Toán Topic bồi dưỡng HSG Toán 9

[Hạnh Hạnh Alison]

[TEX]<=> (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-1}-1)^2=0[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]
Dòng này sai rồi nhỉ?

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Pt nghiệm nguyên mà seo có 1 biến thế bác .-.

Có mà bác, chắc 1 phần nhỏ

 

[Đoàn Hoàng Lâm]

[TEX]<=> (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-1}-1)^2=0[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]
Dòng này sai rồi nhỉ?

Tương đương với từng cái bằng 0
/ [tex]\sqrt{x-1}-1=0 => \sqrt{x-1} =1 => x=2[/tex] /
/ [tex]\sqrt{y-3}-1=0 => \sqrt{y-3} =1 => y=4[/tex] /
/ [tex]\sqrt{z-1}-1=0 => \sqrt{z-1} =1 => z=2[/tex] /

 

[Quân Nguyễn 209]

[TEX]<=> (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-1}-1)^2=0[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]
Dòng này sai rồi nhỉ?

Sao sai v bác :v @Hạnh Hạnh Alison

Có mà bác, chắc 1 phần nhỏ

Pt nghiệm nguyên phải có 2 biến trở lên chứ @@ Cái này 1 pt 1 biến thì là pt thường cơ mà :v Bác xem kĩ lại đề nhá :v Nếu ko thì đừng nên học loại pt này

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Sao sai v bác :v @Hạnh Hạnh Alison

f, [tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]

pt $\Leftrightarrow x-2\sqrt x+1+y-3-2\sqrt{y-3}+1+z-2\sqrt z+1=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt x-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt z-1)^2=0$
$\Leftrightarrow \cdots$

f)
[tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]
[TEX]<=> x-2\sqrt{x}+1+y-3-2\sqrt{y-3}+1+z-2\sqrt{z}+1=0[/TEX]
[TEX]<=> (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-1}-1)^2=0[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]

^^

 

[Tony Time]

a,

Cách khác để giải quyết bài này:
Ta có:
[tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=20\sqrt{5}[/tex]
Vế phải của pt trên là số vô tỉ. Do đó [TEX]\sqrt{x}[/TEX] và[TEX]\sqrt{y}[/TEX] đều là những số vô tỉ và các căn này phải đồng dạng với [TEX]\sqrt{5}[/TEX]
Tức là: [tex]\sqrt{x}=a\sqrt{5};\sqrt{y}=b\sqrt{5}[/tex] [tex](a, b\geq 0, a, b\in Z)[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b=20[/tex]
Có 20 giá trị của a tương ứng với 20 giá trị của b nên bài toán đã cho có 20 nghiệm

b,

Pt tương đương:
[TEX](2y^2-1)^2=49-x^2-2x\Leftrightarrow (2y^2-1)^2+(x+1)^2=50=25+25=1+49[/TEX]
Vì [tex]x,y\in Z[/tex] nên.........
Tìm đc nghiệm là [tex](x,y)=(6,-1);(6,1);(0,-2);(0,-2)[/tex]

 

[Tony Time]

Bài 7 (Đề thi HSG Toán cấp thành phố năm 2011-2012 của tp HCM):
Chứng minh rằng pt: [tex]4x^2+4x=8y^3-2z^2+4[/tex] không có nghiệm dương
Bài 8 (Đề thi HSG Toán cấp tỉnh của tỉnh Quãng Ngãi):
Tìm cặp số nguyên dương [TEX](x;y)[/TEX] thỏa mãn: [TEX]15x^2-7y^2=9[/TEX]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 7 (Đề thi HSG Toán cấp thành phố năm 2011-2012 của tp HCM):
Chứng minh rằng pt:

không có nghiệm dương
Bài 8 (Đề thi HSG Toán cấp tỉnh của tỉnh Quãng Ngãi):
Tìm cặp số nguyên dương

thỏa mãn:

Bài 7:
pt $\Leftrightarrow 2x(x+1)=4y^3-z^2+2$
$x(x+1)$ là $2$ số nguyên liên tiếp $\Rightarrow x(x+1) \ \vdots \ 2\Rightarrow 2x(x+1) \ \vdots \ 4 \ (1)$
$2x(x+1),4y^3,2$ chia hết cho $2\Rightarrow z^2 \ \vdots \ 2\Rightarrow z\ \vdots \ 2\Rightarrow z^2 \ \vdots \ 4$
$\Rightarrow 4y^3-z^2+2$ ko chia hết cho $4 \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm
Bài 8:
$15x^2-7y^2=9\Leftrightarrow 7y^2=15x^2-9 \ \vdots \ 3\Rightarrow y \ \vdots \ 3$
Đặt $y=3m \ (m\in \mathbb{N^*})\Rightarrow 15x^2-63m^2=9\Leftrightarrow 5x^2-21m^2=3\Rightarrow x \ \vdots \ 3$
Đặt $x=3n \ (n\in \mathbb{N^*})\Rightarrow 45n^2-21m^2=3\Leftrightarrow 15n^2-7m^2=1$
Nếu $m\equiv 0(mod \ 3)\Rightarrow \text{VT}\equiv 0(mod \ 3)$. Mà $\text{VP}\equiv 1(mod \ 3)$ => vô lí
Tương tự $m\equiv 1(mod \ 3);m\equiv 2(mod \ 3)$ vô lí
Vậy ko có cặp số nguyên dương $(x;y)$ nào tm..........

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài này sau khi làm xong hình như thiếu nghiệm thì phải ._. A @Tony Time vào xơi thử :v
[TEX]\boxed{9}[/TEX] [ Đại học Sư phạm Hà Nội vòng 2 ] Giải phương trình nghiệm nguyên dương : [TEX]x^3-y^3=95(x^2+y^2)[/TEX]

 

[hothanhvinhqd]

10. Giải phương trình nghiệm nguyên :[tex]xy^{2}+2y-2x=0[/tex]

 

[Tony Time]

Giải phương trình nghiệm nguyên :[tex]xy^{2}+2y-2x=0[/tex]

Pt tương đương
[tex]x=\frac{-2y}{y^2-2}[/tex]
Vì [TEX]x\in N[/TEX] nên [tex]-2y\vdots y^2-2[/tex]
Suy ra ta có:
[tex]\frac{-2y^2}{y^2-2}=-2-\frac{4}{y^2-2} (y^2-2\neq 0)[/tex]
[tex]\Rightarrow (y^2-2)\in Ư(4)[/tex]
[tex]\Rightarrow (y^2-2)\in [/tex]{-2;-1;1;2;4} ([TEX]y^2[/TEX] >[TEX]-2[/TEX])
Thay từng giá trị vào tìm y, ta tìm đc [tex]y\in [/tex]{-4;-1;0;1;4} (nhớ xét đk của y)
Thay y vào pt đầu tìm x

 

[Tony Time]

Mọi người hoạt động năng nổ lên nào
Bài 11 (Kì thi chọn HSG Toán của Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2013-2014): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2-xy-10x+3y+11=0[/TEX]

P/s: Anh đang định đổi Topic này thành Topic bồi dưỡng HSG Toán 9, ý các em thế nào @Nữ Thần Mặt Trăng @Quân Nguyễn 209 @bonechimte@gmail.com @Hạnh Hạnh Alison .....

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài này sau khi làm xong hình như thiếu nghiệm thì phải ._. A @Tony Time vào xơi thử :v
[TEX]\boxed{9}[/TEX] [ Đại học Sư phạm Hà Nội vòng 2 ] Giải phương trình nghiệm nguyên dương : [TEX]x^3-y^3=95(x^2+y^2)[/TEX]

Đáp án bài [TEX]\boxed{9}[/TEX] :v

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Mọi người hoạt động năng nổ lên nào
Bài 11 (Kì thi chọn HSG Toán của Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2013-2014): Giải pt nghiệm nguyên

P/s: Anh đang định đổi Topic này thành Topic bồi dưỡng HSG Toán 9, ý các em thế nào @Nữ Thần Mặt Trăng @Quân Nguyễn 209 @bonechimte@gmail.com @Hạnh Hạnh Alison .....

Bài 11:
pt $\Leftrightarrow x^2-(y+10)x+3y+11=0$
$\Delta_x =y^2+8y+56=(y+4)^2+40$
pt có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta_x=(y+4)^2+40$ là số chính phương
Đặt $(y+4)^2+40=a^2\Leftrightarrow (a-y-4)(a+y+4)=40$
....................................................

 

[Tony Time]

Bài 12: Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2+8x=3^{2y}[/TEX] với y là số tự nhiên
Bài 13: Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2=y^3+16[/TEX]
Bài 14 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, Trường chuyên Lê Khiết, tỉnh Quảng Ngãi, 2006 - 2007): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]2x^2+y^2=2007[/TEX]
Bài 15 (Đề thi tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Tỉnh Hải Phòng, 2009-2010): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]3^x-y^3=1[/TEX]

P/s: Tuần sau nếu còn bài nào ch làm thì a sẽ đăng đáp án rồi qua chuyên đề mới nha các em
@Nữ Thần Mặt Trăng @Hạnh Hạnh Alison @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 12: Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2+8x=3^{2y}[/TEX] với y là số tự nhiên
Bài 13: Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2=y^3+16[/TEX]
Bài 14 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, Trường chuyên Lê Khiết, tỉnh Quảng Ngãi, 2006 - 2007): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]2x^2+y^2=2007[/TEX]
Bài 15 (Đề thi tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Tỉnh Hải Phòng, 2009-2010): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]3^x-y^3=1[/TEX]

P/s: Tuần sau nếu còn bài nào ch làm thì a sẽ đăng đáp án rồi qua chuyên đề mới nha các em
@Nữ Thần Mặt Trăng @Hạnh Hạnh Alison @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209

Chém mấy câu dễ trc
Lười gõ latex quá nên xài word
Bài 14

Bài 15

 

[Tony Time]

Chém mấy câu dễ trc
Lười gõ latex quá nên xài word
Bài 14
View attachment 21779
Bài 15
View attachment 21778

Bài 14 ai còn cách khác k, cách của Quân đc đó nhưng mà hơi......nản phần thay y th

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Một số bài về phương trình mũ @Tony Time @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209 ,...etc
Bài 16: Tìm x,y thuộc N* khác nhau thỏa mãn [tex]x^{y}=y^{x}[/tex]
Bài 17: Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn [tex]x^{y}+[tex]x^{z}=x^{t}[/tex]
bài 18: Tìm x,y nguyên dương
a, [tex]2^{y}=x^{4}+x^{3}+x+1[/tex]
b, [tex](2^{x}+1)(2^{x}+2)+3^{y}=307[/tex][/tex]

 

[Tony Time]

Bài 16: Tìm x,y thuộc N* khác nhau thỏa mãn

Đang nằm gần sắp ngủ tự nhiên nghĩ ra, giải lun :v
Với x, y khác nhau thuộc N*, ta có:
[tex]x\neq y \Leftrightarrow x^y\neq y^y[/tex]
Mà [tex]y^y\neq y^x [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^y\neq y^x[/tex]
Vậy pt vô nghiệm nguyên

 

[Bonechimte]

Bài 12: Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2+8x=3^{2y}[/TEX] với y là số tự nhiên
Bài 13: Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]x^2=y^3+16[/TEX]
Bài 14 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, Trường chuyên Lê Khiết, tỉnh Quảng Ngãi, 2006 - 2007): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]2x^2+y^2=2007[/TEX]
Bài 15 (Đề thi tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Tỉnh Hải Phòng, 2009-2010): Giải pt nghiệm nguyên
[TEX]3^x-y^3=1[/TEX]

P/s: Tuần sau nếu còn bài nào ch làm thì a sẽ đăng đáp án rồi qua chuyên đề mới nha các em
@Nữ Thần Mặt Trăng @Hạnh Hạnh Alison @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209

Một số bài về phương trình mũ @Tony Time @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209 ,...etc
Bài 16: Tìm x,y thuộc N* khác nhau thỏa mãn [tex]x^{y}=y^{x}[/tex]
Bài 17: Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn [tex]x^{y}+[tex]x^{z}=x^{t}[/tex]
bài 18: Tìm x,y nguyên dương
a, [tex]2^{y}=x^{4}+x^{3}+x+1[/tex]
b, [tex](2^{x}+1)(2^{x}+2)+3^{y}=307[/tex][/tex]

cái bài 18 a ấy.... t tưởng là y^2 nhể:3 vừa lm bài như thế hồi sáng@@