[Toán 10]Bdt

Status
Không mở trả lời sau này.
I

ivory

namtuocvva18 said:
Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]x^2+y^2+z^2+\sqrt{3xyz(x+y+z)}\geq 2(xy+yz+zx)[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
chuẩn hoá [TEX]3=x+y+z\Rightarrow x^2+y^2+z^2=9-2(xy+zy+zx)[/TEX], thay vào bdt ta cm [TEX]9+3\sqrt{xyz}\ge 4(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]xyz\ge (3-2x)(3-2y)(3-2z)\Leftrightarrow 9xyz\ge 12(xy+yz+zx)-27[/TEX]
TH1:[TEX]4(xy+yz+zx)<9[/TEX], ta thấy đúng .
TH2:[TEX]9\le 4(xy+yz+zx)\le 12[/TEX] khi đó
[TEX]3\sqrt{xyz}\ge \sqrt{12(xy+yz+zx)-27}[/TEX]
chứng minh:[TEX]9+\sqrt{12(xy+yz+zx)-27}\ge 4(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow (4k-9)(k-3)\le 0, k=xy+yz+zx[/TEX], đúng.
đẳng thức [TEX]x=y=z hoac x=y, z=0[/TEX] hoăc các hoán vị
 
V

vodichhocmai

V

vodichhocmai

bigbang195 said:
[TEX]a,b,c >0[/TEX] . Chứng minh

[TEX]\sum_{cyc} \frac{a}{b} \ge \sum_{cyc} \frac{a+b}{a+c}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]Afin\longrigh_{xy z=1}^{x=\frac{a}{b}}\ \ x+y+ z\ge \sum_{cyclic}\frac{1+\frac{1}{ z}}{1+y}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \sum_{cyclic}^{x y z=1}\frac{x-1}{1+y}\ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2 z+ y^2 x+ z^2 y+x^2+y^2+ z^2-x-y-x-3\ge 0\ \ \ \ Done!![/TEX]

[TEX]Do : \ \ \left{x^2 z+ y^2 x+ z^2 y\ge 3\\ x^2+y^2+ z^2\ge \sqrt[3]{xy z}\(x+y+ z\) [/TEX]
 
S

silvery21

[TEX]a;b ; c > 0 .cm[/TEX]

[TEX]\sum_{}\frac{a(b+c)}{a^2 +2cb} \leq 2 +\frac{( a-b)^2( b-c)^2( c-a)^2}{ (a^2 +2bc)(b^2 +2ac)(c^2 +2ba)[/TEX]

@pp SOS
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

bigbang195 said:
[TEX]a,b,c [/TEX]dương. Chứng minh

[TEX]a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge 2\sum a^2b^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Vì bất đẳng thức là đồng bậc nên chuẩn hóa cho tổng 3 biến bằng 1.

[tex]\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge 2\sum a^2b^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)-9abc \leq 1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4.a.(b+c)+bc.(4-9a) \leq 1(\mathrm{Assume: a \leq b \leq c })[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4.a.(1-a)+bc.(4-9a) \leq 1[/tex]

[tex]LHS: \leq_{AM-GM} \frac{1}{4}.(-9x^3+6x^2-x+4)[/tex]

Khảo sát hàm số trên đoạn [tex] [0;\frac{1}{3}] [/tex]
 
V

vodichhocmai

rua_it said:
Vì bất đẳng thức là đồng bậc nên chuẩn hóa cho tổng 3 biến bằng 1.

[tex]\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge 2\sum a^2b^2[/tex]

[TEX]......................[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Em mà nhớ con này nha rua_it , thì từ đây về sau bậc bốn là bình thường không còn suy nghĩ , chỉ thế số là xong :D

[TEX]\left{ 3(1+r\)=p^2+pq+q^2\\ a^4+b^4+c^4+r\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)+\(p+q-r-1\)abc\(a+b+c\) \ge p\(a^3b+b^3c+c^3a\)+q\(ab^3+bc^3+ca^3\)[/TEX]

Nó là luôn đúng vì :

[TEX]LHS-RHS:=\sum_{cyclic}\frac{1}{4} \[ 2a^2-b^2-c^2-pab+\(p+q\)bc-qca\]^2\ge 0[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

1 bài khá dễ!!!

[tex]a,b,c>0-.-.-.-.-.-.-.-. CMR---:> \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}[/tex]
 
B

bigbang195

Bài ý dấu bằng ko phải tại tâm à anh :eek:,Trông đối xứng mà chắc anh thiếu hệ số :D

cho [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX] đi
rồi CM

[TEX]3(a^2+b^2+c^2) \ge ....[/TEX]
 
D

dandoh221

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm.
[TEX]CMR :\ \ \sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} \ge 2[/TEX][/TEX]
 
Last edited by a moderator:
D

doremon.

Cho a,b,c >0
CMR:
[TEX]\frac{a^2+2bc}{b+c}+\frac{b^2+2ca}{c+a}+\frac{c^2+2ab}{b+a}\geq \frac{3(a+b+c}{2}[/TEX]

p/s: quyenuy0241 làm lại hộ tớ bài này .Đọc trong tập file tớ k hiểu j` hết :(
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

a,b,c >0.Chứng minh
[tex]\frac{1}{a}+\frac}{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c} \geq 4(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})[/tex]
 
B

bigbang195

dandoh221 said:
[TEX]a,b,c[/TEX] không âm.
[TEX]CMR :\ \ \sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} \ge 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

theo Am-GM

[TEX] \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} \ge \frac{4a(b+c)(ab+bc+ac)}{(b^2+bc+c^2+ab+bc+ac)^2}=\frac{4a(ab+bc+ac)}{(b+c)(a+b+c)^2}[/TEX]

chỉ cần CM

[TEX]\sum \frac{4a(ab+bc+ac)}{(b+c)(a+b+c)^2} \ge 2[/TEX]

tức là

[TEX]\sum =\frac{a}{b+c} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

doremon. said:
Cho a,b,c >0
CMR:
[TEX]\frac{a^2+2bc}{b+c}+\frac{b^2+2ca}{c+a}+\frac{c^2+2ab}{b+a}\geq \frac{3(a+b+c}{2}[/TEX]

p/s: quyenuy0241 làm lại hộ tớ bài này .Đọc trong tập file tớ k hiểu j` hết :(
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
:D:D:D:D:D:D:D Xin lỗi các bạn !!Mình giải lại!!
Lần trước nhầm đề thì phải :D:D:D:D:D

SOS!!!
[tex]2\sum{\frac{a^2+2cb}{b+c}-3(a+b+c)=\sum{\frac\frac{2a^2}{b+c}-a+\sum{\frac{4bc}{b+c}-b-c} =\sum{\frac{a(2a-b-c)}{b+c}-\sum{\frac{(b-c)^2}{b+c}[/tex]

và!

[tex]\sum{\frac{a(2a-b-c)}{b+c}=\sum{\frac{a(a-b)}{b+c}+\sum{\frac{a(a-c)}{b+c}}[/tex]

[tex]=\sum\frac{a(a-b)}{b+c}-\sum{\frac{b(b-a)}{a+c}}=(a+b+c)\sum{\frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}=(a+b+c)\sum{\frac{(b-c)^2}{(b+c)(c+a)}[/tex]




BDt cần CM \Leftrightarrow [tex]\sum{S_a(b-c)^2} \ge 0 [/tex]

[tex]S_a=(a+b+c)(b+c)-(a+b)(a+c)[/tex]

Giải sử [tex]a \ge b \ge c [/tex]

[tex]\Rightarrow S_b=(a+b+c)(c+a)-(b+c)(a+b) \ge (a+b)(a+c)-(c+a)(c+b)=a^2-b^2 \ge 0 [/tex]



[tex]S_c=(a+b+c)(a+b)-(c+a)(c+b) \ge (a+c)(a+b)-(c+a)(c+b)=a^2-c^2 \ge 0[/tex]



Để ý [tex]\sum{S_a(b-c)^2 \ge (b-c)^2S_a+(a-c)^2.S_b \ge (b-c)^2S_a+(b-c)^2S_b=(S_a+S_b)(b-c)^2 [/tex]


Vậy chỉ cần CM [tex]S_a+S_b \ge 0 [/tex]là xong


[tex] S_a+S_b=(a+b+c)(a+b+2c)-(a+b)(a+b+2c)=c(a+b+2c) \ge 0 [/tex]Luôn đúng vậy BDT được CM:D:D:D:D:D
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

Nhân cả 2 vế với
gif.latex
. ta thấy

gif.latex


ta có


gif.latex
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom