Topic dành cho những bạn nào 94 năm nay thi đại học!!!!!! Ver.2

[vivietnam]

tính tích phân

[TEX] 1, \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sinx(sinx+cosx)dx}{1+|sin2x|}[/TEX]
[TEX] 2, \int arccot\sqrt{2x-1}dx[/TEX]

 

[lithoi_cp]

Cho các số thực dương x,y. CMR: [tex]e^{\frac{y}{2x+y}}<\sqrt{\frac{x+y}{x}}[/tex]

 

[mr_l0n3ly]

[TEX]\sqrt[]{2} cos2x = \frac{1}{sinx} + \frac{1}{cosx} [/TEX]

nhìn thì tưởng dễ mà khó gặm quá các bạn ạ

 

[duynhan1]

[TEX]\sqrt[]{2} cos2x = \frac{1}{sinx} + \frac{1}{cosx} [/TEX]

nhìn thì tưởng dễ mà khó gặm quá các bạn ạ

Điều kiện: $ \sin 2x \not= 0$
$$\begin{aligned} & \sqrt{2} \sin x \cos x ( \sin x + \cos x ) ( \ cos x - \sin x) = \sin x + \cos x \\ \Leftrightarrow & \left[ \begin{matrix} \sin x + \cos x = 0 \\ \sin 2x . \cos ( x + \frac{\pi}{4}) = 1 \end{matrix} \right. \end{aligned} $$

P/s: Phương trình 2 đánh giá $-1 \le \sin \alpha, \cos \alpha \le 1$

 

[mr_l0n3ly]

Điều kiện: $ \sin 2x \not= 0$
$$\begin{aligned} & \sqrt{2} \sin x \cos x ( \sin x + \cos x ) ( \ cos x - \sin x) = \sin x + \cos x \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x + \cos x = 0 \\ \sin 2x . \cos ( x + \frac{\pi}{4}) = 1 \end{matrix} \right. \end{aligned} $$

[TEX]sin 2x . \cos ( x + \frac{\pi}{4}) = 1 [/TEX]

cái này làm ntn nữa bạn

mình cũng làm đến đây rồi bí lun

 

[duynhan1]

tính tích phân

[TEX] 1, \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sinx(sinx+cosx)dx}{1+|sin2x|}[/TEX]

$$ I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin^2x \ dx}{1+|sin2x|} \quad \text{ (Đổi cận: t=-x)} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sin^2 x}{1+ \sin 2x} dx \text{ (Tách + Đổi cận t=-x)} =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{(sin x + cos x)^2} dx - \frac12 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(1+ \sin 2x)}{1+ \sin 2x} = \frac12 \left( \tan ( x - \frac{\pi}{4}) - \ln | 1+ \sin 2x| \right) \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 $$

 

[hoathuytinh16021995]

[TEX]sin 2x . \cos ( x + \frac{\pi}{4}) = 1 [/TEX]

cái này làm ntn nữa bạn

mình cũng làm đến đây rồi bí lun

đến đây dùng đánh giá mà:
1,[TEX]\left\{\begin{matrix}sin 2x = 1 & \\\ cos (x+\frac{\pi }{1})=1& \end{matrix}\right[/TEX]
2,[TEX]\left\{\begin{matrix}sin 2x = -1 &\ \\ cos ( x+\frac{\pi }{4})=-1 & \end{matrix}\right.[/TEX]

 

[nach_rat_hoi]

đến đây dùng đánh giá mà:
1,[TEX]\left\{\begin{matrix}sin 2x = 1 & \\\ cos (x+\frac{\pi }{1})=1& \end{matrix}\right[/TEX]
2,[TEX]\left\{\begin{matrix}sin 2x = -1 &\ \\ cos ( x+\frac{\pi }{4})=-1 & \end{matrix}\right.[/TEX]

Chi tiết hơn 1 tí.
[TEX]sin2x\leq 1[/TEX] và [TEX]cos(x+\frac{\pi }{4})\leq 1[/TEX] nên [TEX]sin2x.cos(x+\frac{\pi }{4})\leq 1[/TEX]
vậy dấu = xảy ra khi....................
Tương tự với -1<=.

Ý t là từng cái chứ k phải cả cục ,...........

 

[duynhan1]

chi tiết hơn 1 tí.
[tex]sin2x\leq 1[/tex] và [tex]cos(x+\frac{\pi }{4})\leq 1[/tex] nên [tex]sin2x.cos(x+\frac{\pi }{4})\leq 1[/tex]
vậy dấu = xảy ra khi....................
Tương tự với <=-1.

SAI, a<=1, b<=1 thì chưa chắc đã có ab<=1, ví dụ: a=-2, b=-2 , với lại có TH <=-1 đâu

Chuyển tích thành tổng thì chỉ cần giải 1 TH chứ không cần giải 2 TH như bạn hoathuytinh .

 

[hoathuytinh16021995]

SAI, a<=1, b<=1 thì chưa chắc đã có ab<=1, ví dụ: a=-2, b=-2 , với lại có TH <=-1 đâu

Chuyển tích thành tổng thì chỉ cần giải 1 TH chứ không cần giải 2 TH như bạn hoathuytinh .

sao lại không xét 2 TH ạ?
trường hợp
[TEX]\left\{\begin{matrix} sin 2 x = -1 & \\ cos ( x+ \frac{\pi }{4}) = -1 & \end{matrix}\right.[/TEX]
thì tích vẫn bằng 1 chứ ạ!
có thể giải thích đc k ạ?

 

[lithoi_cp]

Ai làm giùm mình bài kia đi........................................

 

[duynhan1]

Cho các số thực dương x,y. CMR: [tex]e^{\frac{y}{2x+y}}<\sqrt{\frac{x+y}{x}}[/tex]

$t= \frac{y}{x}>0$, ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$e^{\frac{t}{t+2}} < \sqrt{1+t} \Leftrightarrow \frac{t}{t+2} - \frac12 \ln ( t+1) <0$
Xét hàm số: $f(t) = \frac{t}{t+2} - \frac12 \ln ( t + 1) \quad \forall t \ge 0$, ta có: $f'(t) = \frac{2}{(t+2)^2} - \frac{1}{2(t+1)} = \frac{4(t+1)- (t+2)^2}{2(t+1)(t+2)^2} = \frac{-t^2}{2(t+1)(t+2)^2}<0$
Do đó hàm số f(t) nghịch biến trong $(0;+\infty)$, suy ra: $f(t)<f(0)=0 \forall t >0 \text{ (điều phải chứng minh)}$

 

[lithoi_cp]

Các b xem giùm xem t làm như này đúng k?

[tex]9^{sin^{2}x}+4.9^{cos^{2}x}=13+9^{\frac{1}{2}+cos2x}-3^{cos2x} \Leftrightarrow 9^{sin^{2}x}+4.9^{1-sin^{2}x}=13+3.9^{1-2sin^{2}x}-3^{1-2sin^{2}x}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9^{sin^{2}x}+4.\frac{9}{9^{sin^{2}x}}=13+3.\frac{9}{9^{2sin^{2}x}}-\frac{3}{9^{sin^{2}x}}[/tex]

Đặt [tex]9^{sin^{2}x}=t (t>0))[/tex]
[tex]\Rightarrow t+\frac{36}{t}=13+\frac{27}{t^{2}}-\frac{3}{t} \Leftrightarrow -12t^{2}+39t-27=0 \Leftrightarrow t=\frac{9}{4}[/tex]

hoặc t=1

Đến đây đã đúng chưa?

 

[hardyboywwe]

I/Cho hàm số [tex] y =\frac{x + 1}{x - 1} [/tex] (C)

Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến tới (C)


II/

1.Giải phương trình [TEX]log^2(x^2 + 1) + (x^2 - 5)log(x^2 + 1) - 5x^2 = 0.[/TEX]

2.Tìm nghiệm của phương trình [TEX]cos x + cos^2x + sin^3x = 2[/TEX] thỏa mãn | x - 1| < 3.


III/Tính tích phân sau:

[TEX]\int\limits^1_0 xln(x^2 + x + 1)dx[/TEX]


IV/Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có tam giác ABC là tam giác vuông tại B và AB = a,BC = b,AA' = c ([TEX]C \geq a^2 + b^2[/TEX]).Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mp (P) đi qua A và cuông góc với CA'.

V/Cho x,y,z [TEX]\in \[/TEX] (0,1) và [TEX]xy + yz + xz = 1.[/TEX]Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]P = \frac{x}{1- x^2} + \frac{y}{1 - y^2} + \frac{z}{1 - z^2}[/TEX]

 

[l94]

[TEX]I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(2x+1).ln(x^2+x+1)dx -\frac{1}{2}\int_{0}^{1}ln(x^2+x+1)dx[/TEX]
xét [TEX]K=\int_{0}^{1}(2x+1).ln(x^2+x+1)dx[/TEX]
[TEX]K=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}lntdt[/TEX]
Xét [TEX]M=\int_{0}^{1}ln(x^2+x+1)dx[/TEX]
đặt [TEX]\left{\begin{u=ln(x^2+x+1)}\\{dv=dx}[/TEX] [TEX]\left{\begin{du=\frac{2x+1}{x^2+x+1}}\\{v=x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M=x.ln(x^2+x+1)|_1^3-\int_{1}^{3}\frac{2x^2+x}{x^2+x+1}[/TEX]
dễ r

 

[l94]

II/

1.Giải phương trình [TEX]log^2(x^2 + 1) + (x^2 - 5)log(x^2 + 1) - 5x^2 = 0.[/TEX]


[tex]\Delta=(x^2+5)^2[/tex]
..................................................................................

 

[duynhana1]

II/

1.Giải phương trình [TEX]log^2(x^2 + 1) + (x^2 - 5)log(x^2 + 1) - 5x^2 = 0.[/TEX]


[tex]\Delta=(x^2+5)^2[/tex]
..................................................................................

Có cần máy móc vậy không em
Phân tích nhân tử: $$\log(x^2+1)( \log(x^2+1)-5) + x^2( \log(x^2+1)-5) = 0 $$

 

[braga]

I/Cho hàm số [tex] y =\frac{x + 1}{x - 1} [/tex] (C)

Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến tới (C)

- Gọi $A(0;a)$ thuộc $Oy$. Đường thẳng đi qua $A$ có hệ số góc $k$:$y=kx+a$

- Đường thẳng tiếp xúc với $(C)$ khi pt sau có nghiệm kép :

$kx+a=\frac{x+1}{x-1} (1)$

$ \Leftrightarrow (kx+a)(x-1)=(x+1)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow kx^2-[k-(a-1))]x-(a+1)=0 $ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\neq 0
& \\ \Delta =[k-(a-1)]^2+4(a+1)k=0
&
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\neq 0
& \\ g(k)=k^2+2(a+3)k+(a-1)^2=0
&
\end{matrix}\right.$

Qua $A$ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới $(C) \Leftrightarrow g(k)=0$ có đúng 1 nghiệm $k\neq 0$

$\left[\begin{matrix}\Delta '=8(a-1)>0 , g(x)=(a-1)^2=0
& \\ \Delta '=8(a-1)=0 , g(x)=(a-1)^2\neq 0
&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a=1
& \\ a=-1
&
\end{matrix}\right.$

Vậy $A(0;1) ; A(0;-1)$ là 2 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán



.

 

[duynhan1]

- Gọi $A(0;a)$ thuộc $Oy$. Đường thẳng đi qua $A$ có hệ số góc $k$:$y=kx+a$

- Đường thẳng tiếp xúc với $(C)$ khi pt sau có nghiệm kép :

$kx+a=\frac{x+1}{x-1} (1)$

$ \Leftrightarrow (kx+a)(x-1)=(x+1) \quad (2)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow kx^2-[k-(a-1))]x-(a+1)=0 $ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\neq 0
& \\ \Delta =[k-(a-1)]^2+4(a+1)k=0
&
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\neq 0
& \\ g(k)=k^2+2(a+3)k+(a-1)^2=0
&
\end{matrix}\right.$

Qua $A$ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới $(C) \Leftrightarrow g(k)=0$ có đúng 1 nghiệm $k\neq 0$

$\left[\begin{matrix}\Delta '=8(a-1)>0 , g(x)=(a-1)^2=0
& \\ \Delta '=8(a-1)=0 , g(x)=(a-1)^2\neq 0
&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a=1
& \\ a=-1
&
\end{matrix}\right.$

Vậy $A(0;1) ; A(0;-1)$ là 2 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán
.

Bài ni mà đi thi 0 điểm cho mà coi .
- Thứ 1, nghiệm kép không được dùng.
- Thứ 2, từ phương trình (1) xuống phương trình (2) là sai do phương trình (1) có điều kiện $x \not=1$, còn phương trình (2) thì không.
- Tóm lại không nên dùng cách này trong thi đại học.

 

[braga]

À vâng , thế dùng cách nào ạ , anh Duy Nhân chỉ giáo hộ em cái , mà chỗ từ pt(1) xuống (2) không cần đk cũng được

- Nghiệm kép tức nghiệm duy nhất = sử dụng bình thường ..cái này chưa thấy ai cấm ( cũng có thể mình chưa biết chứ bộ )