 4t + 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 2+\sqrt{3} \\ t = 2-\sqrt{3} \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = -1 \end{array} \right.$
$\bullet$ Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1$ và $x = -1$