[TOPIC] Hàm liên tục & đạo hàm

G

gayal

Cho phương trình: [TEX]x^3+3x^2-7x-10=0 [/TEX]
CMR phương trình có ít nhất 2 nghiệm

@: Cho mình hỏi thêm là phương pháp để giải những dạng bài này là như thế nào?
 
D

duynhan1

gayal said:
Cho phương trình: [TEX]x^3+3x^2-7x-10=0 [/TEX]
CMR phương trình có ít nhất 2 nghiệm

@: Cho mình hỏi thêm là phương pháp để giải những dạng bài này là như thế nào?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

(bấm máy ta được các nghiệm : 2,....; -2, ...., -4,......)

nên ta xét :

[TEX]\red f(0) = -10 \\ f(3)=23 \\ f(-3) = 11 [/TEX]
[TEX]f(0). f(3)<0 \\ f(0).f(-3)<0 [/TEX] nên ta có : phương trình có ít nhất 2 nghiệm
 
M

minhkhac_94

duynhan1 said:


(bấm máy ta được các nghiệm : 2,....; -2, ...., -4,......)

nên ta xét :

[TEX]\red f(0) = -10 \\ f(3)=23 \\ f(-3) = 11 [/TEX]
[TEX]f(0). f(3)<0 \\ f(0).f(-3)<0 [/TEX] nên ta có : phương trình có ít nhất 2 nghiệm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Bài này bạn dùng kiến thức j vậy ?_________________________

Hàm số liên tục mà.
[TEX]\red \left{ f(a).f(b)<0 \\ f(x) \text{lien tuc trong khoang (a;b) } \right. \text{ thi ta co} f(x)=0 \text{ co it nhat 1 nghiem chua trong khoang (a;b)} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

giaosu_fanting_thientai

Tạm 1 bài theo ý duynhan ^^
Chứng minh phương trình [TEX]x^3-3x+m=0[/TEX] không thể có 2 nghiệm phân biệt trong (0;1) với mọi giá trị của m.
Dùng lagrange.:):)
 
B

bigbang195

giaosu_fanting_thientai said:
Tạm 1 bài theo ý duynhan ^^
Chứng minh phương trình [TEX]x^3-3x+m=0[/TEX] không thể có 2 nghiệm phân biệt trong (0;1) với mọi giá trị của m.
Dùng lagrange.:):)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Thực ra bài này không cần dùng Đến Lagrange :

[TEX]f(x)=x^3-3x=-m[/TEX]

[TEX]f'(x)=3x^2-3 < 0[/TEX] suy ra [TEX]f(x)[/TEX] ngịch biến trong (0,1), mặt khác [TEX]f(x)[/TEX] lại liên tục nên chỉ có duy nhất 1 giá trị của x thuộc khoảng (0,1) cho f(x) giá trị bằng m
 
Last edited by a moderator:
G

giaosu_fanting_thientai

Xét [TEX]f(x)=x^3-3x+m=0; x \in [0;1][/TEX]
[TEX]\Rightarrow f'(x)=3x^2-3[/TEX]
Gỉa sử pt đã cho có 2 nghiệm thuộc (0;1) thõa mãn[TEX] 0<x_1<x_2<1[/TEX] thì [TEX]f(x_1)=f(x_2)=0[/TEX]
\Rightarrow tồn tại [TEX]c \in (x_1;x_2)[/TEX] sao cho [TEX]f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x_2-x_1)f'(c)=0[/TEX]
2 nghiệm pb nên [TEX]x_1[/TEX] khác[TEX] x_2[/TEX] \Rightarrow [TEX] f'(c)=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 3c^2-3=0 \Leftrightarrow c=1[/TEX] hoặc [TEX]c=-1[/TEX]
-1 không thuộc (0;1) \Rightarrow k có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.
 
T

traiphongtran

giaosu_fanting_thientai said:
Xét [TEX]f(x)=x^3-3x+m=0; x \in [0;1][/TEX]
[TEX]\Rightarrow f'(x)=3x^2-3[/TEX]
Gỉa sử pt đã cho có 2 nghiệm thuộc (0;1) thõa mãn[TEX] 0<x_1<x_2<1[/TEX] thì [TEX]f(x_1)=f(x_2)=0[/TEX]
\Rightarrow tồn tại [TEX]c \in (x_1;x_2)[/TEX] sao cho [TEX]f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x_2-x_1)f'(c)=0[/TEX]
2 nghiệm pb nên [TEX]x_1[/TEX] khác[TEX] x_2[/TEX] \Rightarrow [TEX] f'(c)=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 3c^2-3=0 \Leftrightarrow c=1[/TEX] hoặc [TEX]c=-1[/TEX]
-1 không thuộc (0;1) \Rightarrow k có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Không nhất thiết phải thế
Vì hàm số [TEX]y=x^3-3x+ m[/TEX] nghịch biến trong (0;1) nên nó có nghiệm duy nhất trong khoảng đó
 
G

gayal

Chứng minh rằng phương trình [TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX] luôn có ít nhất một nghiệm
 
M

myhue.a1

gayal said:
Chứng minh rằng phương trình [TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX] luôn có ít nhất một nghiệm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hàm số f(x) = [TEX]x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0[/TEX]

D = R ( xác định trên R nên liên tục trên R) (1)

Ta có f(x) = [TEX]x^{3}(1+ \frac{a}{x}+\frac{b}{b^{2}}+\frac{c}{x^{3}})[/TEX]


[TEX]\fbox{\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty [/TEX] và [TEX] \fbox{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty [/TEX] (2)

Từ (1) và (2) => Đồ thị hs y=f(x) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm

=> ( cái đề ra ) đpcm :p
 
Last edited by a moderator:
C

chuanho

gayal said:
Chứng minh rằng phương trình [TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX] luôn có ít nhất một nghiệm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này còn có thể viết dưới dạng tổng quát như sau:
[TEX]ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX](với a#0)
CM
Xét hầm số:f(x)=[TEX]ax^3+bx^2+cx+d[/TEX] liên tục trên R
TH1: a>0
ta có: [TEX]\lim_{x\to -oo}f(x)=-oo[/TEX],vậy tồn tại [TEX]x_1[/TEX] để [TEX] f(x_1)[/TEX]<0

[TEX]\lim_{x\to+oo}f(x)=+oo[/TEX],vậy tồn tại [TEX]x_2[/TEX] để [TEX] f(x_2)[/TEX]>0

\Rightarrowf(x1).f(x2)<0
TH2:a<0
tương tự ta có
[TEX]\lim_{x\to-oo}=+oo[/TEX],vậy tồn tại [TEX]x_1[/TEX] để [TEX]f(x_1)[/TEX]>0

[TEX]\lim_{x\to+oo}=-oo[/TEX],vậy tồnf tại [TEX]x_2[/TEX] để [TEX]f(x_2)[/TEX]<0

\Rightarrowf(x1).f(x2)<0
Vậy ==> đpcm hi:D:p
 
Last edited by a moderator:
T

traiphongtran

chuanho said:
Bài này còn có thể viết dưới dạng tổng quát như sau:
[TEX]ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX]
CM
Xét hầm số:f(x)=[TEX]ax^3+bx^2+cx+d[/TEX] liên tục trên R
TH1: a>0
ta có: [TEX]\lim_{x\to -oo}f(x)=-oo[/TEX],vậy \exists [TEX]x_1[/TEX]để[TEX] f(x_1)[/TEX]<0
[TEX]\lim_{x\to+oo}f(x)=+oo[/TEX],vậy \exists[TEX]x_2[/TEX]để[TEX]f(x_1)[/TEX]>0
\Rightarrowf(x1).f(x2)<0
TH2:a<0
Làm tương tự thui h tớ phải đi học nên vội
xong đó ==>pt f(x)=0 luôn có no
Hi:):p
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Thực ra bài toán ban đầu là tổng quát nhất rồi
[TEX]a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\\[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow {x^3} + \frac{b}{a}{x^2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0[/TEX]

Đến đây nó là dạng ban đầu cũng ko phải xét TH của a

Không có điều kiện a khác 0 khi chia ^^

pt bậc 3 mà

Nếu ko thì sao ko xét luôn pt tổng quát hơn
[TEX]a_0x^n+a_1x^{n+1}+...+d=0[/TEX]

Tổng quát sai, đúng với n lẻ thôi
 
Last edited by a moderator:
H

herrycuong_boy94

chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất (không giải, chỉ áp dụng hs liên tục :D )

gif.latex
 
B

bigbang195

tính đạo hàm :

[TEX]\frac{1}{\cos^2 x}[/TEX]

làm từng bước cho em xem với nhá.
 
B

bigbang195

Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom