B
bboy114crew
1 BĐT có nhìu cách giải:
2) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn [tex]ab + ac + bc = 1[/tex]. CMR:
[tex]\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}} \ge \frac{5}{2}[/tex]
Cách 1
ồn biến ra biên
Đặt [tex]f\left( {a;b;c} \right) = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}[/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) = \frac{1}{{a + b + \frac{1}{{a + b}}}} + \frac{1}{{a + b}} + a + b [/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( {a;b;c} \right) - f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) = \left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + \frac{{1 - ab}}{{a + b}}}} + \frac{1}{{c + \frac{{1 - ab}}{{a + b}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{{a + b + \frac{1}{{a + b}}}} + a + b + \frac{1}{{a + b}}} \right)[/tex]
[tex]= \frac{1}{{1 + a^2 }} + \frac{1}{{1 + b^2 }} - 1 - \frac{1}{{1 + \left( {a + b} \right)^2 }} [/tex]
[tex]= \frac{{1 + b^2 + 2\left( {a + b} \right)^2 + \left( {ba + b^2 } \right)^2 + 1 + a^2 + \left( {ab + a^2 } \right)^2 - 2 - 2a^2 - 2b^2 - 2a^2 b^2 - \left( {a + b} \right)^2 - \left( {ab + a^2 } \right)^2 - \left( {ba + b^2 } \right)^2 - \left( {a^2 b + ba^2 } \right)^2 }}{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} [/tex]
[tex]= \frac{{2ab - 2a^2 b^2 - \left( {a^2 b + b^2 a} \right)^2 }}{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} = \frac{{ab\left[ {2\left( {1 - ab} \right) - ab\left( {a + b} \right)^2 } \right]}}{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} [/tex]
[tex]WLOG,c = \max \left\{ {a;b;c} \right\} \Rightarrow 2\left( {1 - ab} \right) = 2c\left( {a + b} \right) > ab\left( {a + b} \right)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( {a;b;c} \right) \ge f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) [/tex]
Bây giờ việc còn lại chỉ là chứng minh :
[tex]f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) \ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} + a + b + \frac{1}{{a + b + \frac{1}{{a + b}}}} \ge \frac{5}{2} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{{1 + 3\left( {a + b} \right)^2 + \left( {a + b} \right)^4 }}{{\left( {a + b} \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} \ge \frac{5}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f\left( t \right) = 2 + 6t^2 + 2t^4 - 5t - 5t^3 \ge 0\left( {t = a + b;t \ge 1} \right) [/tex]
[tex]f'\left( t \right) = 8t^3 - 15t^2 + 12t - 5 = \left( {t - 1} \right)\left( {8t^2 - 7t + 5} \right) \ge 0 [/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( 1 \right) = 0\left( {dpcm} \right) [/tex]
Cách 2:
Đặt [tex]t=a+b+c[/tex]
[tex]\bullet t \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{a + b}} = c + \frac{{ab}}{{a + b}} \ge c + \frac{{ab}}{{a + b + c}} \Rightarrow VT \ge t + \frac{1}{t} \ge \frac{5}{2} [/tex]
[tex]\bullet t \le 2 [/tex]
[tex]WLOG,a = \max \left\{ {a;b;c} \right\} \Rightarrow 2a \ge 1[/tex]
[tex]VT = \left( {c + \frac{{ab}}{{a + b}}} \right) + \left( {b + \frac{{ac}}{{a + c}}} \right) + \frac{1}{{b + c}} = \left( {b + c + \frac{1}{{b + c}}} \right) + \frac{{a + abc}}{{at + bc}} \ge 2 + \frac{{\frac{{at}}{2} + \frac{{bc}}{2}}}{{at + bc}} = \frac{5}{2} [/tex]
[tex]\Rightarrow Q.E.D[/tex]
Cách 3:
Sử dụng BĐT Iran TST 1996,ta có :
[tex]VT^2 = \sum {\frac{1}{{\left( {a + b} \right)^2 }}} + \frac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \frac{9}{4} + 4 = \frac{{25}}{4} [/tex]
[tex]\Rightarrow Q.E.D[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]a=b=1;c=0[/tex] hoặc các hoán vị tương ứng!
bài này cũng dễ mọi người thử làm nhé!
CMR: Với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c > 0, ta luôn có
[tex]\sum {\frac{a}{{4a + 4b + c}} \le \frac{1}{3}} [/tex]
2) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn [tex]ab + ac + bc = 1[/tex]. CMR:
[tex]\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}} \ge \frac{5}{2}[/tex]
Cách 1
ồn biến ra biênĐặt [tex]f\left( {a;b;c} \right) = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}[/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) = \frac{1}{{a + b + \frac{1}{{a + b}}}} + \frac{1}{{a + b}} + a + b [/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( {a;b;c} \right) - f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) = \left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + \frac{{1 - ab}}{{a + b}}}} + \frac{1}{{c + \frac{{1 - ab}}{{a + b}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{{a + b + \frac{1}{{a + b}}}} + a + b + \frac{1}{{a + b}}} \right)[/tex]
[tex]= \frac{1}{{1 + a^2 }} + \frac{1}{{1 + b^2 }} - 1 - \frac{1}{{1 + \left( {a + b} \right)^2 }} [/tex]
[tex]= \frac{{1 + b^2 + 2\left( {a + b} \right)^2 + \left( {ba + b^2 } \right)^2 + 1 + a^2 + \left( {ab + a^2 } \right)^2 - 2 - 2a^2 - 2b^2 - 2a^2 b^2 - \left( {a + b} \right)^2 - \left( {ab + a^2 } \right)^2 - \left( {ba + b^2 } \right)^2 - \left( {a^2 b + ba^2 } \right)^2 }}{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} [/tex]
[tex]= \frac{{2ab - 2a^2 b^2 - \left( {a^2 b + b^2 a} \right)^2 }}{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} = \frac{{ab\left[ {2\left( {1 - ab} \right) - ab\left( {a + b} \right)^2 } \right]}}{{\left( {1 + a^2 } \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} [/tex]
[tex]WLOG,c = \max \left\{ {a;b;c} \right\} \Rightarrow 2\left( {1 - ab} \right) = 2c\left( {a + b} \right) > ab\left( {a + b} \right)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( {a;b;c} \right) \ge f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) [/tex]
Bây giờ việc còn lại chỉ là chứng minh :
[tex]f\left( {a + b;\frac{1}{{a + b}};0} \right) \ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} + a + b + \frac{1}{{a + b + \frac{1}{{a + b}}}} \ge \frac{5}{2} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{{1 + 3\left( {a + b} \right)^2 + \left( {a + b} \right)^4 }}{{\left( {a + b} \right)\left[ {1 + \left( {a + b} \right)^2 } \right]}} \ge \frac{5}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f\left( t \right) = 2 + 6t^2 + 2t^4 - 5t - 5t^3 \ge 0\left( {t = a + b;t \ge 1} \right) [/tex]
[tex]f'\left( t \right) = 8t^3 - 15t^2 + 12t - 5 = \left( {t - 1} \right)\left( {8t^2 - 7t + 5} \right) \ge 0 [/tex]
[tex]\Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( 1 \right) = 0\left( {dpcm} \right) [/tex]
Cách 2:
Đặt [tex]t=a+b+c[/tex]
[tex]\bullet t \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{a + b}} = c + \frac{{ab}}{{a + b}} \ge c + \frac{{ab}}{{a + b + c}} \Rightarrow VT \ge t + \frac{1}{t} \ge \frac{5}{2} [/tex]
[tex]\bullet t \le 2 [/tex]
[tex]WLOG,a = \max \left\{ {a;b;c} \right\} \Rightarrow 2a \ge 1[/tex]
[tex]VT = \left( {c + \frac{{ab}}{{a + b}}} \right) + \left( {b + \frac{{ac}}{{a + c}}} \right) + \frac{1}{{b + c}} = \left( {b + c + \frac{1}{{b + c}}} \right) + \frac{{a + abc}}{{at + bc}} \ge 2 + \frac{{\frac{{at}}{2} + \frac{{bc}}{2}}}{{at + bc}} = \frac{5}{2} [/tex]
[tex]\Rightarrow Q.E.D[/tex]
Cách 3:
Sử dụng BĐT Iran TST 1996,ta có :
[tex]VT^2 = \sum {\frac{1}{{\left( {a + b} \right)^2 }}} + \frac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \frac{9}{4} + 4 = \frac{{25}}{4} [/tex]
[tex]\Rightarrow Q.E.D[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]a=b=1;c=0[/tex] hoặc các hoán vị tương ứng!
bài này cũng dễ mọi người thử làm nhé!
CMR: Với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c > 0, ta luôn có
[tex]\sum {\frac{a}{{4a + 4b + c}} \le \frac{1}{3}} [/tex]
Last edited by a moderator: