[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[duyphong1994]

moi nguoi cung giai bai nay nhe

x^3 - 3X + 1 = can bac 2 cua (8 - 3x^2)
bai nay kho qua.ket qua la ti so vang thi phai.
bai nua nay:
2.cosx+2.(can bac 2 cua 3).(sinxcosx)+1=3(sinx+can bac 2 cua 3.cosx)
giai ho m di

 

[gavip1994]

giải hệ pt ....

 

[maxqn]

ĐK
[TEX]{\{ {0 \leq x \leq 4} \\ { 0 \leq y + 2 \leq 4}[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 = (y+2)^3 - 6(y+2)^2[/TEX]
Xét
[TEX]f(t) = t^3 - 6t^2[/TEX] trên [0;4]
[TEX]f'(t) = 3t^2 - 12t \Rightarrow f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t =4[/TEX]
--> f(t) nghịch biến trên [0;4]

[TEX]\Rightarrow f(x) = f(y+2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x = y + 2[/TEX]
Thay vào pt dưới giải tiếp

[TEX](2) \Leftrightarrow 4(4-y^2) - 3\sqrt{4-y^2} - 22 = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{4-y^2} = 2 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2 [/TEX]
Vậy hệ có nghiệm (2;0)

 

[phuonghanh_09]

giải hệ phương trình:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 8x^3y + 27 = 18y^3 \\ 4x^2y + 6x = y^2 \end{array} \right.[/tex]

 

[hocmai.toanhoc]

giải hệ phương trình:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 8x^3y + 27 = 18y^3 \\ 4x^2y + 6x = y^2 \end{array} \right.[/tex]

Chào em!
Em xem lại đề đã đúng chưa?
Bài có phải thế này không?
[TEX]\left{\begin{8x^3y^3 + 27 = 18y^3 }\\{4x^2y + 6x = y^2}[/TEX]

y=0 ko là nghiệm.
[TEX]\Leftrightarrow\left{\begin{8x^3 + \frac{27}{y^3} = 18}\\{\frac{4x^2}{y} + \frac{6x}{y^2} = 1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{\begin{(2x)^3 + (\frac{3}{y})^3 = 18}\\{\frac{2x}{y}(2x + \frac{3}{y}) = 1}[/TEX]
Đến đây em đặt: [TEX]\frac{2x}{y}=u; (2x+\frac{3}{y})=v[/TEX]. Từ đó em giải tiếp nhé!

 

[phuonghanh_09]

Chào em!
Em xem lại đề đã đúng chưa?
Bài có phải thế này không?
[TEX]\left{\begin{8x^3y^3 + 27 = 18y^3 }\\{4x^2y + 6x = y^2}[/TEX]

y=0 ko là nghiệm.
[TEX]\Leftrightarrow\left{\begin{8x^3 + \frac{27}{y^3} = 18}\\{\frac{4x^2}{y} + \frac{6x}{y^2} = 1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{\begin{(2x)^3 + (\frac{3}{y})^3 = 18}\\{\frac{2x}{y}(2x + \frac{3}{y}) = 1}[/TEX]
Đến đây em đặt: [TEX]\frac{2x}{y}=u; (2x+\frac{3}{y})=v[/TEX]. Từ đó em giải tiếp nhé!

Em xem lại rồi,nhưng mà đề em viết đúng thầy ạ. Em lấy đề trong bộ đề thi thử nhưng không có đáp án

 

[liti33]

Giải hệ pt:
[TEX] \left{\begin{x^4-4x^2+y^2-6y+9=0} \\ {x^2y+x^2+2y-22=0} [/TEX]

 

[hoanghondo94]

Giải hệ pt:
[TEX] \left{\begin{x^4-4x^2+y^2-6y+9=0} \\ {x^2y+x^2+2y-22=0} [/TEX]

Bài này quen rồi :

[TEX]x^2 = \frac{22-2y}{y+1}[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow (x^2 - 2)^2 + (y-1)(y-5) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 16(y-5)^2 + (y+1)^2(y-1)(y-5)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-5)(y-3)(y^2+4y+27) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow {\[ {y= 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt2} \\ { y =3 \Rightarrow x = \pm 2}[/TEX]

Cách khác:
hpt\Leftrightarrow
[TEX]\left{\begin{(x^2-2)^{2}+{y-3)^2-4=0}\\{(x^2-2)(y+1)+4(y-3)-8=0[/TEX]
đến đây đặt
[TEX]\left{\begin{x^{2}-2=a}\\{y-3=b=>y+1=b+4}[/TEX]
ta có hệ mới:
[TEX]\left{\begin{a^{2}+b^4-4=0}\\{a(b+4)+4b-8=0}[/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài n: Giải phương trình :

[TEX]2\sqrt{ x^2-2x-1}+\sqrt[3]{ x^3-14}= x-2[/TEX]

 

[gavip1994]

Giải hpt:

 

[duynhan1]

Giải hpt:

Để ý là: [TEX]2x = (x+y) + (x-y)[/TEX]
nên ta sẽ đặt [TEX]a= x+y,\ b=x-y[/TEX]
Ý tưởng ban đầu là thế

 

[hoanghondo94]

Giải hpt:

Gà đã sửa lại đề rồi , biết là nhầm đề mà , hehe

Trước hết ta có điều kiện:
[TEX]{\color{Blue} DK\{ x \geq \frac{1}{2} \\ y \geq -\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \ (?)[/TEX]

[TEX]{\color{Blue} Hpt \Leftrightarrow \{2(x^3-y^3)=1 \\ \sqrt{2-x+y-x^2-y^2}=2x-1[/TEX]

Từ pt (1) ta suy ra [TEX] {\color{Blue} 2(x^3-y^3)=1 ; 4(x^3-y^3)=2[/TEX]
Thế vào pt (2) ta có :
[TEX]{\color{Blue} 4(x^3-y^3)-x+y-x^2-y^2 = 2(x^3-y^3)-4x+4x^2[/TEX](Với [TEX]{\color{Blue} x \geq \frac{1}{2}[/TEX])
[TEX]{\color{Blue} 2x^3-5x^2+3x=2y^3+y^2-y[/TEX]( *)
Đặt [tex]{\color{Blue} y=z-1 , \ dk \ z \geq x \geq \frac{1}{2} ( tu \ (?) suy \ ra \)[/tex]

Khi đó pt ( *) trở thành
[TEX]{\color{Blue} 2x^3-5x^2+3x =2z^3-5z^2+3z[/TEX]

Xét hàm số [tex] {\color{Blue} f(t)=2t^3-5t^2+3t (t \geq \frac{1}{2})[/tex]

Dễ thấy với [TEX]{\color{Blue} t\le \frac{1}{2}[/TEX] thì hàm đã cho đồng biến

Vậy khi đó ta có : [TEX]{\color{Blue} f(x)=f(z)\Leftrightarrow x=z[/TEX]

Vậy suy ra [TEX]{\color{Blue} x=y+1[/TEX] Thay vào phương trình 2 của hệ ta có :
[TEX]{\color{Blue} 2(y+1)^3=2y^3+1[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} \Leftrightarrow 6y^2+6y+1=0 \Leftrightarrow y=\frac{-3-\sqrt{3}}{6} ; y=\frac{-3+\sqrt{3}}{6}[/TEX]

Khi đó [tex]{\color{Blue} x= \frac{3-\sqrt{3}}{6} ; x=\frac{3+\sqrt{3}}{6} [/tex]
Vì [TEX]{\color{Blue} x \geq \frac{1}{2}\Rightarrow [/TEX]cặp[tex]{\color{Blue} (x=\frac{3+\sqrt{3}}{6};y=\frac{-3+\sqrt{3}}{6})[/tex](nhận) , cặp kia loại

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất [TEX]{\color{Blue} x= \frac{3+\sqrt{3}}{6};y=\frac{-3+\sqrt{3}}{6}[/TEX]

P/S: Ai có ý kiến gì không ạ , cách này đã từng thấy rồi == lạ và hay , lúc nãy làm nhầm , sửa lại rồi ạ , he he

 

[duynhan1]

Bài n: Giải phương trình :

[TEX]2\sqrt{ x^2-2x-1}+\sqrt[3]{ x^3-14}= x-2 (1) [/TEX]

Đối với phương trình này ngoài cách nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung thì tớ nghĩ chắc là không còn cách nào khác :-? Vậy phải nhân như thế nào đây nhỉ :-s
^^ Mà bài này người ta cho thân thiện ghê :-? Nhẩm thấy: [TEX](x-2)^3 - (x^3-14)[/TEX] hình như có nhân tử x^2 -2x :-? thôi thì nhân thử coi hệ số tự do nó thế nào :">, thật may mắn ta có: [TEX](x-2)^3 - (x^3-14) = - 6 (x^2 - 2x -1) [/TEX]
Trời may mắn quá đi, và đến đây ta làm như sau >
[TEX](1) \Leftrightarrow 2 \sqrt{x^2 - 2x -1} = (x-2) - \sqrt[3]{x^3 - 14}[/TEX]
Xét [TEX](x-2) ^2 + (x-2) \sqrt[3]{x^3 - 14} + (\sqrt[3]{x^3-14})^2 = 0 \Leftrightarrow \left{ x-2 = 0 \\ \sqrt[3]{x^3 -14} = 0 \right. \Leftrightarrow \left{ x=2 \\ \sqrt{8 - 14} = 0 (vo\ ly)[/TEX]
Với [TEX](x-2) ^2 + (x-2) \sqrt[3]{x^3 - 14} + (\sqrt[3]{x^3-14})^2 >0[/TEX], ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x-1} = \frac{-6(x^2-2x-1)}{(x-2) ^2 + (x-2) \sqrt[3]{x^3 - 14} + (\sqrt[3]{x^3-14})^2} [/TEX]
Phần còn lại không có gì để bàn nữa cả

 

[haidang001_b52]

thắc mắc

Gà đã sửa lại đề rồi , biết là nhầm đề mà , hehe

[TEX]{\color{Blue} Hpt \Leftrightarrow \{2(x^3-y^3)=1 \\ \sqrt{2-x+y-x^2-y^2}=2x-1[/TEX]

Từ pt (1) ta suy ra [TEX] {\color{Blue} 2(x^3-y^3)=1 ; 4(x^3-y^3)=2[/TEX]
Thế vào pt (2) ta có :
[TEX]{\color{Blue} 4(x^3-y^3)-x+y-x^2-y^2 = 2(x^3-y^3)-4x+4x^2[/TEX](Với [TEX]{\color{Blue} x\le \frac{1}{2}[/TEX])
[TEX]{\color{Blue} 2x^3-5x^2+3x=2y^3+y^2-y[/TEX]( *)
Đặt [tex]{\color{Blue} y=z-1[/tex]

Khi đó pt ( *) trở thành
[TEX]{\color{Blue} 2x^3-5x^2+3x =2z^3-5z^2+3z[/TEX]

Xét hàm số [tex] {\color{Blue} f(t)=2t^3-5t^2+3t (t\le \frac{1}{2})[/tex]

Dễ thấy với [TEX]{\color{Blue} t\le \frac{1}{2}[/TEX] thì hàm đã cho đồng biến

Vậy khi đó ta có : [TEX]{\color{Blue} f(x)=f(z)\Leftrightarrow x=z[/TEX]

Vậy suy ra [TEX]{\color{Blue} x=y+1[/TEX] Thay vào phương trình 2 của hệ ta có :
[TEX]{\color{Blue} 2(y+1)^3=2y^3+1[/TEX]
[TEX]{\color{Blue} \Leftrightarrow 6y^2+6y+1=0 \Leftrightarrow y=\frac{-3-\sqrt{3}}{6} ; y=\frac{-3+\sqrt{3}}{6}[/TEX]

Khi đó [tex]{\color{Blue} x= \frac{3-\sqrt{3}}{6} ; x=\frac{3+\sqrt{3}}{6} [/tex]
Vì [TEX]{\color{Blue} x\le \frac{1}{2}\Rightarrow [/TEX]cặp[tex]{\color{Blue} (x=\frac{3+\sqrt{3}}{6};y=\frac{-3+\sqrt{3}}{6})[/tex](loại)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất [TEX]{\color{Blue} x= \frac{3-\sqrt{3}}{6};y=\frac{-3-\sqrt{3}}{6}[/TEX]

P/S: Ai có ý kiến gì không ạ , cách này đã từng thấy rồi == lạ và hay

làm sao để biết đc đặt y=z-1??
hiểm quá bạn ơi;cái đoạn sd phương pháp hàm số ý,làm sao CM dc f(x) ĐB khi mà có 1 đoạn f'(x)<0

 

[hoanghondo94]

làm sao để biết đc đặt y=z-1??
hiểm quá bạn ơi;cái đoạn sd phương pháp hàm số ý,làm sao CM dc f(x) ĐB khi mà có 1 đoạn f'(x)<0

Mò nghiệm đặt vậy đưa về đối xứng thôi, hoặc tách ra thế này cũng được!
[TEX]{\color{Blue} 2x^3-5x^2+3x=2y^3+y^2-y \Leftrightarrow 2x^3-5x^2+3x=2(y+1)^3-5(y+1)^2+3(y+1)[/TEX][/B]
Còn 1 một cách nữa:
Trước hết ta có điều kiện:
[TEX]DK\{ x \geq \frac{1}{2} \\ y \geq -\sqrt[3]{\frac{3}{8}} [/TEX]
Chuyển vế ở phương trình đầu tiên,sau đó bình phương, thu gọn ta có hệ mới như sau:

[TEX]\{ 5{{x}^{2}}-3x-1=y-{{y}^{2}} \\ 2{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}=1 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \{ 5{{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}-y=1 \\ 2{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}=1.[/TEX]

Nên ta có:
[TEX] \Rightarrow 2{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}=5{{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}-y[/TEX] vì cả hai vế đều bằng 1
Phân tích thành nhân tử ta có:
[TEX]\left( x-y-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-3x+2xy+2{{y}^{2}}-y \right)=0[/TEX]
Nên ta có:

[TEX]\{ x-y-1=0 \\ 2{{x}^{2}}-3x+2xy+2{{y}^{2}}-y>0\left( DK \right) [/TEX]
Vậy [TEX]x=y+1[/TEX]; sau đó thể vào ta sẽ giải được hệ

 

[cathrinehuynh]

bạn ơi, mình nghĩ bài này nên giả sử x \leq z, khi đó mình sẽ suy ra f(x) \leq f(z), cứ thế suy ra ta sẽ có x=z. Từ đó làm theo phần sau như bạn là đúng rồi, bài này mình gặp rồi, phải giả sử điều kiện thế.

 

[quyenuy0241]

tìm số nghiệm của phương trình: [tex]x^5+\frac{x}{\sqrt{x^2-2}}=2009[/tex]

 

[suabo2010]

[tex]\left\{\begin{matrix} 2^{y^{2}+3}=16^{x}\\ log^{y^{2}}_{x}=log_{y}(xy) \end{matrix}\right.[/tex]

 

[doigiaythuytinh]

[tex]\left\{\begin{matrix} 2^{y^{2}+3}=16^{x}\\ log^{y^{2}}_{x}=log_{y}(xy) \end{matrix}\right.[/tex]

ĐK: ...

[TEX] Pt(2) \Rightarrow 2t^2-t-1=0 (t=log_xy>0) \\ \Rightarrow t=1 \\\Leftrightarrow x=y[/TEX]

 

[gavip1994]